11第十一讲 条件平差习题课
平差(教学课件)-成晓倩-第1章内容总结及权习题
X
0 n
)
(二次以上项）
K k1
k2
kn
(
f X
1
)
0
(
f X
2
)
0
(
f X
n
)
0
n
k0
f
(
X
0 1
,
X
0 2
,
,
X
0 n
)
k
i
X
0 i
i 1
Z k1X1 k2 X 2 kn X n k0 KX k0
二、全微分法：
dX i
Xi
X
0 i
(i 1,2, , n)
dX (dX1 dX 2 dX n )T
线性函数
Z Y
KX FX
K0 F0
DZZ DYY DZY
KDXX K T FDXX F T KDXX F T
DYZ
F DX X
KT
QZZ QYY
KQXX K T FQXX F T
QZY
KQ XX
F
T
QYZΒιβλιοθήκη FQXX K T协方差传播律
协因数传播律
广义传播律
内容总结
7.两个传播律
hAB
N
2 站
pi
C Ni
测站高差精度相同时，水准测量高差的中误差与测 站数的平方根成正比，权与测站数成反比
hAB S 公里
pi
C Si
各测站距离大致相等时，水准测量高差的中误差 与距离的平方根成正比，权与距离成反比
内容总结
9.测量中的具体应用
二、同精度独立观测值的算术平均值
x
N
pi
平差习题集
1. 误差来源，测量平差的任务，多余观测的目的。
2. 试用公式说明方差协方差阵与协因数阵之间的关系？协因数阵与权阵之间的关系？在什么情况下它们为对角矩阵？若协因数阵为单位阵表示什么意思？ 3. 已知随机变量y 、z 都是观测值L=[L1、L2、L3]T 的函数，函数关系如下：3162101733241L L L z L L L y +-=++=，已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=420231012LLQ ，证明y 、z 间互不相关。
4. 已知间接平差的模型为V=BX-L ，已知观测值的中误差为Q LL ，试推导Q VV 。
5. 已知独立观测值L 1,L 2的中误差为σ1和σ2，试求下列函数的中误差： （1）122X L L =- （2）211212Y L L L =+6. 某平差问题有15个同精度观测值，必要观测数为8，现选取8个参数，且参数之间有2个限制条件。
若按附有限制条件的条件平差法进行平差，应列出多少个条件方程和限制条件方程？由其组成的法方程有几个？7. 在相同条件下，观测两个角度∠A=30︒00'00"，∠B=75︒00'00"，设对∠A 观测6个测回的权为1，问观测∠B 9个测回的权为多少？8. 在相同观测条件下，应用水准测量测定点A —B —C —D 之间的高差，设路线长度分别为S 1=2km ，S 2=4km ，S 3=6km ，令12km 的高差观测值权为单位权观测，设每公里观测高差中误差为σ，试求各段观测高差之权及单位权中误差。
9. 取一长度为d 的直线之丈量结果的权为1，则长度为D 的直线之丈量结果的权为多少？若长度为D 的直线丈量了n 次，则其算术平均值的权为多少？。
10. 已知一水准网如下图，其中A 、B 为已知点，观测了8段高差，若设E 点高程的平差值与B 、E 之间高差的平差值为未知参数21ˆˆX X 、，按附有限制条件的条件平差法（概括平差法）进行平差时，必要观测个数为 ，多余观测个数为 ，一般条件方程个数为 ，限制条件方程个数为C11. 在已知水准点A 、B （其搞成无误差）间布设设水准线路，如图所示。
平差习题库
一、填空题：1、观测条件由观测仪器、____________和_____________三部分构成。
2、观测误差按其性质的不同可分为系统误差和偶然误差，其中____________误差在观测或计算过程中可以采用一定的措施消除或削弱，而___________误差在观测结果中必然存在。
3、测量平差的首要任务是经过数据处理，确定观测值的________________，而__________________________________________也是其必不可少的任务。
4、偶然误差的统计规律性是指：界限性、_______性、_______性和_______性。
5、在某相片上量得一距离长为200㎝，其相对中误差为1/3000,则该距离的绝对中误差为_____________________㎝。
6、测量平差是在______________的基础上利用_______________原理进行的。
7、单位权中误差mo、权Pi和中误差mi之间的关系为_______________________。
8、有一四边形导线环，同精度观测其各内角，共观测5组结果，计算出5个闭合差为﹣8″、9″、7″、﹣5″、-7″，则每组观测值之和中误差为____________，每个导线角观测值中误差___________。
（保留一位小数）9、设某角度观测值的协因数为3，则其观测值的权为_________。
10、观测成果的质量高低__________（能、否）反映观测条件的好坏。
11、理论上我们取3倍中误差为极限误差；而等级控制测量因为观测的精度要求比较高，往往规定______倍中误差为极限误差12、衡量精度常用的几种指标有中误差、___________误差和__________误差。
13、精度是指误差分布的________________程度。
14、由三角形闭合差ω计算测角中误差mβ的公式为______________________。
条件平差原理
§9.1 条件平差原理在条件观测平差中，以n 个观测值的平差值1ˆ⨯n L 作为未知数，列出v 个未知数的条件式，在min =PV V T 情况下，用条件极值的方法求出一组v 值，进而求出平差值。
9.1.1基础方程和它的解设某平差问题，有n 个带有相互独立的正态随机误差的观测值 ，其相应的权阵为 ， 它是对角阵，改正数为 ，平差值为 。
当有r 个多余观测时，则平差值 应满足r 个平差值条件方程为：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=++++=++++=++++0ˆˆˆ0ˆˆˆ0ˆˆˆ221122112211οοοr L r L r L r b L b L b L b a L a L a L a n n n n n n （9-1） 式中i a 、i b 、…i r （i =1、2、…n ）——为条件方程的系数；0a 、0b 、…0r ——为条件方程的常项数以ii i v L L +=ˆ（i =1、2、…n ）代入(9-1)得条件方程（9-2）式中a w 、b w 、……r w 为条件方程的闭合差，或称为条件方程的不符值，即（9-3） 令⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⨯n n n n r r r r b b b a a a A212121⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++=++++=022110221102211r L r L r L r w b L b L b L b w a L a L a L a w n n n n n b n n a ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++000221122112211r n n b n n a n n w v r v r v r w v b v b v b w v a v a v a ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯n n L L L L 211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯n n L L L L ˆˆˆˆ2111⨯n L nn P ⨯1⨯n V 1ˆ⨯n L 1ˆ⨯n L则(9-1)及（9-2）上两式的矩阵表达式为0ˆ0=+A LA （9-4） 0=+W AV （9-5）上改正数条件方程式中V 的解不是唯一的解，根据最小二乘原理，在V 的无穷多组解中，取PV V T = 最小的一组解是唯一的，V 的这一组解，可用拉格朗日乘数法解出。
平差(教学课件)-成晓倩-第3章条件平差
法方程纯量形式
NK W 0
K N 1W
aa ab ar p k a p k b p k r wa 0 ab bb br p k a p k b p k r wb 0 ar br rr k k k w 0 r p a p b p r
f f1 , f 2 ,, f n
T
f f f , ,, L ˆ ˆ L ˆ ˆ ˆ L ˆ L 1 2 n L L L L L
T
QFF f T Qf ( AQf )T N 1 ( AQf )
AV W 0
W ( AL A0 )
闭 合 差
函数模型
一、条件平差原理
AV W 0
W ( AL A0 )
乘系数
构造拉格 朗日函数
V T PV 2K T ( AV W )
K [k a
r ,1
k b k r ]T
一阶导数
( K T AV ) d (V T PV ) 2 2V T P 2 K T A 0 dV V V
一、条件平差原理
K N 1W
平差值
ˆ L V L
V P 1 AT K
NK W 0
R( N ) R( AP1 AT ) r
条件平差法方程的个数=多余观测个数r
内 容 安 排
一、条件平差原理
二、精度评定 三、不同几何模型的条件方程
四、公式汇编
二、精度评定
附有参数的条件平差法方程法方程法方程华北科技学院习题附
1
法方程：1
2
2
x2
8
0
\
3 2 0Ks 5
华北科技学院
第9章习题
5、
v1 v2
v1
v3 v4 v4 v5
5 0 6 0 3 0
v1
xˆ
0
试问： (1)以上函数模型为何种平差方法的模型？ (2)本题中，n,t,r,c,u,s分别是多少？
A V B xˆ W 0
cn n1 cu cu c1
C
su
xˆ
u1
Wx
s1
0
法方程
NBaaTKK
Bxˆ CT
W 0 Ks 0
Cxˆ Wx 0
华北科技学院
第9章习题
某平差问题有12个同精度观测值，必要观测数t
= 6，现选取2个独立的参数参与平差，应列出多 少个条件方程？
HA X1 X2 X3 - HB 0
间接平差：
h1 X1
h2 X1 HB - HA
h3 X3 HB - HA
华北科技学院 h4 X3 ，h5 X2
第9章习题
（2）u=2.不独立 附有限制条件的条件平差 r+u=5
h1 X1 0
h2 X2 0
h1 h5 h3 0
h2 h5 h4 0
HA X1 X2 HB 0
华北科技学院
第9章习题
2、A，B为已知点，C为
11第十一讲 条件平差习题课
6.指出图示导线网按条件平差时条件方程的总数及 各类条件式的个数。
0
v3
（2）法方程及其解 Naa
K （3）求改正数V
V=
（4）求各观测值的平差值 Lˆ1 Lˆ2 Lˆ3
2.如图所示，设A点的 高程为100.000m，各测段的 观测高差及路线长度分别为：
h1 1.335m h2 1.055m h3 2.396m
S1 2km S2 2km S3 3km
试用条件平差法求 P1 、P2 点的高程平差值（观 测值改正数及条件式闭合差以mm为单位）。
（1）列条件方程
v1
v2
0
v3
（2）观测高差的权（以2km观测值的权为单位权）
P1
P2
P3
（3）组成并解算法方程
Naa K
（4）求各观测值的平差值及待定点的高程平差值
Lˆ2
Lˆ3
xˆ2
3.指出图示自由 测角网按条件平差时 条件方程的总数及各 类条件式的个数。
4.指出图示非自由 测角网按条件平差时条 件方程的总数及各类条 件式的个数。
5．指出图示非自由 测角网按条件平差时条件 方程的总数及各类条件式 的个数。
条件平差习题课
1．如图所示的三角形，等精度
独立观测了三角形的内角，其观测值为 A L1
L1=55°00′03″，L2=64°15′08″，
B L3
L2 C
L3=60°44′43″，试按条件平差法求各角的平差值。
其中，计算时，角度改正数和条件闭合差以秒为单位。
（1）列条件方程
vHale Waihona Puke v2
测量平差习题
第一章观测误差与传播率第一节观测误差1、在下列情况下用钢尺丈量距离，使量得的结果产生误差，时判别误差的性质与符号：（1）尺长不准确；（2）尺长检定过程中，尺长与标准尺长比较产生的误差；（3）尺不水平；（4）尺反曲或垂曲；（5）尺端偏离直线方向；（6）估读小数不准确；2、在下列情况下使水准测量中水准尺的读数带有误差，试判别误差的性质与符号：（1）视准轴与水准轴不平行；（2）仪器下沉；（3）读数不准确；（4）水准尺下沉；（5）水准尺竖立不直。
第二节衡量精度的指标3、为检定某经纬仪的测角精度，对已知精确测定的水平角α=58002’00.0”（无误差）进行10次观测，其结果为：58002’03” 58002’01” 58001’58” 58001’57” 58002’04”58001’59” 58001’59” 58002’05” 58002’01” 58001’57”试求测角中误差σ。
4、设有两组观测值X i和Y i，它们的真误差分别为：△x:2,-3,+1,0,+2 △y:0,+3,+1,-2,+3试求观测量X与Y的方差σx2和σy2,哪个测量观测精度高?5、某距离在相同的观测条件下观测20次，得独立观测值（单位：m）为：437.59 437.61 437.60 437.55 437.59 437.62 437.64 437.62437.64 437.61 437.69 437.63 437.61 437.62 437.61 437.60437.56 437.68 437.65 437.58试计算该距离的算术平均值X及其方差与中误差估值。
6、有两段距离S1和S2，经多次观测得观测值及其中误差分别为300.00±2cm和600.00±2cm,试问哪段距离观测精度高?二距离各次观测值的观测真误差是否相同?7、有一段距离，其观测值及其中误差为652.48m±9mm。
（1）试估计该观测值的真误差实际可能出现的范围是多少？（2）试求该观测值的相对中误差。
第三章条件平差
独立三角网
自由三角网
自由测角网
附合三角网（测角）
• 例：
∆ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
α ∆
当n=35、n=22、n=35+22时，其条件式个数各为多 少？有哪些类型？
图形条件（内角和条件）:
B
b1
a2
c1 D c2 a1 b3 c3 a3 b2 C
A
圆周条件（水平条件）:
b1
a2
c1 a1 a3 c3
c2 b2 b3
5.1.06、 5.1.07
上节内容回顾：
改正数条件式 观测值的协方差阵 法方程
AV W 0
D P Q
2 0 1 2 0
r n n n
Naa K W 0 N aa AQ AT
r r n r
改正数方程
V P A K QA K
T
1 T
wr
T
• 则条件方程可写成：
ˆA 0 AL 0
• 以及改正数条件式：
W AL A0
AV W 0
这样一来，对于一个平差问题，我们能够得到 其数学模型：
AV W 0 D P Q
2 0 1 2 0
下面要解决的问题是： 由上述的数学模型来求改正数V。
不难发现，不能求得V的唯一解！！！ 解决不唯一解的办法就是附加一个约束条件---“最小二乘估计” 即满足：
极条件（边长条件）:
b1 a2
c1
a1 b3 c3
c2 b2 a3
极条件（边长条件）就是指由不同路线推算得到 的同一边长的长度应相等。
三角网的基本图形 1） 单三角形 2）大地四边形
3）中点多边形。
误差理论与测量平差基础第五章 条件平差
在三角测量中，要确定各三角点的平面坐标，必须先建立平面坐 标系，只要已知任意一个点的坐标、任意一条边的方位角和任意 一条边的边长，那么，这个平面图形在平面坐标系中的位置、大 小和方向就唯一地确定了。因此，三角测量中的基准数据为：位 置基准 2个（任意一点的坐标 x0 , y0 ）、方位基准 1个（任意一条 边的方位角 0 ）以及长度基准 1个（任意一条边的边长 S0 ）。 这四个基准数据等价于已知两个点的坐标。
第五章——条件平差
4、 GPS基线向量网三维无约束平差条件方程列立举例
图1
图2
图1中r =3· （3-3）+3=3，即三个条件方程。这三个条件方程如下：
v x AB v xBC v xCA (x AB x BC xCA ) v y AB v yBC v yCA (y AB y BC y CA ) v z AB v z BC v zCA (z AB z BC z CA )
教材：5－4，5－5 习题：5.2.11， 5.2.12
第五章——条件平差
7、三角网中条件方程的列立举例
图1中，n=3，t=2，r=1，即一个图形条件。 图2中，n=8，t=4，r=4，即三个图形条件，一个极条件。
第五章——条件平差
图3中，n=15,t=8,r=15-8=7，即5个图形条件，一个圆 周条件，一个极条件。 由以上三例知，三 角形只有图形条件；大 地四边形有图形条件和 极条件两类条件；只有 中点多边形才有全部的 三类条件。
（2）
第五章——条件平差
补充：矩阵微分公式
第五章——条件平差
2.2 求偏导
d 2V T P 2 K T A 0 dV
（3） （4） （5）
条件平差习题
作业
h1 h5 A h2
P1 h3 B h6 h4 h7 P2
h5
h6 h7
4.651
5.856 10.500
1.0
1.0 2.0
HA=50.000m HB=40.000m
P3
试用条件平差法求：各高差的平差值。
华北科技学院
保留四位小数 条件平差习题
4/在图一所示测角网中，A、B、C为已知点，P为待定点，
T ˆ h h V 1.001 1.000 1.063 0.500 0.503 0.060 0.562 0.001
华北科技学院
条件平差习题
习题3
2：图中, A, B为已知水准点，其高成为：H A 12.013m, H B 10.013m, 为了确定C , D点的高程，观测了四段高差 高差观测值与水准路线的距离如下：
A L4 P L3 L2 L1 B
华北科技学院
C
条件平差习题
解：n=4,t=3,r=1，因为同精度观测，
1 1 p 1 1
列出平差值条件方程:
ˆ L ˆ L2 1 1 1 1 ˆ 360 0 L3 L ˆ 4 57 3216 73 0308 W ( AL A0 ) ([1 1 1 1] 360 ) 12 126 51 28 104 3320
S1 = 1 km S1 = 2 km
S1 = 2 km S1 = 1 km
h5 = + 0.504 m h6 = + 0.060 m
h7 = + 0.560 m h8 = + 1.000 m
S1 = 2 km S1 = 2 km
附有条件的条件平差
K
T S
(Cxˆ
Wx )
分别对 V 和 xˆ 求一阶偏导数并令一阶偏导数为零，得
2V T P 2K T A 0 V
xˆ
2K T B
2
K
T S
C
0
P V AT K 0
nn n1 nc c1
BT
uc
K CT
c1 us
KS
s1
0
2021/3/11
第五章 附有条件的条件平差
5
一、平差原理
A V B xˆ W 0 （1）
N
W 1
cc x
Qww AQll AT N aa
QWeWe
BT
N
1 aa
N
aa
N
1 aa
B
BT
N
1 aa
B
N bb
2021/3/11
第五章 附有条件的条件平差
11
二、精度评定
2、协因数阵
xˆ
(
N
1 bb
N bb1C T
N
cc1CN
1 bb
)We
N bb1C T
N
W 1
cc x
QXˆXˆ
(Nbb1 Nbb1CT Ncc1CNbb1)Nbb
B
T
0
CT
xˆ
0
0
0 C 0 K s Wx
法方程的解：
K N aa B 0 1 W
xˆ
B
T
0
C
T
0
K s 0 C 0 Wx
V P1 AT K QAT K
n1
Lˆ L V
Xˆ X 0 xˆ
改正数方 程
2021/3/11
条件平差算例
一、水准网条件平差示例 范例：有一水准网（如图8-3所示），已知点A ，B 的高程为: HA=50.000m ， HB=40.000 m ，观测高差及路线长度见表8-1。
试用条件平差求:(1) 各观测高差的平差值；(2) 平差后P 1到P 2点间高差的中误差。
图8-3【解】1）、求条件方程个数；由图易知：n=7，t=3，条件式r=4。
故应列4个平差值条件方程，三个闭合环，一个附和路线2）、列平差值条件方程； 所列4个平差值条件方程为：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=-+-=--=-+=+-0ˆˆ0ˆˆˆ0ˆˆˆ0ˆˆˆ31643765521BA H H h h h h h h h h h h h 3)、转换成改正数条件方程；以ii i V L L +=ˆ代入上式可得： ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=-+-+-=--+--=-++-+=+-++-00003131643643765765521521B A H H h h v v h h h v v v h h h v v v h h h v v v 化简可得：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=--=+--=+-+=++-0403070731643765521mm mm mm mm v v v v v v v v v v v 可知条件方程系数阵为：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----000101010110011100000010011⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=2101001000210000210000010000001称对P ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=2010010002000020000010000001称对Q ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=320125100141101300100110001101001100000110010002010102200211000000100114)、组成法方程； 先求权阵P ；以1km 观测高差为单位权观测高差，则： 11=P ，12=P ，213=P ，214=P ，15=P ，16=P ，217=P ，而各观测高差两两相互独立，所以权阵为：，则协因数阵为：则，法方程的系数阵Naa 为：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-----⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----==-=00010101011001110000001001120100100020000200000100000010001010101100111000000100111TT AQA T A AP aa N 称对所以，法方程为：043773212510014110134321=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----k k k k 5）、解算法方程，求出联系数K⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡34831.213483.002247.177528.2437758427.025843.012360.023596.025843.032584.011236.012360.012360.011236.031461.014607.023596.012360.014608.046067.04377320125100141101314321k k k k 6）、求V 及高差平差值Lˆ 所以4210.212.118.3213.0214.418.214.0ˆ22222220⨯+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯+⨯-==）（）（）（）（）（r PV V T σ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==045.2157.1798.3270.0427.4775.2427.034831.213483.002247.177528.2002001100011020022000001100134831.213483.002247.177528.200001010101100111000000100112010010002000020000010000001m m T K T QA V 称对mmmm v v v v v v v h h h h h h h h h h h h h h L ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=5020.108548.56472.45007.143556.200028.153556.100.22.18.33.04.48.24.0500.10856.5651.4501.14360.20000.15356.10ˆˆˆˆˆˆˆˆ7654321765432176543217）、精度评定1）、单位权方差估值计算mm 98.24605.35±==2）、建立所求精度的平差值函数的算式，并按误差传播律求平差值函数的精度 依题意列平差值函数为： 5ˆh =ϕ 则:[]Tf 0010000=[][][][]51687.048313.01)16853.3146.0(1001111236.001124.016853.03146.0100110011111ˆˆ=-=+-=⨯---=-=-=--TTT T T aaaa N AQf N QA f Qf fQ ϕϕ所以：mm Q 14.251687.098.2ˆˆ0ˆ±=⨯==ϕϕϕσσ【答】：各观测高差的平差值为：}{m m m m m m m5020.108548.56472.45007.143556.200028.153556.10平差后P1到P2点间高差的中误差为：±2.14mm987654321ACPB 图8-11二、测角网条件平差 范例：有一测角网（如图8-11所示），A 、B 、C 三点为已知三角点，P 为待定点。
平差习题
1.1 观测条件是由哪些因素构成的？它与观测结果的质量有什么联系？1.2 测量误差分为哪几类？它们各自是怎样定义的？对观测成果有何影响？ 1.3 何谓多余观测？测量中为什么要进行多余观测？1.4 测量平差的任务是什么？带有系统误差的观测值能否参加平差？2.1 观测量的真值i L ~及真误差i ∆各是怎样定义的？它们与观测值i L 之间有怎样的关系？ 2.2 在相同的观测条件下，大量的偶然误差呈现出什么样的规律性？2.3 偶然误差∆服从什么分布？它的数学期望与方差各是多少？2.4 何谓精度？通常采用哪几种衡量精度的指标？它们各自是怎样定义的？2.5 在相同的观测条件下，对同一个量进行了若干次观测，这些观测值的精度是否相同？在相同的观测条件下所测得的观测值，能否理解为误差小的观测值一定比误差大的观测值的精度高？2.6 为什么通常采用中误差作为衡量精度的标准？它的几何意义是什么？ 2.7 什么是极限误差？它的理论依据是什么？2.8 已知两段距离的长度及其中误差为300.465m ±4.5cm ，660.894m ±4.5cm ，试说明这两个长度的真误差是否相等？它们的最大限差是否相等？它们的精度是否相等？它们的相对精度是否相等。
2.9 有一段距离，其观测值及中误差为345.675m ±15mm ，试估计这个观测值误差的实际可能范围是多少？并求出该观测值的相对中误差？3.1 协方差传播律是用来解决什么问题的？3.2 相关观测值向量1,n X 的协方差阵是怎样定义的？试说明nn xx D ,中各个元素的含义。
当向量1,n X 中的各个分量是两两互相独立时，其协方差阵有什么特点？3.3 已知观测值21,L L 的中误差,21σσσ==协方差012=σ。
设2112-=5+2=L L Y L X ,，Y X T L L Z +==21,，试求X 、Y 、Z 、T 的中误差。
3.4 已知独立观测值21,L L 的中误差为1σ和2σ，试求下列函数的中误差： （1）212L L X -= （2）212121L L L Y +=（3）)sin(/sin 211L L L Z += 3.5 已知观测值向量1,31,21,321,,n n n L L L 及其协方差阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡332322131211D D D D D D 对称, 组成函数⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=030201C CL Z B BL Y A AL X式中A,B,C 为系数阵，000C B A ,,为常数阵。
11111平差复习资料
测量平差复习题名词解释（8选4）：1、必要观测----必要观测是为了确定未知量而必须观测的量，通常以t表示。
2、方差----设x是一个随机变量，如果E(X-EX)2存在，则称之为X的方差3、中误差----方差的算术平方根称为中误差。
中误差是衡量精度指标，中误差与精度成反比，则中误差越大精度越低。
正常取3倍中误差为极限值。
4、权----是非等精度观测时衡量观测结果可靠程度的相对数值，权越大，观测结果越可靠。
5、多余观测----凡超过必要观测数的观测数，相对于必要观测而言，称为多余观测。
6、直接平差----对同一未知量进行多次直接观测，求该量的平差值并评定精度7、间接平差----是通过选定t个与观测值有一定关系的独立未知量作为参数，将每个观测值部分表达成这t个参数的函数，建立函数模型，按最小二乘原理，用求自由极值的方法解出参数的最或然值，从而求得各观测值的平差值（间接平差与直接平差的共同点是：最小二乘理论，计算所得结果相同。
直接平差是必要观测数等于1的间接平差。
）8、点位误差椭圆----平面点在各个方向的中误差的轨迹是一个误差曲线，由于误差曲线不是典型曲线，用一个长半轴和短半轴和其相等的椭圆来表示称为误差椭圆。
填空：1导线网的条件方程的列立：1，方位角条件；2，纵、横坐标条件2测角网条件方程的列立：1，图形条件；2，圆周条件；3，极条件；4，基线条件或者固定边条件；5，方位角条件或固定角条件；6，纵、横坐标条件4观测误差的来源;在测量工作中，我们经常需要测量两点之间的距离，高差等观测量，这些观测量客观上总是存在一个能反映其真正大小的数值，这个数值称为观测量的真值或理论值5真误差为观测值减去真值。
6观测误差按性质可分为粗差、和系统误差、和偶然误差三类。
7测量误差是由于仪器误差、观测者（人的因素）、外界条件（或环境）三方面的原因产生的。
观测误差分为系统误差和偶然误差两种。
8距离测量的精度高低是用_相对中误差___来衡量的。
误差理论与测量平差基础
(K/n)/d△ 0.630 0.560 0.460 0.320 0.235 0.180 0.085 0.055 0
个数K 46 41 33 21 16 13 5 2 0 177
+△ 频率K/n 0.128 0.115 0.092 0.059 0.045 0.036 0.014 0.006
0.630
频数/d
0.475
-0.8-0.6-0.4 0 0.4 0.6 0.8
提示：观测值定了其 分布也就确定了，因 此一组观测值对应相 同的分布。不同的观 测序列，分布不同。 但其极限分布均是正 态分布。
闭合差 图1
-0.8-0.6-0.4 0 0.4 0.6 0.8
频数/d
f ()
闭合差 图2
0 0.495
(K/n)/d△ 0.640 0.575 0.460 0.295 0.225 0.180 0.070 0.030 0
19
直方图
2.1偶然误差的规律性
(K/n)/d△
面积= [(K/n)/d△]* d△= K/n
概率密度函数曲线
-0.8 -0.6 -0.4
0 0.4 0.6 0.8
所有面积之和=k1/n+k2/n+…..=1
0
个数K 46 41 33 21 16 13 …… 2 0 211
+△ 频率K/n 0.088 0.085 0.069 0.064 0.043 0.040
…… 0.005
0 0.501
(K/n)/d△ 0.440 0.425 0.345 0.320 0.215 0.200 …… 0.0025 0
频数/d
1
e
2 2 2
测绘2012的平差习题讨论课(条件平差+间接平差)
已知数据和等精度独立观测角度数据如表，现要求平差后D点坐标平差值及其精度。 DA 边的坐标方位角和边长的协因数及其中误差。 （使用条件平差法）
条件平差：n=6,t=2,r=4
SˆDA
ˆ0
Q 1.7 * SˆDA
0.0129 0.19(dm)
* 条件平差的函数模型和随机模型
1 1 1 0 0 0
A
0 0
0 1
0 0
11 10
1
0
0.30 0 1.10 0 0.78 2.27
V P1AT K
5.3
W
2.4 2.8
0.46
1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
P
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1
Q P1
法方程：AP1AT K W 0
K ( AP1AT )1 W N 1 W
V P1AT K [1.7,2.0,1.6,0.8,0.7,0.9]
ˆ0
V T PV r
11.39 1.7(") 4
Xˆ
D
X
A
(
S AB sin sin Lˆ1
Lˆ3
) cos( AB
Lˆ2 )
YˆD
Lˆ1 Lˆ2 Lˆ3 180 0 Lˆ4 Lˆ5 Lˆ6 180 0 AB Lˆ2 Lˆ4 AC 0
v1 v2 v3 5.3 0 v4 v5 v6 2.4 0 函数模型： v2 v4 2.8 0 0.30v1 1.10v3 0.78v5 2.27v6 0.46 0
第11讲具有参数的条件平差
v1 w1 1 1 1 0 v2 0 ˆ x w 0 0 1 0 1 v 1 3 2 v 4 A W
B
cn n1
ˆ W 0 A V B X
cu u1 c1
V
写成矩阵形式：
cnn1
ˆ W 0 AV BX X
cu u1 c1
W AL BX 0 A0
cru
13
（一）函数模型
一般情况：
c n n1
c n n1
ˆ B X ˆA 0 A L 0
c u u1 c1
c u u1 c 1
1 T V P A K T B K 0
1 QL P 1 AT Q KK AP 1 ˆL ˆ P
2. Q X ˆX ˆ , Q KK
1 T 1 1 1 QX ˆX ˆ N bb B N aa BN bb N bb
QL ˆL ˆ Q LL QVV
ˆ L V L P 1 A T K L ( I P 1 AT Q KK A) L P 1 AT Q KK ( BX 0 A0 )
u 2 c nut ru 22 4
1 2 3
6
1
2
6 X1
X2
180
3
4
5
4 5 X 1 180 2 6 X 1 X 2 180
sin( 3 4 ) sin( 2 ) sin( X 1 ) sin( 1 ) sin( 6 X 1 ) sin( 4 )
观测值的改正条件平差具有参数的条件平差参数非观测量未知数包括条件平差为未知数观测值改正数条件平差附有参数的条件平差法设在平差问题中观测值个数为nt为必要观测数则可列出rnt个条件方程现又增设了u个独立量作为参数而0ut每增设一个参数应增加一个条件方程
误差理论与测量平差习题课
误差理论与测量平差习题课⼀．填空题1、有⼀段距离，其观测值及其中误差为mm m 25400± ，该观测值的相对中误差K 为。
2、已知独⽴观测值[]T L L L 211,2=的⽅差阵??=8004LL D ，单位权⽅差420=σ，则其权阵LL P 为。
3、测量平差的任务：求观测值的及其评定观测值及平差值的精度。
4、设有某个物理量同精度观测了n 次，得),,2,1(n i L i =，若每次观测的精度为σ，权为p ，则其算术平均值L 的权为。
5、已知某三⾓⽹中P 点坐标的协因数阵为))/((60.125.025.010.222??"?=cm Q X X ，单位权⽅差的估值为220)(0.1?"=σ，位差的极⼤值⽅向E ?为。
6、观测误差按其性质可分为、和粗差。
经典测量平差主要研究的是。
7、已知某平差问题，观测值个数为30个，必要观测量个数为20个，若选20个独⽴参数进⾏平差，应该利⽤的平差模型是，则⽅程个数为8、有⼀段距离，其观测值及其中误差为，该观测值的相对中误差为。
9、已知独⽴观测值[]TL L L 211,2=的⽅差阵160064LL D ??=，单位权⽅差1620=σ，则其权阵LL P 为。
10、某⾓以每测回中误差为"±1的精度测量了9次，其平均值的权为1，则单位权中误差为。
11、设有观测向量[]TL L L X 321=，其协⽅差阵为----=1630302024XXD 。
则观测值3L 关于2L 协⽅差32σ是。
12、已知某三⾓⽹中P 点坐标的协因数阵为))/((60.125.025.010.222??"?--=cm Q X X ，单位权⽅差的估值为220)(0.1?"=σ，位差的极⼩值⽅向F ?为。
13、某平差问题的必要观测数为t ，多余观测数为r ，独⽴的参数个数为u 。
若u=t ，则平差的函数模型为。
若，则平差的函数模型为附有参数的条件平差。
《测量误差与数据处理》复习资料
《测量误差与数据处理》复习资料一、填空题1、若用L表示观测值，L~表示真值，则观测误差的计算方法为：。
2、测量上传统的直接测量数据为、和。
3、误差椭圆研究的是待定点相对于的精度，相对误差椭圆研究的是任意两个之间相对位置的精度。
（起始点/待定点）4、某测角网共有n个角度观测值，t个必要观测，如按条件平差进行时，此三角网可以列出个条件方程，如按间接平差进行时，此三角网可以列出个误差方程。
5、设某角度观测值的协因数为9，则其观测值的权为。
6、偶然误差的统计规律性是指：、聚中性、和抵偿性。
7、观测误差按其性质不同可以分为系统误差和偶然误差，其中误差在观测或计算过程中可以采用一定的措施消除或消弱，而误差在观测结果中必然存在。
8、观测误差产生的原因可归结为：、、，当观测条件好时，观测质量就会；反之，观测条件差时，观测成果质量就会；如果观测条件相同，观测成果的质量也就可以说是。
9、根据观测误差对观测结果影响的性质，可将误差分为和。
10、误差具有累积性，对成果的影响较大，应当设法消除或减弱的。
11、消除系统误差的方法有两种：（1）；（2）。
12、为了提高最后结果的质量，同时也为了检查和及时发现观测值中有无错误存在，通常要，也就是要进行。
13、测量平差的任务是：（1）；（2）。
14、由偶然误差的对称性和抵偿性可知，误差的理论平均值为。
15、若误差的理论平均值不为0，且数值较大，说明观测成果中含有和。
16、在一定观测条件下进行的一组观测，如果分布较为密集，则表示该组观测质量较也就是说，这一组观测精度较。
17、在一定观测条件下进行的一组观测，如果分布较为离散，则表示该组观测质量较也就是说，这一组观测精度较。
18、判定观测误差中粗差的标准是，即超过这个标准的误差就列入粗差，相应的观测值应予以剔除或返工重测。
19、我们把衡量单位长度的精度叫做，一般来说，当观测误差随着观测量的大小而变化时，用 来描述其精度。
20、当观测量i L 和观测量j L 之间误差相关时，描述这种相关程度的指标有 、 。
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0
v3
（2）法方程及其解 Naa
K （3）求改正数V
V=
（4）求各观测值的平差值 Lˆ1 Lˆ2 Lˆ3
2.如图所示，设A点的 高程为100.000m，各测段的 观测高差及路线长度分别为：
h1 1.335m h2 1.055m h3 2.396m
S1 2km S2 2km S3 3km
试用条件平差法求 P1 、P2 点的高程平差值（观 测值改正数及条件式闭合差以mm为单位）。
（1）列条件方程
v1
v2
0
v3
（2）观测高差的权（以2km观测值的权为单位权）
P1
P2
P3
（3）组成并解算法方程
6.指出图示导线网按条件平差时条件方程的总数及 各类条件式的个数。
Naa K
（4）求各观测值的平差值及待定点的高程平差值
Lˆ2
Lˆ3
xˆ2ห้องสมุดไป่ตู้
3.指出图示自由 测角网按条件平差时 条件方程的总数及各 类条件式的个数。
4.指出图示非自由 测角网按条件平差时条 件方程的总数及各类条 件式的个数。
5．指出图示非自由 测角网按条件平差时条件 方程的总数及各类条件式 的个数。
条件平差习题课
1．如图所示的三角形，等精度
独立观测了三角形的内角，其观测值为 A L1
L1=55°00′03″，L2=64°15′08″，
B L3
L2 C
L3=60°44′43″，试按条件平差法求各角的平差值。
其中，计算时，角度改正数和条件闭合差以秒为单位。
（1）列条件方程
v1 v2