第三部分 数值积分 代数精度与误差

ab 其中 c 2

b a
ba H 3 ( x )dx H 3 (a ) 4 H 3 (c ) H 3 (b ) 6
f ( ) 2 f ( x) H3( x) ( x a )( x c ) ( x b ) 4!
(4)
R2 [ f ] f ( x )dx S ( f )
插值型求积公式：
余项 Rn [ f ] a
b
f ( ) n 1 ( x )dx ( n 1)!
( n 1)
求积公式的代数精度
定义 如果求积公式
I n ( f ) Ak f ( xk )
k 0
n
对一切不高于m次的多项式都恒成立，而对于某个 m+1次多项式不能精确成立，则称该求积公式具有 m次代数精度。
Simpson公式
b a
设 f ( 4) ( x ) 连续
R2 [ f ] f ( x )dx S ( f )
构造次数不超过3次的多项式 H 3 ( x ) ，满足：
H3 (a ) f (a ), H3 (b) f (b) H3 (c ) f (c ), H3 (c ) f (c )
b a
n b k 0
b n a
l
k 0 n k 0
k
( x ) f ( x k )dx
f ( x k ) l k ( x )dx Ak f ( x k ) a
其中
Ak l k ( x )dx
b a
b a
n 1 ( x )dx ( x x k ) n 1 ( x k )
误差与代数精度
数值积分公式的一般形式：
n
()
I n ( f ) Ak f ( xk )
k 0
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b a
f ( x )dx
Rn ( f ) f ( x )dx Ak f ( xk )
b a k 0
n
插值型求积公式：

b a
f ( x )dx Ln ( x )dx
b a b a 4 ( 4) ( ) f ( ) 180 2
Cotes公式
b a
设f
( 6)
( x) 连续
R4 [ f ] f ( x )dx C ( f )
2(b a ) b a 6 ( 6 ) ( ) f ( ) 945 4
（补充：Newton—Cotes求积公式的误差估计） （1）当n为偶数时，如果 f C
( n 2 )
[a, b，则 ]
Rn [ f ] C n h
其中
n3
f
(n 2)
( )
n 1 2 Cn 0 t (t 1)(t n)dt ( n 2)!
( n1)
（2）当n为奇数时，如果 f C
[a, b] ，则
其中
Rn [ f ] C n h
n 2
f
( n 1)
b b
Simpson公式
I 2 ( f ) Ak f ( xk ) A0 f ( x0 ) A1 f ( x1 ) A2 f ( x2 )
k 0
2
ba ab S( f ) f ( a ) 4 f ( 2 ) f ( b) 6
3次代数精度
k 0
1
ba T( f ) f (a ) f (b ) 2
1次代数精度
梯形公式
f ( ) R1[ f ] f ( x )dx T ( f ) ( x a )( x b )dx a a 2! f ( ) b f ( ) 3 a ( x a )( x b)dx 12 (b a ) 2!
( )
n 1 Cn 0 t (t 1)(t n)dt ( n 1)!
定理：形如
I n ( f ) Ak f ( xk )的求积公式至少
k 0
n
有n次代数精度的充要条件是它是插值型求积公式。
证明：
充分性
设它是插值型求积公式
2 n
当
f ( x) 1,x,x , , x
b a b b
S ( f ) H 3 ( x )dx
b a b
f ( x )dx H 3 ( x )dx f ( x ) H 3 ( x ) dx a a a (4) b f ( ) 2 ( x a )( x c ) ( x b )dx a 4! f ( 4 ) ( ) b 2 a ( x a )( x c ) ( x b )dx 4!
b b
积分第一中值定理
如果函数f(x)、g(x)在闭区间[a,b]上可积, 且
g(x)在[a,b]上不变号, 则在积分区间[a,b]上至少存
在一个点ξ, 使下式成立:
梯形公式
f ( ) R1[ f ] f ( x )dx T ( f ) ( x a )( x b )dx a a 2! f ( ) b f ( ) 3 a ( x a )( x b)dx 12 (b a ) 2!
Rn [ f ]
b a ( n 1)
时，
f ( ) n 1 ( x )dx 0 ( n 1)!
即它对所有不超过n次的多项式精确成立，故至少有n次 代数精度。
必要性
设求积公式至少有n次代数精度
则对所有不超过n次的多项式求积公式精确成立
取
f ( x ) l k ( x ) k 0 , 1, 2 , , n
l k ( x )dx A j l k ( x j ) Ak a
b j0 n
因此求积公式 I
n
( f ) Ak f ( x k ) 是插值型的。
k 0
n
求积公式的代数精度 定理： 求积公式
I n ( f ) Ak f ( xk )
k 0
n
具有次m代数精度的充要条件是
2 3
f ( x) 为
m
1、x、x 、x x
不能成为等式。
f ( x ) 为 x m 1时求积公式 时求积公式精确成立，而
代数精度 的判别方 法
梯形公式
I1 ( f ) Ak f ( xk ) A0 f ( x0 ) A1 f ( x1 )