有趣的数列

有趣的数列
——斐波那契数列
十三世纪意大利数学家斐波那契在名为《算法之书》的数学著作中，记载了一个特别有趣的问题：
兔子出生两个月后就能每月生一次小兔子，若每次不多不少恰好生一对（一雌一雄），那么，假如养了初生的一对小兔，所有小兔都存活，一年后共有多少对兔子。

现在我们来讨论这个问题。

设1月份有一对刚生的小兔子，2月份仍为一对，而到3月份它们生了一对，总数为2对。

4月份则为3对。

到了5月份时，3月份生的兔子也能生小兔了，所以5月份就有5对兔子。

如此推断下去，可得下
n n
，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…。

后来，人们发现，{F n}有如下定义：F1=1，F2=1，F n=F n-2+F n-1（n=3，4，5，…）。

由于这个数列是由斐波那契首先提出来的，所以，后人就称这个数列为斐波那契数列。

再后来有人求出了斐波那契数列的通项为
F n=
n
n
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛-
-
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛+
2
5
1
5
1
2
5
1
5
1。

一个正整数数列的通项公式竞要用无理数来表达，这是一个令人惊讶的结果。

人们发现斐波那契数列与我们熟知的杨辉三角形有关，与著名的黄金分割也有关系。

我们知道，二项式展开式的系数构成杨辉（贾宪）三角形。

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
……
利用杨辉三角形可以很快写出a+b的任意次幂的展开式。

如果我们将杨辉三角形各行的位置错一下，排成一个直角三角形，然后把斜线上的数字相加，其和写在右上方，这样就能得到一列数，所得的这列数，恰好是斐波那契数列。

……
有趣的是，很多植物的生长现象也与斐波那契数列有关。

例如，许多花的花瓣的数目与斐波那契数列有关：延龄草有三个花瓣，飞燕草有5个花瓣，翠雀花有8个花瓣，金盏草有13个花瓣，紫宛有21个花瓣，雏菊有34、55、84个花瓣，……人们深信这不是偶然的。

斐波那契数列还可以在植物的叶、枝、茎等的排列中发现，还能在松果、向日葵、菠萝等一些果实的种籽排列中发现。

后来，人们陆续发现了斐波那契数列的许多重要性质及应用，特别由于
1+n n F F 的极限是2
15-≈0.618，这便与黄金分割联系起来了。

因而斐波那契数列在优选法中得到应用。

有关斐波那契数列的新发现还在不断地发现着。

1963年，美国的一群斐波那契迷创办了一种杂志《斐波那契季刊》，专门登载有关这个数列的新发现。

该杂志头三年发表的研究文章接近1千页。

【附录】
一、【斐波那契简介】
列奥那多〃斐波那契（约1170年～约1250年）意大利数学家。

斐波那契是大商人波纳契奥之子，生于意大利的比萨。

他青年时期游历过埃及、希腊、叙利亚、西西里等地，拜访了各地的数学家，学习了大量东方数学知识，特别是阿拉伯代数，熟习许多国家与地区的商业算术。

1202年，斐波那契发表了成名之作《算法之书》。

这是一本有关算术与代数的论著，有很多独到之处，在他身后的两个世纪中一直被西方奉为数学范本。

1228年，《算法之书》经修改、补充后再次发表。

该书有十五章，前7章为十进制的整数及分数的计算问题；8至11章为适用于商业计算的比例、利息及算术级数、几何级数求和问题，还有大量计算商业赔款、合股、兑换、折扣与复利
的实例；12、13两章为求一次方程的整数解问题；14章是求平方根与立方根的法则，使用了表为a b
形式的方法；第15章是几何度量和代数问题。

《算法之书》在西方开创了应用代数方法解决几何问题，并且比较深刻地理解了算术、代数与几何三者之间应有的必然联系。

将印度——阿拉伯数制完整系统地介绍给欧洲的，正是这本书。

斐波那契1220年完成了著作《几何实用》。

人们认为这本书是以欧几里得的《图形分割论》的阿拉伯文本和海伦求积法为基础的。

这本书明显有东方数学的色彩。

斐波那契还写出《精华》与《四艺经》等多种著作。

斐波那契精通数学，才华超众，成名以后，时常出没于罗马帝国的宫廷，他的数学著作，名义上就是献给显赫的达官贵人的。

他出众的数学才华受到罗马帝国国王弗里德里希二世的青睐，曾被召至皇宫和皇家学者巴勒摩的约翰进行数学比赛。

斐波那契是中世纪西方最伟大的数学家，似乎他的声誉比他的成就大。

二、【我国的一些重大数学奖项简介】
我国最高的数学奖大约有如下几项：
国家自然科学奖由国务院批准，国家科委设立并颁布的国家自然科学奖，其中包括数学科学。

每两年颁奖一次，第一届自56年开始。

陈省身数学奖陈省身是世界著名的数学大师、美籍华裔数学家。

他从1972年8月从美国到中国提倡“双微”的倡议，并揭资10万美元在天津南开大学建起世界一流的“南开数学研究所”。

陈省身于1983年～1984年曾获世界数学大奖——沃尔夫奖。

为表彰陈教授的伟大功绩，1987年由香港亿利达工业发展集团有限公司总裁刘永龄先生倡议，在中国设立“陈省身数学奖”。

每两年颁奖一次，自1987年起，每届奖励两名优秀的中青年数学家（年龄不超过50岁），奖金额达2. 5万港元。

华罗庚数学奖由湖南教育出版社捐资（1991年—1994年提供资助）与中国数学会共同设立。

奖励对象是对我国数学事业、在系统学术研究上有突出贡献的数学专家，每两年颁奖一次，每次有两人获奖。

钟家庆数学奖钟家庆（1938年～1987年），中国科学院数学研究所研究员。

于1987年4月12日在美国哥伦比亚大学作学术访问时突然去世，49岁英年早逝。

生前对现代数学的发展作出了很大贡献，曾多次表示：我国数学事业有赖于积极培养与选拔优秀的年轻的数学人才。

我国数学界有关人士、华裔及钟家庆的亲属好友，为实现钟家庆的遗愿，组织捐资，于1987年设立了“钟家庆纪念基金”，并颁发“钟家庆数学奖”。

颁奖对象为取得创造性成果的数学硕士、博士研究生，每次各奖2名。

苏步青数学教学奖由美国加州大学贝克莱分校项武义教授和夫人发起和资助，于1991年在上海设立“苏步青数学教育基金会”。

每两年一届，奖励在
中学数学教育中有突出贡献的数学教师和教研人员。

许宝禄统计数学奖许宝禄（1910年～1970年），北京大学一级教授，我国数理统计学奠基人，数理统计学专家。

1984年，由我国数学家钟开莱、郑清水、徐利治发起“许宝禄统计数学奖”。

奖励35岁以下研究概率统计与理论统计的青年工作者。

此外，与数学有关的重大奖项还有如中国科协设立的“青年科学奖”、“中国青年科学家奖”等一些不连续的数学奖及一些地方大学、科技单位设立的数学奖等。