02_张量概念
张量及其运算的定义及应用
张量及其运算的定义及应用
张量的定义
张量是指在向量、矩阵等数学对象的基础上扩展形成的一种数
学工具。
它是一种多重线性函数，可以表示多个向量之间的关系。
张量在物理学、数学、计算机等领域都有广泛的应用。
在线性代数中，张量可以由向量和矩阵生成。
在物理学中，张
量可以描述弹性力学、流体运动和电磁学等现象。
张量的运算
张量在运算中主要有以下几种方式：
1. 张量乘法：张量乘法是指将一个张量与另一个向量或矩阵相乘。
这种方法常用于求解矩阵的特征值、特征向量以及矩阵的相
似性等问题。
2. 张量变形：将张量的某些维度进行重新排列，得到新的张量。
这种方法常应用于机器学习、计算机视觉等场景中。
3. 张量积：将两个不同的向量或矩阵进行混合，生成一个新的张量。
4. 条件张量积：是指将两个张量按某种方式组合起来，形成一个新的张量。
这种方法广泛应用于量子计算和量子信息等领域。
应用领域
1. 物理学：张量在物理中的应用广泛，如爱因斯坦场方程、黎曼张量等都是张量概念的应用。
2. 工程学：张量在工程学领域中也有广泛的应用，如机械工程领域中常用的应力张量、应变张量等，在材料工程领域中也有重要应用。
3. 计算机：张量也是计算机领域中的热门话题，如深度学习模型中的卷积神经网络、循环神经网络等都是基于张量的设计。
总之，张量作为一种数学工具在不同领域都有着广泛的应用和巨大的发展前景。
张量的知识点总结
张量的知识点总结一、张量的定义张量最早由数学家黎曼引入，描述了一种可以沿任意方向变化的数学对象。
在现代数学和物理学中，张量通常被定义为一种可以描述不同维度物理量间关系的数学对象。
张量是一个多维数组，它包括0维标量、1维向量、2维矩阵等，可以描述不同级别的物理量。
二、张量的特点1. 多维性：张量可以描述多维物理量之间的关系，可以用来描述空间中的各种物理量。
2. 方向性：张量可以沿任意方向变化，可以用来描述各种不同方向的物理量。
3. 连续性：张量可以描述连续的物理量，如电磁场、应力场等连续性的物理量。
三、张量的运算1. 张量的加法和减法张量的加法和减法与普通向量和矩阵非常类似，只不过在多维情况下需要注意张量的维度和方向。
2. 张量的乘法张量的乘法包括外积和内积两种，外积用于描述不同张量的叉乘关系，内积用于描述相同张量的点乘关系。
3. 张量的导数和积分张量的导数和积分是描述张量微分和积分的运算，包括对张量的微分和积分操作。
四、张量的应用1. 物理学中的应用张量在物理学中有着广泛的应用，可以描述各种力学量、电磁场、应力场等物理量之间的关系，同时也可以描述空间对称性和不变性等物理性质。
2. 工程学中的应用在工程学中，张量广泛应用于材料力学、流体力学、弹性力学等领域，能够描述各种物理场和物理量之间的相互作用和变化。
3. 计算机科学中的应用张量在深度学习和神经网络领域有着广泛应用，能够描述各种数据结构和数据间的关系，同时也可以描述各种算法和计算模型之间的联系。
五、结语张量作为一种描述多维物理量之间关系的数学对象，在物理学、工程学和计算机科学领域有着非常重要的应用。
对张量的深入理解和运用，对于理解和描述空间中的各种物理量和数据结构是至关重要的。
希望通过本文的总结，能够帮助读者更好地理解张量的概念和运用，为相关领域的学习和研究提供一定的帮助。
《张量基础知识》课件
线性变换是指一个向量到另一个向量的映射，保持向量的加法和数乘运算。
3 奇异值分解(SVD)
奇异值分解是将矩阵分解为三个矩阵乘积的形式，被广泛应用于数据降维和信号处理。
总结
1 张量的概述
2 张量的运算和应用
张量是一种多维数组，用于表示和处理多 维数据。
《张量基础知识》PPT课 件
# 张量基础知识
什么是张量？
1 张量的定义
张量是一种多维数组， 用于表示和处理多维数 据。它具有多个轴和形 状，可以存储和计算多 维数据。
2 张量的基本特征
张量具有数据类型、维 度和形状。它可以是标 量、向量、矩阵或更高 维度的数组。
3 张量的分类
张量根据维度和形状的 不同可以分为标量、向 量、矩阵和高阶张量。
2 张量的象性
3 张量的幺模性
张量的象性描述了张量 在基向量变换下的行为。 张量的象性可以用来研 究线性变换和坐标变换。
张量的幺模性表示张量 在坐标变换中的不变性。 幺模张量在物理和拓扑 学中具有重要应用。
张量的相关概念
1 秩(rank)
秩是张量的非零元素的个数。秩为0的张量是标量，秩为1的张量是向量。
张量具有丰富的运算和广泛的应用，涵盖 物理学、数学和机器学习等领域。
3 张量的性质和相关概念的介绍
4 知识点总结
张量具有特定的性质和相关概念，如对称 性、象性和幺模性。
总结张量基础知识的关键概念和要点。
Q&A
1 相关问题解答
回答听众提出的与张量基础知识相关的问题。
2 课程结束
感谢听众参与本次张量基础知识课程， 张量乘法
张量加法是对应位置元素的相加操作。两 个形状相同的张量可以直接相加。
张量的基本概念及应用
张量的基本概念及应用张量是数学和物理学中的一个基本概念，它可以用于描述多维数据集、向量和矩阵等多种数学对象。
下面是张量的基本概念以及一些应用领域：基本概念：1.张量的阶次：张量的阶次是指它有多少个坐标轴（或维度）。
标量是零阶张量，向量是一阶张量，矩阵是二阶张量，依此类推。
2.张量的分量：张量的每个分量表示在各个坐标轴上的数值，这些分量可以是实数或复数。
3.张量的坐标系变换：张量的坐标系变换是指将张量从一个坐标系转换到另一个坐标系，这在物理学中非常常见。
张量的分量会根据坐标系的变化而变化，但张量的物理含义保持不变。
应用领域：1.相对论物理：在爱因斯坦的广义相对论中，使用度规张量来描述时空的弯曲，以及质点在弯曲时空中的运动。
2.量子力学：在量子力学中，使用态矢量（波函数）来描述粒子的状态，这可以看作是一种复数张量。
3.机器学习和深度学习：在深度学习中，神经网络中的权重和激活值可以表示为张量。
张量的高阶表示可以用于处理多维数据，如图像和时间序列数据。
4.工程学：张量在工程领域中用于处理多维数据，如应力张量用于描述物体的受力分布，流体动力学中的速度梯度张量等。
5.图像处理：在计算机视觉领域，图像通常表示为三维张量（宽度、高度、颜色通道），张量运算用于图像处理和分析。
6.地质学和地球物理学：张量在描述地质应力、地震波传播等方面有广泛的应用。
7.生物学：在分子生物学中，蛋白质折叠和DNA结构可以使用张量来建模。
8.计算流体动力学：在模拟流体行为时，使用张量来表示流体的速度梯度，从而预测流体的行为。
总之，张量是一个非常通用且强大的数学工具，它在各种学科和应用领域中都有广泛的应用，用于描述和处理多维数据和复杂的数学对象。
张量的通俗理解
张量的通俗理解1 关于张量的四种定义“张量”在不同的运用场景下有不同的定义。
（1）张量是多维数组，这个定义常见于各种人工智能软件。
听起来还好理解。
（2）张量是某种几何对象，不会随着坐标系的改变而改变。
（3）张量是向量和余向量（covector）通过张量积（tensor product）组合而成的。
（4）张量是多重线性映射，即：，V表示是矢量空间， V*是对应的对偶空间。
2 多维数组开源框架tensor-flow是这么定义tensor（张量）的：A tensor is ageneralization of vectors and matrices to potentially higher dimensions.也就是说，张量（tensor）是多维数组，目的是把向量、矩阵推向更高的维度。
更具体点，也即是说：把三维张量画成一个立方体：我们就可以进一步画出更高维的张量：从数据结构上来看，张量就是多维数组。
这个定义本身没有错，但是没有真正反映张量的核心。
3 几何对象我们来看下第二个定义：张量是某种几何对象，不会随着坐标系的改变而改变。
3.1 二维平面最简单的几何对象就是二维平面，在线性代数中称为R方（这是一个向量空间），下面用一个有颜色的方框来表示：这个R方可以通过直角坐标系来描述（也就是单位正交基来张成）也可以由别的坐标系来描述（别的基来张成），当然R方本身不会因为基不同而发生改变：上面的图有几点值得注意：是一个几何对象，它与坐标系（基）无关,可以通过不同的坐标系（基）来描述（张成）,并且，不同的坐标系（基）之间有明确的转换规则（这个我们后面再说）,那这样一个几何对象，就可以用张量来描述。
3.2 二维平面中的向量R方中的向量，也是一个几何对象：当 R方被某个基张成的时候，向量也获得了坐标值：如果基发生了变换，坐标值也会不断的变化：从而可以得到如下的结论：向量是一个几何对象，它与基无关,不同的基下，有不同的坐标值,并且，不同的坐标值之间有明确的转换规则,所以，向量这个几何对象也可以用张量来描述。
张量定义及算法
1
可乘张量
设由逆变分量和协变分量所给定的两个矢量 a , b 是已知的，则由等式
i T ik a i b k , Tik ai bk , T.k a i bk , Tki ak b i
确定的都是二阶张量，称为可乘张量. 2
克罗内克尔符号
克罗内克尔符号 ij 是一阶逆变一阶协变的二阶混合张量，这是
[张量的商律] 任一指标 jk， j k' 使
' ' 1 m
k Tlm ail a jmT ijk , Tlmp ail a jm akpT ijk
i1 il il i i i 设 Tji11 jm 和 Tj ' j ' 各为一组 x 和 x 的函数，如果对任意逆变矢量 与 及
因为从
x i x i ij i j x x
可得
ij
x i x i x i x j i j x i x j x i x j
[二阶对称张量与反对称张量]
若张量满足等式
Tik Tki , T ik T ki , Tki Ti k
则分别称为二阶对称协变张量、二阶对称逆变张量和二阶对称混合张量.若张量满足等式
i
x j1 x jl x i1 x im j1 jl j j T i1im x 1 x l x i1 x im
N
j1 jl i1 im
jl 是 x i 的函数， 则量 Ti1j1 im (共有 n 个分量)称为 l 阶逆变(或抗变)m
r1 rl s1 s k r1 rl s1 s k Tp p t t T p p Tt t
1 m 1 h 1 m 1 h
张量及其性质的介绍及应用
张量及其性质的介绍及应用张量是一个线性空间到它自身或另一个线性空间的多重线性映射，是现代数学、物理学和工程学中极为重要的概念之一。
在许多领域，张量用来描述物理系统、分析数据结构和解决优化问题，因此对于张量的理解和应用是非常有意义的。
1. 张量的定义和性质1.1 张量的概念一个张量可以被定义为一个多维数组，它由一些数值构成，并且这些数值是根据某些规律排列成矩阵、向量或其他更高阶的数组。
这些规律可以通过不同的方式表示，例如作为矩阵的元素、矢量空间中的向量或在一些几何空间中的点。
1.2 张量的性质张量有一些独特的性质，包括线性性、多重线性性、对称性、反对称性等。
这些属性让它们非常适合用来描述物理现象或建模数据，并且能够应用于各种学科领域。
2. 张量的应用2.1 物理学中的应用在物理学中，张量可以用来描述物理系统的不同特征，例如电磁场、流体力学和广义相对论。
它们的应用能够使得物理学模型更为准确和精确，并且帮助科学家更好地理解基本的物理过程。
2.2 工程学中的应用在工程学中，张量常用于解决力学问题、对结构进行优化和分析，例如应力分析、材料疲劳和结构动力学。
张量的应用能够帮助工程师更好地理解和优化物理系统，从而提高系统的性能和功能。
2.3 数据分析中的应用在数据分析中，张量可以被用来解决各种优化问题，例如图像和语音处理、人工神经网络、数据压缩和信号分析。
张量的应用能够使数据分析更加准确和高效，从而提高数据处理的速度和效率。
3. 总结张量的概念和性质在数学、物理学和工程学等领域中都有重要的应用，能够被用来描述物理系统、分析数据结构和解决优化问题。
希望本文对于读者能够提供张量的基本概念及其应用的介绍，使人们更加深入地理解张量在各种学科中的应用及其优越性。
张量与张量积的定义与计算
张量与张量积的定义与计算张量是现代数学与物理学中非常重要的概念。
它广泛应用于各个领域，包括线性代数、微积分、物理学、工程学等。
在本文中，我们将介绍张量的基本概念、定义以及张量积的计算方法。
一、张量的定义张量可以看作是向量和矩阵的推广。
在物理学和工程学中，张量用于描述空间中的物理量。
在数学上，张量可以定义为多维数组，在不同的坐标系下有不同的分量表示。
在线性代数中，张量的定义可以从张量空间的角度看待。
假设V是一个n维向量空间，那么V的p阶张量空间可以表示为V ⊗ V ⊗⋯⊗V（一共p个V）。
其中⊗表示张量积，它是一种多重线性映射的二元运算。
二、张量积的定义张量积是以外积的方式组合两个向量的操作。
设有两个向量a和b，它们的张量积可以表示为a⊗b。
具体来说，张量积的结果是一个矩阵，其中每个元素由两个向量的对应元素相乘而得。
如果a是一个m维列向量，b是一个n维行向量，那么a⊗b的结果是一个m×n的矩阵。
矩阵中的每个元素由a和b的对应元素相乘得到。
三、张量积的计算计算张量积需要按照一定的规则进行。
具体来说，如果矩阵a和矩阵b的大小分别是m×n和p×q，那么它们的张量积可以通过以下步骤计算：1. 创建一个大小为(m×p)×(n×q)的零矩阵。
2. 遍历矩阵a的每个元素aij。
3. 将矩阵b的每个元素乘以aij，并将结果放入零矩阵中对应的位置。
计算完所有的元素后，得到的零矩阵就是矩阵a和矩阵b的张量积。
四、应用场景张量和张量积在各个领域都有重要的应用。
例如，在物理学中，张量用于描述力、能量、电磁场等物理量。
在工程学中，张量可用于描述应力、应变、磁场等。
此外，张量积还在机器学习和神经网络中扮演重要的角色。
在深度学习中，神经网络的参数可以表示为张量，通过计算张量积可以进行复杂的运算。
总结：本文介绍了张量与张量积的定义与计算方法。
张量是一种多维数组，在物理学和工程学中被广泛应用。
张量
一、概论1.标量：最简单的物理量，是常量，是一个实数，例如：距离、时间、温度等2.矢量：有方向的，需要用空间坐标系中的三个分量来表示的物理量，如位移、速度、力等；3.张量：最复杂的物理量，需要用空间坐标系中的三个矢量，也即九个分量才能完整地表示出来。
例如：应力状态、应变状态等。
张量是矢量的推广，与矢量相类似，可以定义由若干个当坐标系改变时满足转换关系的分量所组成的集合为张量。
这表明张量的分量之间存在一定的函数关系，这些函数值与坐标选取无关。
即张量的不变量性质。
张量所带的下角标的数目称为张量的阶数。
标量为零阶张量，矢量为一阶张量，用矩阵表示的（张量）为二阶张量，三阶张量用图形无法表示出来。
二、张量1：张量（tensor)的理论来源。
亚瑟·凯莱( Arthur Cayley)着力研究的不变量理论( invariant theory)导致了矩阵理论的建立, 引进了现代意义上的行列式的代数表达, 这成为射影几何的重要工具。
凯莱的不变量理论产生于19世纪前半叶的英国着重对代数及代数在几何方面的应用研究这样的背景下。
矩阵理论对线性变换的研究引进了向量的代数定义, 而这是张量概念的先导。
另一方面, 格奥尔格·弗雷德里希·波恩哈德·黎曼( Georg Friedrich Bernhard Riemann)提出的n维流形的概念, 这在客观上提出了深入研究代数形式的课题。
黎曼的几何思想在拓展几何学的同时,提高了代数在表达几何对象方面的抽象程度。
黎曼之后, 在克里斯托弗、里奇和列维-契维塔等人的努力下, 形成了张量分析这样的数学方法, 黎曼几何学也因此而建立起来了。
2：张量的定义、性质与应用价值从代数角度讲，它是向量的推广。
我们知道，向量可以看成一维的“表格”（即分量按照顺序排成一排），矩阵是二维的“表格”（分量按照纵横位置排列），那么n阶张量就是所谓的n维的“表格”。
张量的严格定义是利用线性映射来描述的。
张量的概念
第一章 张量的概念§ 1.1 引言什么是张量？这是读者在开始学习本课程时会提出的问题，现从读者已有的力学知识出发，举例对这个问题作一些初步的阐述，使读者对张量这个新的概念，有个初步的理解。
有三维空间，一个矢量（例如力矢量、速度矢量等）在某些参考坐标系中，有三个分量，这三个分量的集合，规定了这个矢量。
当坐标变化换时 ，这些分量按一定的变换法则变换。
在力学中还有一些更复杂的量。
例如受力物体内一点的应力状态，有9个应力分量，如以直角坐标表示，用矩阵形式列出，则有()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛σσσσσσσσσ=σzz zyzxyz yy yxxz xy xx ij 这9个分量的集合，规定了一点的应力状态，称为应力张量。
当坐标变换时，应力张量的分量按一定的变换法则变换，再如，一点的应力状态，具有和应力张量相似的性质，称为应变张量。
把上述的力矢量、速度矢量、应力张量、应变张量等量的性质抽象化，撇开它们所表示的量的物理性质，抽出其数学上的共性，便得出抽象的张量概念。
所谓张量是一个物理量或几何量，它由在某参考坐标系中一定数目的分量的集合所规定，当坐标变换时，这些分量按一定的变换法则变换。
张量有不同的“阶”和“结构”，这由它们所遵循的不同的变换法则来区分。
矢量是一阶张量；应力张量、应变张量是二阶张量；还有三阶、四阶、......等高阶张量。
可以看出，张量是矢量概念的推广。
关于张量的严密的解析定义，将在 § 1.8中讨论。
由张量的特性可以看出，它是一种不依赖于特定坐标系的表达物理定律的方式。
采用张量记法表示的方程，在某一坐标系中成立，则在容许变换的其它坐标系中也成立，即张量方程具有不变性。
这使它特别适合于表达物理定律，因为物理定律与人们为了描述它所采用的坐标系无关。
因此，张量分析为人们提供了推导基本方程的有力工具。
此外，张量记法简洁，是一种非常精炼的数学语言。
张量这个名词是沃伊特（V oigt ）首先提出的，用来表示晶体的应力（张力）状态，可见张量分析与弹性力学关系的密切。
2第02章张量分析(第01讲)
①实体记法： U 3
∑ ②分解式记法：U = u1e1 + u2e2 + u3e3 = uiei
③分量记法 ui
i =1
二阶张量的记法：
2.2 矢量
2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 2.2.5
矢量代数 标量积 矢量积 三重积 标量场和矢量场
2.2.1 矢量代数
矢量既有大小又有方向，在坐标系中通 常用箭头表示。
哈密顿算子
式中
∇=(∂ , ∂ , ∂ )
∂x ∂y ∂z
拉普拉斯算子
Δ = ∇⋅∇ = ∂2 + ∂2 + ∂2
∂x2 ∂y2 ∂z2
• 矢量的散度：
∇ ⋅V = ∂v1 + ∂v2 + ∂v3 ∂x ∂y ∂z
• 矢量的旋度：
e1
e2
∇ ×V = curlV = ∂ / ∂x ∂ / ∂y
v1
U ×V = −(V ×U ) U × (V ×W) ≠ (U ×V) ×W • 一个矢量与其自身的矢量积为零矢量。
• 应用：力F作用于位置矢量为r的点A，则力 F绕原点的力矩为：
M =r×F
2.2.4 三重积
• 三重标量积：
u1 u2 u3 U ⋅ (V ×W) = v1 v2 v3 = (U ×V) ⋅W
∂f ∂l
= lim
ρ →0
f ( x + Δx, y + Δy, z + Δz) − ρ
f ( x, y, z) ,
（ 其中 ρ = (Δx)2 + (Δy)2 + (Δz)2 ）
设方向 L 的方向角为α , β , γ .
当函数在此点可微时，那么函数在该点沿任意方
张量的基本概念(我觉得说的比较好,关键是通俗)
简单的说：张量概念是矢量概念和矩阵概念的推广，标量是零阶张量，矢量是一阶张量，矩阵（方阵）是二阶张量，而三阶张量则好比立体矩阵，更高阶的张量用图形没法表达.之杨若古兰创作向量是在一个线性空间中定义的量，当这个线性空间的基变换时，向量的分量也跟着变换.而一个线性空间有一个陪伴的对偶空间.张量是一个同时定义在几个线性空间的量，这几个线性空间的基可同时变换，或者只是只变换几个，此时，张量的分量也跟着变换.我们普通见到的张量是同时定义在几个线性空间及其对偶空间里的量，在实际的符号表达中，就表示为同时有几个上目标和下目标，也即线性空间及其对偶空间.张量其实是一种线性代数，即多重线性代数，从字面上理解，也正好是上面提到的“定义在多个线性空间的量”.在流形中，一点的切空间正好同构于一个欧氏空间，也即，与一个欧氏空间的性质一样.而这个欧氏空间有一个陪伴的对偶空间，所以可以定义张量.要对流形上张量作微分运算，必须比较流形上相距很近两点的张量的差，这就引出了联络的概念，而联络的概念的引出，须要这两个分歧的点的欧氏空间是同构的.进而发展了张量分析.古代数学是建立在代数与拓扑基础上的，很多概念如果代数水平不成，是很难理解的.比方泛函分析、纤维从理论等.代数方面的常识，最好能把握抽象代数的概念，进而把握交换代数的常识.其实，线性代数是很多古代数学概念的基础，而线性代数的核心就是空间的概念.而此刻，我们国内工科学的线性代数只是讲一讲矩阵、矩阵运算、特征值、特征向量、二次形等等.线性代数的精髓概念根本涉及不到.这也就形成了很多同学理解古代数学中很多概念的困难.古代数学的一个非常次要的方法论就是公理化的方法.这是希尔伯特在其《几何基础》中最早明确提出的，这本书当初得到了彭加莱的很高的评价.公理化思想的威力我当初是在进修《实变函数论》这门课时深刻体会到的.武熙鸿老师的《黎曼几何初步》中，则是处处渗透着公理化的思想，读来颇有滋味.应当如许说，是低阶张量被我们找到了可以比较的物理意义，但张量本人其实不须要具有几何比较其实，张量是有很强的几何布景的，不管是低阶的，还是高阶的.这主如果由于古代张量的定义是建立在线性空间概念的基础上的.而线性空间恰是从一、二、三维空间中抽现出来的.只需掌控住“多个线性空间及其对偶空间”这个关键就行了.而物理学家对于张量的定义是从坐标变换的角度定义的，这恰是当初Ricci定义的方式.这类定义在古代数学中推广起来比较困难.所以把它定义成了多重线性映照.我的朋友有的是搞弹性理论和流体的，但他们对张量的理解也很混乱，所以有时也向他们解释这个东西.但好像解释来解释去，他们还是不太明白.可能与他们是搞计算的有关，对这些纯理论的东东没有一个很零碎的进修与理解，而且理解那么深也没用.不过，他们搞得计算的东东倒是一门很深的东东，我理解起来挺困难的.有时与他们神侃，很是佩服他们的计算机水平，不只对数值计算有极深的成就，对一个程序如何编译成汇编代码，如何在CPU中履行，操纵零碎如何对内存处理，那些程序又如何在内存中调度，反正听得多了，我也能侃了.赫赫.特别他们用java编写的程序，速度与用fortaun 编写的速度差不多，太佩服他们了.本来想用弹性理论中的应力张量作一番解释的.但手头没有弹性理论的书，而且对于应力如何在一个弹性体中给出的，也不太清楚.所以就此作而已.但要清楚地一点是，数学中定义的空间，与实际的物理空间，比方定义在一个弹性体上的应力所在的空间，是两码事清.线性代数被捕，想一想还是当时实在不克不及理解N维空间.三维空间好理解，想象不出N维空间是个什么玩意儿.其实程序中经经常使用数组，一维、二维、三维用惯了，多维照用就是了，根本不必想象它是平的还是方的.张量就相当那个N维数组.我也是数学上进修吃力.但我对四维空间比来有了新的几何理解.我认为三维物体,包含所有星体和粒子,都以光速辐射出本身质量,就象把本身的拷贝以光速传送出去一样,发生引力场空间.物资的全部能量以光速辐射后,对四周物体不发生任何感化,由于匀速活动的空间或能量是对物资不发生任何感化的.如许就存在一个光速扩散的似乎与我们有关的辐射空间,即所谓的虚空间,或第四维空间.如果物资还以2倍光速辐射能量和物资,则有第5维空间.顺次类推.实空间的真空和物体,都要加速收缩,以弥补辐射损失,从而发生了引力.总之,静止和加速活动的物体和能量,用三维空间的数学来暗示;匀速活动的物体和能量,主如果光速空间,用n+3维来暗示.不知我的理解是否有道理,请高人指教.此刻，一看到与绝对论物理有关的东东，就感觉心烦气躁，细想，一是天资痴顽，二是功力太差.不是我这类人能理解的了得，否则，非得走火入魔.关于维数，我不断想用通俗的说话解释清楚，一是由于给他人通俗的解释一遍，更能加深本人的理解，做一些总结，对于一个概念，如果能以通俗的说话讲，就标明对它的理解已达到必定的境界了；二是由于有些搞力学的朋友问到我关于维数的成绩，但他们又不须要做很深的理论数学的进修，只须要利用数学即可.但是，解释来解释去，还是解释不清楚.前两天，与一名搞音乐的朋友交流，他讲的浅显的东西还是能理解的了得，但是，更深入的，就到云里了.所以，是不是对于一门学科，如果没有很深的基础做支持，弄明白其中的一些概念，还是挺费劲的.而且，弄明白，常常是出于好奇心，并没有太大的用途.所以，此刻还是很矛盾.但，还是经常写一些小散记，以记下对一些基本概念的理解.其实，维数的概念应当最早出此刻几何中(猜得)，而在拓扑学中体现的比较严谨和直观.历史上，数学家造出了一个逐个映照，能把一维线段内部映为一个正方形里面，难道这说明直线与正方形同维吗？后来才发现，这个逐个映照，应当加上连续这个限制词，才干坚持维数的不变，这恰是同胚的概念.这类概念对于我们来说是很直观的.后来进修代数几何，它是用“环”、“模”、“群”这些代数工具来研讨几何成绩.结果，在里面，维数的定义一会儿出现了4种，其中，最经常使用的一种定义是使用一种特殊的“环”定义的.这下子可真摸不着头脑了，后来时间长了，才慢慢揣摩出它们的好处了.那就是，这些概念与定义，更适合与其他分支的交叉，而不是只具备很少古代数学基础的人所能理解的.而上面提到的n维空间的概念，在几何中是使用公理化的方式定义的.也是经过一段时间的揣摩，才感觉到这类定义方式的优胜性的.而要用通俗的说话解释，此刻确实非常的难.。
张量概念及其基本运算ppt课件
则：
a1b1 a1b2 a1b3
aibj a2b1
a2b2
a2b3
a3b1 a3b2 a3b3
◆ 张量乘法不服从交换律，但张量乘法服从分配
律和结合律。例如：
(aij bij )ck aijck bijck ； 或 (aijbk )cm aij (bkcm )
12
C、张量函数的求导：
◆ 在一定单位制下，只需指明其大小即足以被说明 的物理量，统称为标量。例如温度、质量、功等。
◆ 在一定单位制下，除指明其大小还应指出其方向 的物理量，称为矢量。例如速度、加速度等。
◆ 绝对标量只需一个量就可确定，而绝对矢量则需 三个分量来确定。
1
◆ 若我们以r表示维度，以n表示幂次，则关于三维 空间，描述一切物理恒量的分量数目可统一地表
(4) aij ij a1111 a22 22 a33 33 aii
(5) ai ij a11 j a2 2 j a3 3 j a j (即a1,或a2 ,或a3 )
(6) ijl j li ijl j ijl j ( ij ij )l j
9
4.张量的基本运算
A、张量的加减：
i1 j1
1111 1212 1313
21 21 22 22 23 23
31 31 32 32 33 33 6
★ 关于求和标号，即哑标有： ◆ 求和标号可任意变换字母表示。 ◆ 求和约定只适用于字母标号，不适用于数字标号。 ◆ 在运算中，括号内的求和标号应在进行其它运算前
◆ 一个张量是坐标函数，则该张量的每个分量都
是坐标参数xi的函数。
◆ 张量导数就是把张量的每个分量都对坐标参数
求导数。
◆ 对张量的坐标参数求导数时，采用在张量下标 符号前上方加“ ′”的方式来表示。例如 ，Ai j 就表示对一阶张量 A的i 每一个分量对坐标参数
《张量基础知识》课件
提供数学工具
详细描述
弹性力学中的张量提供了丰富的数学工具，用于描述和 计算弹性材料的应力和变形，如弹性波传播、材料稳定 性等。
04
张量在机器学习中的应用
深度学习中的张量
深度学习中的张量用于表示多维 数据，如图像、语音和文本等。
张量可以高效地存储和计算大规 模数据，支持自动微分和反向传 播算法，使得深度学习模型能够
总结词
描述微观粒子的自旋和角动量
详细描述
量子力学中的张量也用于描述微观粒子的自旋和角动量等 性质，这些性质在量子力学中非常重要，是理解微观粒子 行为的关键。
总结词
提供数学工具
详细描述
量子力学中的张量提供了丰富的数学工具，用于描述和计 算微观粒子的状态和相互作用，如量子纠缠、量子门操作 等。
弹性力学中的张量
张量的分类
根据不同的分类标准，可以将张量分为多种类型。
根据张量的阶数，可以分为零阶张量（即标量）、一阶张量（即向量）、二阶张量（即矩阵）等。根据张量的变数个数，可 以分为纯量张量、二阶张量、三阶张量等。根据张量的对称性，可以分为对称张量、反对称张量、正交张量等。根据张量的 具体应用领域，可以分为物理张量、工程张量、医学张量等。
总结词
提供数学工具
详细描述
广义相对论中的张量提供了丰富的数学工具，用于描述 和计算引力场中的物理现象，如光线传播、星体运动等 。
量子力学中的张量
总结词
描述微观粒子的状态和相互作用
详细描述
在量子力学中，张量被用来描述微观粒子的状态和相互作 用，如狄拉克符号中的矩阵和向量等。这些张量提供了描 述微观粒子波函数的数学工具。
快速训练和优化。
张量在深度学习中还用于实现各 种复杂的神经网络结构，如卷积 神经网络、循环神经网络和注意
张量的通俗理解
张量的通俗理解
张量（Tensor）是数学中一种常用的数学概念，它是一种可以把多个数值（也称之为维数）进行联系的数据结构。
它不仅有0维、1维、2维、3维、4维及更高维度之外的扩展空间，而且其表示形式
是可以有多种形式的，可以是矩阵，也可以是向量，还可以是更复杂的形式。
简单来说，张量就是一种较为复杂的数据结构，它可以表示一组不同维度的数据，而每一维度的数据也可以有自己的维度和顺序，因此可以更容易地描述非常复杂的数据关系。
二、张量的应用
一般情况下，张量的应用是非常广泛的，它可以用于科学计算，特别是机器学习和深度学习应用等方面。
1.器学习应用：张量主要用于机器学习中处理复杂数据，如图像识别和文本分析等，例如深度学习中用到的卷积神经网络（CNN），多层感知网络（MLP），矩阵分解学习（Matrix Factorization），深度
强化学习（Deep Reinforcement Learning）等，都需要使用到张量，它们能够处理大型数据，同时又保证计算的准确性。
2.能网络应用：张量也用于计算机智能网络的研究，它可以用来表示复杂的数据关系，通过这种关系可以推出各种结果，从而使计算机智能网络的计算结果更加准确。
3.物学应用：张量也广泛应用于生物学领域，可以用来分析生物物种之间的关系，计算基因组序列之间的关系等。
三、总结
从上面的介绍中可以看出，张量在数学、机器学习、智能网络和生物学等多个领域都得到了广泛的应用，它可以帮助我们更加精确地分析和处理复杂的数据，并且还可以用来研究复杂的数据关系。
此外，张量是一种可以扩展的数据结构，可以把多个数据进行联系，从而使计算机更加强大。
张量
本条目或章节存有多项争议或问题。
请协助改善本条目或在讨论页针对议题发表看法。
∙类似爱好者站点。
自2010年12月起标示本模板。
∙品质低劣，需要完全重写。
自2010年12月起标示本模板。
∙可能需要进行清理，以符合维基百科的质量标准。
自2010年12月起标示本模板。
目录[隐藏]∙ 1 背景知识∙ 2 方法的选择∙ 3 例子∙ 4 方法细节∙ 5 张量密度∙ 6 张量阶∙7 参阅o7.1 记法常规o7.2 基础o7.3 应用∙8 外部链接∙9 参考书籍∙10 张量软件[字的列表来表述。
最后，象二次型这样的量需要用多维数组来表示。
后面这些量只能视为张量。
实际上，张量的概念相当广泛，可以用于上面所有的例子；标量和向量是张量的特殊情况。
区别标量和向量以及区别这两者和更一般的张量的特征是表示它们的数组的指标的个数。
这个个数称为张量的阶。
这样，标量是0阶张量(不需要任何指标)，而向量是一阶张量。
张量的另外一个例子是广义相对论中的黎曼曲率张量，它是维度为<4,4,4,4>(3个空间维度 + 时间维度 = 4个维度)的4阶张量。
它可以当作256个分量(256 = 4 × 4 × 4 × 4)的矩阵(或者向量，其实是个4维数组)。
只有20个分量是互相独立的，这个事实可以大大简化它的实际表达。
[编辑]方法细节有几种想象和操作张量的等价方法；只有熟悉了这个课题，其内容是等价的这个事实才会变得明显。
现代(无分量)方法把张量首先视为抽象对象，表达了多线性概念的某种确定类型。
其著名的性质可以从其定义导出，作为线性映射或者更一般的情况；而操作张量的规则作为从线性代数到多重线性代数的推广出现。
这个处理方法在高等的研究中大量的取代了基于分量的方法，其方式是更现代的无分量向量方法在基于分量的方法用于给出向量概念的基本引例之后就取代了传统的基于分量的方法。
可以说，口号就是“张量是某个张量空间的元素”。
02 张量概念
5 / 48
02 张量概念
1.2 指标记法
在张量的讨论中，都采用下标字母符号， ◆ 在张量的讨论中，都采用下标字母符号，来表示和区 别该张量的所有分量。 别该张量的所有分量。 不重复出现的下标符号称为自由标号 自由标号。 ◆ 不重复出现的下标符号称为自由标号。自由标号在其 方程内只罗列不求和。以自由标号的数量确定张量的 方程内只罗列不求和。 阶次。 阶次。 重复出现，且只能重复出现一次的下标符号称为哑标 ◆ 重复出现，且只能重复出现一次的下标符号称为哑标 号或假标号。哑标号在其方程内先罗列，再求和。 假标号。哑标号在其方程内先罗列，再求和。 如不特意说明，今后张量下标符号的变程， ◆ 如不特意说明，今后张量下标符号的变程，仅限于三 维空间，即变程为3。 维空间，即变程为3
i =1 j =1
j =1 3 3
+a21b2c1 + a22b2c2 + a33b2c3
+a31b3c1 + a32b3c2 + a33b3c3
aijk xi x j xk = ∑∑∑aijk xi x j xk
i =1 j =1 k =1
3
3
3
展开式（ 项 展开式（9项）
8 / 48
展开式（ 项 展开式（27项）
哈工大 土木工程学院
3 / 48
02 张量概念
若我们以r 表示维度（如三维空间）， ），以 表示阶数， ◆ 若我们以 表示维度（如三维空间），以n 表示阶数， 则描述一切物理恒量的分量数目M 可统一地表示成： 则描述一切物理恒量的分量数目 可统一地表示成：
M =r
n
统一称这些物理量为张量（ 统一称这些物理量为张量（Tensor） 。 ） 0时 零阶张量， 1，标量； 当n = 0时，零阶张量，M = 1，标量； 矢量； 当n = 1时，一阶张量，M = 31，矢量； 时 一阶张量， 当n = 2时，二阶张量，M = 32，矩阵； 时 二阶张量， 矩阵； 阶张量， 当取 n 时，n 阶张量，M = 3n。
哈工大弹塑性力学02_张量概念
◆ 所有与坐标系选取无关的量，统称为物理恒量。
哈工大 土木工程学院
2 / 48
02
张量概念
◆ 在一定单位制下，只需指明其大小即足以被说明的物
理量，统称为标量（Scalar ）。例如温度、质量、功 等，在坐标变换时其值保持不变的量，即满足
, x2 , x3 ) ( x1 , x2 , x3 ) ( x1
哈工大 土木关于下标的约定可以总结为以下三条规则：
1. 如果在一个方程或表达式的一项中，一种下标只出现一次， 则称之为自由指标，这种自由指标在表达式或方程的每一 项中必须只出现一次。 2. 如果在一个表达式或方程的一项中，一种指标正好出现两 次，则称之为哑标，它表示从1到3求和。哑标在其他任何 项中可以刚好出现两次，也可以不出现。 3. 如果在一个表达式或方程的一项中，一种指标出现的次数 多于两次，则是错误的。
i 1 3 3
展开式（3项）
a21b2c1 a22b2c2 a33b2c3
a31b3c1 a32b3c2 a33b3c3
aijk xi x j xk aijk xi x j xk
i 1 j 1 k 1
3
3
3
展开式（9项）
展开式（27项）
哈工大 土木工程学院
8 / 48
02
张量概念
HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY
弹塑性力学
土木工程学院
工程力学学科组
哈工大 土木工程学院
1 / 48
02
第1 节
1.1 张量概念
张量概念
张量概念及其基本运算
◆ 任一物理现象都是按照一定的客观规律进行的，它们是 不以人们的意志为转移的。
张量
cos θ l= − sin θ
sin θ cos θ
σ1′1′ σ1′2′ σ ρ τ ρϕ cosθ sinθ σ x τ xy cosθ − sinθ σ ′ ′ σ ′ ′ = τϕρ σϕ = − sinθ cosθ τ yx σ y sinθ cosθ 22 21
(4)哑标可以局部地成对替换。自由指标必须整体换名， (4)哑标可以局部地成对替换。自由指标必须整体换名，即把 哑标可以局部地成对替换 表达式中出现的同名自由指标全部改为同一个新名字， 表达式中出现的同名自由指标全部改为同一个新名字，而不会 影响它的含义。 影响它的含义。
3．求导数的简记方法 将求导符号简记为
i =1
w = ∑ f i si = f i si
i =1
3
求和所得到的结果，不再含有这一指标，这一指 求和所得到的结果，不再含有这一指标， 标换为其它的指标也不会影响其结果， 标换为其它的指标也不会影响其结果，这一指标称为 哑标。但重复次数超过两次则不再具有求和意义。 哑标。但重复次数超过两次则不再具有求和意义。 一项中有其它符号的指标，通常有泛指的意义，称 一项中有其它符号的指标，通常有泛指的意义， 自由标。 为自由标。
+ e3 jk a13a2 j a3k = e11k a11a21a3k + e12k a11a22a3k + e13k a11a23a3k + ...
δi1 δi2 δi3 δi1 δ j2 δk3 eijk = δ j1 δ j2 δ j3 = δi1 δ j2 δk3 δk1 δk2 δk3 δi1 δ j2 δk3
2. 指标符号 记为x 把 x, y , z 轴，记为 1, x2, x3, 矢量的三个坐标通常可 各轴的基矢量记为e 简记为 xi（i=1，2，3）,各轴的基矢量记为 1,e2,e3,可简 ， ， ） 各轴的基矢量记为 可简 记为e 在此坐标系中的矢量v的分量记为 的分量记为v 记为 i, 在此坐标系中的矢量 的分量记为 1, v2, v3, 可简 记为v 应力分量记为可简记为σ 记为 i, 应力分量记为可简记为 ij. 3. Einstein 求和约定 力 f在位移 上做功 在位移s上做功 在位移 3 r r w = f ⋅ s = f1s1 + f 2 s2 + f 3s3 = ∑ f i si 最后一个等式在符号∑ 有两个同样的指标i。 最后一个等式在符号∑ 下fi si有两个同样的指标 约定凡在一项中有一对相同的指标， 约定凡在一项中有一对相同的指标，就认为是对这一 指标全程求和，求和符号略去不写： 指标全程求和，求和符号略去不写：
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
哈工大 土木工程学院
17 / 48
02
张量概念
ij 的作用与计算示例：
(1) ii 11 22 33 3
(2) ij ij (11 )2 ( 22 )2 ( 33 )2 3
哈工大 土木工程学院
5 / 48
02
1.2 指标记法
张量概念
◆ 在张量的讨论中，都采用下标字母符号，来表示和区
别该张量的所有分量。
◆ 不重复出现的下标符号称为自由标号。自由标号在其
方程内只罗列不求和。以自由标号的数量确定张量的 阶次。 ◆ 重复出现，且只能重复出现一次的下标符号称为哑标 号或假标号。哑标号在其方程内先罗列，再求和。
◆ 在一定单位制下，除指明其大小还应指出其方向的物
理量，称为矢量（Vector） 。例如速度、加速度等。
◆ 标量只需一个量就可确定，而矢量则需三个分量来确
定。
哈工大 土木工程学院
3 / 48
02
张量概念
M r
n
◆ 若我们以r 表示维度（如三维空间），以n 表示阶数，
则描述一切物理恒量的分量数目M 可统一地表示成： 统一称这些物理量为张量（Tensor） 。 当n = 0时，零阶张量，M = 1，标量； 当n = 1时，一阶张量，M = 31，矢量； 当n = 2时，二阶张量，M = 32，矩阵； 当取 n 时，n 阶张量，M = 3n。
i 不参与求和，只在数值上等于 i
哈工大 土木工程学院
15 / 48
02
关于自由标号：
标号字母相同。
张量概念
◆ 在同一方程式中，各张量的自由标号相同，即同阶且
aij x j bi
◆ 自由标号的数量确定了张量的阶次。
哈工大 土木工程学院
16 / 48
02
1.4
张量概念
Kronecker delta（ij）符号
◆ 二阶以上的张量已不可能在三维空间有明显直观的几
何意义，但它做为物理恒量，其分量间可由坐标变换 关系式来解释、定义。
哈工大 土木工程学院
4 / 48
02
张量定义
张量概念
设（a1,a2,a3）、（b1,b2,b3）、……、（s1,s2,s3）是矢 量，Ti1i2…in是与坐标选择有关的3n个独立变量，若当 坐标变换时，n一次式
例2：完成变换 Tkj→Tij
ikTkj iiTij Tij 特别地 ik kj ij
ik kj jm im
例3：
Ami Bnj
代表34=81个数，求 m=n时各项的和。
mn Ami Bnj Ani Bnj Ami Bmj
哈工大 土木工程学院和时，在指标下方加划线 以示区别，或用文字说明（如 i 不求和）。
哈工大 土木工程学院
14 / 48
02
又如，方程
2 1 2 2 2 3
张量概念
111 2 22 3 33
用指标法表示，可写成
i i i i i i i i i i i
ai bi xi
是违约的，求和时要保留求和号
a b x
i 1
n
i i i
10 / 48
哈工大 土木工程学院
02
张量概念
例题：利用求和约定缩写下面线性方程组
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 a31 x1 a32 x2 a33 x3 b3
◆ 所有与坐标系选取无关的量，统称为物理恒量。
哈工大 土木工程学院
2 / 48
02
张量概念
◆ 在一定单位制下，只需指明其大小即足以被说明的物
理量，统称为标量（Scalar ）。例如温度、质量、功 等，在坐标变换时其值保持不变的量，即满足
( x1 , x2 , x3 ) ( x1 , x2 , x3 )
◆ 如不特意说明，今后张量下标符号的变程，仅限于三
维空间，即变程为3。
哈工大 土木工程学院
6 / 48
02
矢量V 的方式表示：
张量概念
x3
3
V (v1 ,v2 ,v3 )
v1e1 v2e2 v3e2 vi ei i 1 vi
vi 代表矢量V 的所有分量， 即当V 写作vi 时，指标的值从1到3 变化。
aij bij cij
若 a 为一矢量，则
(T S ) a = T a S a
= ei T e j ei S e j = Ti j Si j
其分量为： ( T S )i j = ei ( T S ) e j
其矩阵形式为：
T S T S
F ... Ti1i2 ...in ai1 bi2 ......sin
i1 1 i2 1 in 1
3
3
3
保持不变，则取决于脚标的3n个量Ti1i2…in 的集合称 为 n 阶张量，其中每个元素称为此张量的分量。 由一组坐标系变换到另一组坐标系时，研究对象的分量 若能按照一定规律变化，则称这些分量的集合为张量。
哈工大 土木工程学院
……
12 / 48
02
母可以任意改变。
张量概念
关于求和标号（哑标）说明：
◆ 由于哑指标在求和之后就不再出现，所以哑指标字
S ai xi a j x j ak xk
or or
◆ 求和约定只适用于字母标号，不适用于数字标号。
◆ 在运算中，括号内的求和标号应在进行其它运算前就
哈工大 土木工程学院
9 / 48
02
张量概念
关于下标的约定可以总结为以下三条规则：
1. 如果在一个方程或表达式的一项中，一种下标只出现一次， 则称之为自由指标，这种自由指标在表达式或方程的每一 项中必须只出现一次。 2. 如果在一个表达式或方程的一项中，一种指标正好出现两 次，则称之为哑标，它表示从1到3求和。哑标在其他任何 项中可以刚好出现两次，也可以不出现。 3. 如果在一个表达式或方程的一项中，一种指标出现的次数 多于两次，则是错误的。
aij b j aij b j ai1b1 ai 2b2 ai 3b3 aij bi c j aij bi c j a11b1c1 a12b1c2 a13b1c3
i 1 j 1 j 1 3 3
i 1 3 3
展开式（3项）
a21b2c1 a22b2c2 a33b2c3
哈工大 土木工程学院
22 / 48
02
张量概念
◆ 一个张量在一个坐标系中的所有分量都为0，则在所 有坐标系中的所有分量都为0。
这个论述在减少数学和物理证明方面很有帮助，如：要考 虑Fi 导致的应力ij ，以后将证明，为满足平衡 ij,j=Fi ， 现将它重写为 Di= ij,j－Fi=0
02
张量概念
HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY
弹塑性力学
土木工程学院
工程力学学科组
哈工大 土木工程学院
1 / 48
02
第1节
1.1 张量概念
张量概念
张量概念及其基本运算
◆ 任一物理现象都是按照一定的客观规律进行的，它们是 不以人们的意志为转移的。
◆ 分析研究物理现象的方法和工具的选用与人们当时对客 观事物的认识水平有关，会影响问题的求解与表述。 ◆ 张量分析是研究固体力学、流体力学及连续介质力学的 重要数学工具。 ◆ 张量分析具有高度概括、形式简洁的特点。
(3) ij jk i11k i 2 2k i 3 3k ik (4) aij ij a1111 a22 22 a33 33 aii (5) ai ij a11 j a2 2 j a3 3 j a j (即a1 , 或a2 , 或a3 )
ei ei = i i
注意：ii是一个数值（3）
ij的作用：1）换指标；2）选择求和。
哈工大 土木工程学院
19 / 48
02
张量概念
例1：完成脚标变换 Ai→Ak
ki Ai kk Ak Ak
思路：把要被替换的指标 i 变成哑标，哑标能用 任意字母，因此可用变换后的字母 k 表示。
(6) ij l j li ij l j ij l j ( ij ij )l j
哈工大 土木工程学院
18 / 48
02
ei e j = ij
张量概念
若e1，e2，e3是相互垂直的单位矢量，则
ei ei = e1 e1 + e2 e2 + e3 e3 = 11 22 33 3
a31b3c1 a32b3c2 a33b3c3
aijk xi x j xk aijk xi x j xk
i 1 j 1 k 1
3
3
3
展开式（9项）
展开式（27项）
哈工大 土木工程学院
8 / 48
02
3 j 1
张量概念
2
2 2 2 2 2 aii aii a11 a22 a33
20 / 48
02
1.5
张量概念
张量的基本运算
张量的运算法则与矢量相类似。 如：张量相等即对应分量相等； 张量相加即对应分量相加； 张量相乘构成一个阶数是原张量的阶数之和的新张量； n 阶张量缩并后变为n-2 阶张量等等。