无穷级数内容小结

1.数项级数：

∑∞

=1

n n

u

，称∑==

n

i k

n u

s 1

为前n 项部分和。

若存在常数 s,使n n s s ∞→=lim ，则称级数收敛，s 为该级数的和；否则级数发散。

2.数项级数性质：1)

∑∞

=1

n n

Cu

=C

∑∞

=1

n n

u

；2)若级数

∑∞

=1

n n

u

，

∑∞

=1

n n

v

收敛于σ,s ，则级数

∑∞

=±1

n n n

v u

收敛于σ±s ；3）

级数中去掉，增加或改变有限项，敛散性不变；4）收敛级数任意加括号所得的级数仍收敛，且其和不变。5）若级数

∑∞

=1

n n

u

收敛，必有0lim =∞

→n n u

3．两个重要级数：1）几何级数：

∑∞

=-1

1

n n aq

=ΛΛ+++++-1

2n aq

aq aq a (0≠a )

若,1

q

a

-1，若,1≥q 级数发散。 2）p 级数：

∑∞

=11n p n

=ΛΛ+++++p

p p n 1

31211（p>0） 若p>1,级数收敛；若1≤p ，级数发散；当p=1时，调和级数

∑∞

=1

1

n n 发散。 4．正项级数审敛法：对一切自然数n,都有0≥n u ，称级数

∑∞

=1

n n

u

为正项级数

方法：1）比较审敛法：设

∑∞

=1n n

u

和

∑∞

=1

n n

v

都是正项级数，且n n v u ≤（n=1,2,…）若级数

∑∞

=1

n n

v

收敛，则级数

∑∞

=1

n n

u

收敛；若级数∑∞

=1n n u 发散，则∑∞

=1n n v 发散。2）比较审敛法的极限形式：若l v u n

n

n =∞→lim )0(+∞<

=1n n u 和∑∞=1n n

v 同时收敛或同时发散。3）比值审敛法：若ρ=+∞→n n n u u 1lim ，则若p<1,级数收敛；若1>p )lim (1∞=+∞→n

n n u u

包括，级

数发散；当p=1时，

级数可能收敛，也可能发散。4根值审敛法：若ρ=∞

→n n n u lim ，则若p<1,级数收敛；若1>p )lim (∞=∞

→n n n u 包括，

级数发散；当p=1时，级数可能收敛，也可能发散。

5.交错级数的莱布尼茨审敛法：设

∑∞

=--1

1

)

1(n n n u 为交错级数，若1)对一切N 有n n u u ≤+1；2）0lim =∞

→n n u ，则级

数

∑∞

=--1

1

)

1(n n n u 收敛，且其和1u s ≤.

6.级数的绝对收敛和条件收敛：若∑∞

=1

n n

u

收敛，则级数

∑∞

=1

n n

u

绝对收敛；若

∑∞

=1

n n

u

收敛，而

∑∞

=1

n n

u

发散，则级数

∑∞

=1

n n

u

条件收敛。

7．幂级数

n

n n

x a

∑∞

=0

的收敛半径 收敛区间：对任意一个幂级数n n n x a ∑∞

=0

，都存在一个R,,0+∞≤≤R 使对一切

R x <都有级数n n n x a ∑∞

=0

绝对收敛，而当R x >时级数发散。称R 为该幂级数

的收敛半径，（-R,R ）为收敛区间。当幂级数只在x=0一点收敛时，R=0;当对一切x 幂级数都收敛时+∞=R

8.收敛半径、区间的求法：对幂级数

n

n n x a ∑∞

=0

，若ρ=+∞

→n

n n a a 1lim

，则当ρ为非零正数时，ρ

1

=

R ;当0=ρ时，

+∞=R ；当+∞=ρ时，R=0

9.幂级数的性质：1）（和函数连续性）设幂级数的收敛半径为R(+∞≤

s(x)在][)),,(R R R

R --（或上连续。2）（逐项积分）⎰

=

x

dt t s 0

)(dt t a n

x

n n )(0

⎰

∑∞==dt t a n

n x

n ∑⎰∞

=0

=1

1+∞

=∑

+n n n x n a ，且前后收敛半径相同 3）逐项可导：)(x s '=)(

'∑∞

=n

n n

x a

=)(0

'∑∞

=n

n n x a =10

-∞

=∑n n n x na ，且前后收敛半径相同

10.函数的幂级数展开式：f(x)在点0x x =附近有任意阶导数，称幂级数

)(0x f +))((00x x x f -'+2

00)(!

2)(x x x f -''++

Λn n x x n x f )(!)(00)(-Λ+ 为0)(x x f 在点处的泰勒级数，并称!)

(0)(n x f a n n =（Λ,2,1,0=n ）为0)(x x f 在点处的泰勒系数，特别地，当

00=x 时，称幂级数