圆的基本性质(竞赛)

圆的基本性质

〖知识点〗圆、圆的对称性、点和圆的位置关系、不在同一直线上的三点确定一个圆、三角形的外接圆、垂径定理逆定理、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系、圆周角定理、圆内接四边形的性质 〖大纲要求〗

1． 正确理解和应用圆的点集定义，掌握点和圆的位置关系；

2． 熟练地掌握确定一个圆的条件，即圆心、半径；直径；不在同一直线上三点。一个

圆的圆心只确定圆的位置，而半径也只能确定圆的大小，两个条件确定一条直线，三个条件确定一个圆，过三角形的三个顶点的圆存在并且唯一；

3． 熟练地掌握和灵活应用圆的有关性质：同（等）圆中半径相等、直径相等直径是半径的2倍；直径是

最大的弦；圆是轴对称图形，经过圆心的任一条直线都是对称轴；圆是中心对称图形，圆心是对称中心；圆具有旋转不变性；垂径定理及其推论；圆心角、圆周角、弧、弦、弦心距之间的关系； 4． 掌握和圆有关的角：圆心角、圆周角的定义及其度量；圆心角等于同（等）弧上的

圆周角的2倍；同（等）弧上的圆周角相等；直径（半圆）上的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；

5． 掌握圆内接四边形的性质定理：它沟通了圆内外图形的关系，并能应用它解决有关 问题；

6． 注意：（1）垂径定理及其推论是指：一条弦①在“过圆心”②“垂直于另一条弦”

③“平分这另一条弦”④“平分这另一条弦所对的劣弧”⑤“ 平分这另一条弦所对的优弧”的五个条件中任意具有两个条件，则必具有另外三个结论（当①③为条件时要对另一条弦增加它不是直径的限制），条理性的记忆，不但简化了对它实际代表的10条定理的记忆且便于解题时的灵活应用，垂径定理提供了证明线段相等、角相等、垂直关系等的重要依据；（2）有弦可作弦心距组成垂径定理图形；见到直径要想到它所对的圆周角是直角，想垂径定理；想到过它的端点若有切线，则与它垂直，反之，若有垂线则是切线，想到它被圆心所平分；（3）见到四个点在圆上想到有4组相等的同弧所对的圆周角，要想到应用圆内接四边形的性质。 典型例题

1．一个点到圆的最大距离为11cm ，最小距离为5cm,则圆的半径为( ) (A)16cm 或6cm, (B)3cm 或8cm (C)3cm （D ）8cm

2．P ∠与⊙O 交于A ，B ，C ，D 四点，AQ ，CQ 为圆的两条弦，弧BQ 的度数为,42︒

弧QD 的度数为,38︒求__________=∠+∠Q P

3．如图，⊙O 中直径AB 垂直于弦CD ，若AB=10，CD=6，则BE 的长为________[1] 4．如图，正方形CDEF 的边CD 在半圆O 的直径上，正方形的过长为1，AC=a, BC=b, 在

5)4(;1)3(;5)2(;1)1(22=+==+=-b a ab b a b a ，各式中成立的个数为_______[3]

5。如图,四过形内接于⊙O, AD 为直径, 若︒=∠60CBE , 则圆心角

=

∠AOC

________]120[︒

6．BC 为半圆O 的直径, A 、D 为半圆上的两点, AB=3, BC=2, 则∠D=___________]150[︒

7．四边形ABCD 中，若n m D C B A :4::5:::=∠∠∠∠，则四边形ABCD 内接于圆的条件是

________________ C ； 8． 已知︒

=∠40A ，弧BE=弧BC=弧CD ，则___________

=∠ACE ︒15 9． 在⊙O 中，弦AB=24，弦CD=10，AB 弦的弦心距为5，则CD 弦的弦心距为___________ 10．

若AB 为⊙O 的直径，弦 CD ⊥AB 于E ，AE=16cm ，BE=4cm ，则CD=________12

AC=________________58 11． 已知弧AB=

101

圆周，AD 平分OAB ∠，交OB 于D ，求ADB ∠的度数___________︒72 12．

已知，ABC ∆中，︒

=∠70A ，⊙O 截ABC ∆的三条边所截得弦都相等，

则BOC ∠为_______________（如图）︒125

二．证明题与计算题

1．在⊙O 中，直径AB 与弦CD 相交，分别过B ，O ，A 向CD 引垂线，垂足分别为E ，F ，G ，求证：CE=DG

2．已知：⊙O 中，两弦AB=CD ，且交于E 点，求证：AE=CE

3．已知，在∆ABC 中，AD ⊥BC 于D ，其延长线交⊙O 于E ，CF ⊥AB 于F ，交AD 于G ，求证：DE=DG

4．已知，∆ABC 内接于圆，D 是AB 上一点，AD=AC ，E 是AC 延长线上一点，AE=AB ，连接DE 交圆于F ，

延长ED 交圆于G ，求证：

AF=AG

E

5．已知CD 为垂直于直径AB 的弦，在CD 的延长线上取一点F ，连AF 交圆于E ，求证：DEF AEC ∠=∠

13． 圆内接ABC ∆为正三角形，P 在弧BC 上，求证：PA=PB+PC

14． 已知：四边形ABCD 内接于以AD 为直径的圆O ，且AD=4，AB=CB=1，求CD 的长。

9．∆ABC 内接于⊙O ，P 为弧AC 的中点，PQ//AB ，点Q 在BC 上，QR//PA ，点R 在AB 上，求证：AR=BQ

10．A ，B ，M ，N 是⊙O 上四点，由点M 引弦MA 1和MB 1，它们分别与直线NB 和NA 垂直。求证：AA 1//BB 1