闭口薄壁杆件的约束扭转剪应力分析_张元海 - 副本

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兰 州交通 大学学 报
第 27 卷
约束扭转剪应力时 , 采用了另一种分析途径 , 即在微
元体纵向平衡方程基础上 , 不是通过翘曲连续性条
件而是由扭矩平衡条件导出总剪流表达式如下(用
Mk 表示截面总扭矩)
q
=
Mk Ψ
+E
β
S
ω
-
1 Ψ
S ωρds
(6)
并据此认为 , 相应于自由扭转和约束扭转的剪流分
q
=
Ms Ψ
+
Mω Ψ
+Eβ
S
ω
-
1 Ψ
S
ωρds
(9)
则式(9)等号右边第一项才是自由扭转剪流 qs , 其
余两项才是约束扭转翘曲剪流 qω, 即
qω
=
Mω Ψ
+Eβ
Sω
-
1 Ψ
S
ωρd s
(1 0)
现在证明式(10)与式(5)等价 .
由于约束扭转时的翘曲扭矩为 Mω =-EI ωβ ,
故式(10)可写为 qω =Eβ S ω -EΨβ (I ω + S ωρds)
1 约束扭转剪应力计算
qω s
=-
σzωt
(1)
通过将式(1)对 s 积分 , 可将约束扭转剪流表达
为
qω = qω0 +qω
(2)
式中 :qω0 为积分常数 , 其意义为 s 起点处的常剪流 ;
qω可视为在 s 起点处虚构切口后的相应开口截面剪
流 , 按下式计算 :
qω =-MI ωωS ω
(3)
第 27 卷 第 4 期 2008 年 8 月
兰 州交通 大学学 报 J ou rnal of Lanzh ou Ji aot ong U niversit y
文章编号 :1001-4373(2008)04-0001-03
V ol .27 N o .4 A ug .2008
闭口薄壁杆件的约束扭转剪应力分析＊
从中面微元体的纵向平衡条件可得[ 1] :
qtωds =0
(4)
将式(2)代入式(4), 并注意式(3), 可得常剪流 qω0 , 进而可得约束扭转剪应力为
τω
=
qω t
=-MI ωtω
Sω -
Stωds ds t
(5)
2 对另一种剪应力公式的分析
在许多文献如文[ 2 ～ 6] 中 , 分析闭口薄壁杆件
别为
qs =MΨk
(7)
qω =Eβ
S
ω
-
1 Ψ
S
ωρds
(8)
上述结果显然是不正确的 .式(6)事实 上只是
一个由扭矩平衡条件得到的总剪流表达式(不难验
证 , 用该式表达的总剪流合成的扭矩为截面总扭矩
Mk), 式(6)等号右边两项并非分别为相应于自由扭
转和约束扭转的剪流 , 亦即式(7 , 8)并不成立 . 若把式(6)改写为(用 M s 表示自由扭转扭矩)
张 元海
(兰州交通大学 土木工程学院 , 甘肃 兰州 730070)
摘 要 :基于周边不变形理论 , 推导了闭口薄壁杆件的约束扭转剪应力计算公式 , 对有关文 献中的另 一种剪应力 公 式进行了分析与论证 , 发现这些文献中对闭口薄 壁杆件约束扭转时的纯扭转剪应力和约束 扭转剪应 力的表达是 不 正确 的 , 并进行了更正 .最后通过一个发生约束扭转的悬臂箱梁算例 , 具体分析比较了按本 文公式和 有关文献中 公 式计算的约束扭转剪应力的差别 . 关键词 :闭口薄壁杆件 ;约束扭转 ;剪应力 中图分类号 :T U338 文献标识码 :A
宽度 a =0 .4 m , 高度 b =0 .3 m , 壁厚 t =0 .01 m , 材料弹性模量为 E =2 .06 ×105 M Pa , 泊松比 μ= 0 .3 .在自由端作用集中扭矩 Mt =1 kN ·m , 方向如 图 1 所示.
Ψ ds
Sω ds t
Leabharlann Baidu
(1 4)
t
由分部积分法知 , 上式右边第一个积分结果为
∫ ∫ s ωt ds
d ω=
s
ω ωt ds
s1 -
ω2 tds =-I ω
0
0
0
从而 , 式(14)变为
Sωρds =-Iω +
Ψ ds
S
ω
d t
s
(15)
t
将式(15)代入式(11), 并注意 M ω =-EI ωβ ,
(1 1)
闭口薄壁杆件的广义扇性坐标为
∫ ∫ s
ω= ρds 0
Ψ ds
s ds 0t
t
(1 2)
式(12)两边对 s 微分后 , 可得 :
ρds =dω+
Ψ ds ds t
(1 3)
t
借助式(13), 可将式(11)中的积分表达为
∫ Sωρds =
s
ωt ds
d ω+
Ψ ds ds t
=
0
t
∫s ωt ds dω+ 0
＊ 收稿日期 :2007-11-28 基金项目 :甘肃省自然科学基金(3ZS 042-B25-032);甘肃省高等学校研究 生导师科研 项目(0804-09);兰 州交通大 学“ 青蓝” 人才工程 基 金(Q L-2A-16) 作者简介 :张元海(1965-), 男, 甘肃武山人 , 教授 , 博士 .
式中 :Mω 为约束扭转时的翘曲扭矩 ;I ω 为广义扇性
∫s
惯性矩 ;S ω为扇性静面矩 , 即 S ω = ωt ds , 其中 ω为 0
广义扇性坐标 .
为了求出式(2)中的常剪流 qω0 , 可应用翘曲连
续性条件[ 1] :γωds =0 , 亦即
闭口薄壁杆件发生约束扭转时 , 由于纵向翘曲 位移不能自由发生 , 在杆件横截面上将产生约束扭 转正应力 σω(z , s)(z 为沿杆轴方向的坐标 , s 为杆件 横截面上沿周边方向的坐标 , 为表达方便起见 , 下文 不再标出 z , s), 相应地 , 会产生约束扭转剪应力 τω, 它与壁厚 t 的乘积常称为约束扭转剪流 qω, 亦即 τω =qω/ t .
0 引言
闭口薄壁杆件由于具有多方面的优越性 , 因而 在土木工程结构中得到广泛应用 .多年来 , 人们对闭 口薄壁杆件的分析理论进行了大量研究工作 , 建立 了较为完整的工程应用分析理论 .在闭口薄壁杆件 的约束扭转分析方面 , 前苏联学者乌曼斯基提出的 第二理论在工程计算中应用较多 .在基于该理论对 闭口薄壁杆件约束扭转分析的剪应力计算方面 , 一 些文献中给出了不同的表达式 , 但是在区分相应于 自由扭转和约束扭转的剪应力方面存在疏漏 .本文 的目的在于澄清闭口薄壁杆件约束扭转分析中的剪 应力计算问题 , 指出有关文献中的不正确表达 , 并进 行更正 .
可得 :
qω
=-M ω Iω
S ω-
S
ω
ds t
ds
t
此式即为式(5).
(16)
3 算例分析
选取一个发生约束扭转的悬臂箱梁算例 , 分别 按本文推导的约束扭转剪应力公式与文献[ 2 ～ 6] 中的相应公式对固定端横截面上的约束扭转剪应力
进行计算 . 图 1 所示为一悬臂箱梁 , 梁长 l = 1 m , 横截面