一类积分方程解的收敛性定理
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定理 设 ｇ（）Ａ （）和 Ｆ（，）分别是 Ｒ＋和 Ｒ＋ ｔ ， ｔ ｔ／ Ｚ ×Ｒ上 的 实值连续 函数 ， 足 条件 满 Ｉ ｆｔ ≤ Ｃｅ ｔ ０， （）ｌ ｇ ～， ≥
Ｉ 。ｔ ）Ｉ 口 （ ） ， ｓ≤ ｔ （ —ｓ ≤ 。ｓ ｅ “ ０≤ Ａ
（） ５
（） ６
第 １ ９卷
第 ２期
Ｖｏ ｔ ９ Ｎ ． ｌ１ ｏ ２
琼州 学院学报 Ｊｕ ａ ｏ ｉ ｇｈｕＵ ｉｅ ｉ ｏｒ ｌ ｆ ｏ ｚｏ ｎ ｒ ｔ ｎ Ｑ ｎ ｖ ｓｙ
２１ ０ ２年 ４月 ２ 日 ８
Ａｐｒ ２ ２ ２ ． ８． ０１
一
类wenku.baidu.com分方程解 的收敛性定理
任 崇勋
当ｍ ｐ≤ １ 有 Ｌ￡ 时 ＜∞ ， 且 ： 一 为方 程 （ ） 义 在 Ｒ＋ 的连 续解 ， 存在 常 数 Ｔ＞Ｏ 得 ｌ （）Ｉ 足＋ ２定 上 则 使 ｔ ｘ
≤ Ｔ － ｔ≥ ０． ｅ ¨．
为证 明此定 理 ， 需要 下 面 的引理．
引理 设 ， ￡ （） （） … （） 定义 在 Ｒ＋ 的非 负 实值连 续 函数 ，。ｉ：１２ … ，） ， ） ｔ ￡， （ ￡为 上 Ｃ（ ，， ｐ 为非 负 常
为 Ｒ． ×Ｒ上 的实 值连 续 函数． 令
・
∞
６：ｍ ｘＪ ｌ ｓ ｓ＜∞ ａ （）Ｉ Ａ ｄ Ｊ毫 ‘ Ｐ Ｊ Ｏ
若对任一 ｉ ｛ ， ， Ｐ 下列条件成立 ： ∈ １２ …，｝
１ 在 常数 Ｌ ＞０使得 Ｉ （， ）存 ￡ ）一Ｆ （，）Ｉ 。ｔＹ ≤ ｌ 一ＹＩ对一 切 （，） ，ｆＹ ＥＲ＋ ；（ ） ， ｔ （，） × ３ ２ ）存 在 常数 Ｑ ＞ｏ和 正数 ｎ使 得 ｌ （， ≤ Ｑ Ｉ ｌ ， 一切 （ ， ｌ ｔ ）Ｉ 对 ｔ ）∈ Ｒ＋ ×Ｒ；（ ） ４ ３ ）存 在 常数 Ｍ ＞０使 得 （ Ｓ＋６ Ｍ ≤ Ｍ， 中 Ｓ ＝ ｍａ ｛ ｇ（）ｌ ＝ｌ２ … ，， Ｒ＋ ＜ ∞ Ｑ ） 其 ｘ Ｉ ｔ ： ，， Ｐ ｔ∈ ｝ 则方程 （ ）在 足＋上存 在 唯一 连续解 ｘ（）． Ｉ （）ｌ 对 一切 ｔ∈ Ｒ＋ 成立． ２ ｔ ． ｔ ≤ 且 有
在此基础上 ， 这里证明当 ｆ 一∞ 时方程的解收敛到零 的充分条件． 所得的结果不 同于文 ［ ］在收敛性结 ５．
果 的证 明中 ， 证 明 了一 个 积分 不等 式 ， 先 利用 它 来 证 明 出结 果 ， 没 有利 用 比较 方 法 ， 关 的 结 果 可 参 看文 而 有
［］ ３ 和文［ ］ ４．
０ ｕ
（） １
的解的定性性质． 方程（ ）出现在一类不产生持久免疫 的传染病传播的研究中． １ 最近 ， ５ 证明了方程 （ ） 文［ ］ １ 的非负连续有界解的存在性 ， 并且利用积分： 不等式和 比较方法证 明了此方程的解当 ‘ 一∞ 时收敛到零的充
分 条件． 这里 将研 究 更一 般 的积分 方程
ｐ
（ ： ｇ￡＋ （ ｓ ｉ，ｓｄ ￡ Ｈ（（ ｌ。一）（ （） ） ） Ａ￡ Ｆｓ ） ｓ
文献 ［ ］ １ 给出了方程（ ）的连续解 的整体存在性和唯一性的充分条件 ， ２ 即下面的定理 Ａ ．
（ ２ ）
定理 Ａ 设 ｇ（）Ａ （） ｉ ，， ，） Ｒ＋ ０ ＋∞） ｉｔ ， ￡（ ＝１２ … Ｐ 是 ＝［ ， 上的实值连续函数 ， ｉｃ ） ｉ ，， ｐ Ｆ（， （ ＝ｌ２ …，） ｕ
中图分类号 ： ７ ． Ｏ １５ ５ 文献标识码 ：Ａ 文章编 号 ： ０ ８ ７ ２ ２ １ ０ ０ ０ ０ １０ —６２ （０２）２— ０ １— ３
引 言
Ｇｉ ｎｅ 在文 ［ ］ ｒ ｅｂｒ ｐ ｇ ２ 中研究了方程
（ ＝． （ 一ｆ （—）（ ｄ ｃ 一 口卜 ｓ （ ｄ ￡ １ ￡ ｆｓ ｓｓ ） ｔ （ ） ｓ ｓ ） ｝ ） Ａ （ ｐ ｘ （） ｆ ｘ ）
其 中常数 ｒ＞０ Ｃ ≥ ０Ｏ ： 一 ＋ ， 。 ，； ／ ＋ 为非 负连续 函数 ， ｌ２ … ，； 函数 Ｆ ， … ， 满 足定理 ｌ 条件 ＝ ，， Ｐ 且 。， ， 的
２． ） 令
Ｃ ＝ ｍ ｘ Ｃ ， ２… ， 。 ａ ｛ １Ｃ ， ｃ ｝ （）＝ ｍ ｘ １ｔ ，２ｔ ， ， （） ｔ ａ ｛ （） 理 （） … ｔ
（ 琼州学院学报编辑部 ， 海南 三亚 ５２２ ） ７０ ２
摘
要 ： 了一类 与传染 病模 型有关 的积分方 程 ， 已知其 解存在且 唯一 的基础上 ， 用 一个新 的积 研究 在 利
分不等式证 明了这类方程解 的一个收敛性定理 ．
关键 词 ： 积分方 程 ； ； 懈 积分不等式 ； 收敛性定理
收 稿 日期 ：０ １一ｌ ２１ ２—１ ８ 作者简介 ： 崇勋 （９ ３一） 男， 任 １４ ， 山东济宁人 ， 州学院 学报 编辑 部 教授 ， 究方 向为微分 方程稳 定性 、 函微 分方程 琼 研 泛 振 动Ｉ 理论及数 学应用与数 学教 育。 ｝ 生
２
琼州学院学报
（ １ 第 ９卷 ）０ ２ ２ ｌ
数．令
Ｃ ＝ｍａ ｛ １Ｃ ， ， ｐ ｘ Ｃ ，２… Ｃ ｝ ￡ ）＝ ｍａ ｛ （） （） … （） ｘ ￡ ｔ， ｔ｝
（） ８ （） ９
Ｈ ＝ 。（
其 中 ｇ＞ｌ 使得上
Ｐ
＋
）， ＝
（） １ ０
寺１ ＝ ．
日 ＝ （ ｐ一１ （ ｍ ）２ ） ２－ 呷 Ｐ１ ＜１ （ １ １）
（） ＝ （） ‘ ｆ ｔｅ卜 ’ ‘
， ∞
（） ７
— — — — 一
Ｌ ＝（ ， Ｉ
， ∞
— — — —
（ ） ｓ ）
一
￡ ：ｆ ２
其 中 ｇ＞ １使得 上
Ｐ
＋
（）ｓ ｓｄ
寺１ ＝ ．
如果 当 ｍ ＞ １时有 Ｌ （ ｐ一１ （ Ｃ ） ２－ＬＬ ｐ ｍ ） ２ ｐ 呷～ ｐ１ １２＜ １ ；
Ｉ 。ｔ ）Ｉ 口 （ ） ， ｓ≤ ｔ （ —ｓ ≤ 。ｓ ｅ “ ０≤ Ａ
（） ５
（） ６
第 １ ９卷
第 ２期
Ｖｏ ｔ ９ Ｎ ． ｌ１ ｏ ２
琼州 学院学报 Ｊｕ ａ ｏ ｉ ｇｈｕＵ ｉｅ ｉ ｏｒ ｌ ｆ ｏ ｚｏ ｎ ｒ ｔ ｎ Ｑ ｎ ｖ ｓｙ
２１ ０ ２年 ４月 ２ 日 ８
Ａｐｒ ２ ２ ２ ． ８． ０１
一
类wenku.baidu.com分方程解 的收敛性定理
任 崇勋
当ｍ ｐ≤ １ 有 Ｌ￡ 时 ＜∞ ， 且 ： 一 为方 程 （ ） 义 在 Ｒ＋ 的连 续解 ， 存在 常 数 Ｔ＞Ｏ 得 ｌ （）Ｉ 足＋ ２定 上 则 使 ｔ ｘ
≤ Ｔ － ｔ≥ ０． ｅ ¨．
为证 明此定 理 ， 需要 下 面 的引理．
引理 设 ， ￡ （） （） … （） 定义 在 Ｒ＋ 的非 负 实值连 续 函数 ，。ｉ：１２ … ，） ， ） ｔ ￡， （ ￡为 上 Ｃ（ ，， ｐ 为非 负 常
为 Ｒ． ×Ｒ上 的实 值连 续 函数． 令
・
∞
６：ｍ ｘＪ ｌ ｓ ｓ＜∞ ａ （）Ｉ Ａ ｄ Ｊ毫 ‘ Ｐ Ｊ Ｏ
若对任一 ｉ ｛ ， ， Ｐ 下列条件成立 ： ∈ １２ …，｝
１ 在 常数 Ｌ ＞０使得 Ｉ （， ）存 ￡ ）一Ｆ （，）Ｉ 。ｔＹ ≤ ｌ 一ＹＩ对一 切 （，） ，ｆＹ ＥＲ＋ ；（ ） ， ｔ （，） × ３ ２ ）存 在 常数 Ｑ ＞ｏ和 正数 ｎ使 得 ｌ （， ≤ Ｑ Ｉ ｌ ， 一切 （ ， ｌ ｔ ）Ｉ 对 ｔ ）∈ Ｒ＋ ×Ｒ；（ ） ４ ３ ）存 在 常数 Ｍ ＞０使 得 （ Ｓ＋６ Ｍ ≤ Ｍ， 中 Ｓ ＝ ｍａ ｛ ｇ（）ｌ ＝ｌ２ … ，， Ｒ＋ ＜ ∞ Ｑ ） 其 ｘ Ｉ ｔ ： ，， Ｐ ｔ∈ ｝ 则方程 （ ）在 足＋上存 在 唯一 连续解 ｘ（）． Ｉ （）ｌ 对 一切 ｔ∈ Ｒ＋ 成立． ２ ｔ ． ｔ ≤ 且 有
在此基础上 ， 这里证明当 ｆ 一∞ 时方程的解收敛到零 的充分条件． 所得的结果不 同于文 ［ ］在收敛性结 ５．
果 的证 明中 ， 证 明 了一 个 积分 不等 式 ， 先 利用 它 来 证 明 出结 果 ， 没 有利 用 比较 方 法 ， 关 的 结 果 可 参 看文 而 有
［］ ３ 和文［ ］ ４．
０ ｕ
（） １
的解的定性性质． 方程（ ）出现在一类不产生持久免疫 的传染病传播的研究中． １ 最近 ， ５ 证明了方程 （ ） 文［ ］ １ 的非负连续有界解的存在性 ， 并且利用积分： 不等式和 比较方法证 明了此方程的解当 ‘ 一∞ 时收敛到零的充
分 条件． 这里 将研 究 更一 般 的积分 方程
ｐ
（ ： ｇ￡＋ （ ｓ ｉ，ｓｄ ￡ Ｈ（（ ｌ。一）（ （） ） ） Ａ￡ Ｆｓ ） ｓ
文献 ［ ］ １ 给出了方程（ ）的连续解 的整体存在性和唯一性的充分条件 ， ２ 即下面的定理 Ａ ．
（ ２ ）
定理 Ａ 设 ｇ（）Ａ （） ｉ ，， ，） Ｒ＋ ０ ＋∞） ｉｔ ， ￡（ ＝１２ … Ｐ 是 ＝［ ， 上的实值连续函数 ， ｉｃ ） ｉ ，， ｐ Ｆ（， （ ＝ｌ２ …，） ｕ
中图分类号 ： ７ ． Ｏ １５ ５ 文献标识码 ：Ａ 文章编 号 ： ０ ８ ７ ２ ２ １ ０ ０ ０ ０ １０ —６２ （０２）２— ０ １— ３
引 言
Ｇｉ ｎｅ 在文 ［ ］ ｒ ｅｂｒ ｐ ｇ ２ 中研究了方程
（ ＝． （ 一ｆ （—）（ ｄ ｃ 一 口卜 ｓ （ ｄ ￡ １ ￡ ｆｓ ｓｓ ） ｔ （ ） ｓ ｓ ） ｝ ） Ａ （ ｐ ｘ （） ｆ ｘ ）
其 中常数 ｒ＞０ Ｃ ≥ ０Ｏ ： 一 ＋ ， 。 ，； ／ ＋ 为非 负连续 函数 ， ｌ２ … ，； 函数 Ｆ ， … ， 满 足定理 ｌ 条件 ＝ ，， Ｐ 且 。， ， 的
２． ） 令
Ｃ ＝ ｍ ｘ Ｃ ， ２… ， 。 ａ ｛ １Ｃ ， ｃ ｝ （）＝ ｍ ｘ １ｔ ，２ｔ ， ， （） ｔ ａ ｛ （） 理 （） … ｔ
（ 琼州学院学报编辑部 ， 海南 三亚 ５２２ ） ７０ ２
摘
要 ： 了一类 与传染 病模 型有关 的积分方 程 ， 已知其 解存在且 唯一 的基础上 ， 用 一个新 的积 研究 在 利
分不等式证 明了这类方程解 的一个收敛性定理 ．
关键 词 ： 积分方 程 ； ； 懈 积分不等式 ； 收敛性定理
收 稿 日期 ：０ １一ｌ ２１ ２—１ ８ 作者简介 ： 崇勋 （９ ３一） 男， 任 １４ ， 山东济宁人 ， 州学院 学报 编辑 部 教授 ， 究方 向为微分 方程稳 定性 、 函微 分方程 琼 研 泛 振 动Ｉ 理论及数 学应用与数 学教 育。 ｝ 生
２
琼州学院学报
（ １ 第 ９卷 ）０ ２ ２ ｌ
数．令
Ｃ ＝ｍａ ｛ １Ｃ ， ， ｐ ｘ Ｃ ，２… Ｃ ｝ ￡ ）＝ ｍａ ｛ （） （） … （） ｘ ￡ ｔ， ｔ｝
（） ８ （） ９
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其 中 ｇ＞ｌ 使得上
Ｐ
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日 ＝ （ ｐ一１ （ ｍ ）２ ） ２－ 呷 Ｐ１ ＜１ （ １ １）
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其 中 ｇ＞ １使得 上
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