“求两线段长度之和的最小值”问题全解析

“求两线段长度值和最小”问题全解析

在近几年的中考中，经常遇到求PA+PB最小型问题，为了让同学们对这类问题有一个

比较全面的认识和了解，我们特此编写了求两线段长度值和最小”问题全解析，希望对同学们有所帮助.

一、在三角形背景下探求线段和的最小值

1.1在锐角三角形中探求线段和的最小值

例1如图1,在锐角三角形ABC中，AB=4运，/ BAC=45 , / BAC的平分线交BC 于点D, M,N分别是AD和AB上的动点，贝U BM+MN的最小值为 ____________________________ .

分析：在这里，有两个动点，所以在解答时，就不能用我们常用对称点法•我们要选用三角形两边之和大于第三边的原理加以解决.

解：如图1,在AC上截取AE=AN，连接BE.因为/ BAC的平分线交BC于点D，所以/ EAMMNAM ,又因为AM=AM , 所以/ AM匡/ AMN ,所以ME=MN .所以BM+MN=BM+MEBE .因为BM+MN 有最小值.当BE是点B到直线AC的距离时，BE 取最小值为4,以BM+MN的最小值是4.故填4.

1.2在等边三角形中探求线段和的最小值

例2 （2010山东滨州）如图4所示，等边/ ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M 是AD上的动点,E是AC边上一点若AE=2,EM+CM的最小值为________________________ .

分析：要求线段和最小值，关键是利用轴对称思想，找出这条最短的线段，后应用所

学的知识求出这条线段的长度即可.

解：因为等边/ ABC的边长为6,AD是BC边上的中线，所以点C与点B关于AD对称，连接BE 交AD于点M,这就是EM+CM最小时的位置，如图5所示，因为CM=BM ,所以EM+CM=BE，过点E作EFZ BC,垂足为F,因为AE=2 , AC=6，所以EC=4，在直角三角形EFC 中，因为EC=4, / ECF=60 , / FEC=30 ,所以FC=2,EF=』訂—卅=肿—F =2」.

因为BC=6 , FC=2 ,

所以BF=4 •在直角三角形BEF中，BE=厂」亠「，一亠

=「'.■.

二、在四边形背景下探求线段和的最小值

2.1在直角梯形中探求线段和的最小值

例3（ 2010江苏扬州）如图3,在直角梯形ABCD中，/ ABC = 90° ADZ BC , AD = 4,

AB = 5, BC = 6,点P是AB上一个动点，当PC+ PD的和最小时，PB的长为___________________ .

分析：在这里有一个动点，两个定点符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对

称法.

解：如图3所示，作点D 关于直线AB 的对称点E ，连接CE ,交AB 于点P ,此时PC

+ PD 和最小，为线段CE .因为AD = 4,所以AE=4 .因为/ ABC = 90° ADZ BC ，所以/ EAP =90°

AU J[p

因为/APE =Z BPC 所以/A — BPC ，所以二托因为AE =4 , BC = 6

,所以

O Ap 2|P j_ DD A fl 气

所以u 所以———「因为AB =5,所以PB =3. 2.2在等腰梯形中探求线段和的最小值

例4 如图4,等腰梯形ABCD 中，AB=AD=CD=1 , Z ABC=60 , P 是上底，下底中点

EF 直线上的一点，则 PA+PB 的最小值为 ____________

分析：根据等腰梯形的性质知道，点 A 的对称点是点D ，这是解题的一个关键点.其 次运用好直角三角形的性质是解题的又一个关键.

解：如图4所示，因为点 D 关于直线EF 的对称点为A ，连接BD ，交EF 于点P ,此 时PA + PB 和最小，为线段 BD •过点D 作D& BC ，垂足为G ,因为四边形 ABCD 是等腰

1

,Z ABC=60 ,所以 Z C=60 , Z GDC=3° ,所以 GC=： ,DG=

2

为 Z ABC = 60°, ADZ BC ，所以 Z BAD = 120° 因为 AB=AD ，所以 Z ABDZ ADB=30 ，所 以Z ADBC=30，所以BD=2DG=2 ： =「• •所以PA+PB 的最小值为门.

2.3在菱形中探求线段和的最小值

梯形，且 AB=AD=CD=1

例5 如图5菱形ABCD中，AB=2 , / BAD=60 , E是AB的中点，P是对角线AC上

的一个动点，贝U PE+PB的最小值为________ .

分析：根据菱形的性质知道，点B的对称点是点D,这是解题的一个关键点.

解：如图5所示，因为点B关于直线AC的对称点为D，连接DE，交AC于点P,此时PE+ PB和最小，为线段ED .因为四边形ABCD是菱形，且/ BAD=60，所以三角形

ABD是等边三角形•因为E是AB的中点，AB=2，所以AE=1 , DE/ AB，所以ED= 疔'—脑wu

=J -：.所以PE+ PB的最小值为J ■:.

2.4在正方形中探求线段和的最小值

例6 如图6所示，已知正方形ABCD的边长为8,点M在DC上，且DM=2 , N是AC上的一个动点，则DN+MN的最小值为________________________ .

分析：根据正方形的性质知道，点B的对称点是点D，这是解题的一个关键点.

解：如图6所示，因为点D关于直线AC的对称点为B,连接BM，交AC于点N，此

时DN + MN和最小，为线段BM .因为四边形ABCD是正方形，所以BC=CD=8 .因为DM=2 ,

所以MC=6，所以BM= 二「，亠-■ ■_ ! =10.所以DN+MN的最小值为10.