13函数极限的性质及运算法则

2
lim ( x 2 − 5 x + 4 )
x →1
lim ( 2 x − 3)
x →1
0 = =0 −1
2x - 3 故有上节定理 5知 , lim 2 =∞ x →1 x − 5 x + 4
2x3 − x2 + 2 . 例 6 求 lim 2 x →∞ 3 x − 5 x + 1 2 3x − 5x + 1 解 有例 3的结果 lim = 0 及上节定理 5, 知 3 2 x →∞ 2 x − x + 2 3 2 2x − x + 2 lim =∞ 2 x →∞ 3 x − 5 x + 1 由上面各例题的结果 , 可得下面一般形式 : 0, m < n a 0 x m + a1 x m −1 + L + a m a 0 lim = ,m = n n n −1 x →∞ b x + b x + L + bn 0 1 b0 ∞, m > n
x → x0
ˆ ˆ x0点的某个去心临域 N ( x0 , δ ), 使得当 x ∈ N ( x0 , δ )时, f ( x ) > 0(或 f ( x ) < 0). 证 只证 a > 0的情形 . 因为 lim f（ x） a，所以对于任意给定的 ξ > 0, 总 =
x → x0
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ˆ 存在 δ > 0, 使当 x ∈ N ( x0 , δ )时, 有
1.3函数极限的性质及运算法则
本节只就x → x0时的情形进行讨论， → ∞ x 时的情形有完全类似的 结果.
一 函数极限的性质及运算法则 定理1（函数极限的唯一性定理） 如果函数极限 存在，那么极限值只有一个。 证 用反证法.设 lim f ( x) = a, lim f ( x) = b, 且a ≠ b.不妨
上面两个步骤合起来 , 就可以得到 : 对于任意给定的
ξ > 0, 总存在 δ > 0, 使当0 < x − x0 < δ时, 总有
f [ϕ ( x )] − f ( a ) < ξ 成立 , 所以 lim f [ϕ ( x )] = f ( a )
x → x0
上式也可写作 lim f [ϕ ( x )] = f [ lim ϕ ( x )] = f ( a )此时表
(3)现在取
ξ = 1, 则上式化为
有
ˆ f ( x ) − a < 1 于是当 x ∈ N ( x0 , δ )时, f ( x) < M
f ( x) = f ( x) − a + a ≤ f ( x) − a + a < 1 + a
ˆ 令 M = 1 + a , 则当 x ∈ N ( x0 , δ )时, 有
时成立，所以有 f（x） g（x）（a + b） + −
<
ξ
x → x0 2 2 = lim f（x） lim g（x） a + b 定理5中的（1）、（2） + = x → x0 x → x0
+
ξ
=ξ
因此 lim[ f ( x ) + g（x） ]
可推广到有限个具有极 限的函数中去。 注意函数的连续性本质 上是用极限定义的，有 定理5 我们立即得到如下的： 推论 如果函数 f（x）和 g（x）在 x0点连续，则它们的 和、差、积 f（x） g（x）， f（x）g（x）在 x0点也连续； ± f（x） 如果 g（x0） 0，则它们的商 ≠ 在x0点也连续。 g （ x）
ˆ 取δ = min {δ 0，δ 1 } ，则当 x ∈ N（x0，δ）时 f（x） 0和 < f ( x ) ≥ 0应同时成立 , 显然矛盾 .因此 a ≥ 0. 定理 5 如果 lim f ( x ) = a, lim g ( x 0 = b, 则有
x → x0 x → x0
(1) lim [ f ( x ) ± g ( x )] = lim f ( x ) ± lim g ( x ) = a ± b;
x → x0 x → x0 x → x0
( 2) lim [ f ( x ) g ( x )] = lim f ( x ) ⋅ lim g ( x ) = a ⋅ b;
x → x0 x → x0 x → x0
f ( x ) x→ x0 a (3) lim = = (b ≠ 0). x → x0 g ( x ) lim g ( x ) b
u→a
证 因为函数 f（ u ）在 u = a处连续，即 lim f（ u ） f（ a ） = 所以，对任意给定的 ξ > 0, 总存在 η > 0, 使当 u − a < η 时 ,
总有 f（ u） f（ a）< ξ 又因为 lim ϕ ( x ) = a , 所以对上述 −
x → x0
η , 总存在 δ > 0, 使当0 < x − x0 < δ时, 总有 ϕ ( x ) - a = u − a < η成立 .
ˆ 故 f ( x )为去心临域 N ( x0 , δ )内的有界函数 .
对比数列极限的情形，读者会发现，上述两定理的证 明与节1.2中的定理1,定理2的证明是非常类似的. 下面再给出三个定理.读者可就数列极限的情形写出类 似的结果.
定理 3 如果 lim f（ x） a，且 a > 0(或 a < 0), 则存在 =
定理6 如果 lim f（x） 0，g（x）在x0的某去心临域内 =
x→ x0
有界，则 lim f（x）g（x） 0 =
x→ x0
ˆ 证 设g（x）在x0的某一临域 N（x0，δ 1）内是有界的， ˆ 则存在 M > 0, 使得当 x ∈ N（x0，δ 1）时, 总有 g ( x) ≤ M (7)又因为 lim f（x） 0, 所以对任意给定 =
x → x0
f ( x) g ( x) − 0 = f ( x) g ( x) = f ( x) g ( x) <
ξ
⋅M =ξ
lim ϕ （ x） a =
而函数 y = f（ u ）在 u = a 处连续，则复合
函数 y = [ϕ （ x）在 x0处极限存在并等于 f（ a ），即 ]
x → x0
lim f [ϕ （ x） = f（ a ） ]
x→ x0 x→ x0
设a < b.由函数极限的定义知, 对任意给定的ξ > 0, 总存 在δ 1 > 0, 使得0 < x - x 0 < δ 1时, 总有 f ( x) − a < ξ (1) 和δ 2 > 0, 使得0 < f ( x) − b < δ 2时, 总有 f ( x) − b < ξ (2) b−a 现在取ξ = , δ = min{δ 1 , δ 2 }, 则当0 < x − x0 < δ时, 2
a+b (1)式和（ 2）式同时成立 .但由(1)时可知 f ( x ) < .所 2 以 a = b.即如果函数的极限存在 , 那么极限值只有一个 . 定理 2 如果 lim f ( x ) = a , 所以对于任意给定的 ξ > 0, 存
x → x0
ˆ 在 δ > 0, 使得当 x ∈ N ( x0 , δ )时, f ( x ) − a < ξ
x→1
3x 2 − 5 x + 1 例3 求 lim 3 . 2 x →∞ 2 x − x + 2 解 由于当 x → ∞时, 分子和分母的极限都是 无穷大, 故不能直 接用本节定理 5的运算法则 (3), 现在用 x 3除分子和分母 , 然后求 3 5 1 − 2+ 3 3x 2 − 5 x + 1 x x x = 0 =0 极限, 可得 lim 3 = lim 2 x →∞ 2 x − x + 2 x→∞ 1 2 2 2− + 3 x x 5x 4 + 6 x 2 − 8 例4 求 lim 4 . 3 2 x→∞ 8 x + 3 x + x 解 先用x 4除分子和分母 , 然后求极限 , 得
x → x0
lim f ( x )
证 我们只证 (1)中的加法情形 , 其他各条件证明方法类
似，从略. 由于 lim f ( x) = a, lim g ( x) = b, 则对于任意给的定ξ > 0,
x→ x0 x→ x0
ˆ 总存在δ 1 > 0和δ 2 > 0, 使得当x ∈ N ( x0 , δ 1 )时, 有 f ( x) − a < ξ / 2 (5) ˆ 当x ∈ N ( x0 , δ 2 )时, 有 g ( x) − b < ξ / 2 (6) ˆ 取δ = min{δ 1 , δ 2 }, 则当x ∈ N ( x0 , δ )时, (5)、（6）两式同 = [ f（x） a ] + [ g（x） b] ≤ f（x） a + g（x） b − − − −
f ( x) − a < ξ
既 a − ξ < f ( x) < a + ξ f ( x) > 0.
(4)
现在取ξ ≤ a, 则a − ξ ≥ 0,由(4)式知f ( x) > 0.既当, 定理4 如果 lim f ( x) = a, 且存在δ 0 > 0, 使当
x→x0
ˆ x ∈ N ( x0 , δ 0 )时, f ( x) ≥ 0(或f ( x) ≤ 0), 则a ≥ 0(或a ≤ 0). 证 只证f ( x) ≥ 0的情形, 用反证法. ˆ 设a < 0, 则由定理3知, 存在δ 1 > 0, 使当x ∈ N ( x0 , δ 0 )时, f ( x) < 0.
x→ x0
ˆ 的ξ > 0, 存在δ 2 > 0, 使得当 x ∈ N（x0，δ 2）时, 总有 f ( x) − 0 = f ( x) < ξ / M ˆ x ∈ N（x0，δ）时, (7)和(8)式同时成立 , 所以有
(8) 取δ = min{δ 1 , δ 2 }, 则当
M 由连续性定义及定理 2，定理 6中关于 g （ x）有界的假 设可换成 g （ x）在 x0处连续。 定理 7 设函数 u = ϕ （ x）在 x0处极限存在，且等于 a ，即
3 x 2 v（x）
解
3
lim 6 x 3 + 2 x 2 + 5） lim 6 x 3 + lim 2 x 2 + lim 5 = （
x →2 x →2 x →2 x →2 2
= 6 ⋅ 2 + 2 ⋅ 2 + 5 = 61 2x − 2 例2 求 lim 2 。 x→1 x − 1 解 当x → 1时，分母的极限为零，不能直接用本节 定理5.但因分子及分母有公因子x − 1, 而x → 1时, x ≠ 1, 故可约去这个公因子.所以 lim 2 2x − 2 2 2 x→1 lim 2 = lim = = =1 x→1 x − 1 x→1 x + 1 lim( x + 1) 2
x → x0 x → x0
明, 在定理 7的条件下 , 求复合函数 f [ϕ ( x )]的极限时 , 函数
符号f与极限符号lim 和可交换次序。 推论 设函数u = ϕ（x）在x0点连续，u 0 = ϕ（x0）； ] 函数y = f（u）在u 0点连续，则复合函数y = f [ϕ（x） 在x0点连续。 证 因为函数u = ϕ（x）在x0点连续，u 0 = ϕ（x0），所 = = 以 lim ϕ（x） ϕ（x0） u 0又因为函数y = f（u）在u 0点
6 8 5+ 2 − 4 5x4 + 6x2 − 8 x x =5 lim 4 = lim 3 2 x →∞ 8 x + 3 x + x x →∞ 3 1 8 8+ + 2 x x 2x - 3 例 5 求 lim 2 . x →1 x − 5 x + 4 解 因为当 x → 1时 , 分母的极限为零 , 所以不能直接应用本 节定理 5求此极限 .但因 x − 5x + 4 = lim x →1 2x − 3
x→x0
7 连续，有本节定理 即知，有 lim f [ϕ（x）= f [ lim ϕ（x）= f [ϕ（x0） ] ] ]
x→x0 x→x0
]在 所以复合函数y = f [ϕ（x） x0点连续。 定理7及推论常用于计算极 限,例如极限过程 替换或变量替换（见本节后面的例10 - 14等)以及幂 指函数u（x） 求极限问题等（见节 例2). 1.5 定理8 若函数 y = f ( x)是区间I x 上的单调连续函数, 则它的反函数x = ϕ ( x)在对应区间 I y ={y y = f ( x), x ∈ I x } 上也是单调连续函数. + 2 x 2 + 5). 例 1 求 lim(6 x →