一类积分方程解的收敛性定理
一类特殊的 Volterra型积分方程的解的存在性
基础之一 ， 积分方程进一步得到了广泛而有效地
应用 。 如 今物 理 问题变 得越 来越 复杂 ， 积分 方程 变
得越来越有用 。 它的形成和发展是很多重要数学 思想和概念的最初来源和模型。 例如 ， 对泛 函分析
中平 方 可积 函数 、 平 均 收敛 、 算 子等 的形 成 ， 对 一
在给他 的老师米塔 一 列夫勒 的信 中， 提 出如下的
方 程
， １
般线性算子理论的创立 ， 以至于对整个泛 函分析
（ ）＝ （ ） ＋ Ａ Ｉ Ｋ （ ， Ｙ ） （ ｙ ） ｄ ｙ
Ｊ ０
１ ９ ０ ０年 ， 弗 雷 德霍姆 在其 论 文 中把上 方 程称
为“ 积 分方 程 ” ， 形如
一
的形成都起着重要的推动作用。 解的存在性理论是常微分方程最基本和最重
要 的理 论之 一 ， 它 一般 通 过 构 造 逐 步逼 近 函数 序 列来 说 明其解 的存 在性 。 本 文 主 要 应用 压 缩 映像
分方程可视为弗雷德霍姆积分方程 的核 （ ， Ｙ ）
当Ｙ＞ 时为 零 的情 形 。 最早 被研 究 的一个 带弱奇
都可以归结为积分方程问题。积分方程理论 的发 展， 始终与数学物理问题的研究紧密相连 ， 它在工 程、 力学等方面有着极其广泛的应用。 “ 积分方程” 一词是雷蒙德于 １ ８ ８ ８年首先提 出 的。１ ９世纪 的最 后两 年 ， 瑞 典 数学 家弗 雷 德霍
切 ， Ｙ ∈Ｒ有 ｐ （ Ａ ｘ ， Ａ ｙ ）≤ （ ， Ｙ ） ， 则 称 Ａ是 上 的一个压 缩 映照 。 定义２ ［ １ 设 Ａ是 Ｒ到 自身 的一个 映照 ， 若
一类迭代微分方程解的存在唯一性定理
2021年4月Ap+. ,2021第37卷第2期Vol. 37,No. 2滨州学院学报Journal of Binzhou University【微分方程与动力系统研究】一类迭代微分方程解的存在唯一性定理张萍萍，王亚璐(滨州学院理学院，山东滨州256603)摘 要：利用Picard 逐步逼近法研究一类迭代微分方程解的存在唯一性，体现了 Picard 逐步逼近法在迭代微分方程中的应用。
关键词:Picard 逐步逼近法；迭代微分方程；存在唯一性中图分类号：O 175文献标识码：A DOI ：10.13486/ki. 1673 - 2618.2021.02. 0070引言逐次逼近法最早是由Liouville 针对一个二阶微分方程的情形提出来的，后人称之为Picard 逐步逼近法，其缘由在于Picard 给出了这种方法的普遍形式)1］0《常微分方程》2理论中，一阶微分方程解的存在 唯一性定理是一个基本定理。
这个定理给出了一阶微分方程存在唯一解的充分条件，为线性、非线性微分方程(组)解理论的建立提供了基本思路和构造解的具体方法，也是近代常微分方程定性理论、稳定性理论 的基础，其中Picard 逐步逼近法是定理证明的关键。
课堂教学中，为了便于学生深入理解和掌握Picard逐步逼近法，通过举例的方式说明了这种方法在常微分方程组解的存在唯一性、常微分方程的近似解计算及误差估计、常微分方程的精确解、积分方程的连续解、函数方程解的存在唯一性等方面的应用&事实上， 这种方法也可应用于迭代微分方程解的存在性问题。
2006年，李文荣教授3利用Picard 逐步逼近法获得 了一类迭代微分方程y'(()=>((,y(y(()))在初始条件,((0)=(0下解的存在唯一性结果，并提出公开问题:是否可以给出迭代微分方程① y(x )=f(x,y $ ())(其中y $()是y()的$次迭代)② y'(() =f((,y((+*y(()))③ y'(() =f((,y(g()))④ y'(() =f ( ,y(h()+g(y())))解的存在唯一性定理，并指出解决这些问题显然有重要意义。
一阶微分方程的解的存在性定理
y ( x )为积分方程y y0 f ( x , y )dx的定义于x0 x x0 h
x0
上的解。
现在我们先构造积分方程y y0 f ( x , y )dx的定义于 x0 x x0 h上的Picard的逐次逼近函数列 n ( x ) .
结果1：如果f ( x , y )在R上关于y的偏导数f y ( x , y )存在且有界，则 f ( x , y )在R上关于y满足Lipschitz条件。
结果2：如果f ( x , y )在R上关于y的偏导数f y ( x , y )连续，则f ( x , y ) 在R上关于y满足Lipschitz条件。
下面我们分五个命题来证明定理。为此先给出： 定义2（积分方程）：如果一个数学关系式中含有定积 分符号且在定积分符号下含有未知函数，则称这样的 数学关系式为一个积分方程。
x 例如， y e y(t )dt 0 x
就是一个简单的积分方程。
x
定义3(积分方程的解)对于积分方程 y y0 f ( x , y )dx，
满足初始条件
y( x0 ) y0 ,
y( x0 ) y0.
3. 近似计算和误差估计
存在唯一性定理不仅肯定了解的存在唯一性,同时还 给出了第n次近似解n(x)和真正解(x)的误差估计
n
ML n ( x) ( x) hn1 (n 1)!
有了误差估计式, 我们就可根据实际要求, 选取适当 的逼近函数 n ( x ).
问题：这样构造函数列是否行的通，即上述的积分是否有 意义？
命题2：对任意的自然数n， n ( x )在x0 x x0 h上有定义、 连续且满足不等式
n ( x) y0 b.
广义积分的收敛判别法
ln x x
2019/4/26
b
1 4
1 4
x 0
x ln x x
3 4
1 4
1 x
3 4
据比较判别法2, 所给积分绝对收敛 .
宁波大学教师教育学院 18
三、 函数
1. 定义
函数 : ( s ) x ( s 0 ) x ed
5
a t
lim x ) d x x ) d x f( f(
a
t
f( x ) d x 收敛 . 极限存在 , 即广义积分 a
若
a
f (x )d x发散 , 因为 t a时有
0 x ) d x ( x ) d x f( g
a a t t
3 2
2 的收敛性
.
x
1 1 1 1 2
根据极限判别法 1 , 该积分收敛 .
例3. 判别广义积分
解:
x d x 的收敛性 . 2 1 1 x 3 2 2 1 x x lim lim x2 1 2 2 x1 x x 1 x
根据极限判别法 1 , 该积分发散 .
0 , A a , 使 对 A , A A 都 有 0 0
|
A A
f (x)d x|.
证：利用无穷限广义积分收敛的定义以及 极限存在的Cauchy准则即得。
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3
柯西（Cauchy，Augustin Louis 1789-1857）， 十九世纪前半世纪的法国数学家。1789年8月21日生 于巴黎。在大学毕业 后当土木工程师，因数学上的成
一个非线性微分积分方程的差分解的存在性和收敛性
一个非线性微分积分方程的差分解的存在性和收敛性
朱景辉
【期刊名称】《厦门大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】1996(000)001
【摘要】讨论一个非线性微分积分方程的初边值问题的差分方法，给出求解格式，应用ＬｅｒａｇＳｃｈａｕｄｅｒ定理证明了差分解的收敛性，用Ｇｒｏｎｗａｌｌ不等式证明了差分解的收敛性，得到的收敛阶是Ｏ（τ＾２＋ｈ＾２）。
【总页数】1页(P21)
【作者】朱景辉
【作者单位】无
【正文语种】中文
【中图分类】O1
【相关文献】
1.一类非线性积分微分方程的整体解的存在性与非存在性 [J], 尚亚东
2.带非线性延迟项的分数阶微分积分方程收敛性 [J], 郑伟珊
3.两参数鞅型非线性积分微分随机方程解的存在性轨道唯一性和收敛性 [J], 梁宗
霞
4.非线性随机分数阶积分微分方程半隐式欧拉解的收敛性和稳定性 [J], 李晓卫;贾宏恩;郭平
5.两参数线性积分微分鞅型随机方程解的存在性、轨道唯一性和收敛性 [J], 梁宗霞;郑明礼
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收敛定理的证明
若三角级数 Fourier 级数, 则数项级数
为
收敛.
比如正弦级数 法), 由级数
是收敛的三角级数(利用 Dirichlet 判别
发散, 正弦级数
不是 Fourier 级数.
法国数学家，出生在一种裁缝家庭，
家境贫寒，八岁时成为孤儿，因为才华
出众，1790年成为巴黎工科大学教授。 1798年参加拿破仑旳远征军，回国后当
.
现证对
,有
.
事实上, 令
由
一致收敛于 ,
对
对
,
有
, 因此 ,
即当
时有
令,
由 的任意性, 有
综上即得所证 .
.
.
.
Fourier级数与三角级数旳区别：Fourier级数 是三角级数，但收敛旳三角级数却未必是某个可积 函数旳Fourier级数.
一种三角级数是Fourier级数( 即是某个可积函数 旳Fourier级数 ) 旳必要条件为:
1 写出
的简缩形式.
称这一简缩形式为
Dirichlet 积分, 2 利用该表示式, 式
的积分形式, 或称为
可化为
+
于是把问题归结为证明
,
,
.
这两式旳证明是相同旳, 只证第一式. 3 为证上述第一式, 先利用三角公式
建立所谓Dirichlet积分
利用该式把
表示为积分,即把
为 Dirichlet 积分
表示
.
于是又把上述1中所指旳第一式左端化为
.
4 利用所谓Riemann — Lebesgue定理证明上 述极限为零. 为此 , 先证明Bessel不等式, 再建立 Riemann — Lebesgue定理, 然后把以上最终旳 式子化为
《常微分方程指导与实验》第2章：一阶微分方程的解的存在定理
第二章 一阶微分方程的解的存在定理§2.1 一阶微分方程解的基本理论主要内容一 导数已解出方程初值问题解的存在唯一性定理 考虑导数已解出的一阶DE 的初值问题()()00,y f x y y x y '=⎧⎪⎨=⎪⎩(2.1)(2.2)这里()y x f ,是在闭矩形域R ： a x x ≤-0，b y y ≤-0上的连续函数。
定义2.1 如果存在常数0>L ，使得对于所有的点()1,y x ，()2,y x R ∈，都有不等式()()2121,,y y L y x f y x f -≤-成立，则称函数()y x f ,在R 上关于y 满足李普希兹（Lipschitz ）条件。
1定理2.1 （毕卡存在唯一性定理） 如果()y x f ,在R 上满足条件： 1）连续；2）关于y 满足李普希兹条件，则初值（2.1）和（2.2）在区间h x x ≤-0上存在唯一解()x y y =，其中()M b a h ,m in=，()y x f M R y x ,max ),(∈=。
注1 取数h 的意义。
注意到()y x f M R y x ,max ),(∈=，从而积分曲线()x y y =在任一点()()R x y x ∈,处的切线斜率()M x y ≤'。
于是从点()o y x p ,0引两条斜率分别为M 和M -的直线1l 和2l ，便知过点P 的积分曲线必限制在图2.1和图2.2的阴影区域内。
而直线1l 和2l 相交情形有如下两种可能。
（i ）若相交成如图 2.1所示的情况，则a Mb>，积分曲线()x y y =在a x x ≤-0上不越出R ,从而应取a h =。
（ii ）若相交成如图 2.2所示的情况，则a Mb >，积分曲线()x y y =在Mb x x ≤-0上不越出R ,从而应取Mb h =。
总之，取()M ba h ,min =，就是为了使初值问题（2.1）和（2.2）的解在h x x ≤-0上总存在。
狄利克雷收敛性定理
狄利克雷收敛性定理蒙特拉尔·狄利克雷收敛性定理（Montel's Convergence Theorem）是关于一阶微分方程解的一种关联证明。
它可以用来证明某个一阶微分方程的解若存在，则具有一致性。
狄利克雷收敛性定理也可以给出证明一阶线性常系数微分方程的相同解的准确结果。
它还可以帮助确定一阶线性常系数微分方程的所有可行解以及它们是否具有一致性。
该定理成为狄利克雷收敛性定理是因为法国数学家兼天文学家蒙特拉尔·利科正是他在1905年研究中建立了该定理。
它包括一组函数，其中，其中每个函数都是一阶线性常系数微分方程的可行解。
狄利克雷收敛性定理也被称为一阶线性系统的收敛性定理，因为它指出一个一阶线性系统具有一致性，这是强分析性质。
主要定理有三个基本要求，包括：第一，假定微分方程是一阶线性常系数方程。
第二，假定微分方程的解的总的可行边界是有限的。
第三，证明在可行边界被覆盖的每个盒子内的解是一致的。
这样，一阶线性常系数微分方程具有从可行边界构成的盒子内的一致的解。
因此，如果可行边界上的某些点可以从一组有限的点中实现，剩下的点也可以得到一定的结论。
这就是本定理的原理和指导思想。
狄利克雷收敛性定理也与另一个经典理论有关。
也被称为狄利克雷定理，它指出，一阶线性无穷系统的可行解不会离开可行的起点。
生活中的经典应用可以用此定理来解释某些现实中的早期发展。
蒙特拉尔·狄利克雷收敛性定理以其简单的形式和强大的结论而闻名于世。
它提出了一阶线性系统中关于收敛性的重要概念，其原理已成为微积分和数学分析领域的基础理论。
该定理也被用于表明解决一阶线性常系数方程的通用方法是可行的，即利用该定理来解决一阶线性常系数方程的可行点可以从而得到一定的结论。
第三章 一阶微分方程的解的存在性定理
1(x) y , ( )) d 0 0 f(
x 0
x
f( , ( )) d 2(x) y 0 1 x
0
x
f( , ( )) d n (x) y 0 n 1 x
0
x
§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method
一 、概念与定义/Concept and Definition/
1. 一阶方程的初值问题(Cauchy problem)表示
y d f (x ,y ) .................( 3 .1 .1 ) x d (x .....................( 3 .1 .2 ) 0) y 0
考虑级数:
( x ) [ ( x ) ( x )] x x x h
0 k 1 k k 1 0 0
( 3 . 1 . 11 )
( x ) [ ( x ) ( x )] ( x ) 它的部分和为： 0 k k 1 n
k 1
F (, xyy , ' ) 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ( 3 . 1 . 3 ) yx (0 ) y ,yx ' (0 ) y ' . . . . . . . . . . . . . ( 3 . 1 . 4 ) 0 0
x 0
x
§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method
一类非线性积分微分方程初值问题收敛性的进一步结果
一类非线性积分微分方程初值问题收敛性的进一步结果王培光;杨凯愉;秦俊红【摘要】研究了一类非线性积分微分方程初值问题.通过应用比较原理和拟线性方法,对所构造的单调迭代序列,证明了逼近解序列的k(k≥2)阶收敛性.所得结论发展了已有文献的结果.【期刊名称】《河北大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(038)005【总页数】5页(P449-453)【关键词】积分微分方程;单调迭代;拟线性化方法;快速收敛【作者】王培光;杨凯愉;秦俊红【作者单位】河北大学数学与信息科学学院,河北保定 071002;河北大学数学与信息科学学院,河北保定 071002;河北大学数学与信息科学学院,河北保定 071002【正文语种】中文【中图分类】O175.121 预备知识近年来，积分微分方程解的定性稳定性及其应用问题引起了许多研究学者的关注，见文献[1-3]. 利用上下解方法加上单调迭代技术, 已有关于积分微分方程极值解的存在性和迭代序列一致收敛的相关结果，研究成果见文献[4-8]及其引用的相关文献.注意到现有结果多为积分微分方程边值问题的结果. 在实际问题中，解的收敛速度问题在理论和应用方面都有重要的作用. 拟线性方法[9]是得到各类方程解的快速收敛的有效方法之一. 本文讨论一类积分微分方程初值问题，通过构造单调迭代序列，并运用拟线性方法，证明了解的k(k≥2)阶收敛性. 所得结论发展了文献[10]的平方收敛结果.考虑下列一类一阶积分微分方程初值问题(1)其中T>0,A和B为非负常数.定义1 称函数α(t)∈C1(J,R)为初值问题(1)的下解, 如果不等式(2)成立.(2)如果上述不等式反号成立, 则称其为问题(1)的上解.为证明本文的主要结果, 引入如下引理[10].引理1 假设H1)f∈C(J×R,R),K∈C(J×J×R,R),K(t,s,u)关于u单调非减，(t,s)∈J×J;H2)α(t)、β(t)∈C1(J×R)分别为问题(1)的下上解，并且f(t,u)-f(t,v)≤ε1(u-v),K(t,s,u)-K(t,s,v)≤ε2(u-v),u≥v，ε1>0，ε2>0为常数.则α(t)≤β(t)，t∈J.引理2 假设α(t)、β(t)分别为问题(1)的下上解, 并且α(t)≤β(t)，t∈J，则问题(1)存在解u(t). 如果α(t0)≤u(t0)≤β(t0)，则有α(t)≤u(t)≤β(t).2 主要结果运用拟线性化方法，证明逐次逼近序列的高阶收敛性.定理1 假设下列条件成立A1)α(t),β(t)∈C1(J,R)分别是初值问题(1)的下解和上解,并且α(t)≤β(t)；A2)偏导数存在，连续，并且其中L≥0为常数，i=0，1，…，k,k>1,(t,u)∈Ω={(t,u):α(t)≤β(t),t∈J}；A3)偏导数存在, 连续, 并且(3)其中p>0、M>0为常数，i=0,1，…，k,k>1,(t,s)∈J×J.则存在单调序列{wn(t)}一致收敛于问题(1)的解,并且为k阶收敛.证明由条件A2)—A3)，可知式(1)有解w(t)存在，且α(t)≤w(t)≤β(t)成立.为了构造单调序列{wn(t)}，首先设α(t)≤v≤u≤β(t)，t∈J，则(4)(5)其中ξ∈[v,u].由A2)和A3)可知存在，连续，并且式(3)成立. 因此，可定义辅助函数(6)(7)由式(6)和式(7)，有g(t,u,v)≤f(t,u),g(t,u,u)=f(t,u),t∈J，u,v∈Ω，(8)K*(t,s,u,v)≤K(t,s,u), K*(t,s,u,u)=K(t,s,u).(9)由式(9)可知，K*(t,s,u,v)关于u是单调非减的，(t,s,v)∈J×J×R.令α=w0，考虑下列初值问题(10)由式(8)、式(9)及A1)，有以及即w0(t)和β(t)分别为问题(10)的下上解. 由引理1和引理2可知，问题(10)存在解w1(t)，并且w0(t)≤w1(t)≤β(t),t∈J.其次考虑下列初值问题(11)同理由式(8)、式(9)及A1)，有以及即w1(t)和β(t)分别为式问题(10)的下上解. 再由引理2可知，问题(11)存在解w2(t)，并且w1(t)≤w2(t)≤β(t),t∈J.重复上述过程，可以得到单调序列{wn(t)}，满足w0(t)≤w1(t)≤…≤wn(t)≤β(t),t∈J，其中wn(t)满足下列初值问题(12)其中φn(t)=Ag(t,wn(t),wn-1(t))+BK*(t,s,wn(s),wn-1(s))ds.注意到g、K*连续, 并且α(t)≤wn(t)≤β(t)，t∈J，可知{φn(t)}有界，并且Af(t,w(t))+BK(t,s,w(s))ds，因此可得wn(t)=φn(s)ds+u0.(13)进一步，由{wn(t)}单调非减有界，可知{wn(t)}一致收敛. 令对上式两边取极限，得(14)即w(t)为问题(1)的解.最后证明序列{wn(t)}的k阶收敛性.令en(t)=w(t)-wn(t),an(t)=wn+1(t)-wn(t),n=1,2,…，(15)于是g(t,wn+1(t),wn(t))-BK(t,s,wn+1(s),wn(s))ds,en+1(t0)=0.由式(4)-(7)，有其中由A2)、A3)可知，存在N>0，N1>0，使得并且|pn(t)|≤N2，|qn(t)-Ml(en,an)|≤N3，其中N2>0、N3>0是常数. 注意到有(16)其中(17)因此，由引理1，有en+1(t)≤h(t)，其中h(t)为下列初值问题的解(18)其中A1=AN+L，B2=BN1. 进一步，令Q(t)=h(s)ds,Q(t0)=0,Q′(t0)=0，(19)则式(19)可转化为(20)由式(17)、式(20)，利用参数变异法[11]，可解得(21)因此(22)即其中‖·‖为通常意义下的范数. 由此可知结论成立.参考文献：【相关文献】[1] 郭大钧，孙经先. 非线性积分方程[M].济南:山东科学技术出版社，1989.[2] LAKSHMIKANTHAM V, RAMA MOHANA RAO M. Theory of integro differential equations[M].Switzerland: Gordon and Breach Science Publishers, 1995.[3] CORDUNEANU C. Integral equations and applications[M]. Cambridge:Cambridge University Press, 1991.[4] 张石生. 关于一类随机积分微分方程解的存在性定理[J].四川大学学报(自然科学版)，1984(1):1-8.[5] SUN J X, ZHAO Z Q. Extremal solutions of initial value problem for integro-differential equations of mixed type in Banach spaces[J]. Ann Diff Eqs, 1992(8): 469-475.[6] WANG G T, ZHANG L H, SONG G X. Integral boundary value problems for first order integro-differential equations with deviating arguments[J]. J Comput Appl Math,2009(225): 602-611. DOI:10.1016/j.cam.2008.08.030.[7] KHOSROW MALEKNEJAD, IRAJ NAJAFI KHALILSARAYE, MAHDIEH ALIZADEH. On the solution of the integro-differential equation with an integral boundary condition[J]. Numer Algor, 2014(65)： 355-374. DOI: 10.1007/s11075-013-9709-8.[8] LIU Z H, LIANG J T. A class of boundary value problems for first-order impulsive integro-differential equations with deviating arguments[J]. Journal of Computational and Applied Mathematics, 2013(237)： 477-486. DOI:10.1016/j.cam.2012.06.018.[9] LAKSHMIKANTHAM V, VATSALA A S. Generalized quasilinearization for nonlinear problems[M]. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1998.[10] BASHIR AHMAD. A quasilinearization method for a class of integro-differential equations with mixed nonlinearities[J]. Nonlinear Anal Real Wolrd Appl, 2006(7)： 997-1004. DOI: 10.1016/j.nonrwa.2005.09.003.[11] DEO S G, LAKSHMIKANTHAM V. Method of variation of parameters for dynamic systems[M].New York：Gordon and Breach Science Publishers, 1998.。
牛顿迭代法收敛定理
关于牛顿迭代法的课程设计实验指导非线性方程（或方程组）问题可以描述为求 x 使得f (x ) = 0。
在求解非线性方程的方法中，牛顿迭代法是求非线性方程（非线性方程组）数值解的一种重要的方法。
牛顿是微积分创立者之一，微积分理论本质上是立足于对世界的这种认识：很多物理规律在微观上是线性的。
近几百年来，这种局部线性化方法取得了辉煌成功，大到行星轨道计算，小到机械部件设计。
牛顿迭代法正是将局部线性化的方法用于求解方程。
一、牛顿迭代法及其收敛速度牛顿迭代法又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method ），是一种在实数域和复数域上通过迭代计算求出非线性方程的数值解方法。
方法的基本思路是利用一个根的猜测值x 0做初始近似值，使用函数f (x )在x 0处的泰勒级数展式的前两项做为函数f (x )的近似表达式。
由于该表达式是一个线性函数，通过线性表达式替代方程中的求得近似解x 1。
即将方程f (x ) = 0在x 0处局部线性化计算出近似解x 1，重复这一过程，将方程f (x ) = 0在x 1处局部线性化计算出x 2，求得近似解x 2，……。
详细叙述如下：假设方程的解x *在x 0附近（x 0是方程解x *的近似），函数f (x )在点x 0处的局部线化表达式为)()()()(000x f x x x f x f '-+≈由此得一次方程 0)()()(000='-+x f x x x f求解，得 )()(0001x f x f x x '-= 如图1所示，x 1比x 0更接近于x *。
该方法的几何意义是：用曲线上某点（x 0，y 0）的切线代替曲线，以该切线与x 轴的交点（x 1，0）作为曲线与x 轴的交点（x *，0）的近似（所以牛顿迭代法又称为切线法）。
设x n 是方程解x *的近似，迭代格式)()(1n n n n x f x f x x '-=+ ( n = 0，1，2，……) 就是著名的牛顿迭代公式，通过迭代计算实现逐次逼近方程的解。
§2广义积分的收敛判别法
的收敛性 .
解:
由比较判别法 1 可知原积分收敛 . 思考题: 讨论广义积分 提示: 当 x≥1 时, 利用
的收敛性 .
可知原积分发散 .
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定理5. (极限判别法1)
满足
lim x p f (x) l
x
则有: 1) 当
2) 当
证: 1) 当p 1时, 根据极限定义, 对取定的
(1
1
x)2
1 (1 x2 )(1 k 2x2 )
x
则有: 1) 当
2) 当
例5.
判别广义积分
3
1
dx ln x
的敛散性
.
解: 此处 x 1为瑕点, 利用洛必达法则得
根据极限判别法2 , 所给积分发散 .
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1
例6. 判定椭圆积分
dx
(k 2 1) 的收
0 (1 x2 )(1 k 2 x2 )
敛性 .
解: 此处 x 1为瑕点, 由于
解:
lim x2 x x
1 1 x2
lim
x
根据极限判别法 1 , 该积分收敛 .
1 1
1 x2
1
3
例3. 判别广义积分
x2 1 1 x2
dx
的收敛性 .
解:
3
lim
x
x
1 2
1
x
2
x
2
lim x 1
x2 x
2
1
根据极限判别法 1 , 该积分发散 .
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常微分方程--第三章 一阶微分方程的解的存在定理(3.1-3.2)_OK
x
L x0 1( ) 0 ( )d
L
x x0
M (
x0 )d
ML 2
(x
x0 )2
其中第二个不等式是由Lipschitz条件得到的,
由Lipschitz条件
17
设对于正整数n, 有不等式
n (x) n1(x)
MLn1 n!
(x
x0
)n
,
则当x0 x x0 h时,由Lipschitz条件有
dy dx
f
(x, y), (3.1)
y(x0 ) y0
证明: 若y (x)为(3.1)的连续解,则
d ( x)
dx
f
( x, ( x)),
(x0 ) y0
对第一式从x0到x取定积分得
x
即
x (x) (x0 ) x0 f (x,(x))dx (x) y0 x0 f (x,(x))dx
x
f ( , ( )) f ( ,( )) d x0
x
x
L ( ) ( ) d L g( )d
x0
x0
令u(x) L
x
g( )d ,
x0
则u(x)是定义于[x0, x0 h]上连续可微函数,
且u(x0 ) 0,0 g(x) u(x), u'(x) Lg(x),于是
u(x) Lu(x), (u(x) Lu(x))eLx 0,
(4) (x)是积分方程(3.5)定义于[x0 h, x0 h]上连续解
且唯一.
9
下面分五个命题来证明定理,为此先给出
积分方程
如果一个数学关系式中含有定积分符号且在定积分符 号下含有未知函数, 则称这样的关系式为积分方程.
一阶微分方程的解的存在定理
第三章 一阶微分方程的解的存在定理研究对象初值问题(Cauchy Problem)⎪⎩⎪⎨⎧==(3.2)3.1) 00)((),(y x y y x f dx dy 1 基本概念1）利普希兹(Lipschitz)条件函数),(y x f 称为在闭矩形区域 b y y a x x D ≤-≤-00,:上关于y 满足利普希兹条件，如果存在常数0>L 使得不等式2121),(),(y y L y x f y x f -≤-对所有D y x y x ∈),(),,(21都成立。
其中L 称为利普希兹常数。
2 ）局部利普希兹条件称函数),(y x f 在区域2R G ⊂内关于y 满足局部利普希兹条件，如果对区域G 内的每一点，存在以其为中心的完全含于G 内的矩形域D ，在D 上),(y x f 关于y 满足利普希兹条件。
注意：对G 内不同的点，矩形域D 大小和常数L 可能不同。
3）一致利普希兹条件称函数),,(λy x f 在区域{}βλαG y x λy x G λ<<∈=,),(),,(R R ⨯⊂2内一致地关于y 满足局部利普希兹条件，如果对λG 内的每一点),,(λy x 都存在以),,(λy x 为中心的球λG S ⊂，使得对任何),,(1λy x ，S λy x ∈),,(2成立不等式2121),,(),,(y y L y x f y x f -≤-λλ其中L 是与λ无关的正数。
4）解的延拓设方程(3.1)右端函数),(y x f 在某一有界区域G 中有意义，],[),(b a x x y ∈=ϕ是初值问题(3.1)、(3.2)的解，若],[),(11b a x x y ∈=ψ也是初值问题的解，且],[],[11b a b a ⊂，当],[b a x ∈时，)()(x x ψϕ≡，则称解)(x ψ是解)(x ϕ在区间],[b a 上的一个延拓。
5）包络和奇解曲线族的包络是指这样的曲线，它本身并不包含在曲线族中，但过这条曲线上的每一点，有曲线族中的一条曲线与其在此点相切。
§2广义积分的收敛判别法
s
xs1 exd x
0
0
s (s)
注意到: (1) n N , 有
0
e
x
d
x
1
(n 1) n(n) n(n 1)(n 1)
n!(1)
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(2) 当s 0时, (s) .
Dirichlet是Gauss的学生和继承人。他毕生敬仰Gauss.他说Gauss的讲课是“一 生所听过的最好，最难忘的课。”1855年，Gauss逝世后，他作为Gauss的继承者被哥 丁根大学聘为教授，接替Gauss原任的职务，直到逝世。
a
0
1
1 ba
f
(a
1) t
dt t2
1 ba
f
(a
1) t
dt t2
因此无穷限广义积分的收敛判别法完全可平移到无界函数
的广义积分中来 .
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利用
b
a (
x
1 a)
q
dx
收敛 , 发散 ,
q 1 q 1
类似定理 4 与定理 5，有如下的收敛判别法.
当0 s 1时,
x s 1
ex
1 x1s
e1x
1 x1s
而1 s 1, 根据比较判别法2知I1 收敛.
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I2
xs1 exd x
1
2) 讨论 I2 .
( x s 1
ex )
lim
【典型例题】 第三章 一阶微分方程的解的存在定理
第三章 一阶微分方程的解的存在定理例3-1 求方程22y x dxdy+= 满足初始条件0)0(=y 的解的逐次逼近)(),(),(321x y x y x y ，并求出h 的最大值，其中h 的意义同解的存在唯一性定理中的h 。
解 函数22),(y x y x f +=在整个平面上有意义，则在以原点为中心的任一闭矩形区域b y a x D ≤≤,:上均满足解的存在唯一性定理的条件，初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=+=0)0(22y yx dxdy 的解在],[h h -上存在唯一，其中)(max ),,min(22),(y x M Mba h D y x +==∈。
因为逐次逼近函数序列为⎰-+=xx n n dx x y x f y x y 0))(,()(10，此时，2200),(,0,0y x y x f y x +===，所以0)(0=x y ，⎰=+=xx dx x y x x y 0320213)]([)(，633)]([)(7032122x x dx x y x x y x+=+=⎰，⎰⎰+++=+=xxdxx x x x dx x y x x y 01410622223)396918929()]([)(5953520792633151173x x x x +++=。
现在求h 的最大值。
因为 ),,min(22ba ba h += 对任给的正数b a ,，ab b a 222≥+，上式中，当 b a = 时，22b a b+取得最大值aab b 212=。
此时，)21,min()2,min(a a ab b a h ==，当且仅当aa 21=，即22==b a 时，h 取得最大值为22。
评注：本题主要考查对初值问题的解的存在唯一定理及其证明过程的基本思想（逐次逼近方法）的理解。
特别地，对其中的by a x D y x f M Mba h D y x ≤≤==∈,:),,(max ),,min(),(等常数意义的理解和对逐次逼近函数列⎰-+=xx n n dx x y x f y x y 0))(,()(10的构造过程的理解。
微积分的解 收敛
微积分的解收敛
微积分中，解的收敛是一个非常重要的概念，主要涉及到级数和函数的极限。
在这里，我们将深入探讨微积分中解的收敛的概念，以及它在不同情境下的应用。
首先，我们要理解什么是收敛。
在数学中，当一个数列或函数无限趋近于一个特定的值时，我们说这个数列或函数收敛。
具体来说，如果一个数列从某一项开始，之后的每一项都无限接近于一个固定的数值，那么这个数列就是收敛的。
同样地，如果一个函数的极限存在，那么这个函数也是收敛的。
在微积分中，解的收敛主要涉及到级数和函数的极限。
对于级数，我们常常关注的是它的和是否收敛。
如果一个级数的和收敛到一个特定的值，那么这个级数就是收敛的。
而对于函数，我们则关注其在某一点或某一范围内的极限是否存在。
如果函数的极限存在，那么这个函数在这个点或范围内就是收敛的。
解的收敛在微积分中有广泛的应用。
例如，在解决微分方程时，我们常常需要用到级数的展开来求解。
如果这些级数是收敛的，那么我们就可以通过它们来找到微分方程的解。
此外，解的收敛也与函数的连续性、可导性等性质密切相关。
例如，一个函数在某一点的极限存在且为有限值，那么这个函数在该点是连续的。
总的来说，解的收敛是微积分中的一个核心概念，它涉及到级数、函数的极限以及微分方程的求解等多个方面。
通过深入理解解的收敛，我们可以更好地掌握微积分的原理和应用，为解决各种数学问题提供有力的工具。
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， ∞
（） ７
— — — — 一
Ｌ ＝（ ， Ｉ
， ∞
— — — —
（ ） ｓ ）
一
￡ ：ｆ ２
其 中 ｇ＞ １使得 上
Ｐ
＋
（）ｓ ｓｄ
寺１ ＝ ．
如果 当 ｍ ＞ １时有 Ｌ （ ｐ一１ （ Ｃ ） ２－ＬＬ ｐ ｍ ） ２ ｐ 呷～ ｐ１ １２＜ １ ；
收 稿 日期 ：０ １一ｌ ２１ ２—１ ８ 作者简介 ： 崇勋 （９ ３一） 男， 任 １４ ， 山东济宁人 ， 州学院 学报 编辑 部 教授 ， 究方 向为微分 方程稳 定性 、 函微 分方程 琼 研 泛 振 动Ｉ 理论及数 学应用与数 学教 育。 ｝ 生
２
琼州学院学报
（ １ 第 ９卷 ）０ ２ ２ ｌ
（ 琼州学院学报编辑部 ， 海南 三亚 ５２２ ） ７０ ２
摘
要 ： 了一类 与传染 病模 型有关 的积分方 程 ， 已知其 解存在且 唯一 的基础上 ， 用 一个新 的积 研究 在 利
分不等式证 明了这类方程解 的一个收敛性定理 ．
关键 词 ： 积分方 程 ； ； 懈 积分不等式 ； 收敛性定理
ｐ
（ ： ｇ￡＋ （ ｓ ｉ，ｓｄ ￡ Ｈ（（ ｌ。一）（ （） ） ） Ａ￡ Ｆｓ ） ｓ
文献 ［ ］ １ 给出了方程（ ）的连续解 的整体存在性和唯一性的充分条件 ， ２ 即下面的定理 Ａ ．
（ ２ ）
定理 Ａ 设 ｇ（）Ａ （） ｉ ，， ，） Ｒ＋ ０ ＋∞） ｉｔ ， ￡（ ＝１２ … Ｐ 是 ＝［ ， 上的实值连续函数 ， ｉｃ ） ｉ ，， ｐ Ｆ（， （ ＝ｌ２ …，） ｕ
为 Ｒ． ×Ｒ上 的实 值连 续 函数． 令
・
∞
６：ｍ ｘＪ ｌ ｓ ｓ＜∞ ａ （）Ｉ Ａ ｄ Ｊ毫 ‘ Ｐ Ｊ Ｏ
若对任一 ｉ ｛ ， ， Ｐ 下列条件成立 ： ∈ １２ …，｝
１ 在 常数 Ｌ ＞０使得 Ｉ （， ）存 ￡ ）一Ｆ （，）Ｉ 。ｔＹ ≤ ｌ 一ＹＩ对一 切 （，） ，ｆＹ ＥＲ＋ ；（ ） ， ｔ （，） × ３ ２ ）存 在 常数 Ｑ ＞ｏ和 正数 ｎ使 得 ｌ （， ≤ Ｑ Ｉ ｌ ， 一切 （ ， ｌ ｔ ）Ｉ 对 ｔ ）∈ Ｒ＋ ×Ｒ；（ ） ４ ３ ）存 在 常数 Ｍ ＞０使 得 （ Ｓ＋６ Ｍ ≤ Ｍ， 中 Ｓ ＝ ｍａ ｛ ｇ（）ｌ ＝ｌ２ … ，， Ｒ＋ ＜ ∞ Ｑ ） 其 ｘ Ｉ ｔ ： ，， Ｐ ｔ∈ ｝ 则方程 （ ）在 足＋上存 在 唯一 连续解 ｘ（）． Ｉ （）ｌ 对 一切 ｔ∈ Ｒ＋ 成立． ２ ｔ ． ｔ ≤ 且 有
０ ｕ
（） １
的解的定性性质． 方程（ ）出现在一类不产生持久免疫 的传染病传播的研究中． １ 最近 ， ５ 证明了方程 （ ） 文［ ］ １ 的非负连续有界解的存在性 ， 并且利用积分： 不等式和 比较方法证 明了此方程的解当 ‘ 一∞ 时收敛到零的充
分 条件． 这里 将研 究 更一 般 的积分 方程
定理 设 ｇ（）Ａ （）和 Ｆ（，）分别是 Ｒ＋和 Ｒ＋ ｔ ， ｔ ｔ／ Ｚ ×Ｒ上 的 实值连续 函数 ， 足 条件 满 Ｉ ｆｔ ≤ Ｃｅ ｔ ０， （）ｌ ｇ ～， ≥
Ｉ 。ｔ ）Ｉ 口 （ ） ， ｓ≤ ｔ （ —ｓ ≤ 。ｓ ｅ “ ０≤ Ａ
（） ５
（） ６
其 中常数 ｒ＞０ Ｃ ≥ ０Ｏ ： 一 ＋ ， 。 ，； ／ ＋ 为非 负连续 函数 ， ｌ２ … ，； 函数 Ｆ ， … ， 满 足定理 ｌ 条件 ＝ ，， Ｐ 且 。， ， 的
２． ） 令
Ｃ ＝ ｍ ｘ Ｃ ， ２… ， 。 ａ ｛ １Ｃ ， ｃ ｝ （）＝ ｍ ｘ １ｔ ，２ｔ ， ， （） ｔ ａ ｛ （） 理 （） … ｔ
第 １ ９卷
第 ２期
Ｖｏ ｔ ９ Ｎ ． ｌ１ ｏ ２
琼州 学院学报 Ｊｕ ａ ｏ ｉ ｇｈｕＵ ｉｅ ｉ ｏｒ ｌ ｆ ｏ ｚｏ ｎ ｒ ｔ ｎ Ｑ ｎ ｖ ｓｙ
２１ ０ ２年 ４月 ２ 日 ８
Ａｐｒ ２ ２ ２ ． ８． ０１
一
类积分方程解 的收敛性定理
任 崇勋
当ｍ ｐ≤ １ 有 Ｌ￡ 时 ＜∞ ， 且 ： 一 为方 程 （ ） 义 在 Ｒ＋ 的连 续解 ， 存在 常 数 Ｔ＞Ｏ 得 ｌ （）Ｉ 足＋ ２定 上 则 使 ｔ ｘ
≤ Ｔ － ｔ≥ ０． ｅ ¨．
为证 明此定 理 ， 需要 下 面 的引理．
引理 设 ， ￡ （） （） … （） 定义 在 Ｒ＋ 的非 负 实值连 续 函数 ，。ｉ：１２ … ，） ， ） ｔ ￡， （ ￡为 上 Ｃ（ ，， ｐ 为非 负 常
数．令
Ｃ ＝ｍａ ｛ １Ｃ ， ， ｐ ｘ Ｃ ，２… Ｃ ｝ ￡ ）＝ ｍａ ｛ （） （） … （） ｘ ￡ ｔ， ｔ｝
（） ８ （） ９
Ｈ ＝ 。（
其 中 ｇ＞ｌ 使得上
Ｐ
＋
）， ＝
（） １ ０
寺１ ＝ ．
日 ＝ （ ｐ一１ （ ｍ ）２ ） ２－ 呷 Ｐ１ ＜１ （ １ １）
中图分类号 ： ７ ． Ｏ １５ ５ 文献标识码 ：Ａ 文章编 号 ： ０ ８ ７ ２ ２ １ ０ ０ ０ ０ １０ —６２ （０２）２— ０ １— ３
引 言
Ｇｉ ｎｅ 在文 ［ ］ ｒ ｅｂｒ ｐ ｇ ２ 中研究了方程
（ ＝． （ 一ｆ （—）（ ｄ ｃ 一 口卜 ｓ （ ｄ ￡ １ ￡ ｆｓ ｓｓ ） ｔ （ ） ｓ ｓ ） ｝ ） Ａ （ ｐ ｘ （） ｆ ｘ ）
在此基础上 ， 这里证明当 ｆ 一∞ 时方程的解收敛到零 的充分条件． 所得的结果不 同于文 ［ ］在收敛性结 ５．
果 的证 明中 ， 证 明 了一 个 积分 不等 式 ， 先 利用 它 来 证 明 出结 果 ， 没 有利 用 比较 方 法 ， 关 的 结 果 可 参 看文 而 有
［］ ３ 和文［ ］ ４．