多元微积分之偏导数计算的三种场景

我们先来看一下多元微积分的微分部分都讲了哪些内容：二重极限，函数的连续， 偏导数的存在，函数的可微，梯度，方向导数，极大值极小值与最大值最小值，曲面 的切平面方程与法线方程，曲线的切线方程与法平面方程。
2 三种场景
从以上的内容，你就可以发现，偏导数之后的内容都是与偏导数相关的，就是你要 做题，你首先要会计算偏导数，基于这点，我这里给大家整理了偏导数计算的三种场 景：
算导数一样的，比如计算x的偏导数
∂z ∂x
，就是把y看成常数，对x求导数就可以了。
如果是隐式方程F (x, y, z) = 0给出的话，就是隐函数的求导，当然隐函数求导也是 大家需要掌握了解的内容。
2.3 场景三：含有抽象表达式的求导：
比如z = f (x2 + y2 + xy)，z = f (x2 + y2, xy)，然后告诉你f 是二阶连续偏导的，或者直 接写f ∈ C2，这一类的话，其实就是考大家对复合函数求导的链式法则的掌握情况。
2.1 场景一：题目是与可微相关的：
对于这类的题目，你要计算偏导数，必须得使用偏导数的定义才可以，（不能通过先 求导，然后再代点进入计算）：
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偏导数的定义：
∂f ∂x
(x0,
y0)
=
lim
∆x→0
f
(x0
+
∆x, y0) ∆x
−Biblioteka Baidu
f
(x0,
y0)
∂f ∂y
(x0,
y0)
=
lim
∆y→0
f
(x0,
y0
+
∆y) ∆y
−
f
(x0,
y0)
2.2 场景二：具体表达式的求偏导：
一般计算偏导数要求到二阶导数，即下面5个偏导数：
∂f ∂f ∂2f ∂2f ∂2f ∂2f , , , ( ),
∂x ∂y ∂x2 ∂x∂y ∂y∂x ∂y2
而一般函数是显示给出z = f (x, y)，或者是隐式方程F (x, y, z) = 0两类 ：例如 ：z = x2 + y2 + xy，ez − xyz = 0
对于这种情况，其实题目是特别多的，比如，题目就是直接让你求偏导数，求梯 度向量（其实就是偏导数作为分量组成的），方向导数（梯度向量点乘单位的方向向 量），驻点的求解，极值的判断，还有曲面的切平面的法向量（与法线的方向向量是 一样的），曲线的切线的方向向量（与法平面的法向量是一样的）。
具体计算的话，如果是显示给出z = f (x, y)，其实计算偏导数的就是与一元函数计
今天这个文档的主要内容是关于多元微积分的偏导数这块内容的。大家如果学完多 元微积分，可以发现，其实多元微积分的前半部分，也就是微分部分，其实是以偏导 数为核心展开的。
回想一下多元微积分的内容，首先是讲了二重极限，当然这个是基础，因为极限是 求导和积分的基础，如果你认真你看导数和积分的定义，你就能发现，不管是导数还 是积分的定义，都是通过极限定义的，当然现在这个文档，我就不细说关于二重极限 的内容了。
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如果f 没有逗号，说明f 是一元函数，那么如果求一阶导数一般会出现f ()记号，如 果是二阶导数，则一般就会出现f ();
如果f 有一个逗号，说明f 是二元函数，那么如果求一阶导数一般会出现f1(, ), f2(, )记 号，如果是二阶导数，则一般就会出现f11(, ), f12(, ), f21(, ), f22(, )，大家也可以简单的 检查有没有出现这些记号，来判断自己有没有算错了。当然也有可能不是所有记号都 会出现的。
多元微积分之偏导数计算的三种场景
Calculus微积分 April 2, 2017
1 序言
一直都想把多元微积分的内容做一个整理归纳，但是苦于自己的文笔，一直就没有动 手整理，现在就尝试整理一下，我打算先把多元微积分的每一部分内容都整理一下， 如果之后还有必要的话，我会单独将多元微积分的内容全部整理成一个文档。