狭义相对论〈附一〉铯原子钟实验

狭义相对论〈附一〉铯原子钟实验

运动的时钟一定变慢吗？

东西两向飞行的原子钟指示是否一致？

地面上的钟为什么比空中的慢？

实验背景：

钟表的航行实验室对时钟延缓效应可以直接检验，上世纪出现的原子钟时的这种检验成为可能。1970年，Hafele设计了一个检验时间膨胀效应的环球航行实验（即两只在地球上同步的原子钟，一只留在地球上，另一只放到飞机上绕地球航行，飞机飞行一周后降落到地面，然后将这两只原子钟的读数进行比较）。在实际实验中，飞机是在地球的引力场中在不同高度上绕地球飞行的，因此，院子中速率的变化不仅受狭义相对论的运动学效应影响，也将受到引力场的影响，在理论上处理这一问题就必将涉及广义相对论。

实验原理：

假定地球是在一个非转动参考系K中以等角速度Ω旋转（自转），如下图所示，

在非转动参考系K中有引力场存在，这个引力场与地球引力场相同。下面我们再这个参考系中计算环球航行原子钟飞行一周后与地面上的原子钟读数之差。

由狭义相对论的时间膨胀效应可以知道，

其中dτ是在K系中以速度u移动的原子钟的时间间隔（固有间隔），dt是静止在K系中的原子中的相应读数（坐标时间隔）。

考虑一只静止在地球赤道上的原子钟（τ0），它在K系中运动的速度u0就是地球赤道上的切向速度，即u0=ΩR（R是地球半径，Ω是地球自转的角速度）因此，这只原子中的固有时间隔dτ0与坐标时间隔dt之间的关系如下：

其中，由于ΩR《c，所以略去了高于（ΩR/c）^2的小项，以速度v相对于地面向东运动的另一只原子钟，它在K系中的速度u由狭义相对论的速度相加定理（考虑地球自西向东转动）给出：

其中，由于v/c《1，ΩR/c《1，所以略去了二阶以上的小项，这只飞行的原子钟的固有时间隔dτ与坐标时间隔dt之间的关系如下：

将上述方程中的坐标时间隔dt消去，就得到地球赤道平面内距地面为h的空中，以速度v向东绕地球飞行的原子钟的固有时间隔dτ，与静止在地球赤道上的原子钟的固有时间隔dτ0之间的关系为:

这就是狭义相对论的时间膨胀效应所欲言的运动学效应。

另一方面，这两只原子钟都处在地球的引力场中，因此必须考虑所谓的“引力红移”

有关的贡献。在广义相对论中，对于弱引力场最低次近似的情况，两只钟的速度之差正比于他们所在地点的引力势之差，因此，距地面为h的原子钟，与地面原子钟速度之差应该是：

其中g=GM/R^2是地球表面的引力加速度，由于h《R，方程略去了高于h/R比值的小项，方程是引力场的贡献。

则总的效应为：

如果原子钟不再地球赤道平面内，而且，飞行的原子钟的速度v偏离向东方向，那么方程应该为：

在实际实验中，飞行的原子钟速度v以及高度h都随时间而变化，因此，当原子钟绕地球航行一周后回到地面而与地面原子钟比较它们的读数时，两只原子钟的读书之差有上面方程的积分形式给出：

上面方程右边第一项是引力贡献，它总是正的，即地面上的原子钟比空中的原子钟走的慢；第二项和第三项是运动学效应，其中第三项的正负特性与飞行速度和方向有关，对于向东飞行的原子钟这一项是负的，向西飞行这一项是正的。

实验过程与结果：

1971年，Hafele和Keating完成了这种实验，他们将四只铯原子钟放到飞机上，飞机在赤道平面附近高度向东及向西绕地球航行一周后回到地面，然后将飞机上四个铯原子中与意志静止在地面上的铯原子钟的读数进行比较，结果如下：

实验结论：

向东飞行时四只原子钟的读数比地球上的原子钟读数平均慢了59exp(-9)秒；而向西飞行时四只原于钟的读数比地球上的原子钟的读数平均快了273exp（-9）秒．在实验误差之内这些结果与方程预言值相符。

实验思考：

我们分析一下这个实验，如果去高度h=0，即飞机擦地面飞行，那么在非转动的K系中的观察者看来，飞机上的钟于地面上的钟走得是同一条圆形轨道（假定两只钟都在地球赤道平面内）。在飞机相对于地面向东飞行时，在K’系看来飞机上的钟总是比地面上的钟速度大，计算给出Δτ〈0，即向东飞行的钟总是比地面的中走的慢。在飞机向西飞行时，Δτ的符号要视飞机飞行的速度v的大小而定；若v〈2ΩR，即在非转动系K中的观察者看来，地面钟的速度比飞行中的速度大，方程给出Δτ〉0，地面钟比飞机中走的慢，若v=2ΩR，此时地面上的钟与飞机上的钟在同一条圆轨道内以大小相等的速度向相反的方向运动，由方程得出Δτ=0，两只钟的速率相同，若v〉2ΩR，即地面中的速度比飞机的速度小，方程给出Δτ〈0，地面钟比飞机上的钟走得快。

综上所述，运动钟的速率快慢并不是相对的，在惯性系中作圆周运动的钟变慢了，切向速度越大钟走得越慢。特别是，当两只钟在同一圆轨道内以大小相等的速度反向飞行时，虽然两只钟相互之间有相对运动存在，但是这两只钟重新会合时它们的读数仍然是相同的，上述各种结果与转动原判的横向多普勒频移试验的结果也是一致的。

这表明，狭义相对论的时间膨胀效应只有在惯性系中才能给出正确的预言。