计算方法讲义 (3)

取x = 0.1， y = 9999.9的近似值分别为x* = 0.2， y* = 10000，则显然绝对误差并不能很好得表示 误差的程度
相对误差： er
e x
x x
x
34
有效数字
定义2 若近似值x*的绝对误差限是某一位的半个单 位，该位到x*的第一位非零数字共有n位，就说x*具 有n位有效数字。它可表示为
1)
P3(x) 1 x x2
x3 x4
1 27
8(2x 1)4
8(2x 1)2
1
1
x
x2
x3
x4
(x
1)4 2
(x
1)2 2
1 27
127 3 x 1 x2 x3 128 4 4
误差为
f (x) P3 (x)
Байду номын сангаас
1 27
T4
(t)
1 27
1 128
15
3.(20%)设{φn(x)}是[a,b]上带权ρ(x)的
22
4. (15%)用LDLT分解法解方程组
3 3 5 x1 10
3 5
9
x2
16
5 9 17 x3 30
复习
改进的平方根法
23
改进的平方根法
在A已经有分解A=LDLτ后，先求解下三角 方程组Ly=b, 解得y;然后再求解对角方程组 z=D-1y,解得z； 最后求解上三角方程组 Lτx=z, 解得x．
x* = ±10m×(a1+a2×10-1+…+an×10-(n-1)). 其中ai (i=1，…，n) 是0到9中的一个数字,a1≠0, m为 整数,且|x-x*|≤1/2×10m-n+1.
简单地说，x*的表示中，由左往从右第一个非０数
字开始的数字的个数n称为x*的有效数字的位数．
35
函数的误差的计算公式
正交多项式序列，xi(i=0,1,2…n)为
φn+1(x) 的零点，li(x)(i=0,1,2,…n)是以
{xi}为节点的拉格朗日插值基函数，
为高斯型求积公式，证明： b
n
(x) f (x)dx Ak f (xk )
a
k 0
1)当 时， 0 k,l n,k l
n
Aik (xi )l (xi ) 0
当0 k n 1时g (n1) ( ) 0，当k n 1时g (n1) ( ) (n 1)!
所以g[ x1 ,
x2 ,
,
xn ]
0 1
0 k n 1 k n 1
44
原命题得证。
2.求f(x)=e-x在[0，1]上的最佳一次逼近多项 式.
复习：
假定f (x) C 2[a,b]的最佳一次逼近多项式P1(x) a0 a1x 则有计算公式：
求解，问a取何实数可使迭代收敛？ a 为何值时迭代收敛最快？
复习 迭代法收敛的充要条件是迭代矩阵谱半径小
于1，谱半径越小收敛越快 28
迭代矩阵B决定了迭代法的收敛性
迭代法收敛到解：lim x(k) x k
也即是：lim（x(k) - x） lim (k) 0
k
k
已得 (k) Bk (0)
n
j 1
f
xkj '(xj )
0 a01
0kn1 k n1
n
x
k j
j1 f (x j )
n
x
k j
j1 a0 (x j x1)(x j x2 ) (x j x j1)(x j x j1) (x j xn )
a01
n j 1
(xj
x1)(x j
x2 )
(xj
x
k j
x j1)(x j
a1
f (b) f (a) ba
i0
2）
n
b a
( x)lk2
( x)dx
b
( x)dx.
a
k 0
16
复习：
带权正交多项式 高斯求积公式具有2n+1次代数精度 拉格朗日插值基函数
17
带权正交多项式
18
高斯型求积公式
定义4 式为
设具有n+1个求积节点的插值型求积公
ab
(x)
f
(x)dx
n
i0
Ai
f
(xi)
(5.1)
1 ( x)
(x
3)
x
1
2
3 1
1 4
(x
3)( x
1)2
6
P3 ( x)
1 2
x(x
3)2
3(4
x)( x
1)2
1 4
(x
1)( x
3)2
1 4
(x
3)( x
1)2
第二步：加入P4(2)=4的要求，则有
P4 (x) P3(x) A(x 1)2 (x 3)2
Q
P4
(2)
44
x j1)
(xj
xn )
41
复习：
42
1. 若f(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an有互不相 同的n个实根x1, x2, …, xn. 试证明：
n
j 1
f
xkj '(xj )
0 a01
0kn1 k n1
令g(x) xk
则g(x)的n 1阶均差（差商）
g[x1, x2 , , xn ]
n
g(x j )
j1 (x j x1)(x j x2 ) (x j x j1)(x j x j1) (x j xn )
n
x
k j
j1 (x j x1)(x j x2 ) (x j x j1)(x j x j1) (x j xn )
43
1. 若f(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an有互不相
10
3 2
2
1 0
1 1
5
10
3 2
x1 x2
3 2
x1
x2
1 1
0 0 1x3 2 x3 2
27
5. (15%)给定方程组Ax=b,其中
A
3 1
2 2
3 b 1
用迭代公式
x(k1) x(k) a(b Ax (k) ), k 0,1,2,
(t
1) 4 2
P3
(t)
(1)4 2
214T4 (t)
1 27
T4 (t)
T4(t)=8t4-8t2+1
14
第二步：反代换
P3 (t)
1
t
1 2
(t
1) 2 2
(t
1)3 2
(t
1) 4 2
1 27
T4
(t)
x t 1，t 2x 1 2
P3 (2x
1)
1
x
x2
x3
x4
1 27
T4 (2x
同的n个实根x1, x2, …, xn. 试证明：
n
j 1
f
xkj '(xj )
0 a01
0kn1 k n1
n
由以上结论可得
j 1
x
k j
f (x j )
a01g[x1, x2 ,
, xn ]
又由前述均差（差商）性质可知：
g[ x1 ,
x2 ,
,
xn ]
g (n1) ( )
(n 1)!
(g(x) xk )
其中(x)为[a, b]上的权函数，求积系数为
Ai
ab
(x)li(x)dx
b
a
(x)
n
j0
xxj xi x j
dx,
j 0,1,...,n
ji
若求积公式(5.1)的代数精度至少为2n+1次，则
称称该为高公斯式型为高 节斯点型．求积公式．这时，求积节点xk
19
1）证明
20
n次插值基函数
21
2） 证 明
复习
牛顿插值公式 规则埃尔米特插值公式 插值的定义
4
规则埃尔米特插值公式
n
H2n1(x) [ y j j (x) mj j (x)]. j0
R(x)
f
(x) H2n1(x)
f (2n2) ( ) (2n 2)!
n21(
x),
5
解法一：埃尔米特插值法
第一步：求一3次P3(x)，满足P3(1)=2 ， P3(3)=12 ，P3’(1)=1 ， P3’(3)=-1，则有
所以，收敛的要求转换为lim Bk 0 k
29
30
6. (10%)利用适当的迭代格式证明
lim 22 2 2
k
k个
技巧：看得出这是个迭代的过程☺
复习：
迭代函数在不动点的邻域中一阶导数绝对值 小于1则局部收敛
31
32
7. (10%)计算(10 ，取 99)10 99 9.9499 分析下述两种运算各具有几位有效数 字。
计算方法
6月5日
1
考试安排
6月17日(周三)下午14：00~16：00
考试范围：1-7章（上节课内容）
2
综合复习一
往届期末考卷讲评
3
1.(15%) 求一个次数不高于4的多项式
满足下列插值条件： P4(1)=2 ， P4(2)=4 ，P4(3)=12 ，P4’(1)=1 ，
P4’(3)=-1
12
定理6说明
切比雪夫多项式
n-1次最佳逼近多项式余项 是切比雪夫多项式进行适
当的放缩（乘系数）
13
第一步：变量代换
设f(x)的三次最佳一致逼近多项式为
P3
(
x)，x
[0,1]，令x
t
2
1，t
[1,1]
则根据定义有
f
(x)
P3
(x)
F (t)
P3 (t)
1
t
1 2
(t
1) 2 2
(t
1)3 2
P3 (2)
A(2
1)2 (2
3)2
A
7 2
P4
(x)
7 2
x4
51 2
x3
125 2
x2
127 2
x
21
7
牛顿均差插值多项式
牛顿插值公式
余项（与拉格朗日插值余项等价）
8
解法二：牛顿插值法
第一步：求一过(1,2),(2,4),(3,12)三点的2次 Newton插值公式：
P2 (x) f (1) f [1,2](x 1) f [1,2,3](x 1)(x 2) 2 2(x 1) 3(x 1)(x 2) 3x2 7x 6
127 2
x
21
10
其它方法
有重节点的牛顿法
做法课上有介绍过，此处不讲 不要求 如果做对有全分
完全待定系数法
达不到要求 如果做对只有答案分
11
2. (15%)设f(x)=1-x+x2-x3+x4，在[0,1] 上求f(x)的三次最佳一致逼近多项式， 并分析误差。
复习：
切比雪夫多项式的区间为[-1,1] 切比雪夫多项式是最佳一致逼近的误差
n
j 1
f
xkj '(xj )
0 a01
0kn1 k n1
根 最高次项的系数 特定点的导数
39
1. 若f(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an有互不相 同的n个实根x1, x2, …, xn. 试证明：
n
j 1
f
xkj '(xj )
0 a01
0kn1 k n1
由x1, x2, …, xn是f(x)的n个实根，和f(x)中最高 次项xn的系数为a0可得： f(x)=a0(x-x1)(x-x2)…(x-xn)
这种方法称为改进平方根法．
24
分解实现
25
第一步：分解
3 3 5 1
3 5
9
l21
1
d1
d2
1 l21 l31
1
l32
5 9 17 l31 l32 1
d3
1
d1
3；l21d1
3 l21
1；l31d1
5
l31
5 3
；l221d1
d2
5
d2
2
l31l21d1
l32d2
根据乘积求导公式可得，在点xj处的导数 f’(x)=…+a0(x-x1)(x-x2)…(x-xj-1) (x-xj+1)…(x-xn)+… → f’(xj)=a0(xj-x1)(xj-x2)…(xj-xj-1) (xj-xj+1)…(x-xn40)
1. 若f(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an有互不相 同的n个实根x1, x2, …, xn. 试证明：
一般的情况（A=f(x1,…,xn)）
误差限： (A)
n k 1
f xk
(
xk
)
相对误差限：
r
r ( A)
( A)
A
n k 1
f xk
(
xk
)
A
特别的情况（f(x)）
( f (x)) f (x) (x)
36
37
综合复习II
往届补考卷
38
1. 若f(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an有互不相 同的n个实根x1, x2, …, xn. 试证明：
P3(x) 20 (x) 121(x) 0 (x) 1(x)
其中 0 (x)
1
2( x
1)
1 1 3
x3 1 3
2
1 4
x(x
3)2
1 ( x)
1
2( x
3)
1 3 1
x 12 3 1
1 4
(4
x)( x
3)2
0 ( x)
(x
1)
x3 1 3
2
1 4
(x
1)( x
3)2
(10 99)10 (10 9.9499)10 0.99627047 1013
1 (10 99)10
1 (10 9.9499)10
0.100136581012
复习
误差的定义 有效数字的定义 数值运算的误差估计
33
误差的定义方式
定义1 设x*是精确值x的近似值，称 e* = x* – x 为近似值x*的绝对误差．
9 l32
2；l321d1
l322d2
d3
17
d3
2 3
26
第二步：求解
1 15 3
1 2
1
z1 z2 z3
10 16 30
z1 z2 z3
10 6 4 3
3 0 0
2 0
2 3
y1 y2 y3
10 6 4 3
y1 y2 y3
9
第二步：加入P4’(1)=1 ， P4’(3)=-1的要求
P4 (x) P2 (x) ( Ax B)(x 1)(x 2)(x 3)
由 ,得A=-7/2,B=9/2
P4
(x)
3x2
7x
6
(
7 2
x
9 )( x 2
1)( x
2)( x
3)
P4
(x)
7 2
x4
51 2
x3
125 2
x2