人教版高中数学必修五知识点汇总

人教版高中数学必修5知识点

第一章：解三角形一、知识点总结正弦定理：1.正弦定理：2sin sin sin a b c

R A B C

===(R 为三角形外接圆的半径).步骤1：

证明：在锐角△ABC 中，设BC=a ，AC=b ，AB=c 。作CH ⊥AB 垂足为点H CH=a·sinB CH=b·sinA ∴a·sinB=b·sinA

得到

b b a a sin sin =同理，在△ABC 中，b b

c c sin sin =

步骤2：证明：

2sin sin sin a b c

R A B C

===如图，任意三角形ABC ，作ABC 的外接圆O.作直径BD 交⊙O 于D.连接DA.

因为直径所对的圆周角是直角，所以∠DAB=90°

因为同弧所对的圆周角相等，所以∠D 等于∠C.

所以C R

c

D sin 2sin ==

故

2sin sin sin a b c

R A B C

===2.正弦定理的一些变式：

()sin sin sin i a b c A B C ::=::；()sin ,sin ,sin 22a b ii A B C R R =

=2c R

=；()2sin ,2sin ,2sin iii a R A b R B b R C ===；(iv )

R

C

B A c

b a 2sin sin sin =++++3.两类正弦定理解三角形的问题：

(1)已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.

(2)已知两边和其中一边的对角，求其他边角.(可能有一解，两解，无解)4.在ABC ∆中，已知a ，b 及A 时，解得情况：解法一：利用正弦定理计算

解法二：分析三角形解的情况，可用余弦定理做，已知a ，b 和角A ，则由余弦定理得

即可得出关于c 的方程：0cos 2222=-+-a b Ac b c 分析该方程的解的情况即三角形解的情况①△=0，则三角形有一解②△>0则三角形有两解③△<0则三角形无解余弦定理：

1.余弦定理：2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B

c b a ba C ⎧=+-⎪

=+-⎨⎪=+-

⎩

2.推论：

222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ⎧+-=

⎪⎪

+-⎪

=

⎨⎪

⎪+-=

⎪⎩

.设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则：①若222a b c +=，则90C = ；②若222a b c +>，则90C < ；③若222a b c +<，则90C > .

3.两类余弦定理解三角形的问题：(1)已知三边求三角；(2)已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.面积公式：

已知三角形的三边为a ，b ，c ，

1.111sin ()222a S ah ab C r a b c ===++(其中r 为三角形内切圆半径)

2.设)(2

1

c b a p ++=

，))()((c p b p a p p S ---=(海伦公式)

例：已知三角形的三边为，、、c b a 设)(2

1

c b a p ++=，求证：(1)三角形的面积))()((c p b p a p p S ---=

；

(2)r 为三角形的内切圆半径，则p

c p b p a p r )

)()((---=

(3)把边BC 、CA 、AB 上的高分别记为，、、c b h h a h 则)

)()((2c p b p a p p a

h a ---=

)

)()((2

c p b p a p p b

h b ---=

)

)()((2c p b p a p p c

h c ---=

证明：(1)根据余弦定理的推论：222

cos 2a b c C ab

+-=

由同角三角函数之间的关系，sin C =

代入1sin 2

S ab C =，得

12S ==

=

=记1()2p a b c =++，则可得到1()2b c a p a +-=-，1

()2

c a b p b +-=-，

1

()2a b c p c +-=-代入可证得公式

(2)三角形的面积S 与三角形内切圆半径r 之间有关系式122

S p r pr =⨯⨯=

其中1()2

p a b c =++，所以S r p

=

=注：连接圆心和三角形三个顶点，构成三个小三角形，则大三角形的面积就是三个小三角形面积的和

故得：pr cr br ar S =++=

2

1

2121(3)根据三角形面积公式12

a

S a h =⨯⨯

所以，2a S h a =

=a h =

同理b h =c h =【三角形中的常见结论】(1)π

=++C B A (2)sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,

A B C +=-2cos 2sin

C B A =+，2

sin 2cos C B A =+；A A A cos sin 22sin ⋅=，(3)若⇒>>C B A c b a >>⇒C B A sin sin sin >>若C B A sin sin sin >>⇒c b a >>⇒C B A >>(大边对大角，小边对小角)

(4)三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边