圆锥曲线复习课件

y8 6 4 2
-10
-5
0-2
5
10
15
x
-4
-6
-8
(0, ±a)
y轴，实轴长2a x轴，虚轴长2b
|x|≥a，y∈R
x∈R，|y|≥a
焦点坐标 a,b,c关系 离心率 准线 渐近线
焦点在X轴
x2 a2
y2 b2
1
（±c, 0）
焦点在Y轴
y2 a2
x2 b2
1
(0, ±c)
a2 b2 c2
52
13.已知双曲线两个焦点的坐标为F1 5, 0, F2 5, 0,双曲线
上的一点P到F1，F2的距离的差的绝对值等于8， 求双曲线的标准方程。
解：因为双曲线的焦点在x轴上，所以设它的
标准方程为 x2 y2 1a 0,b 0,2a 8,2c 10,
a2 b2 所以a 4, c 5b2 c2 a2 52 42 9. 所以双曲线的标准方程为
曲线上， a2 b2
F1，F2 是圆锥
曲线的 MF1 a ex0
左右焦
点
MF2 a ex0
双曲线
x2 y2 1 a2 b2
抛物线
y2 2px( p 0)
MF1 a ex0 MF
MF2 a ex0
p x0 2
相切
只有一个交点且 0
直 线
椭圆 两个交点 0
与
圆 锥 曲 线
基础题例题
1.已知点A(-2,0)、B(3,0)，动点P(x,y)满足PA·PB=x2,则点P
的轨迹是
（ D）
A.圆
B.椭圆
C.双曲线 D.抛物线
设P(x, y), PA (2 x, y), PB (3 x, y)
(2 x, y) (3 x, y) x2
(2 x) (3 x) y2 x2 y2 x 6
对称性
x轴，长轴长2a y轴，长轴长2a
y轴，短轴长2b x轴，短轴长2b
焦点坐标 c,0, c a2 b2 0, c,c a2 b2
离心率
e
c a
0 e 1
准线方程 x a2
y a2
c
c
椭圆的参数方程
x a cos
y
b
sin
(a
b
0)
变形
x cos y sin
a
b
平方和
x2 y2 a2 b2 1(a 0, b 0)
都属于二次曲线
y2 2 px( p 0)
（2）从点的集合（或轨迹）的观点看：
它们都是与定点和定直线距离的比是常数e的点的集合（或轨迹）
（3）这三种曲线都是可以由平面截圆锥面得到的截线
4、概念补遗：
共轭双曲线 、等轴双曲线、焦半径公式、椭圆的 参数方程、焦点弦、有共同渐近线的双曲线系方程
11
22
AB = 2a + e(x1 + x2)
过右 焦点
AB = 2a－e(x1 + x2)
１23特
AB =－2a－e(、椭双抛别当x1 + x2)过焦右点
圆曲物直 AB = x1 + x2 + p 线
AB =－2a + e(x1 + x2)
统一性
（1）从方程形式看:
x2 a2
y2 b2
1(a b 0)
标准方程 通径端 范围 点
y ﹒o
(
x
p 2
,0)x
p 2
y2
2 px
( p , p) X ≥ 0
2
y∈R
﹒
y o
(
x
p 2
,0)
x
p
2 y2 2 px
( p , p) X ≤ 0 2 y∈R
y
﹒ o
(0,
x
p 2
)y
p 2
x2
2 py
( p,
p) 2
x∈R y≥0
﹒y o
(0,
x
p)y
2
p 2
x2 a2
y2 b2
cos2
sin 2
1
几个重要结论：
设的焦P是点椭，圆∠axF221PFby222=θ 1,则a
b
0
上的点，F1，F2是椭圆
B2
P
1、当P为短轴端点时，
A1 F1
F2 A2
x
S△PF1F2有最大值=bc
B1
2、当P为短轴端点时，∠F1PF2为最大
3、椭圆上的点A1距F1最近，A2距F1最远
程为_______9____3___1____
12.已知双曲线中心在原点且一个焦点为F( 7 ，0)直线y=x-
1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为 2，则此
3
双曲线的方程是( D )
(A) x2 y2 1
34
(C) x2 y2 1
52
(B) x2 y2 1
43
(D) x2 y2 1
e c a
x a2 c
ybx a
(e 1)
y a2 c
yax b
等轴双曲线：
• 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。
• 特点：
• a=b,e= 2 渐近线: y=±x
共轭双曲线：
• 双曲线 曲线.
x2 a2
y2 b2
1
与双曲线by22
x2 a2
1互为共轭双
6
• 特点: 4
• ①一个双曲线的实轴,虚轴分别
距。
注意：1、“平面内”是大前提，不可缺
2省、常数必须大于 F1F2 ，限制条件
椭圆
焦点在x轴上 焦点在y轴上
几何条件 标准方程 图形
MF1 MF2 2a(2a F1F2 )
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
y
b
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
ya
o ax
ob
x
顶点坐标 a,0,0, b 0, a,b,0
4、过焦点的弦中，以垂直于长轴的弦为最短
双曲线的定义
• 平面内与两个定点F1F2的距离的差的绝对 值曲等线于.这常两数个(定小点于叫|F1做F2双|)的曲点线的的轨焦迹点叫,两做焦双点 的距离叫双曲线的焦距.
• 注意: • ①“平面内”三字不可省,这是大前提 • ②距离差要取绝对值,否则只是双曲线的一
AB x1 x2 p
-4
-6
圆锥曲线的统一定义
平面内到一定 0<e<1 e>1 e=1
点F和一条定 直线l 的距离
之比等于常数 椭圆
e（点F在直线
双曲线 抛物线
l 外， e> 0）
定点F为焦点，定直线l为准
线,e为离心率。
14
圆锥曲线的焦半径公式
M (x0, y0) 椭圆
在圆锥
x2 y2 (a b 0)
x2 y2 1
16 9
14.求以椭圆 x2 y2 1的焦点为顶点， 85
而以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程。
解：依据题意有x2 y2 1的焦点为 3，0。椭圆的顶点 85
为 2 2，0 和 0， 5 由题意可知该双曲线的焦点在x轴上，
所以双曲线的方程为x2 a2
y2 b2
1a 0,b
0则2a
2
3,
2c 4 2.所以a 3, c 2 2 ,b2 c2 a2 8 3 5
所以所求双曲线方程为x2 y2 1 35
15.已知P1
3， 4
2
、P2
9 4
，5
是双曲线上两点，求双曲线
的标准方程。解：1焦点在x轴上时，设双曲线的标准方程是
x2 a2
y2 b2
1, 把两点代入可得16a89a212b3b2222511
2.动 点M (x, y)满 足 (x 1)2 ( y 3)2 | 3x 4 y 1| , 5
则点M 的轨迹是
(D)
A.圆
B.椭圆
C.双曲线 D.抛物线
设 M (x, y), A(1, 3), l : 3x 4y 1 0,| MA | dl
基础题例题
3.△ABC的顶点为A(0，-2)，C(0，2)，三边长a、b、c成等
交于两 0
相交
双曲线
点 交于一点（直线与
的
渐近线平行）
位 置
交于两点 0
关 系
抛物线
交于一点(直线平行 于抛物线的对称轴)
相离
无公共点 0
弦长公式
当直线 y = kx + b 与圆锥曲线 f (x, y) 相交于两点
A( x , y ), B(x , y ) 时 AB 1 k 2 x1- x2
8．如果方程 x2 y2 1 表示双曲线，则实数m的取值
m -1 2-m
范围是( D )
(A)m＞2 (C)-1＜m＜2
(B)m＜1或m＞2 (D)-1＜m＜1或m＞2
9．若椭圆
x2 a2
y2 b2
1a
b
0 的离心率为
x2 a2
y2 b2
1的离心率是(
D
)
2，则双曲线 3
(A) 5
4
(B) 5
解：P由F2已知2双曲线方程得a 4,b 3, c2 a2b2 25,所以c 5,
e
c a
5 4
y
,双曲线右准线l1 : x
无解
2焦点在y轴上时，设双曲线方程为
y a
2 2
x2 b2
1
点坐标值代入后解得ab22
16 9
所以其标准方程为y2 x2 1 16 9
若 5.已1若6P知.已PPFP1知FF12为P为双332双曲 ，，曲线 求求线点点1x162xPP62的的坐y坐y9922标标。1。 1右右支支上上一一点点，，FF1，1，F2F分2别分为别左为右左焦右点焦，点，
2
• 是另一个双曲线的虚轴和实轴.
b
• ②焦距长相等
-5
oa
5
10
•
③有共同的渐近线
y
b a
x
-2
-4
抛物线的定义
• 平面内与一个定点F和一条定直线l的距离 相等的点的轨迹叫做抛物线。
• 定点F叫做抛物线的焦点。定直线l 叫做抛 物线的准线。
• 注意：“平面内”是大前提，不可缺省
图形 焦点 准线
c a
sin 3
3 2
解得a 2, c 3, 所以b 1.所求椭
x
圆方程为 x2 y2 1
4
同理，焦点在y轴上时，所求方程为
x2 y2 1 4
6、已知斜率为1的直线L过椭圆 x2 y 2 1的右
4
焦点，交椭圆于A、B两点，求弦AB的长。
法一：弦长公式 AB (1 k 2 ) x2 x1
支 • ③常数必须小于|F1F2|
双曲线 几何条件 标准方程
图形
顶点坐标 对称轴 范围
焦点在x轴
焦点在y轴
MF1 MF 2 2a(0 2a F1F 2 )
x2 y2 a2 b2 1
y6 4 2
-5
5
0-2
-4
-6
10
x
(±a, 0)
x轴，实轴长2a y轴，虚轴长2b
y2 x2 a2 b2 1
2
(C) 3
2
(D) 14 3
10.已知圆C过双曲线 x2 y2 1 的一个顶点和一个焦点，
9 16
16
且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是__3_
11.如图，已知OA是双曲线的实半轴，OB是虚半轴，F为
焦点，且S△ABF=
x2 y
1 22
6-3
3
,∠BAO=30°，则双曲线的方
法二：焦点弦： AB 2a e(x1 x2 )
7、已知椭圆
x2 y2 16 9
1求以点P（2，1）为中
点的弦所在直线的方程。
思思路路二一：：设设出两M端N点的M点、斜N式的方坐程标分别
y为1 kM(xx21,) y，1,与N椭x圆2, y联2，立代，入由椭韦圆达方定程理，、作中差点因
公式式分求解得求直出线直M线NM的N斜斜率率，，也即可求求得得MMNN的的方方程程。。
差数列，公差d＜0；则动点B的轨迹方程为_____________
x2 y2 1 y 0，x 0
y
__1_2___1_6______________.
a=|BC|,b=|AC|,c=|AB|
a+c=2b,且 a>b>c ∴|BC|+|BA|=8 ∴B点的轨迹是以A、C为焦点的椭圆
. C (0,2)
O
. . A (0,-2)
x B (x,y)
依题意，满足条件的轨迹方程为
典型例题
1、已知椭圆 x2 y2 1 上一点P到椭圆一个 25 16
焦点的距离为3，则P点到另一个焦点的距离
为( D )
A、2 B、3
C、5
D、7
2、如果椭圆的两条准线间的距离是这个椭 圆的焦距的两倍，那么这个椭圆的离心率为
椭 圆 椭圆的定义 标准方程 几何性质
综
圆
第二定义
合 应
锥
用
曲 双曲线 双曲线定义 标准方程 几何性质
线
第二定义
统 一
定
抛物线 抛物线定义 标准方程 几何性质
义
椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离和等于常数
（大于 F1F2 ）的点的轨迹叫做椭圆。 F1，F2叫做椭圆的焦点，F1F2 叫做椭圆的焦
x2
2 py
(p, p) 2
x ∈R y≤0
抛物线焦点弦的几条性质
设直线l过焦点F与抛物线y2=2px(p>0)相
交于A(x1,y1)p,2B(x2,y2)两点,则:
① x1x2 4 ② y1 y2 6
p2
4
A(x1,y1)
③ 通径长为 2 p
2
-5
o
p/2
5
④焦点弦长
x=-p/2
-2
B(x2,y2)
Байду номын сангаас
A |PF1|是|PF2|的(
)
A、7倍 B、5倍 C、4倍
D、3倍
5.椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，椭圆短轴的一个
顶点B与两焦点F1，F2组成的三角形周长是4 2 3，且
F1BF2
2
3
，求椭圆方程。
解：设焦点在x轴上，长轴长为2a，
焦距为2c, 如图所示，依题意，有
y B F1 o F2
2c 2a 4 2 3
( C)
A、 1 B、 1
4
2
C、 2 D、 2
2
4
3、如果方程 x2 ky2 2表示焦点在y轴上的
椭圆，那么实数k的取值范围是 (
A、 (0, )
B、 (0, 2)
D
)
C、 (1, )
D、 (0,1)
4、椭圆 x2 12
y2 3
1
的焦点为F1和F2，
点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么