信号与系统(第三版)陈生潭第二章课后答案

第2-4页
■
°
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 电子教案
2.2
卷积积分
Step 3 : 平移。 f 2 ( t − τ ) = f 2 [ − (τ − t )]，给定 t = t k , 在 t k > 0时，将 f 2 ( −τ ) 右移 t k ; 在 t k < 0时，将 f 2( −τ ) 左移 t k ，得 f 2 ( t k − τ )。 f 2 ( t k − τ ) 对应一确定得波形。
f 1(t) 2 0 1 -1 1 t
f1(t)* f2(t) = 2 ε (t)* ε (t+1) –2 ε (t)* ε (t –1) –2ε (t –1)* ε (t+1) +2ε (t –1)* ε (t –1) 由于ε 由于 (t)* ε (t) = tε (t) 据时移特性， 据时移特性，有 f1(t)* f2(t) = 2 (t+1) ε (t+1) - 2 (t –1) ε (t –1) –2 tε (t) +2 (t –2) ε (t –2)
f
( −1) 2
f 1(t)
1 0 2 t
t e −τ d τ ε (t ) = − e −τ (t ) = ∫ e ε (τ ) d τ = ∫ 0 −∞
t −τ
t 0
⋅ ε (t ) = (1 − e −t )ε (t )
f1(t)* f2(t)=(1- e–t)ε(t) – [1- e–(t-2)]ε(t-2)
σt
o
t
o
t
o
t
(a)
(b)
(c)
σ>0
第2-3页
■
σ<0
σ=0
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 电子教案
2.2
卷积积分
2.2 卷积积分
一、定义
y (t ) = f 1 (t ) ∗ f 2 ( t ) = ∫
∞
(−∞ 信号 f1 (t ), f 2 (t )和y (t )定义域： , ∞),τ为积分变量， 积分结果为另一个新的连续信号y (t ).
第2-13页 13页
■
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 电子教案
2.3
系统的算子方程
(2)方程两边P的公因子不能随意消去 (2)方程两边P 方程两边
py(t) = pf(t) A( p)y(t) = A( p) f (t)
×
y(t) = f (t)
(3)分式中分子、分母中P的因子不能随意消去 (3)分式中分子、分母中P 分式中分子
f 2(t)
0 1
t
第2-11页 11页
■
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 电子教案
2.2 卷积积分
求卷积是本章的重点与难点。 求卷积是本章的重点与难点。
求解卷积的方法可归纳为： 求解卷积的方法可归纳为： 卷积的方法可归纳为 （1）利用定义式，直接进行积分。对于容易求积分的 ）利用定义式，直接进行积分。 函数比较有效。如指数函数，多项式函数等。 函数比较有效。如指数函数，多项式函数等。 （2）图解法。特别适用于求某时刻点上的卷积值。 ）图解法。特别适用于求某时刻点上的卷积值。 （3）利用性质。比较灵活。 ）利用性质。比较灵活。 三者常常结合起来使用。 三者常常结合起来使用。 四.常用的卷积积分公式
2.正弦信号 2.正弦信号
也称为虚指数信号。 也称为虚指数信号。 f (t ) = A cos( ω t + ϕ ) = A [e j (ωt +ϕ ) + e − j (ωt +ϕ ) ] 2
角频率和初相。 式中 A、 ω 和 ϕ 分别为正弦信号的振幅 、角频率和初相。 是周期信号， f ( t )是周期信号，其周期 T＝ 2π
第2-7页
■
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
wk.baidu.com
信号与系统 电子教案
性质3. 性质 卷积的微积分性质
2.2 卷积积分
1.
dn f1 (t) dn f 2 (t) dn [ f1 (t) * f 2 (t)] = n * f 2 (t) = f1 (t) * n n dt dt dt
证：上式= δ(n)(t) *[f1(t)* f2(t)] 上式 = [δ(n)(t) *f1(t)] * f2(t) = f1(n)(t) * f2(t)
信号与系统 电子教案
第二章 连续信号与系统的时域分析
第二章 连续信号与系统的时域分析
2.1连续时间基本信号 2.5系统的零状态响应 2.1连续时间基本信号 2.5系统的零状态响应 2.2卷积积分 2.2卷积积分 2.3系统的算子方程 2.3系统的算子方程 2.4系统的零输入响应 2.4系统的零输入响应 2.6系统响应的经典解法 2.6系统响应的经典解法 2.7完全响应的分解 2.7完全响应的分解
证：δ ' (t ) * f (t ) = ∫ δ ' (τ ) f (t − τ ) d τ = f ' (t )
−∞ ∞
f(t)*δ(n)(t) = f (n)(t) ∞ t 3. f(t)*ε(t) = ∫−∞ f (τ )ε (t − τ ) d τ = ∫−∞ f (τ ) d τ ε(t) *ε(t) = tε(t)
第2-10页 10页
■
f 1(t) 1 0 2 t
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 电子教案 如图， 例：f1(t), f2(t)如图，求f1(t)* f2(t) 如图 解： f1(t) = 2ε (t) –2ε (t –1) f2(t) = ε (t+1) –ε (t –1)
2.2 卷积积分
2.运算规则 2.运算规则
设A( P)、B( P)为p的正次幂多项式，则 (1)某些代数运算 (1)某些代数运算 交换） A( p ) ⋅ B( p ) f (t ) = B( p ) ⋅ A( p ) f (t ) （交换） ( p + 1)( p + 2) f (t ) = ( p 2 + 3 p + 2) f (t ) （相乘、因式分解） 相乘、因式分解）
信号与系统 电子教案
2.2 卷积积分
三. 卷积积分的性质
卷积积分是一种数学运算， 卷积积分是一种数学运算，它有许多重要的性质 或运算规则），灵活地运用它们能简化卷积运算。 ），灵活地运用它们能简化卷积运算 （或运算规则），灵活地运用它们能简化卷积运算。下 面讨论均设卷积积分是收敛的（或存在的）。 面讨论均设卷积积分是收敛的（或存在的）。 性质1.卷积代数 性质1.卷积代数 1. 满足乘法的三律： 满足乘法的三律： 1. 交换律： f1(t)* f2(t) =f2(t)* f1(t) 交换律： 2. 分配律： f1(t)*[ f2(t)+ f3(t)] =f1(t)* f2(t)+ f1(t)* f3(t) 分配律： 3. 结合律： [f1(t)* f2(t)]* f3(t)] =f1(t)*[ f2(t) * f3(t)] 结合律：
p ⋅ 1 f ( t ) = f (t ) p p ⋅ 1 f (t ) ≠ 1 ⋅ pf (t ) p p 一般而言 1 p ⋅ pf (t ) ≠ f (t )
第2-6页
■
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 电子教案
性质2. 性质 奇异函数的卷积特性
2.2 卷积积分
1. f(t)*δ(t)=δ(t)*f(t) = f(t)
证： δ (t ) * f (t ) = ∫−∞ δ (τ ) f (t − τ ) d τ = f (t )
∞
f(t)*δ(t –t0) = f(t – t0) 2. f(t)*δ’(t) = f’(t)
Step 4 : 相乘、积分。将 f1 (τ )与 f 2 (t k − τ )相乘， 得到被积函数，并计算 该波形与 τ轴围成的净面积， 求得卷积值 y (t k )。
Step 5 : 令 t k由－ ∞ → ∞ 变化，重复第三四步， 求得卷积结果 y ( t )。
第2-5页
■
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
3. 在f1(– ∞) = 0或f2(–1)(∞) = 0的前提下， 的前提下， 或 的前提下 f1(t)* f2(t) = f1’(t)* f2(–1)(t)
第2-8页
■
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 电子教案
2.2 卷积积分
例1： f1(t) = 1， f2(t) = e–tε(t)，求f1(t)* f2(t) ： ， ， 解：通常复杂函数放前面，代入定义式得 通常复杂函数放前面， f2(t)* f1(t)= ∞e −τ ε (τ ) d τ = ∞ e −τ d τ = − e −τ ∞ = 1 0 ∫−∞ ∫0 注意： 注意：套用 f1(t)* f2(t) = f1’(t)* f2(–1)(t) = 0* f2(–1)(t) = 0 显然是错误的。 如图, 例2：f1(t) 如图 f2(t) = e–tε(t)，求f1(t)* f2(t) ： ， 解法一： 解法一： f1(t)* f2(t) = f1’(t)* f2(–1)(t) f1’(t) =δ (t) –δ (t –2)
第2-9页
■
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 电子教案
性质4. 性质 卷积的时移特性
2.2 卷积积分
若 f(t) = f1(t)* f2(t)， ， 则 f1(t –t1)* f2(t –t2) = f1(t –t1 –t2)* f2(t) = f1(t)* f2(t –t1 –t2) = f(t –t1 –t2) 前例： 如图, 前例：f1(t) 如图 f2(t) = e–tε(t)，求f1(t)* f2(t) ， 解： f1(t) =ε (t) –ε (t –2) f1(t)* f2(t)= ε (t) * f2(t) –ε (t –2) * f2(t) ε (t) * f2(t)= f2 (-1)(t) 利用时移特性， 利用时移特性，有ε (t –2) * f2(t)= f2 (-1)(t –2) f1(t)* f2(t)=(1- e–t)ε(t) – [1- e–(t-2)]ε(t-2)
−∞
f1 (τ ) f 2 (t − τ ) dτ
二、图解机理
用图形方式理解卷积运算过程，包括以下5个步骤 个步骤： 用图形方式理解卷积运算过程，包括以下 个步骤： Step1 : 换元。用 τ轴替换 t轴，画出 f1 (τ)、f 2 (τ)波形。 换元。 波形。
Step 2 : 翻转。将 f 2 (τ)绕纵轴翻转180 ，得到 f 2 (−τ)波形。 翻转。 波形。 时刻的波形。 它是f 2 (t − τ)在t = 0时刻的波形。
第2-12页 12页
■
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 电子教案
2.3
系统的算子方程
2.3 系统的算子方程
一、微分、积分算子 微分、
1.定义 1.定义
微分算子 p : 积分算子 p -1 : t −1 (1) p f ( t ) = ∫ f ( x ) dx = f ( − 1) ( t ) pf (t ) = f (t ) −∞ n (n) p f (t ) = f (t ) p − n f (t ) = f ( − n ) (t ) 注意：算子表示对信号 的一种运算但不是变量 。
2.
∫
t
−∞
[ f1 (τ ) * f 2 (τ )]dτ = [∫ f1 (τ ) dτ ]* f 2 (t) = f1 (t) *[∫ f 2 (τ ) dτ ]
−∞ −∞
t
t
证：上式= ε(t) *[f1(t)* f2(t)] 上式 = [ε(t) *f1(t)] * f2(t) = f1(–1)(t) * f2(t)
第2-1页
■
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 电子教案
2.1
连续时间基本信号
2.1 连续时间基本信号
三种连续时间基本信号， 三种连续时间基本信号，分别用于连续信号与系统的 时域、频域、和复频域分析。 时域、频域、和复频域分析。
1.奇异信号 1.奇异信号
单位冲激信号 δ (t), 单位阶跃信号 ε (t).
第2-2页
■
ω
.
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 电子教案
2.1
连续时间基本信号
3.复指数信号 3.复指数信号
f (t ) = Ae
st
设 A = A e jϕ , s = σ + j ω
= A e jϕ ⋅ e ( σ + jω)t = A e σt ⋅ e j ( ωt + ϕ) = A e [cos(ωt + ϕ) + j sin(ωt + ϕ)]