数理逻辑-总结_
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逻辑、数学、计算机科学
z
亚里士多德 z
欧几里得 z
莱布尼兹 z
罗素 z
图灵 z
哥德尔 z
赫布兰德 z
塔尔斯基 z
逻辑联结词与公式
z 逻辑联结词
{合取
{析取
{异或
{蕴涵
{
等价
{
z 完全集与极小完全集
{
{
{
{
z 结构归纳
{递归定义、第二数学归纳法
{结构归纳定义
{
结构归纳证明 符号化
适当选择基本命题, 将自然语言语句表示为命题逻辑公式. 真值
z 真值表 数理逻辑基本内容
l l {\,[,Z }{\,> }{),?}{@}
z
公式的真值、唯一性 z 代入取值性质
z 取值无关性质
假设 与 是两个真值赋值, 若对 中出现的每个命题变元 , 都有
则
永真式
z
替换实例 z
可满足式 z
不可满足式、永假式、矛盾式 z 永真式、重言式
等值演算
基本规律
z
双重否定律 z
排中律 z
矛盾律 z
假言移位 z
幂等律 z
交换率 z
结合律 z
分配律 z
德摩根律 z
吸收律 z
同一律 z 零律
等值证明
对偶定理
范式
v(A p 1,l ,p n B 1,l ,B n )=v[p 1/v(B 1),l ,p n /v(B n )](A).v 1v 2A p v 1(p)=v 2(p),v 1(A)=v 2(A).
z
简单合取、简单析取 z
合取范式、析取范式 z 主合取范式、主析取范式
逻辑推论
基本定义:
基本性质:
. (单调性) . (反证法) (三段论)
(演绎定理)
, , , 归结法
z 基本概念
{文字
{相反文字
{子句
{空子句
{
子句集合
{可满足 > X A.D X A D ,D d X A
!!!!!!!!!!!!!!!!!D ,\A X B 且D ,\A X\B D X A
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!D X A 且D X A > B D X B
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!.D ,A X B D X A >
B !!!!!!!!!!!!!!!!!!!.D X A [B D X A !!!!!!!!!!!!!!!!!D X A [B D X B
!!!!!!!!!!!!!!!!!.D X A 且D X B D X A [B
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!.D ,A X C 且D ,B X C D ,A Z B X C
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!.D X A D X A Z B !!!!!!!!!!!!!!!!!D X A D X B Z A
!!!!!!!!!!!!!!!!!.D X A ?B 且D X A D X B !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!D X A ?B 且D X B D X A
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!.D ,A X B 且D ,B X A D X A ?B
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!.
{
归结子句 {反驳
z 基本方法
{删除一对相反文字
{
反证法 z 可靠性完备性及其证明
公理系统
z 基本概念
{公理
{规则
{推演
{
证明 z 形式推演
{
{ 且 则
{
{
z 基本性质
{演绎定理
{可靠性
{完备性
{
紧致性 从命题逻辑到谓词逻辑
z
自然语言语句引起的悖论 z
命题逻辑及难解问题 z
纯粹基于命题逻辑语句表示某些事实是困难的 z 谓词逻辑语句更强表达能力
项和公式
z 一阶语言
z
结构归纳定义:项、公式
z 结构归纳证明:项代入性质、公式代入性质 U p > p > U p > q > U p > (q > r )> U p > r U\p >
(p > q )l
z
自由变元、约束变元 z 可代入
符号化
z 形式语言的语句表示基于自然语言描述的事实
z 整数基本性质的符号化
z 实数基本性质的符号化
z 符号化一些基本点
{仅可以使用给定符号表
{
公式是有限长字符串 解释和赋值
z
解释和赋值 z
项的值、公式的值 z
取值唯一性 z
全称与存在在有限模型中的特性 z 两个重要定理
{代入取值性质
{
取值无关性质 永真式
z
重言式是永真式 z 存在与全称的关系
给定一阶语言 及它的一个公式 , 且 是变元. 则
z
全称规则
给定一阶语言 , 假设 是 的公式, 是不同的变元, 是 的项, 对于 中的 是可代入的. 则
其中代换 为 等值演算
z
等值替换 是永真的. 是永真式.
L A x,y ^x ]yA >
]y ^xA L A L x 1,l ,x n t 1,l ,t n L t 1,l ,t n A x 1,l ,x n ]x 1l]x n A > 5(A)5{x 1/t 1,l ,x n /t n }.