13函数极限的性质及运算法则
函数极限的四则运算法则
函数极限的四则运算法则函数极限是数学中重要的概念之一，它在数学分析和微积分中有着广泛的应用。
四则运算法则指的是对函数进行加减乘除运算时，其极限的运算规则。
在本文中，我们将对四则运算法则进行详细的说明。
1.加法法则：如果有两个函数 f(x) 和 g(x)，且它们的极限都存在，则它们的和的极限等于两个极限的和，即lim(x→a) [f(x) + g(x)] = lim(x→a)f(x) + lim(x→a) g(x)。
证明如下：假设lim(x→a) f(x) = L1，lim(x→a) g(x) = L2，我们需要证明lim(x→a) [f(x) + g(x)] = L = L1 + L2根据极限的定义，我们可以找到两个足够小的正数ε1和ε2，使得当0<，x-a，<δ1时，有，f(x)-L1，<ε1，当0<，x-a，<δ2时，有，g(x)-L2，<ε2取δ = min{δ1, δ2}，则当 0 < ，x-a，< δ 时，有，f(x) - L1，< ε1 且，g(x) - L2，< ε2此时，我们可以将不等式，f(x)-L1，+，g(x)-L2，<ε1+ε2转化为不等式，f(x)+g(x)-(L1+L2)，<ε1+ε2根据极限的定义，当，f(x) + g(x) - (L1 + L2)，< ε1 + ε2 时，有，x - a，< δ，即证明了lim(x→a) [f(x) + g(x)] = L1 +L22.减法法则：如果有两个函数 f(x) 和 g(x)，且它们的极限都存在，则它们的差的极限等于两个极限的差，即lim(x→a) [f(x) - g(x)] = lim(x→a) f(x) - lim(x→a) g(x)。
证明方法与加法法则类似，略。
3.乘法法则：如果有两个函数 f(x) 和 g(x)，且它们的极限都存在，则它们的乘积的极限等于两个极限的乘积，即lim(x→a) [f(x) * g(x)] =lim(x→a) f(x) * lim(x→a) g(x)。
函数极限的运算
1 2 x 1 cos x 1 2 解 : lim lim x 0 x si n x x 0 x x 2
25
例17设
x 2x k lim 4， 求k的 值 。 x 3 x3
2
解:由题意可知，当x→3时，x2-2x+k和x-3是 同阶无穷小．
即 lim( x 2 2 x k ) 0
9
例8
3x 2 x 1 lim 2 x 2 x x 5
3
解 因为当x→∞时，类型为“
大与无穷小的关系，
”型未定式，
且分子中的x指数大于分母中x的指数．根据无穷
2 1 5 2 2 3 2x x 5 0 x x x lim 0 lim 3 x 2 5 x 3 x 2 x 5 3 3 2 3 x x 3x3 2 x 1 所 以 lim 2 x 2 x x 5
12
sin 3x 例 9 lim x 0 x
解:
sin3 x sin 3 x sin3 x 3 lim （ 3 ） 3 lxim lim 0 x 0 x 0 3x x 3x
tan x 例10 lim x 0 x 0 解 这个极限是“0 ”型未定式，且含有三角函 sin x 数tanx，要想用公式，就要化为 的形式． x tan x sin x 1 lim lim( ) 1 x 0 x 0 x x cos x
x 2
x2 所以 lim x2 x 2
5
例4
x3 lim 2 x 3 x 9
解 因为当x→3时，分母、分子的极限都为0，称 为“ 0
0
”型未定式．对于这种类型的极限，常
用消去“零因式”的方法．
极限的运算法则
lim(
n
1 n2
2 n2
n n2
)
lim
n
1
2
n2
n
1 n(n 1)
lim 2 n
n2
1 2
lim(1
n
n1 )
1. 2
目录
小结
------极限求法;
1.多项式与分母不为零的分式函数代入法求极限;
2.利用无穷小与无穷大的关系求 A型极限;
0
0
3.消去零因子法求 0极限;
4.分子分母同除以x的最高次方法求 (x 型) 极限; 5.通分法求 极限;
0
则来计算的极限
目录
*求未定式极限方法举例、练习 1. 0 型有理式 0
约零因子法（因 式分解）
方法：分子分母分解因式，消去使他们趋于
零的公因子
( 0型) 0
解
目录
x2 9 lim x3 x 3
解 分析：因为 lim（x2 9） 0，lim（x 3） 0.
x3
x3
lim x2 9 lim ( x 3)( x 3) lim( x 3) 6
lim[c f (x)] c lim f (x) （c为常数）
特例2：推广到有限个函数的积
3、除法法则: 商的极限等于极限的商
lim
f (x) g( x)
lim f (x)
lim g(x)
A B
（B 0）
小 结: 函数的和、差、积、商的极限等于函数极限
的和、差、积、商
目录
(1)和函数的极限等于极限的和. (2)积函数的极限等于极限的乘积. (3)商函数的极限等于极限的商(分母不为零).
lim
x
2 3
求函数极限的方法
求函数极限的方法1.1 函数极限的定义定义 1 设f 为定义在[],a +∞上的函数，A 为定数．若对任给的0ε>，存在正整数()M a ≥，使得当x M >时有()f x A ε-<，则称函数f 当x 趋于+∞时以A 为极限．记作：()lim x f x A →+∞=或()()f x A x →→+∞．定义2 设函数f 在点0x 的某个空心邻域()00;'U x δ内有定义，A 为定数，若对任给的0ε>，存在正数()'δδ<，使得当00x x δ<-<时有()f x A ε-<，则称函数f 当x 趋于0x 时以A 为极限．记作：()0lim x x f x A →=或()()0f x A x x →→．定义3 设函数f 在()00;'U x δ+（或()00;'U x δ-）内有定义，A 为定数．若对任给0ε>的，存在正数()'δδ<，使得当时00x x x δ<<+（或00x x x δ-<<）有()f x A ε-<，则称数A 为函数f 当x 趋于0x +（或0x -）时的右（左）极限．记作：()()00lim lim x x x x f x A f x A +-→→⎛⎫== ⎪⎝⎭或()()()()()00f x A x x f x A x x +-→→→→． 1.2 函数极限的性质性质1（唯一性） 若极限()0lim x x f x →存在，则此极限是唯一的．性质2（局部有界性） 若()0lim x x f x →存在，则f 在0x 的某空心邻域()00U x 内有界．性质3（局部保号性） 若()0lim 0x x f x A →=>（或0<），则对任何正数r A <（或r A <-），存在()00U x ，使得对一切()o o x U x ∈有()0f x r >>（或()0f x r <-<）．性质4（保不等式性） 设()0lim x x f x →与()0lim x x g x →都存在，且在某邻域()00;'U x δ内有()()f x g x <，则()()0lim lim x x x x f x g x →→≤．性质5（迫敛性）设()()0lim lim x x x x f x g x A →→==，且在某邻域()00;'U x δ内有()()()f x h x g x ≤≤，则()0lim x x h x A →=．性质6（四则运算法则） 若极限()0lim x x f x →与()0lim x x g x →都存在，则函数f g ±，f g ⋅，当0x x →时极限也存在，且1. ()()()()000lim lim lim x x x x x x f x g x f x g x →→→±=±⎡⎤⎣⎦； 2. ()()()()000lim lim lim x x x x x x f x g x f x g x →→→⋅=⋅⎡⎤⎣⎦； 又若()0lim 0x x g x →≠，则fg当0x x →时极限存在，且有3. ()()()()000lim lim lim x xx x x x f x f x g x g x →→→=．２.求函数极限的若干方法2.1 利用定义求极限例１ 证明()()211lim 212x x x x →-=--．分析 当1x ≠时，10x -≠，故()()211122x x x x x-+=---，于是有 ()()23111332212222x x x x x x x x x --+--=-==-----，取112δ=，当101x δ<-<时1322x <<，故有122x ->，从而有()()21212x x x ---- 61x <-，取26εδ=即可．证明 对于0ε∀>，取1min ,26εδ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，于是当01x δ<-<时，有()()2126112x x x x ε--<-<--，由定义知()()211lim 212x x x x →-=--成立．注 函数()f x 在点0x 处是否有极限，与函数()f x 在点0x 处是否有定义无关． 2.2 利用函数的连续性求极限 例2 求()4lim tan x x x ππ→-． 解 ()43lim tan tan 444x x x ππππππ→⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭ ．此题是利用函数的连续性求其极限，因为函数()()tan f x x x π=-在4x π=处连续，所以可把4x π=直接代入求极限．若以后遇到此类函数可用此方法求其极限．2.3 利用两个重要极限求极限 首先给出两个重要极限的一般形式（1）0sin lim 1x x x →=； （2）1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭．例3 求极限sin sin limx a x a x a→--．解 cos sin sinsin sin 222cos 222x a x a x a x a x a x a x a x a +----+==⋅---， 于是有sinsin sin 2lim limcos 22x a x a x a x a x a x a x a →→--+=⋅-- sin2limcos lim 22x a x a x a x a x a→→-+=⋅- cos a =．先利用和差化积对函数进行转化，要使用0sin lim1x xx→=，必须使函数中出现此类型的式子，如当x a →时02x a -→，此时sin2lim12x a x ax a →-=-，再进行求解． 例 4 求极限()10lim 1xx x α→+（α为给定实数）．解 ()()11lim 1lim 1xx x x x x e ααααα→→⎡⎤+=+=⎢⎥⎣⎦． 在利用第二类重要极限求极限的过程中，通常要将第二类重要极限先进行变形再使用．如()11lim 1lim 1xy x y y e x →∞→⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，此题就是利用这种变形求解的．在以后的求函数极限的问题中可灵活运用．2.4 利用四则运算法则求极限对和、差、积、商形式的函数求极限，自然会想到极限四则运算法则，法则本身很简单．但为了能够使用这些法则，往往需要先对函数做某些恒等变换或化简，采用怎样的变形和化简，要根据具体的算式确定．常用的变形或化简有分式的约分或通分、分式的分解、分子或分母的有理化、三角函数的恒等变形、某些求和或求积公式以及适当的变量替换．例 5 求极限21lim 1n x x x x n x →++⋯⋯+--，n 为正整数．解 21lim 1n x x x x nx →++⋯⋯+--21111lim 111n x x x x x x x →⎡⎤---=++⋯⋯+⎢⎥---⎣⎦()()()2121lim 1111n n x x x x x x x --→⎡⎤=++++++⋯⋯+++⋯⋯++⎣⎦()()()2121111lim1lim 1lim 1lim 1n n x x x x x x x x x x --→→→→=++++++⋯⋯+++⋯⋯+123n =+++⋯⋯+()12n n +=． 本题先利用拆项求和对函数进行恒等变换，再利用函数四则运算法则中的加法形式进行求解．2.5 利用迫敛性求极限例 6 求极限lim n →+∞． 解 由放缩法得22123231n n n n +++⋯⋯+++⋯⋯++<<， 化简得1322n n n n++<<， 因为131limlim 222n n n n n n →+∞→+∞++==，由迫敛性定理得1lim2n →+∞=． 在利用迫敛性求函数极限时，一般可经过放缩法找出适当的两个函数，且这两个函数的极限相等．本题就是用放缩法使得22123231n n n n +++⋯⋯+++⋯⋯++<<， 且131limlim 222n n n n n n →+∞→+∞++==，满足函数极限的迫敛性，即可求出极限．2.6 利用归结原则求极限归结原则 设f 在()00;'U x δ内有定义，()0lim x x f x →存在的充要条件是：对任何含于()00;'U x δ且以0x 为极限的数列{}n x ，极限()lim n n f x →∞都存在且相等．例 7 求极限211lim 1nn n n →∞⎛⎫++ ⎪⎝⎭．分析 利用复合函数求极限，令()21211x x x u x x ++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()1x v x x+=求解． 解 令()21211x x x u x x ++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()1x v x x+=则有 ()lim n u x e →+∞=；()lim 1n v x →+∞=，由幂指函数求极限公式得()()211lim 1lim xv x x x u x e x x →+∞→+∞⎛⎫++== ⎪⎝⎭， 故由归结原则得221111lim 1lim 1n xn x e n n x x →∞→+∞⎛⎫⎛⎫++=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 注 1 归结原则的意义在于把函数归结为数列极限问题来处理，对于0x x +→，0x x -→，x →+∞和x →-∞这四种类型的单侧极限，相应的归结原则可表示为更强的形式．注 2 若可找到一个以0x 为极限的数列{}n x ，使()lim n n f x →∞不存在，或找到两个都以0x 为极限的数列{}'n x 与{}''n x ，使()'lim n n f x →∞与()"lim n n f x →∞都存在而不相等，则()0lim x x f x →不存在．2.7 利用等价无穷小量代换求极限例 8 求极限30tan sin limsin x x xx →-．解 由于()sin tan sin 1cos cos xx x x x-=-，而()sin ~0x x x →，()21cos ~02x x x -→，()33sin ~0x x x →故有23300tan sin 112lim lim sin cos 2x x x x x x x x x →→⋅-=⋅=． 注 在利用等价无穷小量代换求极限时，应注意只有对所求极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量替代，而对极限式中的相加或相减部分则不能随意替代，如在例题中，若因有()tan ~0x x x →，()sin ~0x x x →，而推出3300tan sin limlim 0sin sin x x x x x xx x→→--==， 则得到的式错误的结果．附 常见等价无穷小量()sin ~0x x x →，()tan ~0x x x →，()21cos ~02x x x -→，()arcsin ~0x x x →，()arctan ~0x x x →，()1~0x e x x -→，()()ln 1~0x x x +→，()()11~0x x x αα+-⋅→．2.8 利用洛比达法则求极限洛比达法则一般被用来求00型不定式极限及∞∞型不定式极限．用此种方法求极限要求在点0x 的空心领域()00Ux 内两者都可导，且作分母的函数的导数不为零．例 9 求极限21cos limtan x x xπ→+．解 由于()2lim 1cos lim tan 0x x x x ππ→→+==，且有()1cos 'sin x x +=-，()22tan '2tan sec 0x x x =≠，由洛比达法则可得21cos limtan x xxπ→+2sin lim 2tan sec x xx xπ→-=3cos lim 2x x π→⎛⎫=- ⎪⎝⎭12=． 例 10 求极限3lim xx e x→+∞．解 由于3lim lim x x x e x →+∞→+∞==+∞，并有()'xxe e=，()32'30x x =≠，由洛比达法则可得32lim lim 3x xx x e e x x→+∞→+∞=， 由于函数()x f x e =，()23g x x =均满足路比达法则的条件，所以再次利用洛比达法则32lim lim lim lim 366x x x xx x x x e e e e x x x →+∞→+∞→+∞→+∞====+∞． 注 1 如果()()'lim'x x f x g x →仍是00型不定式极限或∞∞型不定式极限，只要有可能，我们可再次用洛比达法则，即考察极限()()'lim 'x x f x g x →是否存在，这时()'f x 和()'g x 在0x 的某领域内必须满足洛比达法则的条件．注 2 若()()0'lim'x x f x g x →不存在，并不能说明()()0lim x x f x g x →不存在．注 3 不能对任何比式极限都按洛比达法则求解，首先必须注意它是不是不定式极限，其次是否满足洛比达法则的其他条件． 下面这个简单的极限sin lim1x x x x →∞+=虽然是∞∞型，但若不顾条件随便使用洛比达法则sin 1cos lim lim 1x x x x x x →∞→∞++=， 就会因右式的极限不存在而推出原极限不存在的错误结论． 2.9 利用泰勒公式求极限在此种求极限的方法中，用得较多的是泰勒公式在00x =时的特殊形式，即麦 克劳林公式．也可称为带有佩亚诺余项的麦克劳林公式()()()()()()()2"000'02!!n nn f f f x f f x x x x n ο=+++⋯⋯++．例 11 求极限2240cos limx x x ex -→-．解 由于极限式的分母为4x ，我们用麦克劳林公式表示极限的分子，取4n =：()245cos 1224x x x x ο=-++， ()22452128x x x ex ο-=-++，()2452cos 12x x x ex ο--=-+． 因而求得()24524400cos 112limlim 12x x x x x x e x x ο-→→-+-==-． 利用此种方法求极限时，必须先求函数的麦克劳林公式，选取恰当的n ． 2.10用导数的定义求极限常用的导数定义式,设函数()y f x =在点0x 处可导，则下列式子成立： 1．()()()00'limx x f x f x f x x x →-=-，2．()()()0000'limh f x h f x f x h→+-=．其中h 是无穷小，可以是()0x x x x ∆∆=-，x ∆的函数或其他表达式．例 12求极限0x →()0,0p q >>．分析 此题是0x →时0型未定式，在没有学习导数概念之前，常用的方法是消去分母中的零因子，针对本题的特征，对分母分子同时进行有理化便可求解．但在学习了导数的定义式之后，我们也可直接运用导数的定义式来求解．解 令()f x =()g x = 则x → ()()()()000lim 00x f x f x g x g x →--=--()()'0'0f g =pq =2.11 利用定积分求极限有定积分的定义知，若()f x 在[],a b 上可积，则可对[],a b 用某种特定的方法并取特殊的点，所得积分和的极限就是()f x 在[],a b 上的定积分．因此，遇到求一些和式的极限时，若能将其化为某个可积函数的积分和，就可用定积分求此极限．这是求和式极限的一种方法．例 13 求极限()()()222111lim 12n n n n n n →∞⎡⎤++⋯⋯+⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦． 解 对所求极限作如下变形：()()()222111lim 12n n n n n n →∞⎡⎤++⋯⋯+⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦2221111lim 12111n n n n n n →∞⎡⎤⎢⎥⎢⎥=++⋯⋯+⋅⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎢⎥⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 2111lim 1nn i n i n →∞==⋅⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑． 不难看出，其中的和式是函数()()211f x x =+在区间[]0,1上的一个积分和，所以有()()()222111lim 12n n n n n n →∞⎡⎤++⋯⋯+⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦()1211dx x =+⎰()()120111d x x =++⎰1011x =-|+ 12=。
性质与极限运算法则
且 g( x) A，lim f ( x) B, 则 lim f [g( x)] B.
xA
xX
这一性质是用变量替换求极限的理论基础，
lim f [ g( x)] lim f ( y ) B.
xX
y A
注意条件 g( x) A 不能省去.
例1. lim sin x 1 x0 x
例如：lim sin x ? 0 x x
lim sin x x x
?
2
2
2、在lim sin x中，若x是一个其他的变量，(例如是x的函数)， x x0
记作* 那么如果满足下列两点，则lim sin* 1仍成立。 * *0
(1)三个* 处是相同的；
(2) * 表示的变量必须是趋于0的。
第2.3节
第二章
函数极限的性质与运算法则
一 、极限的性质与四则运算法则 二、 极限四则运算法则的应用
一、极限的性质与四则运算法则
定义2.3 函数 f ( x) 称为在 x x0 下是有界的, 如果 有一个 x0 的去心邻域 O ( x0 ) \ { x0 }, f ( x) 在其中是有 界的, 即存在 M 0, 使得 x O ( x0 ) \ { x0 } 时
(3)
lim
e
1 x2
y
1 x2
lim e y
x0
y
1
lim
y
e
y
0.
2、极限四则运算的应用 利用极限四则运算法则求极限时，必须满足定理的条件：
参加求极限的函数应为有限个，每个函数的极限都必须存在 考虑商的极限时，还需要求分母的极限不为零。
例1、求极限 lim 2x2 x 5 (直接代入法) x2 3x 1
函数的极限(运算法则)
02 函数的极限运算
四则运算法则
加法法则
若lim(x→a)f(x)=A， lim(x→a)g(x)=B，则 lim(x→a)[f(x)+g(x)]=A+B。
减法法则
若lim(x→a)f(x)=A， lim(x→a)g(x)=B，则 lim(x→a)[f(x)-g(x)]=A-B。
乘法法则
若lim(x→a)f(x)=A， lim(x→a)g(x)=B，则 lim(x→a)[f(x)×g(x)]=A×B。
定义中的"趋近于"
在数学中，通常使用"$lim_{x to a} f(x) = L$"来表示当$x$趋近于$a$时， $f(x)$趋近于$L$。
极限的性质
唯一性
对于任意给定的函数$f(x)$和常数$a$，函数在 $x=a$处的极限是唯一的。
有界性
如果函数在某点的极限存在，那么这个极限必定是一 个有界数。
04 无穷小与无穷大
无穷小的定义与性质
定义
无穷小是极限为零的变量。
性质
无穷小与任何常数相乘仍为无穷小；两个无穷小之和仍为无穷小；有限个无穷小之和仍为无穷小。
无穷大的定义与性质
定义
无穷大是极限为无穷的变量。
性质
无穷大与任何常数相乘仍为无穷大；两个无穷大之和仍为无穷大；有限个无穷大之和仍 为无穷大。
要点一
总结词
利用极限的性质，我们可以求出函数在某些点的精确值。
要点二
详细描述
在数学分析中，函数的极限定义了函数在特定点或无穷远处 的行为。通过将自变量趋近于这些点，我们可以求得函数在 这些点的精确值。例如，对于函数 (f(x) = frac{1}{x})，当 (x rightarrow 0) 时，函数值 (f(0)) 是未定义的。但是，如果我 们考虑极限 (lim_{x rightarrow 0} f(x) = lim_{x rightarrow 0} frac{1}{x} = 0)，我们就可以得知当 (x) 趋近于 (0) 时，函 数 (f(x)) 的值趋近于 (0)。
CH13-极限的运算ppt课件
.
8
x2
练习 计算 lim
.
x0 2 x2 4
解 采用分母有理化消去分母中趋向于零的因子.
原 式 lim x2(2 x24) x 0(2 x24)(2 x24)
x2(2 x2
lim x0
x2
4)
lim(2 x 0
x24)
4.
解题技巧：将分子或分母有理化，去掉“零因子”！
.
lim x3 lim 1
x2
lim( x2
x2
5x
3)
23 1
3
7. 3
x2
注： limP(x) P(a) (Q(a) 0).
x aQ(x) Q(a)
.
5
例3 求lxim 1x2x22x13. 商的法则不能用 解 x 1 时 ,分 子 ,分 母 的 极 限 都 是 零 .( 00 型 ) 先 约 去 分 子 和 分 母 的 公 因 子 ( x 1 ) 后 再 求 计 算 .
x x 0
u u 0
意义: 变量替换求极限的依据
令u g(x)
lim f [g(x)]
xx0
limg(x)
xx0
u0
lim f (u)
u u0
.
12
定理2(复合函数的极限运算法则-----变量代换法则)
设函数yf[g(x)]是由函数yf(u)与函数ug(x)复合而成
ulf i[mgu0(xf)(]u在) 点liAm x0的且f某[ 在g 去x(0x 心的)邻] 某 域去l内i心m 有邻f 定域(u 义内) g若(A xxl) i.m x0ug0(,x)则u0,
x0 xsinx x0 1sinx
函数的极限初步定义性质与计算方法
函数的极限初步定义性质与计算方法函数的极限是微积分学中的重要概念，它描述了函数在某一点逐渐趋于的值。
在本文中，我们将初步介绍函数的极限的定义性质以及常用的计算方法。
一、函数的极限初步定义性质1. 极限的定义对于函数$f(x)$，当$x$无限接近于$a$时，如果存在一个实数$L$使得对于任意给定的正实数$\varepsilon$，都存在正实数$\delta$，使得当$0 < |x-a| < \delta$时，$|f(x)-L| < \varepsilon$成立，那么称函数$f(x)$在$x=a$处的极限为$L$，记作$\lim_{x \to a} f(x) = L$。
2. 左极限和右极限对于函数$f(x)$在$x=a$处的极限，如果函数在$a$的左侧存在且有限，那么称其为左极限，记作$\lim_{x \to a^-} f(x)$。
类似地，如果函数在$a$的右侧存在且有限，那么称其为右极限，记作$\lim_{x \to a^+} f(x)$。
3. 极限的唯一性函数的极限如果存在，则极限唯一。
也就是说，如果$\lim_{x \to a} f(x)$和$\lim_{x \to a} g(x)$都存在，且它们的值不相等，那么函数$f(x)$和$g(x)$在$x=a$处的定义不相同。
4. 无穷极限当$x$逼近某个数$a$时，如果函数$f(x)$的值趋于正无穷或负无穷，那么称$\lim_{x \to a} f(x)$为无穷极限。
二、函数极限的计算方法1. 代入法对于简单的多项式函数或分式函数，可以直接代入给定的$x$值计算极限。
2. 四则运算法则对于函数$f(x)$和$g(x)$，如果$\lim_{x \to a} f(x)=A$且$\lim_{x \to a} g(x)=B$存在，那么以下结果成立：- $\lim_{x \to a} [f(x) \pm g(x)] = A \pm B$- $\lim_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] = A \cdot B$- $\lim_{x \to a} \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{A}{B}$ (其中$B\neq 0$)3. 复合函数法则如果存在函数$g(x)$在$x=a$处的极限为$b$，且函数$f(x)$在$x=b$处的极限为$L$，那么复合函数$f(g(x))$在$x=a$处的极限为$L$。
第十三章 第三节 函数的极限与连续性(理)
处连续， ∴b＝2时，函数f(x)在 ＝ 处连续
定义域内均为连续函数， 定义域内均为连续函数， ，＋∞)内连续 ∴当a＝1，b＝2时，f(x)在(－∞，＋ 内连续． ＝ ， ＝ 时 在 － ，＋ 内连续．
3．已知函数f(x)＝ ．已知函数 ＝
试求： 试求：
(2008·湖北高考 已知 ∈N*，a，b∈R， 湖北高考)已知 湖北高考 已知m∈ ， ∈ ， 若 A．－ ．－m ．－ C．－ ．－1 ．－ ＝b，则a·b＝ ， ＝ B．m ． D．1 ． ( )
把(1＋x)m应用二项式定理展开，再根据极限 ＋ 应用二项式定理展开， 存在的条件确定a， 的值 的值. 存在的条件确定 ，b的值
)
A．充分不必要条件 ． B．必要不充分条件 ． C．充要条件 ． D．既不充分也不必要条件 ． 解析：由函数极限的定义知． 解析：由函数极限的定义知． 答案： 答案： C
4.
＝________.
解析： 解析：
答案： 答案：
5．已知函数f(x)＝ ．已知函数 ＝ a＝______. ＝
在点x＝ 处连续 处连续， 在点 ＝0处连续，则
所以
不存在． 不存在．
1．求下列函数的极限： ．求下列函数的极限： (1) (2) (3)
解：(1)
(2)原式＝ 原式＝ 原式
(3)原式＝ 原式＝ 原式
求出函数的极限是学习极限部分内容最基本的要求， 求出函数的极限是学习极限部分内容最基本的要求， 而根据函数的极限求参数则是求极限问题的延伸， 而根据函数的极限求参数则是求极限问题的延伸，是对知 识的灵活运用的一种体现．求解此类问题， 识的灵活运用的一种体现．求解此类问题，首先要根据函 数极限的定义及相关的运算法则求出极限， 数极限的定义及相关的运算法则求出极限，再根据参数满 足的条件列出一个关于参数的方程，解方程可求参数， 足的条件列出一个关于参数的方程，解方程可求参数，这 实际上是用待定系数法解决问题． 实际上是用待定系数法解决问题．
1.3极限的运算法则和性质
例如,
lim sin x 0 , 函数 sin x 是当 x 0时的无穷小
x 0
.
lim
1 x
x
0,
n
函数
1 x
是当 x 时的无穷小
n
.
lim
( 1) n
n
0 数列 { ,
( 1) n
}是当 n 时的无穷小
.
又如： 当 x 1时 ， x 1是 穷 量 无 小 ；
3
) lim
x x 1 3
2
x 1
2
1 x
x 1
3
3
( x 1) ( x 2)( x 1) lim 2 x 1 ( x x 1)( x 1) x2 1. lim 2 x 1 x x 1
x 1 3
lim
x x2
lim
x
m n
a0 b0
lim x
x
mn
x
x
b0 0,
,
n m; n m; n m.
,
总结：(1)有理函数在无穷远的极限
—无穷小因子分出法
a0
lim
Pm( x ) Qn( x )
x
lim
a0 x a1 x b0 x b1 x
n
m
m 1 n 1
22/22
2
函数极限的性质
定理4(唯一性定理) 如果函数在某一变化过程中
有极限，则其极限是唯一的．
定理5(有界性定理) 若函数f (x)当x→ x0时极限存在，
则必存在x0的某一邻域，使得函数f (x)在该邻域内有界． 定理6(保号性定理) 若函数f (x)当x→ x0时极限为A， 且A>0(或A<0),则在x0的某一去心邻域内，恒有
1.3极限的性质与运算法则
一.一. 极限的四则运算法则 极限的性质与四则运算法则
例1 求 lim(5 x 2 + 3 x − 1) .
x →1
解 由极限的四则运算法则 原式 = lim 5 x
x →1 2
+ lim 3x − lim1
x →1 x →1
和的极限 = 5 lim x 2 + 3 lim x − 1 = 5(lim x) 2 + 3 × 1 − 1 =极限的和 极限的和 x →1 x →1 x →1 常数因子可提到 极限符号之前
ESC
课堂练习
1.求下列函数的极限 . (1) xlim sin x (2) xlim arctan x x →∞ x →∞
(3) lim(x2 + x)cos 1 x
设 lim f (x) = A ,
lim g ( x) = B , 则
f (x) (3) 若 limg( x) = B ≠ 0 ,商的极限 lim 存在, 商的极限 存在 且 g(x)
f (x) lim f (x) A lim = = . g(x) lim g(x) B
要注意极限的四则运算 法则使用的前提条件！ 法则使用的前提条件！
= 5 × 12 + 3 × 1 − 1 = 7.
由该题计算结果知， 由该题计算结果知，对多项式
有
Pn(x) = a0 xn + a1xn−1 + ⋅ ⋅ ⋅ + an−1x + an (a0 ≠ 0) ,
x → x0
lim P (x) = a0 x0 + a1 x0 n
n
n−1
+ ⋅ ⋅ ⋅ + an−1 x0 + an
函数极限的性质及运算法则
=
23 -1 22 -10+3
=
-
7 3
x2
二、函数极限的运算法则
例例33
求 lim x3
x-3 x2 -9
解
解 lim
x 3
x-3 = lim x2 -9 x3
x-3 = lim (x-3)(x+3) x3
1 x+3 =
lim 1
xx33
=1
lim (x+3) 6
xx33
例例44
求 lim 2x-3 x1 x2 -5x+4
x
3 sin = 3 lim x x 3
x
= 31
=3
三、两个重要极限
(2)
lim(1 + 1 )x = e
x
x
lim(1 + 1 )n = e
n
n
三、两个重要极限
证明：当 x 1时, 有 [ x] x [ x] + 1,
(1 + 1 )[ x] (1 + 1 ) x (1 + 1 )[ x]+1 ,
解 因解解为 limlimx2x-25-x5+x4+4==121-25-51+14+4==0 0 xx11 2x2-x3-3 221-13-3
根据无穷大与无穷小的关系得
lim
x1
2x-3 x2 -5x+4
=
二、函数极限的运算法则
•讨论
有理函数的极限 lim P(x) = ? xx0 Q(x)
•提示
§2.3 函数极限的性质及运算法则
一、函数极限的性质 二、函数极限的运算法则 三、两个重要极限
极限的运算法则(教育知识)
x2 9 lim x3 x 3
解 分析：因为 lim（x2 9） 0，lim（x 3） 0.
x3
x3
x2 lim
9
lim( x
3)(x
3)
lim(
x
3)
6
x3 x 3 x3 ( x 3)
x3
目录
2. 型有理式及无理式
方法：分子分母同时除以x的最高次方幂
约最高次幂法
目录
2x2
l
x
im
2
x
1)
0 0
lim
x1
x2 x2 x
1
1
目录
求
1
l i m(
n
n
2
2 n2
n n2
).
解 n 时,是无穷小之和．
先变形再求极限.
说明:无穷多个 无穷小量之 和不一定是 无穷小
1
lim(
n
n2
2 n2
n n2
)
lim1
n
2
n2
n
1
n(n 1)
lim 2 n
n2
1 2
lim(1
n
n1)
1. 2
目录
小结
------极限求法;
1.多项式与分母不为零的分式函数代入法求极限;
2.利用无穷小与无穷大的关系求 A型极限;
0
0
3.消去零因子法求 0极限;
4.分子分母同除以x的最高次方法求 (x 型) 极限; 5.通分法求 极限;
6.利用左右极限求分段函数极限.
7.复合函数的极限. 8.无穷小与有界变量的积是无穷小.
(型)
lim
1 x
高等数学极限知识点总结
高等数学极限知识点总结
以下是高等数学极限知识点总结：
1. 极限的定义：极限是描述函数在某一点的行为的数学工具。
它包括数列的极限和函数的极限。
2. 极限的性质：包括唯一性，有界性，和收敛性。
3. 极限的四则运算法则：如果lim f(x)，lim g(x)存在，那么对于加减乘除四种运算，极限都存在。
4. 极限的夹逼定理：如果一个数列被两个已知极限的数列夹在中间，那么这个数列的极限就是这两个数列的极限。
5. 函数极限的运算法则：如果lim f(x)存在，那么lim [f(x) + c] = lim f(x) + lim c，lim [f(x) c] = lim f(x) lim c，其中c是一个常数。
6. 无穷小和无穷大的概念：无穷小是一个趋于0的变量，无穷大是一个趋于无穷的变量。
7. 洛必达法则：当分子和分母的极限都存在时，可以求出函数的极限。
8. 泰勒级数：将一个函数表示为其各阶导数的无限和的方法。
9. 单侧极限和双侧极限：函数在某一点的单侧极限是指函数在该点的左侧或右侧的极限；双侧极限是指函数在这一点左侧和右侧的极限。
10. 连续性和可微性：如果一个函数在某一点的极限值等于该点的函数值，则称该函数在该点连续；如果一个函数在某一点的导数存在，则称该函数在该点可微。
以上就是高等数学极限的基本知识点，希望对你有所帮助。
函数极限的四则运算法则证明过程
函数极限的四则运算法则证明过程函数极限的四则运算法则是指在计算函数极限时，如果两个函数的极限存在，则它们的和、差、积、商的极限也存在，并且满足一定的运算规则。
下面我们来逐步证明四则运算法则的正确性。
1. 和的极限法则证明：设函数序列{f_n(x)}和{g_n(x)}分别收敛于函数f(x)和g(x)，即lim{n→∞}f_n(x) = f(x)和lim{n→∞}g_n(x) = g(x)。
我们要证明lim{n→∞}(f_n(x) + g_n(x)) = f(x) +g(x)。
根据极限的定义，对于任意ε > 0，存在N1和N2，当n>N1时有|f_n(x) - f(x)| < ε/2，当n>N2时有|g_n(x) - g(x)| < ε/2。
取N = max{N1, N2}，则当n>N时有|f_n(x) + g_n(x) - (f(x) + g(x))| = |(f_n(x) -f(x)) + (g_n(x) - g(x))| ≤ |f_n(x) - f(x)| + |g_n(x) - g(x)| < ε/2 + ε/2 = ε。
因此，lim{n→∞}(f_n(x) + g_n(x)) = f(x) + g(x)。
2. 差的极限法则证明：类似地，我们可以证明lim{n→∞}(f_n(x) - g_n(x)) = f(x) - g(x)。
3. 积的极限法则证明：要证明lim{n→∞}(f_n(x) * g_n(x)) = f(x) * g(x)，我们可以利用极限的乘法法则进行证明。
具体证明步骤略。
4. 商的极限法则证明：对于lim{n→∞}(f_n(x) / g_n(x)) = f(x) / g(x)，我们需要额外假设g(x) ≠ 0，以避免出现除以零的情况。
具体证明步骤略。
综上所述，通过以上证明过程，我们可以得出函数极限的四则运算法则的正确性。
在实际计算函数极限时，可以根据这些法则简化计算过程，提高计算的效率。
函数极限的性质
x2
小结: 1. 设 f ( x) = a0 x n + a1 x n-1 + + an ,则有
lim
x x0
f
(
x)
=
a0
(
lim
x x0
x)n
+
a1
(
lim
x x0
x)n-1
+ + an
= a0 x0n + a1 x0n-1 + + an = f ( x0 ).
2. 设
f (x) =
证明 设A> 0,"r(0,1),取e = A-r,则$d > 0,使得"xU(x0;d)
有 f (x) > A - e = r.
对于r < 0的情形类似可证. •推论 如果在x0的某一去心邻域内f(x)0(或f(x)0), 而且
f(x)A(xx0), 那么A0(或A0)
4 保不等式 定理3.5(函数极限的保不等式性)
1
0
1
$d 2
> 0,当0 <
x- x0
< d2时有 f (x) - B
<e,
(2)
取d = min(d ,d ),则当0 < x - x < d时(1),(2)同时成立，故有
12
0
A- B = ( f (x) - A) - ( f (x) - B) f (x) - A + f (x) - B < 2e.
二、利用函数极限的性质计算某些函数的极限
已证明过以下几个极限：
lim C = C,
xx0
1 lim = 0, x x
极限的性质与运算
limx3 lim1
x2
lim(x2
x2
3x 5)
23 1 3
7. 3
x2
9
2019/8/29
例2 求xl im 1x24x2x13.
解 lim (x22x3) 0, x 1
又 lim (4x1) 30,
x 1
limx22x3 0 0.
常数因子可以提到极限记号外面.
推论2 如l果 ifm i(x)存,而 在 ai为常 (i1,2 数 , ,n)则 , lim a1f1(x [)a2f2(x) anfn(x)]
lim a1f1(x)lia m 2f2(x) lia m nfn(x) 推论3 如果 lim fi(x)存(在 i1,2, ,n)则 ,
围确定。 2、此处只说有一个空心邻域，至于空心邻域有多大由
具体函数确定。
1
2019/8/29
性质3(局部保号性) 若 lim f(x)A0 ， 则 0 ， x x0
使 x U 0(x0)， f(x)0。
性质4 已 x l x i 0f 知 ( m x ) A ， 若 0 ， x 使 U 0 (x 0 ) ，
lim f1([x)f2(x) fn(x)] lim f1(x)lim f2(x)lim fn(x) 推论4 如果 lim f(x)存,在 而n是正,整 则数
lim f(x[)n ][lim f(x)n ].
推论5 如l果 im f(x)存在且 ,而 不 n是为 正,零 则 整数 lim f(x)[ ]n[lifm (x) ]n.
实际上 是我们 下一节 将要学 到的∞
消极大公因子法对分子、分母含指数形式也适用。
例 求 极l限 im (2)n 3n 。计算过程 n(2)n1 3n1
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a+b (1)式和（ 2）式同时成立 .但由(1)时可知 f ( x ) < .所 2 以 a = b.即如果函数的极限存在 , 那么极限值只有一个 . 定理 2 如果 lim f ( x ) = a , 所以对于任意给定的 ξ > 0, 存
x → x0
ˆ 在 δ > 0, 使得当 x ∈ N ( x0 , δ )时, f ( x ) − a < ξ
时成立，所以有 f（x） g（x）（a + b） + −
f（x） lim g（x） a + b 定理5中的（1）、（2） + = x → x0 x → x0
+
ξ
=ξ
因此 lim[ f ( x ) + g（x） ]
可推广到有限个具有极 限的函数中去。 注意函数的连续性本质 上是用极限定义的，有 定理5 我们立即得到如下的： 推论 如果函数 f（x）和 g（x）在 x0点连续，则它们的 和、差、积 f（x） g（x）， f（x）g（x）在 x0点也连续； ± f（x） 如果 g（x0） 0，则它们的商 ≠ 在x0点也连续。 g （ x）
f ( x) − a < ξ
既 a − ξ < f ( x) < a + ξ f ( x) > 0.
(4)
现在取ξ ≤ a, 则a − ξ ≥ 0,由(4)式知f ( x) > 0.既当, 定理4 如果 lim f ( x) = a, 且存在δ 0 > 0, 使当
x→x0
ˆ x ∈ N ( x0 , δ 0 )时, f ( x) ≥ 0(或f ( x) ≤ 0), 则a ≥ 0(或a ≤ 0). 证 只证f ( x) ≥ 0的情形, 用反证法. ˆ 设a < 0, 则由定理3知, 存在δ 1 > 0, 使当x ∈ N ( x0 , δ 0 )时, f ( x) < 0.
x→ x0
ˆ 的ξ > 0, 存在δ 2 > 0, 使得当 x ∈ N（x0，δ 2）时, 总有 f ( x) − 0 = f ( x) < ξ / M ˆ x ∈ N（x0，δ）时, (7)和(8)式同时成立 , 所以有
(8) 取δ = min{δ 1 , δ 2 }, 则当
M 由连续性定义及定理 2，定理 6中关于 g （ x）有界的假 设可换成 g （ x）在 x0处连续。 定理 7 设函数 u = ϕ （ x）在 x0处极限存在，且等于 a ，即
6 8 5+ 2 − 4 5x4 + 6x2 − 8 x x =5 lim 4 = lim 3 2 x →∞ 8 x + 3 x + x x →∞ 3 1 8 8+ + 2 x x 2x - 3 例 5 求 lim 2 . x →1 x − 5 x + 4 解 因为当 x → 1时 , 分母的极限为零 , 所以不能直接应用本 节定理 5求此极限 .但因 x − 5x + 4 = lim x →1 2x − 3
ˆ 取δ = min {δ 0，δ 1 } ，则当 x ∈ N（x0，δ）时 f（x） 0和 < f ( x ) ≥ 0应同时成立 , 显然矛盾 .因此 a ≥ 0. 定理 5 如果 lim f ( x ) = a, lim g ( x 0 = b, 则有
x → x0 x → x0
(1) lim [ f ( x ) ± g ( x )] = lim f ( x ) ± lim g ( x ) = a ± b;
2
lim ( x 2 − 5 x + 4 )
x →1
lim ( 2 x − 3)
x →1
0 = =0 −1
2x - 3 故有上节定理 5知 , lim 2 =∞ x →1 x − 5 x + 4
2x3 − x2 + 2 . 例 6 求 lim 2 x →∞ 3 x − 5 x + 1 2 3x − 5x + 1 解 有例 3的结果 lim = 0 及上节定理 5, 知 3 2 x →∞ 2 x − x + 2 3 2 2x − x + 2 lim =∞ 2 x →∞ 3 x − 5 x + 1 由上面各例题的结果 , 可得下面一般形式 : 0, m < n a 0 x m + a1 x m −1 + L + a m a 0 lim = ,m = n n n −1 x →∞ b x + b x + L + bn 0 1 b0 ∞, m > n
x→1
3x 2 − 5 x + 1 例3 求 lim 3 . 2 x →∞ 2 x − x + 2 解 由于当 x → ∞时, 分子和分母的极限都是 无穷大, 故不能直 接用本节定理 5的运算法则 (3), 现在用 x 3除分子和分母 , 然后求 3 5 1 − 2+ 3 3x 2 − 5 x + 1 x x x = 0 =0 极限, 可得 lim 3 = lim 2 x →∞ 2 x − x + 2 x→∞ 1 2 2 2− + 3 x x 5x 4 + 6 x 2 − 8 例4 求 lim 4 . 3 2 x→∞ 8 x + 3 x + x 解 先用x 4除分子和分母 , 然后求极限 , 得
ˆ 故 f ( x )为去心临域 N ( x0 , δ )内的有界函数 .
对比数列极限的情形，读者会发现，上述两定理的证 明与节1.2中的定理1,定理2的证明是非常类似的. 下面再给出三个定理.读者可就数列极限的情形写出类 似的结果.
定理 3 如果 lim f（ x） a，且 a > 0(或 a < 0), 则存在 =
定理6 如果 lim f（x） 0，g（x）在x0的某去心临域内 =
x→ x0
有界，则 lim f（x）g（x） 0 =
x→ x0
ˆ 证 设g（x）在x0的某一临域 N（x0，δ 1）内是有界的， ˆ 则存在 M > 0, 使得当 x ∈ N（x0，δ 1）时, 总有 g ( x) ≤ M (7)又因为 lim f（x） 0, 所以对任意给定 =
1.3函数极限的性质及运算法则
本节只就x → x0时的情形进行讨论， → ∞ x 时的情形有完全类似的 结果.
一 函数极限的性质及运算法则 定理1（函数极限的唯一性定理） 如果函数极限 存在，那么极限值只有一个。 证 用反证法.设 lim f ( x) = a, lim f ( x) = b, 且a ≠ b.不妨
x → x0
f ( x) g ( x) − 0 = f ( x) g ( x) = f ( x) g ( x) <
ξ
⋅M =ξ
lim ϕ （ x） a =
而函数 y = f（ u ）在 u = a 处连续，则复合
函数 y = [ϕ （ x）在 x0处极限存在并等于 f（ a ），即 ]
x → x0
lim f [ϕ （ x） = f（ a ） ]
x → x0
ˆ ˆ x0点的某个去心临域 N ( x0 , δ ), 使得当 x ∈ N ( x0 , δ )时, f ( x ) > 0(或 f ( x ) < 0). 证 只证 a > 0的情形 . 因为 lim f（ x） a，所以对于任意给定的 ξ > 0, 总 =
x → x0
ˆ 存在 δ > 0, 使当 x ∈ N ( x0 , δ )时, 有
x → x0 x → x0 x → x0
( 2) lim [ f ( x ) g ( x )] = lim f ( x ) ⋅ lim g ( x ) = a ⋅ b;
x → x0 x → x0 x → x0
f ( x ) x→ x0 a (3) lim = = (b ≠ 0). x → x0 g ( x ) lim g ( x ) b
u→a
证 因为函数 f（ u ）在 u = a处连续，即 lim f（ u ） f（ a ） = 所以，对任意给定的 ξ > 0, 总存在 η > 0, 使当 u − a < η 时 ,
总有 f（ u） f（ a）< ξ 又因为 lim ϕ ( x ) = a , 所以对上述 −
x → x0
η , 总存在 δ > 0, 使当0 < x − x0 < δ时, 总有 ϕ ( x ) - a = u − a < η成立 .
3 x 2 v（x）
解
3
lim 6 x 3 + 2 x 2 + 5） lim 6 x 3 + lim 2 x 2 + lim 5 = （
x →2 x →2 x →2 x →2 2
= 6 ⋅ 2 + 2 ⋅ 2 + 5 = 61 2x − 2 例2 求 lim 2 。 x→1 x − 1 解 当x → 1时，分母的极限为零，不能直接用本节 定理5.但因分子及分母有公因子x − 1, 而x → 1时, x ≠ 1, 故可约去这个公因子.所以 lim 2 2x − 2 2 2 x→1 lim 2 = lim = = =1 x→1 x − 1 x→1 x + 1 lim( x + 1) 2
x → x0
lim f ( x )
证 我们只证 (1)中的加法情形 , 其他各条件证明方法类
似，从略. 由于 lim f ( x) = a, lim g ( x) = b, 则对于任意给的定ξ > 0,
x→ x0 x→ x0
ˆ 总存在δ 1 > 0和δ 2 > 0, 使得当x ∈ N ( x0 , δ 1 )时, 有 f ( x) − a < ξ / 2 (5) ˆ 当x ∈ N ( x0 , δ 2 )时, 有 g ( x) − b < ξ / 2 (6) ˆ 取δ = min{δ 1 , δ 2 }, 则当x ∈ N ( x0 , δ )时, (5)、（6）两式同 = [ f（x） a ] + [ g（x） b] ≤ f（x） a + g（x） b − − − −