《四边形中的最短路径问题探究》

值．
练习3.如图，点P是边长为1的菱
形ABCD对角线AC上一个动点，
∵菱形ABCD关于AC对称， M是AB边上的中点，
点M、N分别是AB、BC边上的中 ∴M′是AD的中点，
点，则MP+NP的最小值是
． 又N是BC边上的中点，
∴AM′∥BN，AM′＝BN，
∴四边形AM′NB是平行四边形，
∴PN∥AB，
理论依据： 两点之间，线段最短。
学习目标
1.利用轴对称知识画出四边形中的 最短路径;
2.会计算四边形中最短路径的长度。
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已知，正方形OABC中，D为OC的中点，E是对角线 OB上的一个动点。
问题解决：
1.若EC+ED的值最小，在图中画出点E
的位置；
10
1x
E
2.若正方形OABC的边长为2，则EC+ED
解得，
解析式为y＝2x﹣2， 当y＝0时，x＝1， 故E点坐标为（1，0）．
变式（二）： 若正方形OABC变为矩形OABC，OA=3，OC=4，D为
边OC的中点。
3.若E、F为OA边上的两个动点，且EF=1， 当四边形BDEF的周长最小时，
(1)在图中画出点E、F的位置；
(2)此时点E的坐标为( ， )、 点F的坐标为( ， ).
C
B
C
B
解1.决解四决边四形边中形最中短最路短径路问径题问的题步运骤用：的知识
两点1.之利间用，轴线对段称最画短出最。短路径 2.解决问题的过程中运用的方法
对2称.化、“平折移”为“直”
3.学习3.的计过算程，中求体出现最的小数值学思想 转化思想 方程思想 函数思想
古从军行（改写）
白日登山望烽火， 黄昏饮马傍交河。 欲求线段最小值， 平移对称线段挪。
练习4.在平面直角坐标系 中，有A（﹣2，4）、B （4，2）两点，若在x轴 上取一点P，使点P到点A 和点B的距离之和最小， 则点P的坐标是
【解答】解：作A关于x轴的对称点C，连接BC交x轴 于P，连接AP，则此时AP+PB最小， 即此时点P到点A和点B的距离之和最小， ∵A（﹣2，4）， ∴C（﹣2，﹣4）， 设直线CB的解析式是y＝kx+b， 把C、B的坐标代入得
【解答】解：作D关于x轴的对称点D′，连接D′B交x轴于 E，连接DE，
∴ DE= D′E
∴ △BDE的周长=BD+DE+BE
C
B
＝BD+D′E+EB＝BD+BD′， ∵D为OC的中点，
∴ OD′ ＝OD＝2，
∵D和D′关于x轴对称，
∴D′（0，﹣2），
∵OA=3，OC=4
∴易得，B（3，4），
设直线BD'的解析式为y＝kx+b， 把B（3，4），D′（0，﹣2）分别代入解析式得，
连接PM，
又∵N是BC边上的中点，
∴P是AC中点，
∴PM∥BN，PM＝BN，
∴四边形PMBN是平行四边形，
∵BM＝BN，
∴平行四边形PMBN是菱形．
∴MP+NP＝BM+BN＝BC＝1．
故答案为1．
变式（二）： 若正方形OABC变为矩形OABC，OA=3，OC=4，D为
边OC的中点。 1.若E为OA边上的一个动点，则EB+ED的最 小值为 ；
的最小值是 5 ；
2x
3.若EC+ED的最小值是 10 ，求正方形 的边长是多少？
练习1．如图，在边长为8的 正方形ABCD中，E是AB边上 的一点，且AE＝6，Q为对角 线AC上的动点，则△BEQ周 长的最小值（ ）
【解答】解：如图，连接BD，DE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴点B与点D关于直线AC对称， ∴DE的长即为BQ+QE的最小值， ∵AB＝8，AE＝6，
∴DE＝BQ+QE＝ ������������2 + ������������2 ＝10， ∵AB＝8，AE＝6， ∴BE＝2， ∴△BEQ周长的最小值＝DE+BE
＝10+2＝12．
练习2．如图，正方形ABCD的
边长为3，点E在边AB上，且
BE＝1，若点P在对角线BD上
移动，则PA+PE的最小值
是
变式（一）： 若正方形OABC变为菱形OABC。
问题解决： 1.AB=2，∠AOC=60°，D是OC的中点，
E是对角线OB上的一个动点，则 EC+ED的最小值为_____．
2.EC+ED的最小值是 15 ，则菱形OABC
的边长是
.
【解答】解：作点M关于AC的对称点M′，
连接M′N交AC于P，此时MP+NP有最小
．
【解答】解：作出点E关于BD的对称 点E′交BC于E′，连接AE′与BD交于点P， 此时AP+PE最小， ∵PE＝PE′， ∴AP+PE＝AP+PE′＝AE′， 在Rt△ABE′中，AB＝3，BE′＝BE＝1，
根据勾股定理得：AE′＝ 10，
则PA+PE的最小值为 10 ．
解决正方形中最短路径问题的步骤： 1.利用轴对称画出最短路径 2.化“折”为“直” 3.计算，求出最小值
解得：k＝1，b＝﹣2， ∴y＝x﹣2， 把y＝0代入得：0＝x﹣2， 解得x＝2， 即P的坐标是（2，0）， 故答案为（2，0）
变式（二）： 若正方形OABC变为矩形OABC，OA=3，OC=4，D为
边OC的中点。
2.若矩形OABC的顶点O在坐标原点， 顶点A、C分别在x轴、y轴的正 半轴上.E为OA边上的一个动点， 当△BDE的周长最小时，求点E 的坐标。
绥化市第九中学
学 科：
数学
内 容： 《四边形中的最短路径问题探究》
教 师：
四边形中的最短路径 问题探究
古从军行（节选） 唐 李颀
白日登山望烽火， 黄昏饮马傍交河。 行人刁斗风沙暗， 公主琵琶幽怨多。
将基军本饮图马形：两点一线
A
A
B
P
河l 边
P
河l 边
B
A′
结论： AP+PB=AB AP+PB=AB′
学习任务
变式（一） 1、2
变式（二） 1、2、3
学习要求
1.组内合作学习； 2.小组代表展示学习成果；
（讲解时要求声音洪亮、 条理清楚、步骤规范）
3.其他同学认真倾听，对出 现的问题及时纠错、点评。