理论力学 第4章点的运动和刚体基本运动习题解答

第四章 点的运动和刚体基本运动 习题解答

4-1 图示曲线规尺的杆长200==AB OA mm ，50====AE AC DE CD mm 。杆OA 绕O 轴转动的规律为t 5

πϕ=

rad ，并且当运动开始时，角

0=ϕ，求尺上D 点的运动方程和轨迹。

解： 已知t πϕ2.0=，故点D 的运动方程为 m m 2.0cos 200D t x π= m m 2.0sin 100D t y π=

消去时间t 得到点D 的轨迹方程为

11002002

222=+D

D y x （椭圆）

4-2 图示AB 杆长l ，以t ωϕ=的规律绕B 点转动，

ω为常量。而与杆连接的滑块B 以t b a s ωsin +=的规

律沿水平线作谐振动，a 、b 为常量。求A 点的轨迹。 解： 采用直角坐标法，取图示直角坐标系O xy , 则A 点位置坐标为ϕsin l s x += ，ϕcos l y -=，即

()t l b a x ωsin ++= t l y ωcos -=. 消去时间t 得A 点轨迹方程为：

2

2

2

2()1()x a y b l l

-+=+.（椭圆）

4-3 套筒A 由绕过定滑轮B 的绳索牵引而沿导轨上升，滑

轮中心到导轨的距离为l ，如图所示。设绳索以等速0v 拉下，忽略滑轮尺寸。求套筒A 的速度和加速度与距离x 的关系式。 解：设0=t 时，绳上C 点位于B 处，在瞬时t ,到达图示位置 则 =++=

+t v l x BC AB 022常量，将上式求导，得到管套

A 的速度和加速度为

2

20d d l x x

v t x v A +-==， 32

20d d x l v t v a A A -==， 负号表示A A a v ,的实际方向与x 轴相反。

4-4 如图所示，半径为R 的圆形凸轮可绕O 轴转动，带动顶杆BC 作铅垂直线运动。设凸轮圆心在A 点，偏心距e =OA ，t ωϕ=，其中ω为常量。试求顶杆上B 点的运动方程、速度和加速度。

解：以O 点为原点建立坐标系，由余弦定理可得

2222cos AB OA OB OA OB t ω=+-⋅⋅

其中OA=e ，AB=R ，设B y =OB 代入上式

题 4-1图

题4-2图

题4-3图

可以得到 0cos 22

2B 2

B =-+-R e t ey y ω， 解出

2

)

(4)cos 2(cos 2222B R e t e t e y --+=ωω

t e R t e ωω2

22sin cos -+= )sin 22sin (sin d d 222t

e R t

e t e t y v B B ωωωω-+-==

))sin (4sin sin 2cos (cos d d 2

322222222t e R t

e e R t e t e t v a B B ωωωωωω-+-+-==.

4-5 若将题4-4中的顶杆换成平底的物块M ，其余条件不变。试求物块上B 点的运动方程、

速度和加速度。 解：由右图所示

t e R y B ωcos +=，

t e dt

dy v B

B ωωsin -==

， t e dt

dv a B

B ωωcos 2==

. 4-6 图示a 、b 、c 三种机构，已知机构尺寸h 和杆OA 与铅直线的夹角t ωϕ=，其中ω为常量，分析并比较它们的运动：

1）穿过小环M 的杆OA 绕O 轴转动，同时拨动小环沿水平导杆滑动，求小环的速度和加速度。

2）绕O 轴转动的杆OA ，推动物块M 沿水平面滑动，求物块M 上一点的速度和加速度。 3）杆OA 绕O 轴转动时，通过套在杆上的套筒M 带动杆MN 沿水平轨道运动，求MN 上一点的速度和加速度。

a) b) c)

题 4-6图

解：经分析图a)、b) 、c) 中M 点速度和加速度相同。以O 为原点，水平方向为x 轴，竖直方向为y 轴。对图在a)、 b) 、c) 中M 点都有

t h h x ωϕtg tg ⋅=⋅=， t

h x v ωω

2

cos ==&， t t h x a ωωω32cos sin 2==&&.

题4-4图

题4-5图

4-7 图示滑道连杆机构。已知10.BO =m ；10.OA =m ，滑道连杆BC 绕轴B 按t 10=ϕ的规律转动（ϕ以rad 计）。试求滑块A 的速度和加速度。

解： 如右图所示。以B 为极点和BO 为极轴建立极坐标系，则A 点的运动方程为

()t OA 10cos 2⋅⋅=ρ ， t 10=ϕ. A 点的速度为

()t OA dt d v 10sin 20⋅⋅-==

ρρ，()t OA dt

d v 10cos 20⋅⋅==ϕρϕ， s m 22022

2==+=OA v v v ϕρ.

A 点的加速度为

()t OA t

t a 10cos 400)d d (d d 222⋅⋅-=-=ϕ

ρρρ，

()t OA t

t a 10sin 4)d d (d d 12⋅⋅-==ϕ

ρρϕ. s m 4022=+=

ϕρa a a .

也可以用直角坐标法求解，并求出A 点地切向和法向加速度。

4-8 如图所示，一直杆以t 0ωϕ=绕其固定端O 转动，其中0ω为常量。沿此杆有一滑块以匀速0v 滑动。设运动开始时，杆在水平位置，滑块在O 点，试求滑块的轨迹（以极坐标表示）。 解： 以O 为极点，水平方向为极轴，点M 的运动方程为

t v 0=ρ， t 0ωϕ=

消去时间t ，得到滑块以极坐标表示的轨迹方程为

ϕωρ0

v =

.

4-9 点在平面上运动，其轨迹的参数方程为

()m 3

2sin

t

x π

=

()m 3

4sin

4t

y π

+=，

设0=t 时，0=s ；坐标s 的起点和0=t 时点的位置一致，s 的正方向相当于x 增大的方向。试求轨迹的直角坐标方程)( x f y =、点沿轨迹运动的方程)( g t s =、点的速度和切向加速度与时间的函数关系。

解：由运动方程消去t ，得轨迹方程：

42+=x y ，

（22<<-x ）

题4-7图

题4-8图