数理逻辑-总结_
(完整版)数理逻辑简介
(4) 请把门关上！ (5) x 是有理数。 (6) 地球外的星球上也有人。
例1、判断下列句子中哪些是命题。 (7) 明天有课吗？
(8) 本语句是假的。 (9) 小明和小林都是三好生。
(10) 小明和小林是好朋友。 判断一个语句是否为命题，首先看是否为陈
述句，再看其真值是否唯一。 命题常项，命题变项均用 p, q, r, 表示。
原语句化为 p (q r) s 。
第二节 命题公式及分类
内容：命题公式，重言式，矛盾式，可满足公式。 重点：(1) 掌握命题公式的定义及公式的真值表。
(2) 掌握重言式和矛盾式的定义及使用真 值表进行判断。
一、命题公式 通俗地说，命题公式是由命题常项，命题变项，
联结词，括号等组成的字符串。
是否重言式 。
例1、判断 A, B两公式是否等值。 (1) A ( p q)，B p q
解：作真值表如下：
例1、判断 A, B两公式是否等值。 (2) A p q ，B ( p q) (q p)
解：作真值表如下：
二、重要等值式。
1、交换律 A B B A ，A B B A
(1) ( p q) ( p q)
(2) ( p q) p q q p
(3) ( p q) q
(4) ( p p) q (5) p ( p q)
例4、给定命题公式如下，请判断哪些是重言式， 哪些是矛盾式，哪些是可满足式？
(6) p q p p
(7) ( p q) ( p q)
设 p ：我上街， q ：我去书店看看，
r ：我很累。
原语句化为 r ( p q)(或 (r p) q)。
(5) 小丽是计算机系的学生，她生于1982或1983年， 她是三好生。 设 p ：小丽是计算机系的学生， q ：小丽生于1982年， r ：小丽生于1983年， s ：小丽是三好生。
数理逻辑小结
分类
重言式、矛盾式、可满足式
逻辑有效式、矛盾式、可满足式
等值演算
等值公式
逻辑等值式
基本：双重否定律
命题等值式代换实例
交换律
量词分配律
结合律
量词否定转化等值式
分配律
量词辖域扩张与收缩
德.摩根律
全称与合取、析取、蕴涵
等幂律
存在与合取、析取、蕴涵
同一律
有限个体域量词消去
零律
吸收律
重要：蕴涵等价式
数理逻辑小结
命题逻辑
谓词逻辑
概念
基本概念
命题：
谓词：
联结词：
否定、合取、析取、蕴涵、等价
量词：
全称量词、存在量词
命题常元、命题变元
个体常元（项）、个体变元（项）、
个体（论）域 辖域、指导变元、约束变元、自由变元
分类
原子命题、复合命题
一元谓词、n元谓词
公式
递归定义
命题公式
谓词公式
翻译
真值指派与语句形式化
量词分配推理定律
规则
前提引入
结论引入
置换规则
附加前提规则
反证推理规则
全称量词消去规则UI
全称量词引入规则UG
存在量词消去规则EI
存在量词引入规则EG
其它
最小完备集、对偶定律
闭式
等价等值式
逆反律
输出律
归谬律
规则
代入规则
换名规则
置换规则
代替规则
范式
方法
主析取范式：极小项析取
主合取范式：极大项合取
真值扩张、规则
推理
概念
形式结构、前提、结论、推理正确
数学逻辑知识点总结
数学逻辑知识点总结数学逻辑是数学的一个重要分支，它研究的是数学命题和论证的形式结构。
通过数学逻辑，我们可以建立数学的基础，推导定理，解决问题，拓展数学知识，并且可以应用到现实生活中，如计算机科学、哲学、语言学等方面。
本文将对数学逻辑的基本知识点进行总结，包括命题逻辑、谓词逻辑、集合论和函数论等。
一、命题逻辑1. 命题：在逻辑学中，命题是能够判断真假的陈述句，如“2+2=4”、“地球是圆的”等。
命题可以用P、Q、R等字母表示。
2. 连词和量词：在命题逻辑中，常用的连词包括合取（∧，表示且）、析取（∨，表示或）、蕴涵（→，表示如果……，那么……）和双条件（↔，表示当且仅当）；常用的量词包括全称量词（∀，表示所有）和存在量词（∃，表示存在）。
3. 逻辑运算：命题逻辑中的逻辑运算是指对命题进行组合，例如通过合取和析取可以得到新的复合命题，通过蕴涵和双条件可以得到含有条件关系的复合命题。
4. 真值表：真值表是一种描述命题逻辑运算的方法，通过真值表可以对不同的命题组合情况进行分类和分析，从而确定命题的真假。
5. 推理规则：在命题逻辑中，有一些常用的推理规则，如假言推理、析取三段论、排中律和矛盾律等，通过这些规则可以根据已知的真假条件得出新的结论。
6. 归结原理：归结原理是命题逻辑的一个重要理论，在归结原理中，通过归结的方法可以判断一个命题是否可满足，从而进行逻辑推理。
二、谓词逻辑1. 谓词：在谓词逻辑中，谓词是一种对对象进行描述的函数，例如“x>y”、“P(x)”等。
谓词可以分为一元谓词、二元谓词等，分别表示一个对象的性质和两个对象之间的关系。
2. 量词和谓词演算：在谓词逻辑中，引入了量词和谓词演算的概念，量词包括全称量词和存在量词，而谓词演算则是一种形式化的逻辑推理方法，通过对谓词的操作和替换，可以得到新的谓词表达式。
3. 谓词逻辑的语义和语法：谓词逻辑是一种复杂的逻辑系统，它包括语义和语法两个方面，通过语义可以理解谓词的含义和推理规则，通过语法可以对谓词进行形式化的描述和分析。
数理逻辑 第三章 数学推理 数学归纳法
这样就证明了从P(n)得出P(n+1) 在第二个等式中我们使用了归纳假设P(n) 因为P(1)为真，而且对所有正整数n来说
P(n)→P(n+1)为真，所以，由数学归纳法原 理就证明了对所有正整数n来说P(n)为真
四、数学归纳法的例子
例：用数学归纳法证明：对所有正整数n 来说不等式n<2n
来说P(k)为真，要完成归纳步骤就必须证明 在这个假定下P(n+1)为真
五、数学归纳法的第二原理
例：证明：若n是大于1的整数，则n可以 写成素数之积
解：分两种情况考虑：当n+1是素数时和当 n+1是合数时。若n+1是素数，则P(n+1)为 真；若n+1是合数，则可以将其表示成两个 整数a和b之积，其中a、b满足 2≤a≤b≤n+1
3.2 数学归纳法 Mathematical Induction
一、引言
前n个正奇数之和的公式是什么？ 对n=1,2,3,4,5来说，前n个正奇数之和为：
1=1，1+3=4，1+3+5=9， 1+3+5+7=16，1+3+5+7+9=25
猜测前n个正奇数之和是n2 假如这个猜测是正确的，我们就需要一
三、数学归纳法
用数学归纳法证明定理时
首先证明P(1)为真，然后知道P(2)为真，因 为P(1)蕴含P(2)
P(3)为真，因为P(2)蕴含P(3) 以这样的方式继续下去，就可以看出对任
意正整数k来说P(k)为真
数学归纳法的形象解释
三、数学归纳法
为什么数学归纳法是有效的？
数理逻辑总结
数理逻辑总结数理逻辑总结一、概念数理逻辑（mathematical logic）是一门根据数学的思维模式和方法在表述语言和推理思维上进行分析和作用的逻辑学课程。
它是一门用来研究和分析与计算机科学有关的严谨思维和验证的逻辑学科。
数理逻辑从宏观意义上讲，是指用符号抽象的方法来描述，定义，表示和理解各种基础数学系统的知识，以及这些系统中定理的证明等。
二、历史数理逻辑（mathematical logic）由古典逻辑演化而来，它最早由古希腊的哲学家亚里士多德（Aristotle）创立，但是由于他的古典逻辑只涉及到了辩论中的质问和概括推理，并未涉及到像数学中的严谨性，所以不能科学地处理逻辑问题。
直到二十世纪中期，数理逻辑才发展到其现在的状态。
首先，德国数学家彼得拉多斯（Petr Lusitr）提出了系统性的作为符号逻辑学的主要著作被称为《符号逻辑学》。
随后，德国数学家卡尔·贝尔（Carl Brel）提出了一种新的逻辑秩序，用以把命题逻辑系统中的各个命题放置于命题结构之中，称为贝尔结构，他也提出了用来支持贝尔结构的证明系统。
在二十世纪五十年代，英国数学家霍华德·劳夫（Howard Lawford）引入了前言逻辑系统，并从多种角度改进了古典逻辑，使其变成一种非常完善的数学系统。
三、特点数理逻辑有它独特的特点，其一是抽象性。
数理逻辑采用抽象方法，把问题表达为一系列标准的符号，然后用逻辑证明的方法求解。
抽象的好处是可以把问题简化，可以有效地发现和解决复杂的问题。
其次，数理逻辑有其严谨性。
数理逻辑用符号语言来描述和表达问题，采用公理-定理的方法证明结果，使得结果更加准确可靠。
最后，它有其实用性。
数理逻辑可以被看作是一种被证明准确可靠的结构性思维规范，它可以用于描述，定义，表示，理解多种数学系统，以及证明系统中的定理，实际上也被广泛应用于计算机科学领域，极大地推动了计算机技术的发展。
四、应用数理逻辑在计算机科学中有着重要的应用。
数理逻辑(Mathematical Logic)
数理逻辑（MathematicalLogic）数理逻辑(Mathematical logic)是用数学方法研究诸如推理的有效性、证明的真实性、数学的真理性和计算的可行性等这类现象中的逻辑问题的一门学问。
其研究对象是对证明和计算这两个直观概念进行符号化以后的形式系统。
数理逻辑是数学基础的一个不可缺少的组成部分。
数理逻辑的研究范围是逻辑中可被数学模式化的部分。
以前称为符号逻辑（相对于哲学逻辑），又称元数学，后者的使用现已局限于证明论的某些方面。
历史背景“数理逻辑”的名称由皮亚诺首先给出，又称为符号逻辑。
数理逻辑在本质上依然是亚里士多德的逻辑学，但从记号学的观点来讲，它是用抽象代数来记述的。
某些哲学倾向浓厚的数学家对用符号或代数方法来处理形式逻辑作过一些尝试，比如说莱布尼兹和朗伯（Johann Heinrich Lambert）；但他们的工作鲜为人知，后继无人。
直到19世纪中叶，乔治·布尔和其后的奥古斯都·德·摩根才提出了一种处理逻辑问题的系统性的数学方法（当然不是定量性的）。
亚里士多德以来的传统逻辑得到改革和完成，由此也得到了研究数学基本概念的合适工具。
虽然这并不意味着1900年至1925年间的有关数学基础的争论已有了定论，但这“新”逻辑在很大程度上澄清了有关数学的哲学问题。
在整个20世纪里，逻辑中的大量工作已经集中于逻辑系统的形式化以及在研究逻辑系统的完全性和协调性的问题上。
本身这种逻辑系统的形式化的研究就是采用数学逻辑的方法.传统的逻辑研究（参见逻辑论题列表）较偏重于“论证的形式”，而当代数理逻辑的态度也许可以被总结为对于内容的组合研究。
它同时包括“语法”（例如，从一形式语言把一个文字串传送给一编译器程序，从而转写为机器指令）和“语义”（在模型论中构造特定模型或全部模型的集合）。
数理逻辑的重要著作有戈特洛布·弗雷格（Gottlob Frege）的《概念文字》（Begriffsschrift）、伯特兰·罗素的《数学原理》（Principia Mathematica）等。
数理逻辑思想总结
数理逻辑思想总结数理逻辑是一门重要的数学分支，它研究的是符号语言的形式推理，以及由此推导出的结论的正确性与有效性。
数理逻辑在数学、计算机科学、哲学等领域都起着重要的作用。
在学习和研究数理逻辑的过程中，我深深感受到了数理逻辑思想的独特之处和强大的推理能力。
首先，数理逻辑强调严密的推理和推导。
通过建立明确的语言符号系统，可以精确地描述和表达各种思想和观点。
数理逻辑采用形式语言来表达问题，使得问题的解决过程变得一目了然、准确无误。
借助数理逻辑的思维方式，我们可以把复杂的问题分解为简单的命题，而后通过逻辑演算的推导，得到问题的准确解答。
数理逻辑的推理过程具有严密性、一致性和确定性，可以避免主观因素的干扰，使得推理结果具有普遍适用性。
其次，数理逻辑具有运算性和可计算性的特点。
在数理逻辑中，可以通过运算和推理规则来进行复杂问题的求解。
数理逻辑利用演算法和证明方法，可以准确地推导出结论。
通过在逻辑系统中引入合适的运算规则，可以将复杂的问题转化为可计算的过程，进而得到准确的答案。
数理逻辑让复杂问题变得可操作，使得问题的解决过程更加简单高效。
此外，数理逻辑的思想也强调形式化和抽象化的能力。
通过将具体问题进行抽象，我们可以得到问题的一般解，进而可以应用于其他相似的问题。
数理逻辑通过引入公理系统和形式化符号系统，将问题抽象化为一般形式，使得问题的求解和推理更加普遍化。
这种形式化和抽象化的思维方式帮助我们从具体事物中抽取出本质特征，深入理解问题的本质，进而可以灵活地应用于各种不同的情境中。
最后，数理逻辑思想的发展也推动了科学和技术的进步。
数理逻辑所提供的推理方法和形式化语言，为科学研究和技术发展提供了强有力的工具。
在计算机科学中，数理逻辑思想被广泛应用于算法设计、编程语言等方面，为计算机科学家提供了严密的推理基础。
在人工智能领域，数理逻辑的理论和方法被用于构建智能推理引擎，实现机器推理和自动判断。
数理逻辑的思维方式和推理能力影响了科学研究的方向和方法，促进了科学的进步和创新。
数理逻辑
数理逻辑又称符号逻辑、理论逻辑。
它是数学的一个分支，是用数学方法研究逻辑或形式逻辑的学科。
其研究对象是对证明和计算这两个直观概念进行符号化以后的形式系统。
数理逻辑是数学基础的一个不可缺少的组成部分。
虽然名称中有逻辑两字，但并不属于单纯逻辑学范畴。
所谓数学方法就是指数学采用的一般方法，包括使用符号和公式，已有的数学成果和方法，特别是使用形式的公理方法。
用数学的方法研究逻辑的系统思想一般追溯到莱布尼茨，他认为经典的传统逻辑必须改造和发展，是之更为精确和便于演算。
后人基本是沿着莱布尼茨的思想进行工作的。
简而言之，数理逻辑就是精确化、数学化的形式逻辑。
它是现代计算机技术的基础。
新的时代将是数学大发展的时代，而数理逻辑在其中将会起到很关键的作用。
逻辑是探索、阐述和确立有效推理原则的学科，最早由古希腊学者亚里士多德创建的。
用数学的方法研究关于推理、证明等问题的学科就叫做数理逻辑。
也叫做符号逻辑。
数理逻辑的产生利用计算的方法来代替人们思维中的逻辑推理过程，这种想法早在十七世纪就有人提出过。
莱布尼茨就曾经设想过能不能创造一种“通用的科学语言”，可以把推理过程象数学一样利用公式来进行计算，从而得出正确的结论。
由于当时的社会条件，他的想法并没有实现。
但是它的思想却是现代数理逻辑部分内容的萌芽，从这个意义上讲，莱布尼茨可以说是数理逻辑的先驱。
1847年，英国数学家布尔发表了《逻辑的数学分析》，建立了“布尔代数”，并创造一套符号系统，利用符号来表示逻辑中的各种概念。
布尔建立了一系列的运算法则，利用代数的方法研究逻辑问题，初步奠定了数理逻辑的基础。
十九世纪末二十世纪初，数理逻辑有了比较大的发展，1884年，德国数学家弗雷格出版了《数论的基础》一书，在书中引入量词的符号，使得数理逻辑的符号系统更加完备。
对建立这门学科做出贡献的，还有美国人皮尔斯，他也在著作中引入了逻辑符号。
从而使现代数理逻辑最基本的理论基础逐步形成，成为一门独立的学科。
(完整版)数理逻辑知识点总结
(完整版)数理逻辑知识点总结什么是数理逻辑？数理逻辑是一门研究命题、命题之间关系以及推理规律的学科。
它运用数学的方法来研究逻辑的基本概念和原理，用符号表示和描述逻辑概念，以及通过推理规则对命题进行推导。
命题与逻辑连接词1. 命题是陈述性语句，例如，“今天是晴天”。
在逻辑中，常用字母p、q、r等表示命题。
2. 逻辑连接词是用来构建复合命题的词语，例如，“与”、“或”、“非”等。
常用的逻辑连接词有：- “与”（合取）：表示两个命题同时为真；- “或”（析取）：表示两个命题中至少有一个为真；- “非”（否定）：表示对命题的否定。
命题逻辑的推理规则1. 合取分配律（并）：(p ∧ q) ∧ r = p ∧ (q ∧ r)2. 析取分配律（或）：(p ∨ q) ∨ r = p ∨ (q ∨ r)3. 合取律（并）：p ∧ p = p4. 析取律（或）：p ∨ p = p5. 否定律：¬(¬p) = p6. De Morgan定律：- ¬(p ∧ q) = ¬p ∨ ¬q- ¬(p ∨ q) = ¬p ∧ ¬q命题的等价性1. 蕴含：p → q 表示当p为真时，q也为真；2. 等价：p ↔ q 表示当p与q同时为真或同时为假时成立。
命题逻辑的证明方法1. 直接证明法：直接证明命题的真假；2. 反证法：假设命题为假，推导出矛盾，得出命题为真；3. 归谬法：假设命题为真，推导出矛盾，得出命题为假；4. 数学归纳法：通过证明基础情形和推导情形的真假来证明命题。
数理逻辑的应用数理逻辑在计算机科学、数学推理、形式语言学和人工智能等领域有广泛的应用。
它能够帮助我们分析问题、进行推理以及验证和证明复杂的命题。
在算法设计、数据库查询优化、自然语言处理等方面发挥着重要作用。
以上是关于数理逻辑的基本知识点总结，希望能对您有所帮助。
数理逻辑总结-zhou
16
用CP规则证明下式：
（x）（y）(P(x) Q(y)) (x)P(x) (y)Q(y) 解：1、(x)P(x) P规则（附加前提） 2、P(a) ES规则和1 3、（x）（y）(P(x) Q(y)) P规则 4、（y）(P(a) Q(y)) US规则和3 5、P(a) Q(y) US规则和4 6、Q(y) T规则2和5 7、(y)Q(y) UG规则和6 8、(x)P(x) (y)Q(y) CP规则1和7
15
证明
(1) (2)
(3)
xF ( x) y (G( y ) H ( y )) xM ( x) yG( y ) P
P
x( F ( x) M( x))
P （附加前提）
(4) xF ( x) xM ( x) (5) xF ( x) (6) y (G( y ) H ( y )) (7) xM ( x) (8) (9) (10) (11) (12) (13)
6 证明下一蕴含式
xP( x) xQ( x) x( P( x) Q( x))
11
证法一：
此题等价于证明
((xP( x) xQ( x)) x( P( x) Q( x))) 1
根据 (P Q) R P (Q R)
此题又等价于证明
xP( x) (xQ( x) x( P( x) Q( x))) 1
T， (2)
T， (3)
(5)
xP( x) Q(a)
T， (4)
(6)
xP( x) Q(a)
T， (5)
(2)
xF ( x) y (G ( y ) H ( y )), xM ( x) yG ( y ) x( F ( x) M ( x)) yH ( y )
数理逻辑总结
数理逻辑总结
概述
数理逻辑是数学与逻辑学的一种结合，它以数学的方法研究逻辑的结构，探讨逻辑的内容和其它抽象结构之间的联系。
它是数学分支学科和基础学科之一，是研究逻辑学的基本理论。
概念
数理逻辑研究的对象是逻辑的基本概念，其中主要包括以下几个概念：
一、谓词逻辑
谓词逻辑是一种表达主观看法的逻辑，它表示谓词（如“苹果是红色的”）在封闭系统中的真假状态，可以用一种形式化表示。
二、图论
图论是一门应用数学思想对图形进行描述分析的学科，用来描述现实中的图形关系，图形的构成，图形以及图形上的点，边和面等。
三、模型理论
模型理论是研究形式语言和模型的学科，用来分析和构造特定模型的有效方法，还涉及其它各种复杂系统的表达。
四、证明论
证明论是一种对真假性证明进行分析的学科，研究关于真假的证明的规则，分析如何从已知的真实性来推出新的真实性，以及有关如何构建不同种类的逻辑证明的方法。
发展
数理逻辑是一门新兴的学科，自20世纪50年代以来不断发展，在整个20世纪都取得了重大突破。
数理逻辑有多种应用，包括计算机科学，逻辑计算机，物理学，经济学，人工智能等。
集合与数理逻辑知识点总结
集合与数理逻辑知识点总结
1. 集合基础知识
- 集合是由一组元素组成的整体。
- 集合中的元素是无序的，并且每个元素只能在集合中出现一次。
- 可以用大写字母来表示集合，例如：A，B，C。
- 可以使用集合的描述法来定义集合，例如：A = {1, 2, 3}。
- 两个集合相等当且仅当它们具有相同的元素。
2. 集合运算
- 并集：两个集合A和B的并集，表示为A ∪ B，包括A和B 中的所有元素。
- 交集：两个集合A和B的交集，表示为A ∩ B，包括同时属于A和B的元素。
- 差集：集合A相对于集合B的差集，表示为A - B，包括在A中但不在B中的元素。
- 补集：集合A相对于全集U的补集，表示为A'，包括在U 中但不在A中的所有元素。
3. 数理逻辑基础知识
- 数理逻辑是研究逻辑关系和推理过程的数学分支。
- 命题是陈述句，可以为真或假。
- 逻辑运算包括合取（与）、析取（或）和否定（非）运算。
- 命题逻辑是研究命题之间的逻辑关系的数理逻辑分支。
4. 数理逻辑运算
- 合取：命题p和q的合取，记作p ∧ q，表示当且仅当p和q 都为真时的命题。
- 析取：命题p和q的析取，记作p ∨ q，表示当p和q中至少有一个为真时的命题。
- 否定：命题p的否定，记作¬p，表示p的反命题，即当p为真时，¬p为假；当p为假时，¬p为真。
以上是集合与数理逻辑的一些基础知识点总结，希望对您有所帮助。
(完整版)数理逻辑知识点总结
(完整版)数理逻辑知识点总结
1. 命题逻辑
命题逻辑是研究命题之间的逻辑关系的数理逻辑分支。
以下是
一些重要的知识点：
- 命题：表示一个陈述或主张，可以是真或假。
- 真值表：用来列出命题的所有可能的真值组合。
- 逻辑运算符：包括非、与、或、条件、双条件运算符，用于
连接命题和构建复合命题。
- 析取范式和合取范式：将复合命题化简为仅使用或和与的形式。
- 等价式：表示两个命题具有相同真值的逻辑等式。
- 推理法则：如假言推理、拒取推理等，用于推导出新的命题。
2. 谓词逻辑
谓词逻辑是研究带有变量的陈述的逻辑。
以下是一些重要的知
识点：
- 谓词：带有变量的陈述，可以是真或假。
- 量词：包括全称量词和存在量词，用于约束变量的取值范围。
- 集合论：涉及集合的概念和运算，如并、交、补运算。
- 等价式和蕴含式：类似于命题逻辑中的等价式和推理法则，
但针对谓词逻辑的带有变量的陈述。
3. 非经典逻辑
非经典逻辑是指那些违背经典逻辑法则的逻辑系统。
以下是一
些常见的非经典逻辑：
- 模糊逻辑：处理模糊概念的逻辑系统，将命题的真值从严格
的真或假扩展到连续的真假之间。
- 异质逻辑：处理具有多个真值的逻辑系统，如三值逻辑、多
值逻辑等。
- 归纳逻辑：推理从特殊到一般的逻辑系统，用于从观察到的
个别事实中推断出一般规律。
- 模态逻辑：处理可能性和必然性的逻辑系统，用于描述可能
的世界和必然的真理。
以上是数理逻辑的部分知识点总结，希望对您有所帮助。
数理逻辑总结
2 命题逻辑
(5)判断公式类型的方法(真值表、等价公式变换、主范式) (5) 判断公式类型的方法(真值表、等价公式变换、主范式)； 判断公式类型的方法 (6)判定两公式是否具有等价和蕴含关系的方法。 (6) 判定两公式是否具有等价和蕴含关系的方法。 判定两公式是否具有等价和蕴含关系的方法
总结
第一章 命题逻辑
总结
第一章
3. 命题公式间的关系 (1)命题公式间的等价关系( (1) 命题公式间的等价关系( A ⇔ B ) 命题公式间的等价关系 (2)命题公式间的蕴含关系( (2) 命题公式间的蕴含关系( A ⇒ B ) 命题公式间的蕴含关系 (3)基本的等价式； (3) 基本的等价式； 基本的等价式 (4)基本的蕴含式； (4) 基本的蕴含式； 基本的蕴含式
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7.符号化下列命题并推证其结论的有效性。 7.符号化下列命题并推证其结论的有效性。 符号化下列命题并推证其结论的有效性 明天是晴天，或者是下雨；如果是晴天， １、明天是晴天，或者是下雨；如果是晴天， 我就去看电影；如果我去看电影， 我就去看电影；如果我去看电影，我就不看 结论：如果我在看书，则天在下雨。 书。结论：如果我在看书，则天在下雨。 首先符号化， 解：首先符号化，并令 Ｐ：明天是晴天 明天是晴天。 Ｐ：明天是晴天。 Ｑ：明天下雨 明天下雨。 Ｑ：明天下雨。 Ｒ：明天我去看电影 明天我去看电影。 Ｒ：明天我去看电影。 Ｓ：明天我看书 于是问题可描述成： 明天我看书。 Ｓ：明天我看书。于是问题可描述成：
5、求出下式的主析取范式 、 1）¬（P→Q）∧（R→P） ） → ） → ） 2）（ →Q）→（R∨P） ）（P→ ） ）（ ∨ ） 解：1）¬（P→Q）∧（R→P）=¬（¬P∨Q）∧（¬R∨P） ） → ） → ） ¬ ∨ ） ∨ ） =（P∧¬ ）∧（¬R∨P） ∧¬Q） （ ∧¬ ∨ ） =（P∧¬ ∧¬ ）∨ （P∧¬ ） ∧¬Q∧¬ ∧¬Q） （ ∧¬ ∧¬R） ∧¬ =（P∧¬ ∧¬ ）∨ （P∧¬ ∧ R）∨（P∧¬ ∧ ¬R） ∧¬Q∧¬ ∧¬Q∧ ） ∧¬Q∧ （ ∧¬ ∧¬R） ∧¬ ∧¬ ） 2）（ →Q）→（R∨P）=（¬P∨Q）→（R∨P） ）（P→ ） ）（ ∨ ） （ ∨ ） ∨ ） =¬（¬P∨Q）∨（R∨P） ¬ ∨ ） ∨ ） =（P∧¬ ）∨（R∨P） ∧¬Q） （ ∧¬ ∨ ） =（P∨R）∧ （P∨¬ ∨R） ∨¬Q （ ∨ ） ∨¬ ） =（P∨Q∨R）∧ （P∨¬ ∨R） ∨¬Q （ ∨ ∨ ） ∨¬ ） =∏M0M2 ∏ =∑m1,m3,m4,m5,m6,m7 ∑ =(¬P∧¬ ∧ R) ∨(¬P∧Q∧ R) ∨(P∧¬ ∧¬ ∨(P∧¬ ∧R) ∧¬Q∧ ∧¬Q∧¬ ∧¬Q∧ ¬ ∧¬ ¬ ∧ ∧ ∧¬ ∧¬R) ∧¬ ∧¬R) ∨(P∧Q∧¬ ∨(P∧Q∧R) ∧ ∧¬ ∧ ∧
01-数理逻辑知识总结
前提 对命题1使用存在实例 对命题2使用化简律 前提
5. C(a)→P(a) 6. P(a)
对命题4使用全程实例 对命题3和5使用假言推理
7. ¬B(a)
对命题2使用化简律
8. P(a)˄¬B(a) 9. x(P(x)˄¬B(x))
对命题6和7使用合取律 对命题8使用存在引入
反向推理法
思考题：54张扑克牌，两个轮流拿，每人每次必须且 只能拿1-4张牌，谁拿到最后一张牌就输了。为了确保 先拿牌的人获胜，应该先拿（ 3 ）张牌。
推理之论证形式
1. 选择谓词： C(x): “x是班里的学生”； B(x): “x读过这本书”； P(x): “x通过了第一次考试” 2. 构建论证形式
x(C(x)˄¬B(x)) x(C(x)→P(x)) ∴x式
步骤
理由
1. x(C(x)˄¬B(x)) 2. C(a)˄¬B(a) 3. C(a) 4. x(C(x)→P(x))
离散数学
软通学院庞科 2020年3月24日
第一章 数理逻辑总结
1. 知识点总结 2. 练习
学习目标
掌握第一章关于命题、量词、永真式的定义 掌握真值表、逻辑等价、自然推理、证明的使 用 掌握命题、量词的应用
本节难点
掌握真值表、逻辑等价、自然推理、证明的 使用
（一）定义
1 知识点总结
命题：对确定的对象作出判断的陈述句
全称量词、存在量词、论域、嵌套量词
谓词与量词
例子
〉有人勇敢，但不是所有人都勇敢
〉勇敢者未必是成功者
或
〉君子坦荡荡，小人常戚戚
〉张三孤独走完一生
或
1 知识点总结
论证：是指一连串的命题，其中，除了最后一个以外的命
总结-数理逻辑
一阶逻辑中的重要等值式
消去量词等值式 设个体域为有限集 D={ a1, a2,…, an }, 则有 (1) x A(x) A(a1) ∧ A(a2) ∧ … ∧ A(an) (2) x A(x) A(a1) ∨ A(a2) ∨ … ∨ A(an)
量词否定等值式 设 A(x) 是任意的含自由出现个体变项 x 的公式，则 (1) ┐xA(x) x ┐A(x) (2) ┐xA(x) x ┐A(x)
(9)析取三段论规则 AB B
A
(10)构造性二难推理规则
AB CD AC BD
(11)破坏性二难推理规则
AB CD BD AC
(12) 合取引入规则 A B
AB
命题逻辑的推理
推理的形式结构 推理的前提 推理的结论 推理正确
判断推理是否正确的方法 真值表法 等值演算法 主析取范式法
拒取式
(5) (A∨B)∧┐B A
析取三段论
(6) (A→B) ∧ (B→C) (A→C)
假言三段论
(7) (AB) ∧ (BC) (A C)
等价三段论
(8) (A→B)∧(C→D)∧(A∨C) (B∨D) 构造性二难 (A→B)∧(┐A→B)∧(A∨┐A) B 构造性二难 (特殊形式)
中文系学生，则她爱看小说，可是，王红不爱看小说，张超是计算 机学生。所以，李志不是计算机学生。 ❖ 若 n 是偶数并且大于5，则 m 是奇数。只有 n 是偶数，m 才大于6。 n大于5。所以，若 m 大于6，则 m 是奇数。 将下列命题符号化 ❖ 任意的偶数 x 与 y 都有大于1的公约数 ❖ 存在奇数 x 与 y 没有大于1的公约数
❖ 在同一推理的证明中，如果既要使用 UI 规则，又要使用 EI 规则，一 定要先使用EI规则，后使用 UI 规则，而且 UI 规则使用的个体常项一 定是EI规则中使用过的。
数理逻辑：理解命题逻辑和谓词逻辑的概念和应用
推理规则：谓词逻辑的推理规则包括演绎推理、归纳推理和类比推理等，这些规则用于推导新的命题或证明已有 命题。
应用领域：谓词逻辑在数学、哲学、语言学和计算机科学等领域有广泛的应用，是形式化方法的重要基础。
混合逻辑的概念： 结合了经典逻辑和 非经典逻辑的推理 系统
推理过程：在命题逻辑中，推理过程通常包括前提和结论两个部分。前提是已知的事实或命 题，结论是根据推理规则从前提推导出的新命题。
应用领域：命题逻辑广泛应用于计算机科学、人工智能、数学、哲学等领域，用于描述和推 导各种逻辑关系和命题之间的联系。
定义：谓词逻辑是一种基于谓词的推理系统，用于研究命题之间的关系。
数据库查询语言： 使用逻辑语言查询 数据库中的数据
人工智能：逻辑在 人工智能领域中的 应用，如专家系统 和自然语言处理
人工智能中的逻辑推理：数理逻辑在机器学习、自然语言处理等领域中的应用，如推理、 归纳等。
人工智能中的知识表示：数理逻辑在知识图谱、专家系统等领域中的应用，如概念、命 题等。
人工智能中的规划与优化：数理逻辑在机器人学、物流优化等领域中的应用，如路径规 划、任务调度等。
定义：自然推理法是一种基于自然语言描述的推理方法，通过逻辑规则和语义理解来进行推理。
特点：自然推理法具有自然性和可理解性，能够模拟人类思维中的推理过程，使得推理结果更加符合人类的认知 和理解。
应用：自然推理法在人工智能、知识表示与推理、自然语言处理等领域有广泛的应用，例如在问答系统、智能助 手、机器翻译等领域中用于实现智能化的推理和决策。
数理逻辑的推理规 则
结论：结论是从前提中推导 出来的
前提：命题逻辑中的推理基 于前提和结论
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逻辑、数学、计算机科学
z
亚里士多德 z
欧几里得 z
莱布尼兹 z
罗素 z
图灵 z
哥德尔 z
赫布兰德 z
塔尔斯基 z
逻辑联结词与公式
z 逻辑联结词
{合取
{析取
{异或
{蕴涵
{
等价
{
z 完全集与极小完全集
{
{
{
{
z 结构归纳
{递归定义、第二数学归纳法
{结构归纳定义
{
结构归纳证明 符号化
适当选择基本命题, 将自然语言语句表示为命题逻辑公式. 真值
z 真值表 数理逻辑基本内容
l l {\,[,Z }{\,> }{),?}{@}
z
公式的真值、唯一性 z 代入取值性质
z 取值无关性质
假设 与 是两个真值赋值, 若对 中出现的每个命题变元 , 都有
则
永真式
z
替换实例 z
可满足式 z
不可满足式、永假式、矛盾式 z 永真式、重言式
等值演算
基本规律
z
双重否定律 z
排中律 z
矛盾律 z
假言移位 z
幂等律 z
交换率 z
结合律 z
分配律 z
德摩根律 z
吸收律 z
同一律 z 零律
等值证明
对偶定理
范式
v(A p 1,l ,p n B 1,l ,B n )=v[p 1/v(B 1),l ,p n /v(B n )](A).v 1v 2A p v 1(p)=v 2(p),v 1(A)=v 2(A).
z
简单合取、简单析取 z
合取范式、析取范式 z 主合取范式、主析取范式
逻辑推论
基本定义:
基本性质:
. (单调性) . (反证法) (三段论)
(演绎定理)
, , , 归结法
z 基本概念
{文字
{相反文字
{子句
{空子句
{
子句集合
{可满足 > X A.D X A D ,D d X A
!!!!!!!!!!!!!!!!!D ,\A X B 且D ,\A X\B D X A
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!D X A 且D X A > B D X B
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!.D ,A X B D X A >
B !!!!!!!!!!!!!!!!!!!.D X A [B D X A !!!!!!!!!!!!!!!!!D X A [B D X B
!!!!!!!!!!!!!!!!!.D X A 且D X B D X A [B
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!.D ,A X C 且D ,B X C D ,A Z B X C
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!.D X A D X A Z B !!!!!!!!!!!!!!!!!D X A D X B Z A
!!!!!!!!!!!!!!!!!.D X A ?B 且D X A D X B !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!D X A ?B 且D X B D X A
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!.D ,A X B 且D ,B X A D X A ?B
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!.
{
归结子句 {反驳
z 基本方法
{删除一对相反文字
{
反证法 z 可靠性完备性及其证明
公理系统
z 基本概念
{公理
{规则
{推演
{
证明 z 形式推演
{
{ 且 则
{
{
z 基本性质
{演绎定理
{可靠性
{完备性
{
紧致性 从命题逻辑到谓词逻辑
z
自然语言语句引起的悖论 z
命题逻辑及难解问题 z
纯粹基于命题逻辑语句表示某些事实是困难的 z 谓词逻辑语句更强表达能力
项和公式
z 一阶语言
z
结构归纳定义:项、公式
z 结构归纳证明:项代入性质、公式代入性质 U p > p > U p > q > U p > (q > r )> U p > r U\p >
(p > q )l
z
自由变元、约束变元 z 可代入
符号化
z 形式语言的语句表示基于自然语言描述的事实
z 整数基本性质的符号化
z 实数基本性质的符号化
z 符号化一些基本点
{仅可以使用给定符号表
{
公式是有限长字符串 解释和赋值
z
解释和赋值 z
项的值、公式的值 z
取值唯一性 z
全称与存在在有限模型中的特性 z 两个重要定理
{代入取值性质
{
取值无关性质 永真式
z
重言式是永真式 z 存在与全称的关系
给定一阶语言 及它的一个公式 , 且 是变元. 则
z
全称规则
给定一阶语言 , 假设 是 的公式, 是不同的变元, 是 的项, 对于 中的 是可代入的. 则
其中代换 为 等值演算
z
等值替换 是永真的. 是永真式.
L A x,y ^x ]yA >
]y ^xA L A L x 1,l ,x n t 1,l ,t n L t 1,l ,t n A x 1,l ,x n ]x 1l]x n A > 5(A)5{x 1/t 1,l ,x n /t n }.
给定一阶语言 及它的公式 , 假设 . 定义 是把 中 的某些出现替换为 得到的字符串.则
z 量词转换
给定一阶语言 , 假设 是变元, 是 的公式. 则
z 约束换名
给定一阶语言 , 假设 是变元, 是 的公式. 假设 不是 的自由变元, 且 对于 中的 是可代入的. 则
z
辖域更改
给定一阶语言 , 假设 及 是变元, 及 是 的公式, 不是 的自由变元. 则
这些用于将公式转换为前束范式. 范式
公式形式转换
z
前束范式 z
无存在量词的前束范式 z Skolem范式
是一个公式,且 .
.
.
..
L A,B,C A E B D C A B D C E D L x A L \]xA E^x \A \^xA E]x \A L x,y A L y A y A x ^xA E^yA x y ]xA E]yA x y L x y A B L x B ]x(A Z B)E]xA Z B.
]x(A [B)E]xA [B.
]x(A >
B )E^xA > B .]x(B > A )E B > ]xA.
^x(A Z B)E^xA Z B.
^x(A [B)E^xA [B.
^x(A >
B )E]xA > B .^x(B > A )E B > ^xA.
保持可满足性
z
存在量词替换为常元 z 存在量词替换为函数
逻辑推论
基本定义:
更多性质:
(-左规则) (-右规则)
(-左规则) (-右规则)
其中
z 是变元, 是项
z
是公式 z 是公式集合 且项与变元满足以下条件:
z -左规则 对 中的 是可代入的
z -右规则
对 中的 是可代入的, 不在 中自由出现 z -左规则
对 中的 是可代入的, 不在 中自由出现 z
-右规则
对 中的 是可代入的 归结法
z
基本概念 > X A.D ,A x t X B D ,]xA X B
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!]D X A x y
D X]xA
!!!!!!!!!!!!!!!!!]D ,A x y X B D ,^xA X B
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!^D X A x t
D X^xA !!!!!!!!!!!!!!!!!^x,y t A,B,C D ,D d ]t A x ]y A x y D ^y A x y D P {B}^t A x
{
相反文字 {
子句 {
空子句 {
子句集合 {
可满足 {
归结子句 {反驳
z 特殊性质
{代换
{无限多归结子句
{
多种证明 z 可靠性
基于解释赋值方法证明 z
完备性
{赫布兰德域
{赫布兰德解释
{命题逻辑与谓词逻辑 公理系统
z 基本概念
{公理
{规则
{推演
{
证明 z 形式推演
{
若 , 则 . {
若 则 {
z 基本性质
{演绎定理
{变元替换
{
可靠性
{完备性 > U ]xA > U A x t > U A > B > U ]xA > ]xB l
自动定理证明
z实际问题
z符号化
z子句化
z寻找反驳
z问题求解
高等逻辑
z模型论
z完备性证明
z二阶逻辑
z可判定性
z谓词逻辑半可判定性 z初等几何可判定性 z哥德尔不完备性
z模态逻辑
z时态逻辑与程序验证 z形式化方法
z 全部
l。