弹性体振动教材
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第7章 弹性体振动
7.1 引 言
当振动系统不能简化为有限个独 立广义坐标表示的运动方程时，就必 须按照连续系统进行分析。有些物理 现象，只能用连续系统的模型才能清 晰地描述。
离散系统的数学特征是用常微分 方程来描述;而连续系统则必须用偏 微分方程来描述。
7.1 引 言
同一振动系统可以简化为离散 系统和连续系统两种数学模型，连 续系统的数学模型可从相应的离散 系统当自由度无限增多时的极限过 程得到。
（4）左端固定，右端集中质量m：右端 的轴向力等于惯性力，边界条件为
u(0,t) 0
EA(x)
u( x, t ) x
u(x,t) (x)q(t)
7.3 时间与空间变量的分离
代入自由振动的波动方程（以杆振动为例）
r
A( x)
2u( x, t ) t 2
x
EA( x)
u ( x, t ) x
可得到
r
A( x)
(x)
d 2q(t) dt 2
d dx
EA( x)q(t )
d (x)
dx
即
1 q(t)
d 2q(t) dt 2
多自由度系统线性振动的一些 重要性质和分析方法，可以推广到 连续系统中。
7.1 引 言
7.2 弦的振动
设弦长度为l，单位 u
T
长度的质量为r，轴向
拉力为T，以变形前弦
的方向为x轴，横向挠
度 u(x,t) 设 为 小 量 。 对
T
于长度为dx的微元体有
r dx
2u t 2
T
sin
x
dx
T
sin
t 2
x
EA(x)
u( x, t ) x
f
( x, t )
（0<x<l）
7.4 杆的纵向振动
若 令 方 程 中 的 f(x,t) 等 于 零 ， 便 得 到 自 由振动方程
r
A( x)
2u( x, t ) t 2
x
EA( x)
u ( x, t ) x
对于等截面、均质杆(均匀杆)，E、A均不
转动的角度 作为广义坐标，横截面保持为 平面，横截面上每一点的位移由 唯一确定， 扭转角是空间坐标和时间的函数。
7.5 轴的扭转振动
在坐标x处截取微段dx，横截面上的扭矩 为T，单位长度的圆轴对轴线的转动惯量为J。 微段的自由振动方程
2
Jdx t2
T
T x
dx T
即
2 T
J t2 x
7.5 轴的扭转振动
)
w
2q(t)
0
7.3 时间与空间变量的分离
两个方程的解为
(x) Asin w x B cos w x
c
c
q(t) C sinwt D coswt
这里：(x)称为系统的固有振型Hale Waihona Puke Baiduw为固
有频率。式中积分常数A与B的比值及固有频 率由边界条件确定，而常数C和D则由初始条
件确定。固有振型(x)有一个常数因子不能
确定，这和多自由度系统的情形一样。
7.3 时间与空间变量的分离
固有振型和固有频率
一维波动方程必须与指定的边界条件及 初始条件一起才能构成定解问题。和多自由 度一样首先需要确定固有频率和振型。
以杆的纵向振动为例，给出常见的几种 边界条件。 （1）两端固定：两端的轴向位移均等于零， 边界条件为
u(0,t) 0,u(l,t) 0
弦的振动方程，在数学上称为一维
波动方程。
7.2 弦的振动
7.4 杆的纵向振动
假设弹性杆在振动过程中杆的横截面保持 为平面，并沿杆的轴线作平移运动，忽略轴向 应力所引起的横向位移对纵向振动的影响。
设杆长为l，轴向坐标x，坐标原点取在杆
的左端。杆的轴向刚度为EA，质量密度为r，
轴向干扰力密度为f，轴向位移为u，轴向内力 为p，它们均依赖于坐标x。
7.4 杆的纵向振动
在x处取微段dx，画出该微段的分离体图， 则运动方程为
r
r
Adx
2u t 2
p p dx p fdx x
即
p
p p dx x
r
A
2u t 2
p x
f
7.4 杆的纵向振动
应用材料力学中轴向力与轴向变形的 关系式
p A EA u
x
得到杆的纵向强迫振动方程
r A(x) 2u(x,t)
固有振型和固有频率
（2）两端自由：两端的轴向力均等于零， 边界条件为
EA(x) u(x,t) 0, EA(x) u(x,t) 0
x x0
x xl
（3）左端固定，右端弹簧：右端的轴向 力等于弹簧力，边界条件为
u(0,t) 0
EA( x)
u ( x, t ) x
xl
ku(x, t) |xl
固有振型和固有频率
设G为杆的剪切弹性模量，Jp为横截面对扭
转中心的极惯性矩，r为体积密度。扭矩T与 扭转角 的关系可从材料力学中得到
代入得
T GJP x
注意到
J
2
t 2
x
GJ p
x
J r2dm r2r 1 dA r r2dA rJ p
7.5 轴的扭转振动
当GJp为常量时，方程可写成
2 (x,t) c2 2 (x,t)
t 2
x2
（0<x<l）
其中
c G
r
上述方程也为一维波动方程，c是扭转波 的传播速率。
7.5 轴的扭转振动
7.3 时间与空间变量的分离
多自由度系统的固有振动，振动形态 (各广义位移的相对大小)不依赖于时间， 各广义位移均随时间同步变化，同时通过 平衡位置，同时达到最大值。
对于连续体的波动方程，也假设具有 同样的特征，因此可假设系统具有分离变 量形式的解：
r
1
A(x)
(x)
d dx
EA( x)
d (x)
dx
7.3 时间与空间变量的分离
上式右端只依赖于空间变量x，而左端 仅依赖于时间t。因此，令等式两边均等
于 同 一 常 数 ， 记 作 － w2 ， 并 假 设 为 均 匀
杆，则得到下面两个独立方程：
d
2
dx
(
2
x)
w2
c2
(
x)
0
d
2q(t dt 2
7.2 弦的振动
微振动时
sin
x
dx
sin cos dx cos sin dx
x
x
sin dx
x
并有
sin tan u
x
7.2 弦的振动
则方程变为
r dx
2u( x, t ) t 2
T
2u( x, t ) x2
dx
令 c T
r
则
2u( x, t ) t 2
c2
2u( x, t ) x2
依赖于x，自由振动方程简化为
2u(x,t) c2 2u(x,t)
t 2
x2
7.4 杆的纵向振动
其中
c E
r
c的量纲与速度的量纲相同。 显然上述方程也是一维波动方程， c是纵波的传播速率，它等于声波以杆 的材料为介质的传播速率。
7.4 杆的纵向振动
7.5 轴的扭转振动
假设振动过程中每一横截面绕截面形心轴
7.1 引 言
当振动系统不能简化为有限个独 立广义坐标表示的运动方程时，就必 须按照连续系统进行分析。有些物理 现象，只能用连续系统的模型才能清 晰地描述。
离散系统的数学特征是用常微分 方程来描述;而连续系统则必须用偏 微分方程来描述。
7.1 引 言
同一振动系统可以简化为离散 系统和连续系统两种数学模型，连 续系统的数学模型可从相应的离散 系统当自由度无限增多时的极限过 程得到。
（4）左端固定，右端集中质量m：右端 的轴向力等于惯性力，边界条件为
u(0,t) 0
EA(x)
u( x, t ) x
u(x,t) (x)q(t)
7.3 时间与空间变量的分离
代入自由振动的波动方程（以杆振动为例）
r
A( x)
2u( x, t ) t 2
x
EA( x)
u ( x, t ) x
可得到
r
A( x)
(x)
d 2q(t) dt 2
d dx
EA( x)q(t )
d (x)
dx
即
1 q(t)
d 2q(t) dt 2
多自由度系统线性振动的一些 重要性质和分析方法，可以推广到 连续系统中。
7.1 引 言
7.2 弦的振动
设弦长度为l，单位 u
T
长度的质量为r，轴向
拉力为T，以变形前弦
的方向为x轴，横向挠
度 u(x,t) 设 为 小 量 。 对
T
于长度为dx的微元体有
r dx
2u t 2
T
sin
x
dx
T
sin
t 2
x
EA(x)
u( x, t ) x
f
( x, t )
（0<x<l）
7.4 杆的纵向振动
若 令 方 程 中 的 f(x,t) 等 于 零 ， 便 得 到 自 由振动方程
r
A( x)
2u( x, t ) t 2
x
EA( x)
u ( x, t ) x
对于等截面、均质杆(均匀杆)，E、A均不
转动的角度 作为广义坐标，横截面保持为 平面，横截面上每一点的位移由 唯一确定， 扭转角是空间坐标和时间的函数。
7.5 轴的扭转振动
在坐标x处截取微段dx，横截面上的扭矩 为T，单位长度的圆轴对轴线的转动惯量为J。 微段的自由振动方程
2
Jdx t2
T
T x
dx T
即
2 T
J t2 x
7.5 轴的扭转振动
)
w
2q(t)
0
7.3 时间与空间变量的分离
两个方程的解为
(x) Asin w x B cos w x
c
c
q(t) C sinwt D coswt
这里：(x)称为系统的固有振型Hale Waihona Puke Baiduw为固
有频率。式中积分常数A与B的比值及固有频 率由边界条件确定，而常数C和D则由初始条
件确定。固有振型(x)有一个常数因子不能
确定，这和多自由度系统的情形一样。
7.3 时间与空间变量的分离
固有振型和固有频率
一维波动方程必须与指定的边界条件及 初始条件一起才能构成定解问题。和多自由 度一样首先需要确定固有频率和振型。
以杆的纵向振动为例，给出常见的几种 边界条件。 （1）两端固定：两端的轴向位移均等于零， 边界条件为
u(0,t) 0,u(l,t) 0
弦的振动方程，在数学上称为一维
波动方程。
7.2 弦的振动
7.4 杆的纵向振动
假设弹性杆在振动过程中杆的横截面保持 为平面，并沿杆的轴线作平移运动，忽略轴向 应力所引起的横向位移对纵向振动的影响。
设杆长为l，轴向坐标x，坐标原点取在杆
的左端。杆的轴向刚度为EA，质量密度为r，
轴向干扰力密度为f，轴向位移为u，轴向内力 为p，它们均依赖于坐标x。
7.4 杆的纵向振动
在x处取微段dx，画出该微段的分离体图， 则运动方程为
r
r
Adx
2u t 2
p p dx p fdx x
即
p
p p dx x
r
A
2u t 2
p x
f
7.4 杆的纵向振动
应用材料力学中轴向力与轴向变形的 关系式
p A EA u
x
得到杆的纵向强迫振动方程
r A(x) 2u(x,t)
固有振型和固有频率
（2）两端自由：两端的轴向力均等于零， 边界条件为
EA(x) u(x,t) 0, EA(x) u(x,t) 0
x x0
x xl
（3）左端固定，右端弹簧：右端的轴向 力等于弹簧力，边界条件为
u(0,t) 0
EA( x)
u ( x, t ) x
xl
ku(x, t) |xl
固有振型和固有频率
设G为杆的剪切弹性模量，Jp为横截面对扭
转中心的极惯性矩，r为体积密度。扭矩T与 扭转角 的关系可从材料力学中得到
代入得
T GJP x
注意到
J
2
t 2
x
GJ p
x
J r2dm r2r 1 dA r r2dA rJ p
7.5 轴的扭转振动
当GJp为常量时，方程可写成
2 (x,t) c2 2 (x,t)
t 2
x2
（0<x<l）
其中
c G
r
上述方程也为一维波动方程，c是扭转波 的传播速率。
7.5 轴的扭转振动
7.3 时间与空间变量的分离
多自由度系统的固有振动，振动形态 (各广义位移的相对大小)不依赖于时间， 各广义位移均随时间同步变化，同时通过 平衡位置，同时达到最大值。
对于连续体的波动方程，也假设具有 同样的特征，因此可假设系统具有分离变 量形式的解：
r
1
A(x)
(x)
d dx
EA( x)
d (x)
dx
7.3 时间与空间变量的分离
上式右端只依赖于空间变量x，而左端 仅依赖于时间t。因此，令等式两边均等
于 同 一 常 数 ， 记 作 － w2 ， 并 假 设 为 均 匀
杆，则得到下面两个独立方程：
d
2
dx
(
2
x)
w2
c2
(
x)
0
d
2q(t dt 2
7.2 弦的振动
微振动时
sin
x
dx
sin cos dx cos sin dx
x
x
sin dx
x
并有
sin tan u
x
7.2 弦的振动
则方程变为
r dx
2u( x, t ) t 2
T
2u( x, t ) x2
dx
令 c T
r
则
2u( x, t ) t 2
c2
2u( x, t ) x2
依赖于x，自由振动方程简化为
2u(x,t) c2 2u(x,t)
t 2
x2
7.4 杆的纵向振动
其中
c E
r
c的量纲与速度的量纲相同。 显然上述方程也是一维波动方程， c是纵波的传播速率，它等于声波以杆 的材料为介质的传播速率。
7.4 杆的纵向振动
7.5 轴的扭转振动
假设振动过程中每一横截面绕截面形心轴