【数学】2011年江苏高考热点题型聚焦：立体几何(2)

1. 如图，矩形ABCD 中，AD ABE ⊥平面，2AE EB BC ===，
F 为CE 上的点，且BF ACE ⊥平面，AC BD
G = ．
（Ⅰ）求证：AE ⊥平面BCE ； （Ⅱ）求证：//AE 平面BFD ； （Ⅲ）求三棱锥C BGF -的体积．
解析：（Ⅰ）证明：AD ⊥平面ABE ，//AD BC ． ∴BC ⊥平面ABE ，则AE BC ⊥．
又 BF ⊥平面ACE ，则AE BF ⊥． ∴AE ⊥平面BCE ．
（Ⅱ）证明：依题意可知：G 是AC 中点．
BF ⊥平面ACE ，则CE BF ⊥，而BC BE =． ∴F 是AC 中点．
在AEC ∆中，//FG AE ，∴//AE 平面BFD ．
（Ⅲ）解法一： //AE 平面BFD ，∴//AE FG ，而AE ⊥平面BCE ． ∴FG ⊥平面BCE ，∴FG ⊥平面BCF ．
G 是AC 中点，∴F 是CE 中点．∴FG //AE 且1
12
FG AE ==．
BF ⊥平面ACE ，∴BF CE ⊥．
∴Rt BCE ∆中，12BF CF CE ===1
12
CFB S ∆=．
∴11
33C BFG G BCF CFB V V S FG --∆==⋅⋅=．
解法二：111111
444323
C BFG C ABE A BCE V V V BC BE AE ---==⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=．
A
D
A
D
E
A
B C
F
E 1
A 1
B 1
C 1
D 1
D E
A B
C
F
E 1
A 1
B 1
C 1
D 1
D
F 1
E
A B
C
F
E 1 A 1 B 1
C 1
D 1 D
2. 如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB//CD ，AB=4, BC=CD=2, AA 1=2, E 、E 1分别是棱AD 、AA 1的中点. （1） 设F 是棱AB 的中点,证明：直线EE 1//平面FCC 1； （2） 证明:平面D 1AC ⊥平面BB 1C 1C.
证明:（1）在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，取A 1B 1的中点F 1，
连接A 1D ，C 1F 1，CF 1，因为AB=4, CD=2,且AB//CD ， 所以CD =//
A 1F 1，A 1F 1CD 为平行四边形，所以CF 1//A 1D ， 又因为E 、E 1分别是棱AD 、AA 1的中点，所以EE 1//A 1D ， 所以CF 1//EE 1，又因为1EE ⊄平面FCC 1，1CF ⊂平面
FCC 1，
所以直线EE 1//平面FCC 1.
（2）连接AC,在直棱柱中，CC 1⊥平面ABCD,AC ⊂平面ABCD, 所以CC 1⊥AC,因为底面ABCD 为等腰梯形，AB=4, BC=2,
F 是棱AB 的中点,所以CF=CB=BF ，△BCF 为正三角形， 60BCF ∠=︒,△ACF 为等腰三角形，且30ACF ∠=︒
所以AC ⊥BC, 又因为BC 与CC 1都在平面BB 1C 1C 内且交于点C,
所以AC ⊥平面BB 1C 1C,而AC ⊂平面D 1AC,
所以平面D 1AC ⊥平面BB 1C 1C.
3.如图所示，在四棱锥S-ABCD 中，侧棱SA=SB=SC=SD ，底面ABCD 是正方形，AC
与交于点O ，M N E DC SC BC 、、分别是、、的中点。

（1）求证：AC ⊥平面SBD ；
（2）当点P 在线段MN 上移动时，试判断EP 与AC 的位置关系，并证明你
的结论。

解析：（1） 底面ABCD是正方形，O为中心，∴AC⊥BD 又SA=SC,∴AC⊥SO,又SO⋂BD=0,
∴AC⊥平面SBD
、、，在上任取一点P，连接EP （2）连接EM EN MN MN
M
、N、E分别是DC、SC、BC中点，
∴，
EM BD EN SB
////
又由（1）知，AC⊥BD
且AC⊥平面SBD，
所以，AC⊥SB
AC
∴⊥EM，AC⊥EN，且EM⋂NE=E
∴⊥平面EMN
AC
因此，当P点在线段MN上移动时，总有AC⊥EP。