6 高斯投影及其计算

2、投影后角度不变形。又叫保角映射或叫正形投影。条件是 在微小范围内成立。正形投影又叫等角投影。
采用正形投影，在有限范围内，使地形图上的图形与椭球面 上的相应图形保持相似。
第一节 地图投影概念和正形投影性质
三、正形投影的一般条件
正形投影必要和充分的条件是满足柯西—黎曼方程：
推导过程：由长度比的定义顾及正形投影的特性导出。
ds dS
2
dx 2 dy 2 2 2 (MdB) (NcosBdL)
2、引入等量纬度q，将x、y表为q、l的函数；
3、对 x=f1（q，l），y=f2（q，l）取全微分，引入符号E、F、G；
4、根据长度比m与方向A无关，F=0，E=G； 5、由E=G、F=0，得一般条件：
第二节 高斯投影与国家平面直角坐标系
四、高斯投影计算内容
第二种方法的具体推算内容如下:
1、将起算点的大地坐标（B1，L1）换算为高斯平面坐标（x1，y1） 2、将起算边的大地方位角A12改换为平面坐标方位角T12；
T12=A12-γ+δ12
式中，γ为子午线收敛角，δ12为方向改正。 3、将起算边的大地线长度S12归算为高斯平面上的直线长度D12：
一、平面子午线收敛角的计算
1、由大地坐标计算平面子午线收敛角γ
第四节 椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面
一、平面子午线收敛角的计算
2、由平面直角坐标计算平面子午线收敛角γ
第四节 椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面 二、方向改正计算
x C
2dδ
y2 - y1= y
ε
2
δ
2dδ dξ
x
21
x2 - x1= x
5
5′
第三节 高斯投影坐标计算
高斯投影坐标正算——由（B，L）求（x，y）
高斯投影坐标反算——由（x，y）求（B，L）
第三节 高斯投影坐标计算
一、由（B，L）计算（x，y）－－正算
6 式中，X为由赤道至纬度B的子午线弧长， 为计算点P点与中央子午线
的经差。N为卯酉圈曲率半径，t=tanB，
η=e′cosB。 L-L0若以度为单位，则ρ=57.295779513；
第六章 高斯投影 及其计算
中国矿业大学(北京)地测学院
第六章 高斯投影及其计算
第一节 地图投影概念和正形投影性质 第二节 高斯投影与国家平面直角坐标系（概念） 第三节 高斯投影坐标计算（重点） 第四节 椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面（重点） 第五节 高斯投影坐标换带计算（重点） 第六节 通用横轴墨卡托投影和兰勃特投影简介
2 3
第二节 高斯投影与国家平面直角坐标系
三、高斯投影的分带
6°带带号N和中央子午线经度 LN的关系式：LN=6N-3
3°带带号n和中央子午线经度 Ln的关系式：Ln=3n
6°带与3°带带号之间的关系为:n=2N-1 国家统一坐标的表示方法：X坐标为正，Y坐标加500km后 前面冠以带号。如在39带中Y坐标自然值分别为12345.678 和-12345.678m，国家统一坐标分别为39512345.678和 39487654.322m。但在坐标计算中应去掉带号，减去500km， 恢复坐标自然值。
L-L0若以分为单位，则ρ=3437.7467708;
L-L0若以秒为单位，则ρ=206264.80625。
（B，L）计算（x，y）正算公式中子午弧长 X的计算（见本书150页公式5-41）
3 5 7 X C[β B (β cosB β cos B β cos B β cos B)sinB]; 0 2 4 6 8
第三节 高斯投影坐标计算
一、由（B，L）计算（x，y）－－正算
推证过程： 1、高斯投影坐标正算函数式 2、根据正形投影的一般公式 x+iy=f（q+il）以及高斯投影的条件推 导正算公式，可以将一般公式在q处展为il 的台劳级数。 3、根据中央子午线长度比 m=1，有
2
4、由
求各阶导数
5、将各阶导数代入上式得最后正算公式。
f点的坐标为（x+i0）对应大地坐标为（Bf，0） 3、对于f点，F（x）=q，即(F(x))f=qf ，qf为f点等量纬度。 4、求各阶导数并代回上式得：
5、将q、qf变为B-Bf 由B=φ（q）在qf处展为台劳级数，由等量纬度q与B的微分公式求得 各系数，得B的计算公式和l的计算公式。
第四节 椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面
第一节 地图投影概念和正形投影性质
几何投影--垂直投影
第一节 地图投影概念和正形投影性质
几何投影--中心投影
第一节 地图投影概念和正形投影性质
（二）投影变形
投影变形不可避免。有角度变形、长度变形和面积变形三种。根 据实际需要选择某种变形为零或使其减小到某一适当程度。如高斯投 影，保持角度不变形，但长度和面积有变形。
第二节 高斯投影与国家平面直角坐标系
一、高斯投影的基本概念
高斯投影又称横轴椭圆柱等角投影。在高 斯投影平面上，中央子午线和赤道的投影 都是直线，分别为高斯平面直角坐标系的 X轴和Y轴。
N
x N
O
O
y
S
S
第二节 高斯投影与国家平面直角坐标系
一、高斯投影的基本概念
高斯投影的条件 （1）投影后角度不产生变形，满足正形投影要求； （2）中央子午线投影后是一条直线； （3）中央子午线投影后长度不变，其投影长度比恒等 于1。 高斯投影除了在中央子午线上没有长度变形外，不 在中央子午线上的各点，其长度比都大于1，且离开中 央子午线愈远，长度变形愈大。
第三节 高斯投影坐标计算
二、由（x，y）计算（B，L）－－反算
式中，带下标fห้องสมุดไป่ตู้各变量为f点 （又叫底点）的有关变量，如
B f ,M f ,N f , tf , ηf
分别为底点纬度，子午圈半径， 卯酉圈半径等。 Bf可由子午弧长公式反算得到。
第三节 高斯投影坐标计算
反算推证过程： 1、将正形投影公式写成反函数形式 2、在f点（Bf，0）将上式展为iy的台劳级数
第二节 高斯投影与国家平面直角坐标系
四、高斯投影计算内容
1 、由椭球面上各点大地坐标（ B ， L ）求解各点高斯 平面坐标（ x ， y ）：先在椭球面上解算球面三角形， 推算各边大地方位角，解算各点大地坐标，然后求解 各点的高斯平面坐标。（计算工作量大） 2 、将椭球面上起算元素和观测元素归算至高斯投影 平面，然后解算平面三角形，推算各边坐标方位角， 在平面上进行平差计算，求解各点的平面直角坐标。
3、长度变形m-1与横坐标y的关系
y/（km） 10
20
30
40
50
100
150
200
250
300
长度变 形m-1
1/810000
1/202000
1/90000
1/50000
1/32000
1/8000
1/3500
1/2000
1/1300
1/900
第二节 高斯投影与国家平面直角坐标系
三、高斯投影的分带
正轴投影——圆柱面中心轴与椭球短轴重合，圆柱面与赤道相切。
横轴投影——圆柱面中心轴与椭球长轴重合，圆柱面与某一子午圈相切。
斜轴投影——圆柱面中心轴与椭球长、短轴都不重合，位于两者之间。
第一节 地图投影概念和正形投影性质
二、正形投影特性
1、任一点上，投影长度比m为一常数，不随方向而变，a=b。 长度比仅与点位臵有关，不同点投影有不同的长度比。
D12=S12+△S
式中△S为距离改正。 4、对于椭球面上三角网的各观测方向和观测边长分别进行方向改正和距离 改正，归算为高斯平面上的直线方向和直线距离。组成平面三角网，平差计 算，推求各控制点的平面直角坐标。
第二节 高斯投影与国家平面直角坐标系
高斯投影坐标计算、平面子午线收敛角计算、方向改正计 算、距离改正计算，统称为高斯投影计算。
3 2 45 4 175 6 11025 8 e e e e ， 4 64 256 16384 15 4 175 6 3675 8 β2 β0 1，β e e e ， 4 32 384 8192 35 735 8 315 8 β6 e 6 e ，β8 e ， 96 2048 1024 C a 2 /b；对应不同的椭球 ，其参数不同，所计算 的X不同。 式中, β0 1 上式可以变换为： X B （β2 cosB β4 cos3 B β6 cos5 B β8 cos7 B）sinB， Cβ 0 依此公式按迭代法可以 由X求B。
D T
dδ A
B dζ
dx
B′ y A′ A
B
dδ
dδ
δ
12
1
y
η
第四节 椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面
二、方向改正计算
方向改正——正形投影后，椭球面上大地线投影到平面上仍为曲线， 化为直线方向所加的改正δ。 适用于三、四等三角测量的方向改正计算公式
上式的计算精度为0.1″。
第四节 椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面
第一节 地图投影概念和正形投影性质
（四）地图投影的分类
等角投影——投影后角度不变，保持小范围内图形相似。 等面积投影——用于某些专题地图，投影后面积不变。 圆锥面投影——圆锥面与椭球体在某一纬圈相切或某两纬圈相割，按数学 投影。
平面投影——投影平面与椭球面在某一点相切，按数学投影建立函数关系。
圆柱面投影——圆柱面或椭圆柱面与椭球面在赤道或某一子午面上相切， 按数字投影。
三、距离改正计算
第二节 高斯投影与国家平面直角坐标系
二、高斯投影的长度比和长度变形