6-2矩阵的合同关系

信息系 刘康泽
上面三个式子的右边显然仍是对称阵。这就是说： 上面三个式子的右边显然仍是对称阵。这就是说：对 三个式子的右边显然仍是对称阵 对称矩阵进行一次同类型的初等行与列的变换， 进行一次同类型的初等行与列的变换 所得矩阵 对称矩阵进行一次同类型的初等行与列的变换， 仍然是对称矩阵。 仍然是对称矩阵。 设 A = (aij ) n×n , aij = a ji , i , j = 1, 2, ⋯ , n
Λ1 O O O 则 D1 D2 = O Λ = O 。 O O 2 于是 C T ACD2 = D1 D2 = O ，
即 也即
ACD2 = (C ) O = O ，
T −1
ACD2C T = OC T = O ，
T
对称， 令 B = CD2C ，则 B 对称， r (B) = r ( D2 ) = n − r ， 且满足
例 2 设 A 是 n 阶可逆实对称矩阵， A 与 − A 合同， 阶可逆实对称矩阵， 合同， 且 必为偶数。 则 n 必为偶数。 证明：由假设知，存在可逆 可逆的矩阵 证明：由假设知，存在可逆的矩阵 C ，使得
− A = C T AC 2 n 两边取行列式有（ 两边取行列式有（注意到 A ≠ 0 ） ( −1) A = C A ， ：
T
C AC = B ， 合同， 则称 A 与 B 合同，记为 A ≃ B 。
根据上面的讨论立即得： 根据上面的讨论立即得： 定理】 【定理】 一个二次型经非奇异线性变换后仍变为二次 且新二次型矩阵与原二次型的矩阵合同。 型，且新二次型矩阵与原二次型的矩阵合同。
T
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合同关系具有以下性质： 合同关系具有以下性质：
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设 阶实对称矩阵， 【定理】 A 是 n 阶实对称矩阵， 定理】 则总存在可逆矩阵 成为对角阵， C ，使得 C T AC 成为对角阵，即
d1 d2 C T AC = ⋱ dn 也即，实对称矩阵总能合同对角化。 也即，实对称矩阵总能合同对角化。 证明： 是对称阵， 证明：由于 A 是对称阵，且
于是 A = C
( )
T
B = C AC ，
T
−1
BC
−1
= (C
−1 T
) B (C ) ，
−1
也合同。 从而 B 与 A 也合同。
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（3）传递性： 如果 A 与 B 合同， B 与 D 合同，则 传递性： 合同， 合同， A 与 D 也合同。即若 A ≃ B ，且 B ≃ D ，则 A ≃ D 。 合同。
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如果 a11 = 0 ，且所有 aii = 0 ，若至少有一个
ai1 ≠ 0 (i ≠ 1) ，则先将第 i 行加到第 1 行，再将第 i 列
所得矩阵的第 列元素非零。 加到第 1 列，所得矩阵的第 1 行、第 1 列元素非零。
综上， 综上，可不放假设 a11 ≠ 0 。
ai1 先将第 1 行的 − 倍加到第 i 行 (i = 2,3,⋯ , n) ， a11 a i1 a1i 再将第 1 列的 − 倍（即 − 倍）加到第 i 列 a11 a11 (i = 2,3,⋯ , n) ，得：
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a11 a12 ⋯ a1n a11 0 ⋯ 0 0 b22 ⋯ b2 n → 0 b22 ⋯ b2 n A→ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 bn 2 ⋯ bnn 0 bn 2 ⋯ bnn a11 O = ， O A1
即存在可逆的 使得： 即存在可逆的 C ，使得：
C T AC = D1
O O 取 D2 = , 其中 Λ2 = diag ( dr +1, dr +2 ,⋯, dn ) ， O Λ2
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r ( D2 ) = n − r ， (d j ≠ 0, j = r + 1,⋯ , n)
如果 a11 = 0 ，若至少有一个 aii ≠ 0 (i ≠ 1) ， 则先交换 1 , i 两行， 两行， 两列， 再交换1 , i 两列， 这样就将 aii 交 列的位置。 换到第 1 行、第 1 列的位置。
0 ⋯ a1i ⋯ a1n aii ⋯ ai1 ⋯ ain ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ai1 aii ain → a1i 0 a1n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a ⋯ a ⋯ a a ⋯ a ⋯ a ni nn n1 nn n1 ni
Ps ⋯ P P AP1 P2 ⋯ Ps = D 。
T T 2 T 1
可逆， 令 C = P1 P2 ⋯ Ps ，显然 C 可逆，
则
d1 d2 T 。 C AC = D = ⋱ dn
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阶实对称矩阵， 例 4 设 A 是 n 阶实对称矩阵， r ( A) = r ，则存在秩 为 n − r 的实对称矩阵 B ，使得 AB = O 。
⇒ C = (−1) n > 0 ， 故n必为偶数。 必为偶数。 必为偶数
2
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例 3 单位矩阵 E 与 − E 在实数域上不合同。 在实数域上不合同。
证明：若存在实可逆矩阵 证明：若存在实可逆矩阵 C ，使得 可逆
− E = C T EC = C T C T 由于 C C 的主对角线上的元素全是 C 中各列元素 的平方和，它们都大于或等于零， 的平方和，它们都大于或等于零，但 − E 的主对角线上的 元素全都小于零，矛盾！ 在实数域上不合同。 元素全都小于零，矛盾！故 E 与 − E 在实数域上不合同。
A1 则 0
T 1
0 B1 与 A2 0
T 2
0 合同。 合同。 B2
证明：由假设知，存在可逆的 证明：由假设知，存在可逆的 C1 与 C 2 ，使得 可逆
C A1C1 = B1 , C A2C 2 = B2 ，
C1 0 可逆， 令C = ， C = C1 C 2 ≠ 0 ，故 C 可逆，且 0 C2
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第 6-2 节 矩阵的合同关系
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根据上节的讨论二次型 经过异线性变换 上节 变成新 X = CY 变成新二次型 Y BY ，则原二次型的矩阵 A 与 有满足： 新二次型的矩阵 B 有满足：
T
T
C AC = B 。
设 阶矩阵， 【定义】 A 和 B 为两个 n 阶矩阵， 定义】 如果存在一个 n 阶可逆矩阵 C ，使得
E (i , j ) AE (i , j ) = E (i , j ) AE (i , j ) ,
T
E (i (k )) AE (i (k )) = E T (i (k )) AE (i (k )) , E ( j , i (k )) AE (i , j (k )) = E T (i , j (k )) AE (i , j (k )) .
反身性： n 阶矩阵 A 与其本身合同， A ≃ A 。 与其本身合同， （ 1） 反身性： 即
A = E T AE ，所以 A ≃ A 。 证明 显然有
合同， 也合同， （2）对称性：如果 A 与 B 合同，则 B 与 A 也合同， 对称性： 即 A ≃ B ，则 B ≃ A 。
合同， 证明 因 A 与 B 合同，所以存在可逆矩阵 C ，使得
阶的对称阵。 重复上述过程， 于是 A1 是 n − 1 阶的对称阵。对 A1 重复上述过程， 依次下去……。 依次下去……。 ……
则对 A 进行一系列的同类型的初等行与列的变换， 进行一系列的同类型的初等行与列的变换， 可 以将 A 变成对角阵 D 。
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使得： 这相当于存在初等矩阵 P1 , P2 ,⋯ , Ps ，使得：
证明： 因为 r ( A) = r ， A 必与下面的 D1 矩阵合同： 矩阵合同： 证明： 故
Λ1 O D1 = , 其中 Λ1 = diag ( d1 , d 2 ,⋯, d r ) ， O O
r ( D1 ) = r (d i ≠ 0 , i = 1, 2,⋯ , r ) ，
AB = O 。
合同， 合同， 证明 因为 A 与 B 合同， B 与 D 合同，所以存在可 逆矩阵 C1 ， C 2 ，使得
T C1T AC1 = B , C 2 BC 2 = D ，
则
( C1C2 )
T
A ( C1C 2 ) = D ，
可逆， 合同。 而 C1C 2 = C1 C 2 ≠ 0 ，故 C1 C 2 可逆，故 A 与 D 合同。
A T 1 C 0 0 C1T C = A2 0 0 A1 T C2 0 0 C1 0 A2 0 C 2
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A T 1 即C 0
所以
0 C1T AC1 0 B1 0 1 = C = T A2 C2 A2C2 0 B2 0 A1 0 B1 0 合同。 与 合同。 0 A2 0 B2
上述(1)(2)(3) (1)(2)(3)表明矩阵的合同关系是一个 【注 1】上述(1)(2)(3)表明矩阵的合同关系是一个 等价关系。 等价关系。 合同的矩阵具有相同的秩。 【注 2】合同的矩阵具有相同的秩。
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合同， 合同， 例 1 设 A1 与 B1 合同， A2 与 B2 合同，