高三数学集合的概念及运算PPT优秀课件
合集下载
高中数学集合ppt课件
描述法
总结词
通过描述集合中元素的共同特征来展 示集合的方法。
详细描述
描述法适用于集合元素数量较多，无 法一一列举的情况。例如，集合 B={x|x>2}，可以通过描述法表示为 {x|x>2}。
韦恩图法
总结词
通过图形表示集合及其关系的方法。
详细描述
韦恩图法是一种直观的表示方法，通过圆圈、椭圆等图形来 表示不同的集合，以及它们之间的关系。这种方法有助于理 解集合的并、交、差等运算。
总结词
表示两个或多个集合中共有的元 素
详细描述
交集是指两个或多个集合中共有 的元素组成的集合。可以用符号 "∩"表示交集，例如A∩B表示集合 A和集合B的交集。
并集
总结词
表示两个或多个集合中所有的元素， 不考虑重复
详细描述
并集是指两个或多个集合中所有的元 素组成的集合，不考虑重复。可以用 符号"∪"表示并集，例如A∪B表示集 合A和集合B的并集。
互异性
• 互异性是指集合中的元素互不相同，即集合中不会有重复的元素。例如，集合 {1,2,3}中没有重复的元素，而集合{1,2,2,3,3}中有重复的元素2和3。
05
集合的应用
在数学中的应用
1 2
3
集合论
集合论是数学的基础理论之一，它为数学概念提供了一种抽 象的描述方式。通过集合，数学中的许多概念，如函数、数 列、平面几何等都可以被统一地表达和描述。
在经济学中，集合的概念也经常被使 用。例如，可以将一组商品看作一个 集合，然后对这组商品进行分析和比 较。
计算机科学
在计算机科学中，集合的概念被广泛 应用于数据结构和算法的设计。例如 ，数组、链表、栈、队列等数据结构 都是基于集合的。
集合的概念与运算PPT课件
6.子集、真子集及其性质: 对任意的 x∈A,都有 x∈B,则 A⊆ B(或 B⊇ A); 若集合 A⊆ B,但存在元素 x∈B,且 x∉A,则 A⫋ B(或 B⫌ A);
⌀ ⊆ A;A⊆ A;A⊆ B,B⊆ C⇒ A⊆ C. 若集合 A 含有 n 个元素,则 A 的子集有 2n 个,A 的非空子集有 2n-1个,A
【例 2-2】已知集合 A={x|x2-2x+a≤0},B={x|x2-3x+2≤0},且 A⫋ B,求实 数 a 的取值范围.
解:由题意可得 B={x|1≤x≤2}. 对于 A:Δ=(-2)2-4a<0,即 a>1 时,A≠⌀ ,满足 A⫋ B;
Δ=(-2)2-4a=0,即 a=1 时,A={1},满足 A⫋ B;
A.(a*b)*a=a
B.[a*(b*a)]*(a*b)=a
C.b*(b*b)=b
D.(a*b)*[b*(a*b)]=b 解析:在 B 选项中,[a*(b*a)]*(a*b)=b*(a*b)=a,故 B 正确;在 C 选项中,易知 a*(b*a)=b*(b*b)=b 成立,故 C 正确;在 D 选项中,令 a*b=c,则 c*(b*c)=b 成立, 故 D 正确.只有 A 选项不能恒成立.
5.设集合 A={-1,1,3},B={a+2,a2+4},A∩B={3},则实数 a 的值为 1
.
解析:∵A={-1,1,3},B={a+2,a2+4},A∩B={3},a2+4>3, ∴a+2=3,a=1.
一、集合的概念
【例 1-1】 若集合 A={2,3,4},B={x|x=n·m,m,n∈A,m≠n},则集合 B 的元 素个数为( B ).
集合课件PPt
集合的传递性、吸收性、反对称性
传递性
如果A包含B，B包含C，则A包含C。
吸收性
如果A包含B，则A并B等于A。
反对称性
如果A包含B，B包含A，则A等于B。
集合运算的应用
用于解决数学问题中 的分类和合并问题。
用于逻辑推理和证明 中的概念和定理的表 述和证明。
用于处理集合之间的 关系和运算，如交、 并、补等。
集合的表示方法
列举法
将集合的元素一一列举出来，用 大括号{}括起来。例如：{1,2,3}表 示一个包含三个元素的集合。
描述法
通过描述集合中元素的共同特征 来表示集合。例如：{x|x是正方形 }表示所有正方形的集合。
集合的分类
01
02
03
有限集
包含有限个元素的集合。 例如：{1,2,3}是一个有限 集。
无限集
包含无限个元素的集合。 例如：自然数的集合N是 一个无限集。
空集
不包含任何元素的集合。 例如：{}是一个空集。
02 集合运算
交集、并集、补集
交集
由两个集合中共有的元素 组成的集合称为这两个集 合的交集。
并集
由两个或两个以上集合的 所有元素组成的集合称为 这些集合的并集。
补集
在集合A中，不属于A的元 素组成的集合称为A的补 集。
应用
关系在数据库、人工智能和自然语言处理等领域都有广泛的应用。
等价关系与划分
定义
等价关系是一种特殊的二元关系，它满足自反性、对称性和传递性。自反性指任何元素都 与自己有这种关系，对称性指如果a与b有这种关系，则b与a也有这种关系，传递性指如 果a与b有这种关系，b与c也有这种关系，则a与c也有这种关系。
证明数学定理
高三数学复习课件：集合及运算(共15张PPT)
集合结构图
列举法 描述法 图示法 子集 真子集 交集 并集 补集
集合含义与表示 集合间中元素的性质:
(1)确定性：集合中的元素必须是确定的. (2)互异性：一个给定的集合中的元素是互不相同的 (.3)无序性：集合中的元素是没有先后顺序的.
ex1.集合A={1,0,x},且x2∈A,则x＝ -1
当mB0时 A，B转化的 m思1 想, B A
1 m
2, 则m
1 ；或2
1 m
3, m
1. 3
m 0,或 1 ,或 1 23
考查集合的运算
例4 已知 I 0,1, 2,3, 4, A 0,1, 2,3, B=2,3
求CI
B
，C A
A
B
A
B
AB
A B
6.全集: 一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中
涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集.
7.补集: UA={x|x U，且x A} U
A
A U UA U
UA
题型示例
考查集合的含义
例1 已知x {1, 2, x2},则x 0或2
例2 A y y x2 , B x y x2 ,
小结：
这一节你学到了什么？
作业：
学业水平考试试题选编（1）
求A B.
Q A [0, ), B R, A I B [0, ).
考查集合之间的关系
例3 设A x | x2 x 6 0 , B x | mx 1 0,
且A U B A,求m的值的集合.
解：AQUAB A2, 3,
当mAI 0B时，B B ,符合题意；
第1讲集合的概念及其运算32张PPT必修1
新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞
课后再做好复习巩固. 谢谢！
再见！
王新敞 特级教师 源头学子小屋 wxckt@ 新疆奎屯
·2007·
新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞
新疆 王新敞
奎屯
第1讲
集合的概念及运算
新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞
知识体系
新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞
•理解集合、子集、真子集、交集、并集、 补集的概念，了解全集、空集、属于、 包含、相等关系的意义，掌握有关的术 语和符号，能使用韦恩图表达集合的关 系及运算.
新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞
U（ UA）=A
新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞
要点指南
• ①属于“∈
性、互异性、无序性；④列举法、描述法、
韦恩图法；⑤空集、有限集、无限集；⑥2n;
⑦2n-1;⑧且；⑨{x|x∈A且x∈B};⑩或;
11 {x|x∈A或x∈B};
• 12 {x|x∈U且x A}
新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞
(4)集合的表示法： ④ 列举法、描述法、韦恩图法 ；
(5)集合的分类：按元素个数可分为 ⑤ 空集、有限集、无限集； .
新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞
(6)两个集合A与B之间的关系：
定义
性质与说明
子集
如果集合A的任何一 A A; A;
个元素都是集合B的 若A B,B C,
元素，那么集合A叫 集合B的子集，记为
新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞
点评
(1)读懂集合语言，化简集合，才能找到解 题的突破口.
(2)解决集合问题，常用韦恩图直观地表示. (3)理解补集的意义： UI指在全集U中但不
课后再做好复习巩固. 谢谢！
再见！
王新敞 特级教师 源头学子小屋 wxckt@ 新疆奎屯
·2007·
新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞
新疆 王新敞
奎屯
第1讲
集合的概念及运算
新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞
知识体系
新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞
•理解集合、子集、真子集、交集、并集、 补集的概念，了解全集、空集、属于、 包含、相等关系的意义，掌握有关的术 语和符号，能使用韦恩图表达集合的关 系及运算.
新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞
U（ UA）=A
新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞
要点指南
• ①属于“∈
性、互异性、无序性；④列举法、描述法、
韦恩图法；⑤空集、有限集、无限集；⑥2n;
⑦2n-1;⑧且；⑨{x|x∈A且x∈B};⑩或;
11 {x|x∈A或x∈B};
• 12 {x|x∈U且x A}
新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞
(4)集合的表示法： ④ 列举法、描述法、韦恩图法 ；
(5)集合的分类：按元素个数可分为 ⑤ 空集、有限集、无限集； .
新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞
(6)两个集合A与B之间的关系：
定义
性质与说明
子集
如果集合A的任何一 A A; A;
个元素都是集合B的 若A B,B C,
元素，那么集合A叫 集合B的子集，记为
新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞
点评
(1)读懂集合语言，化简集合，才能找到解 题的突破口.
(2)解决集合问题，常用韦恩图直观地表示. (3)理解补集的意义： UI指在全集U中但不
数学集合的运算ppt课件
差集的定义
差集定义
差集表示属于A但不属于B的元素 组成的集合，记作A-B。
举例说明
如果A={1,2,3,4,5}，B={2,4,6,8}， 则A-B={1,3,5}。
差集的性质
差集的对称性
A-B=B-A的逆否命题是成立的，即如 果A-B=C，那么B-A=D，其中D是C 的补集。
差集的传递性
如果A-B=C，B-C=D，那么A-C=E， 其中E是D的补集。
符号表示
用符号“∩”表示交集， 例如集合A和集合B的交集 记作A∩B。
举例
若集合A={1,2,3,4}，集合 B={3,4,5,6}，则 A∩B={3,4}。
交集的性质
01
02
03
04
空集是任何集合的交集：对于 任意集合A，空集与A的交集是
空集，记作∅∩A=∅。
任何集合与空集的交集是其本 身：对于任意集合A，A∩∅=A。
集合的逻辑
集合运算可以用于逻辑推理，例 如集合的包含关系和排中律。
在计算机科学中的应用
数据结构
集合运算用于实现各种数据结构，如 并查集和动态集合。
算法设计
数据库查询
集合运算用于数据库查询语言（如 SQL）中，实现数据的筛选、连接和 汇总。
集合运算在算法设计中用于处理数据 和解决问题，例如排序算法和图算法。
对于任意集合A，有A∩A=A。
03 集合的并集运算
并集的定义
并集的定义
由两个或两个以上的集合中的所有元素组成的集 合称为这几个集合的并集。
并集的符号表示
记作A∪B，读作“A并B”。
并集的元素
并集中的元素是原集合中所有不重复的元素。
并集的性质
01
1.3 集合的基本运算(第一课时) 课件(共15张PPT)
课堂小结
并集的概念： 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的 集合，称为集合A与B的并集．记作：A∪B（读作：“A并B”）即： A∪B ={x|x∈A，或x∈ B}．
并集的性质：（1）A∪A=A； （2）A∪ =A； （3）若A⊆(A∪B)，B⊆(A∪B)； （4）若A⊆B，则A∪B=B，反之也成立
交集的概念：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合， 称为集合A与B的交集．记作：A∩B（读作：“A交B”） 即： A∩B ={ x | x ∈ A ，且 x ∈ B}．
交集的性质：（1）A∩A=A； （2）A∩ = ； （3）(A∩B)⊆B，(A∩B)⊆A； （4）若A⊆B，则A∩B=A，反之也成立．
解：A∩B就是立德中学高一年级中那些既参加百米赛跑又参加跳高 比赛的同学组成的集合．所以，
A∩B={x|x是立德中学高一年级既参加百米赛跑又参加跳高比赛的 同学}．
例题精讲
【例4】设平面内直线l1上的点的集合为L1， 直示线l1，l2上l2的点位的置集关合系为．L2，试用集合的运算表
解：（1）直线l1与直线l2相交于一点P可表示为：L1∩L2={P}；
上述两个问题中，集合A、B和C之间都具有这样一种关系：集合C是 由所有属于A或属于集合B的元素组成的．
并集
一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所
组成的集合，称为集合A与B的并集。
记作：A∪B（读作：“A并B”）
即：
A∪B ={ x | x ∈ A ，或 x ∈ B}
这说明：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B 的所有 元素组成的集合（由集合的互异性，重复元素只看成一个元素，不能重复写出）．
思考
下列关系式成立吗？ （1）A∪A=A；（2）A∪ =A
集合的含义及表示ppt课件.ppt
思考3:我们用符号“ A B”表示集合A与B的 并集，并读作“A并B”，那么如何用描述法 表示集合A B？ A B { x |x A ,或 x B }
思考4:如何用venn图表示 A B ？
A
B
思考5:集合A、B与集合A B的关系如何？ A B与B A的关系如何？
AA B BA B ABBA
理论迁移
例1 写出满足 { 1 ,2 } A { 1 ,2 ,3 ,4 }的所有集 合A.
{1，2},{1，2，3},{1,2,4},{1，2，3，4}
例2 已知集合 A{y|y(x1 )2,x0 }， B {y|yx2x 1 ,x R },试确定集合A与 B的关系.
A B
例3 设集合 A {2, a2} ，B{1,2,a},若 A B ， 求实数 a 的值. -1或0
1.1.1 集合的含义与表示
第二课时 集合的表示
问题提出
1.集合中的元素有哪些特征？
确定性、无序性、互异性
2.元素与集合有哪几种关系？ 属于、不属于
3.用自然语言描述一个集合往往是不简明的， 如“在平面直角坐标系中以原点为圆心，2 为半 径的圆周上的点”组成的集合，那么，我们可以 用什么方式表示集合呢？
称集合A是集合B的真子集.
思考4:如果集合A是集合B的真子集，我们怎 样用符号表示？
AB或 B A
思考5:若集合A是集合B的子集，则集合A一 定是集合B的真子集吗？若集合A是集合B的 真子集，则集合A一定是集合B的子集吗？
知识探究（二）
考察下列集合： （1）{x|x是边长相等的直角三角形}； （2）{xR|x210} ； （3）{xR||x|20}.
思考1:上述三个集合有何共同特点？ 集合中没有元素
集合的概念ppt课件
04
差集的应用举例：在数据筛选中，可以使用差集运算找出满足某一条 件但不满足另一条件的记录。
补集及其运算
补集的定义：对于全集U 和它的一个子集A，由全 集U中所有不属于A的元 素组成的集合称为A的补 集，记作∁UA或~A。
补集的运算性质：满足德 摩根定律，即 ∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB) ， ∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB) 。
集合的包含关系
01
集合包含的定义
对于两个集合A和B，如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，则称
集合B包含集合A。
02
集合包含的性质
如果集合B包含集合A，则A是B的子集，即A⊆B。
03
集合包含的符号表示
B⊇A表示集合B包含集合A。
04
集合的应用
集合在数学中的应用
01
02
03
描述数学对象
集合论是数学的基础，用 于描述各种数学对象及其 性质，如数、点、线、面 等。
偏序集的概念
偏序集的定义
偏序集是一种具有部分顺序关系的集合，其中元素之间的比较不是完全的，而是部分的。 偏序关系通常表示为≤。
偏序集的性质
偏序集具有一些重要的性质，如自反性、反对称性和传递性。此外，偏序集还可以有最大 元、最小元、上界和下界等概念。
偏序集的应用
偏序集在数学、计算机科学、经济学等领域有着广泛的应用，如用于描述数据结构中的排 序问题、经济学中的偏好关系等。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
似，但要考虑隶属度的影响。
幂集的概念
幂集的定义
给定集合A，由A的所有 子集（包括空集和A本 身）组成的集合称为A 的幂集，记作P(A)。
幂集的性质
差集的应用举例：在数据筛选中，可以使用差集运算找出满足某一条 件但不满足另一条件的记录。
补集及其运算
补集的定义：对于全集U 和它的一个子集A，由全 集U中所有不属于A的元 素组成的集合称为A的补 集，记作∁UA或~A。
补集的运算性质：满足德 摩根定律，即 ∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB) ， ∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB) 。
集合的包含关系
01
集合包含的定义
对于两个集合A和B，如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，则称
集合B包含集合A。
02
集合包含的性质
如果集合B包含集合A，则A是B的子集，即A⊆B。
03
集合包含的符号表示
B⊇A表示集合B包含集合A。
04
集合的应用
集合在数学中的应用
01
02
03
描述数学对象
集合论是数学的基础，用 于描述各种数学对象及其 性质，如数、点、线、面 等。
偏序集的概念
偏序集的定义
偏序集是一种具有部分顺序关系的集合，其中元素之间的比较不是完全的，而是部分的。 偏序关系通常表示为≤。
偏序集的性质
偏序集具有一些重要的性质，如自反性、反对称性和传递性。此外，偏序集还可以有最大 元、最小元、上界和下界等概念。
偏序集的应用
偏序集在数学、计算机科学、经济学等领域有着广泛的应用，如用于描述数据结构中的排 序问题、经济学中的偏好关系等。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
似，但要考虑隶属度的影响。
幂集的概念
幂集的定义
给定集合A，由A的所有 子集（包括空集和A本 身）组成的集合称为A 的幂集，记作P(A)。
幂集的性质
集合的概念与表示方法ppt课件
③互异性，即同一集合中的元素是互不相同的．
能够确定的不同的对象所构成的整体叫做集合（简称集）。
练习1
1、下列说法中，正确的有______．（填序号）
2
①单词 book 的所有字母组成的集合的元素共有 4 个；
②集合 M 中有 3 个元素 a，b，c，其中 a，b，c 是△ABC 的三
边长，则△ABC不可能是等腰三角形；
5
∉
A
集合与元素的关系
集合与元素的关系：
①属于，如果 a 是集合 A 的元素，就说 a 属于集合 A，记作a∈A
；
②不属于，如果 a 不是集合 A 中的元素，就说 a 不属于集合 A，记
作 a∉A．
0
∉
Ф
集合的三大特性
集合三要素：
①确定性，即同一集合中的元素必须是确定的；
②无序性，即同一集合中的元素之间不考虑顺序；
4
6
习题：
能正确表示集合 M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合 N＝{x∈R|x2－x＝0}
关系的Venn 图是（B）。
总结
集合
THANK YOU
习题：
1、被 3 除余 2 的正整数集合；
解：（1）
{x|x＝3n＋2，n∈N}
2、平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合．
（2）
{(x，y)|xy＝0}
三、韦恩图：用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称
为韦恩图，一般画成椭圆或矩形．
问题3 使用韦恩图表示中0-10之间的偶数集合。
0
10
2
8ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
集合
集合的概念与表示方法
你眼中的
集合
你眼中的
集合
集合的概念及其基本运算PPT教学课件
在描述法表示集合时，描 述不清或描述错误导致集 合不确定。应该准确描述 元素的性质，确保集合的 确定性。
在进行集合运算时，忽略 空集的情况。空集是任何 集合的子集，因此在进行 交集、并集等运算时需要 考虑空集的情况。
在表示集合时，要确保元 素的互异性，即同一个元 素在一个集合中只能出现 一次。
在进行集合运算时，要遵 循运算规则，确保结果的 准确性。例如，在求交集 时要找两个集合中共有的 元素；在求并集时要将两 个集合中的所有元素合并 在一起并去掉重复元素。
偏序关系与等价关系
等价关系定义
设R是集合A上的一个二元关系 ，如果R满足自反性、对称性和 传递性，则称R是A上的一个等 价关系。
区别
偏序关系不满足对称性而等价关 系满足对称性；偏序关系具有方 向性而等价关系不具有方向性。
01
偏序关系定义
设R是集合A上的一个二元关系 ，如果R满足自反性、反对称性 和传递性，则称R是A上的一个 偏序关系。
说明。
感谢您的观看
THANKS
04
集合的应用举例
在数学领域的应用
数的分类
自然数集、整数集、有理数集、实数集等都 是数学中常见的集合，通过对这些集合的研 究，可以深入了解数的性质和分类。
函数定义域和值域
函数中的定义域和值域都是集合，通过对这 些集合的运算和研究，可以了解函数的性质 和特点。
方程和不等式的解集
方程和不等式的解集也是集合，通过对这些 集合的运算和研究，可以了解方程和不等式 的解的性质和特点。
02
03
联系
偏序关系和等价关系都是集合上 的二元关系，都满足自反性和传 递性。
04
序偶与笛卡尔积
序偶定义：由两个元素a和b按一定顺序排列成的二元 组称为序偶，记作(a,b)。序偶中的元素具有顺序性，即 (a,b)和(b,a)表示不同的序偶。 笛卡尔积的性质
数学集合课件ppt课件
无限集
具有无限数量元素的集合。例如，自 然数集合N包含无限多的元素，因此N 是一个无限集。
幂集的性质
幂集是原集合所有子集的集合。
对于任何集合A，其幂集记为 P(A)，包含了A的所有子集。
幂集的性质表明，一个集合的元 素个数等于其幂集中元素的个数 。因此，一个集合的幂集总是比
原集合大或相等。
04
集合的应用
数学集合课件ppt
目录 Contents
• 集合的基本概念 • 集合的运算 • 集合的性质 • 集合的应用基本概念
集合的定义
总结词
集合是由确定的、不同的元素所组成的总体。
详细描述
集合是数学中一个基本概念，它是由一组确定的、不同的元素所组成。这些元 素可以是数字、字母、图形等，它们被用来描述具有某种特性的事物。
集合中的元素具有互异性，即集合中不会有重复的元素。此外，集合中的元素是 无序的，即集合中元素的排列顺序并不影响集合本身。
02
集合的运算
集合的交集
01
02
03
总结词
表示两个集合中共有的元 素组成的集合
详细描述
设集合A和集合B，它们的 交集记作A∩B，表示同时 属于A和B的元素组成的集 合。
举例
若A={1,2,3,4}， B={3,4,5,6}，则 A∩B={3,4}。
在计算机科学中的应用
数据结构与算法
集合在计算机科学中被广泛应用于数据结构和算法的设计 。例如，集合可以用来表示动态数据结构中的元素，如哈 希表和并查集等。
数据库系统
在数据库系统中，集合用来表示数据表中的行或记录，通 过集合操作来实现数据的查询、插入、删除和更新等操作 。
离散概率论与离散随机过程
离散概率论和离散随机过程是计算机科学中研究随机现象 的重要工具，集合在这个领域中也被广泛应用。
具有无限数量元素的集合。例如，自 然数集合N包含无限多的元素，因此N 是一个无限集。
幂集的性质
幂集是原集合所有子集的集合。
对于任何集合A，其幂集记为 P(A)，包含了A的所有子集。
幂集的性质表明，一个集合的元 素个数等于其幂集中元素的个数 。因此，一个集合的幂集总是比
原集合大或相等。
04
集合的应用
数学集合课件ppt
目录 Contents
• 集合的基本概念 • 集合的运算 • 集合的性质 • 集合的应用基本概念
集合的定义
总结词
集合是由确定的、不同的元素所组成的总体。
详细描述
集合是数学中一个基本概念，它是由一组确定的、不同的元素所组成。这些元 素可以是数字、字母、图形等，它们被用来描述具有某种特性的事物。
集合中的元素具有互异性，即集合中不会有重复的元素。此外，集合中的元素是 无序的，即集合中元素的排列顺序并不影响集合本身。
02
集合的运算
集合的交集
01
02
03
总结词
表示两个集合中共有的元 素组成的集合
详细描述
设集合A和集合B，它们的 交集记作A∩B，表示同时 属于A和B的元素组成的集 合。
举例
若A={1,2,3,4}， B={3,4,5,6}，则 A∩B={3,4}。
在计算机科学中的应用
数据结构与算法
集合在计算机科学中被广泛应用于数据结构和算法的设计 。例如，集合可以用来表示动态数据结构中的元素，如哈 希表和并查集等。
数据库系统
在数据库系统中，集合用来表示数据表中的行或记录，通 过集合操作来实现数据的查询、插入、删除和更新等操作 。
离散概率论与离散随机过程
离散概率论和离散随机过程是计算机科学中研究随机现象 的重要工具，集合在这个领域中也被广泛应用。
集合的基本概念和运算.ppt
矛盾律
A∪～A＝E
A∩～A＝ A∪(A∩B)＝A A∩(A∪B)＝A A－(B∪C)＝(A－B)∩(A－C) A－(B∩C)＝(A－B)∪(A－C) ～(B∪C)＝～B∩～C ～(B∩C)＝～B∪～C ～ ＝E ～E＝
绝对补集
定义 ～A＝E－A＝{x|x∈E∧xA} 因为E是全集，x∈E是真命题，所以～A可以定义为： A＝{x|x A } 例如: E＝{a，b，c，d}
集合之间的关系和运算可以用文氏图给予形象的描述。
文氏图的构造方法如下：
–画一个大矩形表示全集E(有时为简单起见可将全集省 略)。 –在矩形内画一些圆(或任何其它的适当的闭曲线)，用 圆的内部表示集合。 –不同的圆代表不同的集合。如果没有关于集合不交的 说明，任何两个圆彼此相交。 –图中阴影的区域表示新组成的集合。 –可以用实心点代表集合中的元素。
(6.1) (6.2)
(6.3) (6.4) (6.5) (6.6)
分配律
同一律
A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A∪C) A∩(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)
A∪＝A A∩E＝A
(6.7) (6.8)
(6.9) (6.10)
集合恒等式
零律 A∪E＝E A∩＝ (6.11) (6.12)
排中律
所以 A也为真。
推论 空集是唯一的。 1 2 ， 2 1。 根据集合相等的定义，有 1＝ 2。
证明：假设存在空集1和2，由上述定理有
n元集
含有n个元素的集合简称n元集，它的含有m(m≤n)个元 素的子集叫做它的m元子集。
例 A＝{1,2,3}，将A的子集分类：
0元子集（空集）
n个集合的并和交
两个集合的并和交运算可以推广成n个集合的并和交： A1∪A2∪…∪An＝{x|x∈A1∨x∈A2∨…∨x∈An} A1∩A2∩…∩An＝{x|x∈A1∧x∈A2∧…∧x∈An} 上述的并和交可以简记为：
A∪～A＝E
A∩～A＝ A∪(A∩B)＝A A∩(A∪B)＝A A－(B∪C)＝(A－B)∩(A－C) A－(B∩C)＝(A－B)∪(A－C) ～(B∪C)＝～B∩～C ～(B∩C)＝～B∪～C ～ ＝E ～E＝
绝对补集
定义 ～A＝E－A＝{x|x∈E∧xA} 因为E是全集，x∈E是真命题，所以～A可以定义为： A＝{x|x A } 例如: E＝{a，b，c，d}
集合之间的关系和运算可以用文氏图给予形象的描述。
文氏图的构造方法如下：
–画一个大矩形表示全集E(有时为简单起见可将全集省 略)。 –在矩形内画一些圆(或任何其它的适当的闭曲线)，用 圆的内部表示集合。 –不同的圆代表不同的集合。如果没有关于集合不交的 说明，任何两个圆彼此相交。 –图中阴影的区域表示新组成的集合。 –可以用实心点代表集合中的元素。
(6.1) (6.2)
(6.3) (6.4) (6.5) (6.6)
分配律
同一律
A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A∪C) A∩(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)
A∪＝A A∩E＝A
(6.7) (6.8)
(6.9) (6.10)
集合恒等式
零律 A∪E＝E A∩＝ (6.11) (6.12)
排中律
所以 A也为真。
推论 空集是唯一的。 1 2 ， 2 1。 根据集合相等的定义，有 1＝ 2。
证明：假设存在空集1和2，由上述定理有
n元集
含有n个元素的集合简称n元集，它的含有m(m≤n)个元 素的子集叫做它的m元子集。
例 A＝{1,2,3}，将A的子集分类：
0元子集（空集）
n个集合的并和交
两个集合的并和交运算可以推广成n个集合的并和交： A1∪A2∪…∪An＝{x|x∈A1∨x∈A2∨…∨x∈An} A1∩A2∩…∩An＝{x|x∈A1∧x∈A2∧…∧x∈An} 上述的并和交可以简记为：
高中数学必修一集合ppt课件
集合的表示方法
总结词
常用的表示方法有列举法和描述法。
详细描述
列举法是通过一一列出集合中的元素来表达集合的方法。描述法则是通过描述元 素所具有的共同性质来表达集合的方法。例如，集合A可以表示为{1,2,3}或{x|x是 小于4的正整数}。
集合的分类
总结词
根据不同的分类标准，可以将集合分为不同的类型。
解决复杂问题
在解决一些复杂数学问题时，集合的应用可以帮助我们更好 地组织和表达问题，从而简化问题解决的过程。例如，在求 解方程组、不等式组等问题时，集合的应用可以帮助我们更 好地理解和解决这些问题。
在日常生活中的应用
分类与整理
在日常生活中，我们经常需要对事物进 行分类和整理。集合的应用可以帮助我 们更好地进行分类和整理，使事物更加 有序和易于管理。例如，在超市中，商 品通常会被分类放置在特定的区域，这 就是集合在日常生活中的应用之一。
VS
概率与统计
在概率和统计中，集合的应用也十分广泛 。例如，在预测天气时，可以将不同的天 气情况看作不同的集合，通过集合的运算 来预测未来的天气情况。
在其他学科中的应用
物理学
在物理学中，集合的应用也十分常见。例如 ，在研究物体的运动轨迹时，可以将物体的 运动轨迹看作一个集合，通过集合的运算来 研究物体的运动规律。
综合习题
题目5
若集合M = {(x,y) | x + y = 2}，N = {(x,y) | x - y = 4}，则M ∩ N = _______．
题目6
若集合A = {x | x^2 - 4x + a < 0}，B = {x | x^2 + 2x - 3 > 0}，且A是B的子集，则实
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
四、有限集合的子集个数公式
1.设有限集合 A 中有 n 个元素, 则 A 的子集有: Cn0+C1n+Cn2+…+Cnn＝2n 个.
其中, 真子集有 2n -1 个, 非空子集有 2n -1 个, 非空真子集有 2n -2 个.
2.对任意的有限集合 A、B、C 有: card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B);
S P MN
5.集合 P={x, 1}, Q={y, 1, 2}, 其中x, y∈{1, 2,…, 9}, 且 P Q, 把满足上述条件的一对有序整数 (x, y) 作为一个点, 这样的点的 个数是 ( B )
课堂练习
1.若{a,
b a
,
1}={a2,
a+b,
0},
则 a2006+b2007=
1
.
2.若集合 M={-1, 1, 2}, N={y | y=x2, x∈M}, 则 M∩N 是 ( B)
A. {1, 2, 4} B. { 1 } C. {1, 4} D.
3.若集合 M={12, a},
集合P={x |
CsA={x | x∈S, 且 xA}.
三、集合之间的运算性质
1.交集的运算性质 A∩B=B∩A, A∩BA, A∩BB, A∩A=A, A∩=, AB A∩B=A.
2.并集的运算性质 A∪B=B∪A, A∪BA, A∪BB, A∪A=A, A∪=A, AB A∪B=B.
3.补集的运算的性质 设S为全集, AS, 则: Cs(CsA)=A, Cs=S, CsS= A∩(CsA)=, A∪(CsA)=S, Cs (A∩B)=(CsA)∪(CsB), Cs(A∪B)=(CsA)∩(CsB).
一、集合的基本概念及表示方法
1.集合与元素
某些指定的对象集在一起就成为一个集合, 简称集, 通常 用大写字母A, B, C, … 表示. 集合中的每个对象叫做这个集合 的元素, 通常用小写字母a, b, c, … 表示.
2.集合的分类 集合按元素多少可分为: 有限集(元素个数有限)、无限集
(元素个数无限)、空集(不含任何元素); 也可按元素的属性分, 如: 数集(元素是数), 点集(元素是点)等.
x+1 x -2
≤0,
x∈Z}
且
M∩P={0},
记 M∪P=S, 则集合 S 的真子集个数是
( D)
A. 8 B. 7 C. 16 D. 15
4.已知集合 S, M, N, P 如图所示, 则图中阴影部分表示的集合
是( D) A. M∩(N∪P) B. M∩Cs(N∩P) C. M∪Cs(N∩P) D. M∩Cs(N∪P)
评注 本题涉及集合的不同表示方法, 准确认识集合A、B是 解答本题的关键. 对(3)也可计算CR(A∪B).
2.已知集合A={x | x2-x-6<0}, B={x | 0<x-m<9}. (1)若A∪B=B, 求实数 m 的取值范围; [-6, -2] (2)若A∩B, 求实数 m 的取值范围. (-11, 3)
②并集: 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 叫做集合 A 与 B 的并集, 记作A∪B, 即
A∪B={x | x∈A, 或 x∈B}.
③补集: 设 S 是一个集合, A 是 S 的一个子集(即AS), 由 S 中所有不属于 A 的元素组成的集合, 叫做 S 中子集 A 的补集 (或余集), 记作 CsA, 即
2.集合与集合之间的关系 (1)包含关系：
如果对任一x∈A, 都有x∈B, 则称集合A是集合B的子集, 记作AB 或 BA. 显然AA, A.
(2)相等关系： 对于集合A、B, 如果AB, 同时AB, 那么称集合A等于集 合 B, 记作 A=B. (3)真包含关系： 对于集合A、B, 如果AB, 并且AB, 我们就说集合A 是 集合 B 的真子集, 记作 A B . 显然, 若A, 则 A. 即:
4.已知 f(x)=x2+px+q, 且集合 A={x | f(x)=x}, B={x | f [ f(x)]=x}. (1)求证: AB; (2)如果 A={-1, 3}, 求 B. {- 3 , -1, 3 , 3}
评注 本题解答过程中, 不断实施各种数学语言间的等价转换 脱去集合符号和抽象函数的“外衣”, 找出本质的数量关系. 这 是解答本题的关键.
评注 (1)本题将两集合之间的关系转化为
4
两曲线之间的关系, 然后用数形结合的思想
求出 a 的范围, 既快又准确. 准确作出集合 -4 o 4 x
对应的图形是解答本题的关键.
-4
(2)讨论两曲线的位置关系, 最常见的解法还有讨论其所对应
的方程组的解的情况. 该题若用此法, 涉及解无理方程与无理不
等式, 解起来较繁.
card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B) -card(B∩C)-card(C∩A)+card(A∩B∩C).
典型例题
1.已知全集为 R, A={y | y=x2+2x+2}, B={y | y=x2+2x-8}, 求: (1) A∩B; (2) A∪CRB; (3) (CRA)∩(CRB). [1, +∞) (-∞, -9)∪[1, +∞) (-∞, -9)
评注 (1)注意下面的等价关系: ①A∪B=B AB; ②A∩B=A AB; (2)用“数形结合思想”解题时, 要特别注意“端点” 的取舍.
3.已知集合 M={(x, y) | y= 16-x2 , y0}, N={(x, y) | y=x+a}, 若
M∩N=, 求实数 a 的取值范围.
y
(-∞, -4]∪(4 2 , +∞)
3.集合中元素的性质 对于一个给定的集合, 它的元素具有确定性、互异性、无
序性. 4.集合的表示方法
①列举法；②描述法；③图示法；④区间法；⑤字母法.
二、元素与集合、集合与集合之间的关系
1.∈”或“(或∈)”连
元接素; 与集合之间是个体与整体的关系, 不存在大小与相等 关系.
空集是任何非空集合的真子集.
注: 集合与集合的关系特例:
设集合A={1, 2, 3}, B={x | xA}, 则 AB, B. 亦可 B.
(4)集合的运算
①交集: 由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合 叫做集合 A 与 B 的交集, 记作A∩B, 即
A∩B={x | x∈A, 且x∈B}.