动点轨迹问题
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2 2
1 2.已知点M 与两个定点O(0, 0), A(3, 0)的距离的比为 , 2 求点M 的轨迹方程.
解：设点M的坐标为( x, y)
由题知 MA 2 MO
即 ( x 3) 2 y 2 2 x 2 +y 2
化简得 x y 2x 3 0
2 2
所以点M的轨迹方程为x2 y 2 2x 3 0
3.长为2a的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴 上滑动，求线段AB的中点M的轨迹方程.
解：设M ( x, y)
点M 是AB的中点 1 OM AB a 2 2 2 x y a
所以点M的轨迹方程为x2 y 2 4
二、ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ点转移法
例2.已知线段AB的端点B的坐标为(4,3), 端点A在圆 ( x 1) y 4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.
2 2
解：设点M的坐标为( x, y), 点A的坐标为(m, n) 点M 是AB的中点
2 x m 4, 2 y n 3 m 2 x 4, n 2 y 3
点A(m, n)在圆( x 1)2 y 2 4上 2 2 2 2 (m 1) n 4 (2x 4 1) (2 y 3) 4
一、直接法
例1.等腰三角形的顶点A的坐标是(4, 2), 底边一个端点 B的坐标是(3,5), 求另一个端点C的轨迹方程.
解：设点C的坐标为( x, y)
由题知 AC AB
即 ( x 4) 2 ( y 2) 2 10
化简得 (x 4) ( y 2) 10
2 2
所以端点C的轨迹方程是(x 4) ( y 2) 10 除去点(3,5)(5, 1)
3 3 化简得 x y 1 2 2 2 2 3 3 所以点M的轨迹方程为 x y 1 2 2
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练习册 71页
活学活用 4,5,6
1 2.已知点M 与两个定点O(0, 0), A(3, 0)的距离的比为 , 2 求点M 的轨迹方程.
解：设点M的坐标为( x, y)
由题知 MA 2 MO
即 ( x 3) 2 y 2 2 x 2 +y 2
化简得 x y 2x 3 0
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所以点M的轨迹方程为x2 y 2 2x 3 0
3.长为2a的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴 上滑动，求线段AB的中点M的轨迹方程.
解：设M ( x, y)
点M 是AB的中点 1 OM AB a 2 2 2 x y a
所以点M的轨迹方程为x2 y 2 4
二、ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ点转移法
例2.已知线段AB的端点B的坐标为(4,3), 端点A在圆 ( x 1) y 4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.
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解：设点M的坐标为( x, y), 点A的坐标为(m, n) 点M 是AB的中点
2 x m 4, 2 y n 3 m 2 x 4, n 2 y 3
点A(m, n)在圆( x 1)2 y 2 4上 2 2 2 2 (m 1) n 4 (2x 4 1) (2 y 3) 4
一、直接法
例1.等腰三角形的顶点A的坐标是(4, 2), 底边一个端点 B的坐标是(3,5), 求另一个端点C的轨迹方程.
解：设点C的坐标为( x, y)
由题知 AC AB
即 ( x 4) 2 ( y 2) 2 10
化简得 (x 4) ( y 2) 10
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所以端点C的轨迹方程是(x 4) ( y 2) 10 除去点(3,5)(5, 1)
3 3 化简得 x y 1 2 2 2 2 3 3 所以点M的轨迹方程为 x y 1 2 2
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练习册 71页
活学活用 4,5,6