z检验与t检验比较区别

§2. One-sample t test 单样本t检验 单样本 检验
This test is used to check hypotheses about the fact that the mean of random variable X equals to given µ0. 适用于样本均数与已知总体均数 0的比较。µ0一 适用于样本均数与已知总体均数µ 的比较。 般为标准值、理论值或经大量观察得到的较稳定的指标值。 般为标准值、理论值或经大量观察得到的较稳定的指标值。 Testing sample X should be a sample of a normal random variable. 检验样本是 来自正态总体的随机样本 If X is not normal, t will have an unknown distribution and, strictly speaking, the t-test is inapplicable. However, according to the central limit theorem, as the sample size increases, the distribution of t tends to be normal. Therefore, if the sample size is big, we can use the t-test even if X is not normal. But there is no way to find out what value is big enough. This value depends on how X deviates from the normal distribution. Some sources claim that n should be greater than 30, but sometimes even this size is not enough. Alternatively, we can use non-parametric test: Wilcoxon rank-sign test.（见p79，第九章） （ ，第九章）
n1 = 506, X1 =180.6, S1 = 34.2
n2 =142, X 2 = 223.6, S2 = 45.8
建立检验假设, 1. 建立检验假设, 确定检验水平 H0 : µ1 = µ2 ,即正常人与高血压患者血清胆固醇值总体均数相同; 即正常人与高血压患者血清胆固醇值总体均数相同; 即正常人与高血压患者血清胆固醇值总体均数不同; H1 : µ1 ≠ µ2 ,即正常人与高血压患者血清胆固醇值总体均数不同; α = 0.05 2. 计算统计量z 值 |180.6 − 223.6 |
§1. z test
population sample 1 sample 2 …… sample r
X1
observation X ：z =
X2
X −µ
LL
Xr
X −µ σ n
σ
(3 − 13) sample mean X ： z =
σ is unknown
X −µ mean X ： t = , df = n − 1 S n σ2 X ~N µ , n
t=
X − µ 0 X − µ 0 3.42 − 3.30 = = = 1.77 S SX 0.40 / 35 n
3. 确定P值，做出推断结论
=TDIST(1.77,34,2)
本例自由度ν= 35- 34，查附表2 =2.032。 本例自由度ν=n-1=35-1=34，查附表2，得t0.05/2,34=2.032。 现有样本信息，尚不能认为该地难产儿与一般新生儿平均出生体重不同。 现有样本信息，尚不能认为该地难产儿与一般新生儿平均出生体重不同。
检验假设 H0： µ 1 = 值 X1 − X 计量：
2
µ 2 ，或 µ 1 − µ 2 = 0 ；在 H0 成立的假定下，差
2
1− X 2
服从正态分布 N ( 0 , σ X
两样本均数比较 z 检验的检验统 )，
σ已 知 ， z =
(X
1
− X 2 ) − (µ1 − µ 2 )
σ
， σ
X1 − X 2
H1 : µ ≠ 72
H0 : µ = 72
72
6.5 z = 3.38, P = 2*(1− normsdist (3.38)) = 0.0007 95%CI： ± 1.96 74.2 =(72.93，75.47) 100
2. Two independent-samples z test 两独立样本均数比较的z检验 两独立样本均数比较的 检验
H 0 : µ = µ0 = 72 ； H1 : µ ≠ µ0 = 72 ， α = 0.05
2. 计算检验统计量 3．确定 P 值，下结论。 查附表 1 z > z0.05/ 2 = 1.96 ，按 α=0.05 水准，拒绝 H0，接受 H1，统计结论为差别有统 计学意义，可认为该地健康男子的脉搏与 1983 年不同。
z=
34.2 / 506 + 45.8 /142
2 2
= 10.40
3. 确定P 值, 作出推断结论 =10.40>2.58,故 <0.01,按 =0.05水准拒绝 本例z =10.40>2.58,故P <0.01,按α=0.05水准拒绝H0,接受H1,可以认 为正常人与高血压患者的血清胆固醇含量有差别, 为正常人与高血压患者的血清胆固醇含量有差别,高血压患者高于正 常人。 常人。
X −µ z= σ n
1. One-sample z test
例 根据 1983 年大量调查结果， 已知某地健康成年男子的脉搏均数为 72 次/分钟。 某医 生 2003 年在该地随机调查了 100 名健康成年男子，求得其脉搏均数为 74.2 次/分钟，标准差 为 6.5 次/分钟，能否据此认为该成年男子的脉搏数不同于 1983 年？ 解： µ0 = 72 ， X = 74.2 ， n = 100 ， S = 6.5 1. 建立假设、确定检验水准 α。
95%CI: ( X 1 − X 2 ) ± zα / 2 S12 n1 + S 22 n2 = (34.90,51.10)
A sampling distribution for H0 showing the region of rejection for α = .05 in a 2-tailed z-test（双侧z 检验）
X2
0.048 0.048 0.048 0.053 0.058 0.058 0.073 0.068 0.048 0.058
H1 : µ ≠ µ0 =100
X −µ z= σ n
H0 : µ = µ0 =100
A sampling distribution for H0 showing the region of rejection for α = .05 in a 1-tailed z-test （单侧z 检验）
H1 : µ > µ0 =100 H0 : µ = µ0 =100
H0：µ=µ0，该地难产儿与一般新生儿平均出生体重相同; 该地难产儿与一般新生儿平均出生体重相同; H1：µ≠µ0，该地难产儿与一般新生儿平均出生体重不同; 该地难产儿与一般新生儿平均出生体重不同; α=0.05。 0.05。
2. 计算检验统计量 成立的前提条件下，计算统计量为： 在μ=μ0成立的前提条件下，计算统计量为
t=
ห้องสมุดไป่ตู้
X − µ Difference in the means S ν = n −1 SX = = SX standard error n
以往通过大规模调查已知某地新生儿出生体重为3.30kg. 3.30kg.从该地难产儿 例5.1 以往通过大规模调查已知某地新生儿出生体重为3.30kg.从该地难产儿 中随机抽取35名新生儿作为研究样本,平均出生体重为3.42kg, 35名新生儿作为研究样本 3.42kg,标准差为 中随机抽取35名新生儿作为研究样本,平均出生体重为3.42kg,标准差为 0.40kg,问该地难产儿出生体重是否与一般新生儿体重不同 问该地难产儿出生体重是否与一般新生儿体重不同? 0.40kg,问该地难产儿出生体重是否与一般新生儿体重不同? =3.30kg， 未知, 35为小样本 为小样本, =0.40kg， 检验。 解：µ0=3.30kg，σ未知,n=35为小样本,，S=0.40kg，故选用单样本t检验。 建立检验假设， 1. 建立检验假设，确定检验水准
z-distribution versus t-distribution
t
•For very large samples, the t-test and z-test are identical
A sampling distribution for H0 showing the region of rejection for α = .05 in a 2-tailed z-test（双侧z 检验）
=0.085695
0.05，表明差异无统计学意义， 0.05水准不拒绝 因为t < t0.05/2,34，故P>0.05，表明差异无统计学意义，按 α=0.05水准不拒绝H0，根据
例5-1 结果图示
t0.05/2,34 = -2.032
t0.05/2,34 = 2.032
H1 : µ ≠ µ0 =3.30 H0 : µ = µ0 =3.30
z=
X − µ0 74.2 − 72 = = 3.3846 σ 0 / n 6.5 / 100
A sampling distribution for H0 showing the region of rejection for α = .05 in a 2-tailed z-test（双侧z 检验） X − µ0 74.2 − 72 = = 3.38 z= σ 0 / n 6.5 / 100
=0.05/2
t=
X − µ 0 X − µ 0 3.42 − 3.30 = = = 1.77 S SX 0.40 / 35 n
P/2=0.086/2
µ 0 = 0.25 t0.05/2,9 =2.26 t0.05,9 =1.83
(ΣX )2 SS = ΣX 2 −
n
Example
X
0.220 0.220 0.220 0.230 0.240 0.240 0.270 0.260 0.220 0.240
X1 − X 2
=
σ 12 / n1 + σ 22 / n 2
σ未知大样本，z =
X1 − X 2 ， S X1 − X 2 = S X1− X 2
S 12 / n1 + S 22 / n 2
研究正常人与高血压患者胆固醇含量(mg%)的资料如下, (mg%)的资料如下 例5-4 研究正常人与高血压患者胆固醇含量(mg%)的资料如下,试比较两组血清 胆固醇含量有无差别。 胆固醇含量有无差别。 正常人组 高血压组
z= |180.6 − 223.6 |
2 2
34.2 / 506 + 45.8 /142
= 10.40
H1 : µ1 ≠ µ2
H0 : µ1 − µ2 = 0
43
95%CI: ( X 1 − X 2 ) ± zα / 2 S12 n1 + S 22 n2 = (34.90,51.10)
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Contents
§1. z test z检验 检验 §2. One-sample t test 单样本t检验 单样本 检验 §3. Paired-samples t test 配对样本t检验 配对样本 检验 §4. Two independent-samples t test 两独立样本t检验 两独立样本 检验 §5. t ′test When variances of the two samples are heterogeneous 方差不齐时两样本均数 t ′ 检验 §6. Two type error in hypothesis test 假设检验中的两类错误