锐角三角函数的知识点总复习含答案

3．如图，在等腰直角△ABC 中，∠C＝90°，D 为 BC 的中点，将△ABC 折叠，使点 A 与点 D 重合，EF 为折痕，则 sin∠BED 的值是（ ）
A． 5 3
B． 3 5
C． 2 2
D． 2 3
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据翻折变换的性质得到 DEF AEF ，再根据等腰三角形的性质及三角形外角的性
A．12
B． 2
C． 4
D． 24
【答案】A
【解析】
【分析】
如图，作 OH⊥AB 于 H．利用三角形中位线定理求出 AB 的长，解直角三角形求出 OB 即可
解决问题．
【详解】
解：如图作 OH⊥AB 于 H．
∵C、D 分别是弦 AP、BP 的中点． ∴CD 是△APB 的中位线，
∴AB＝2CD＝ 6 3 ，
添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
9．在 Rt△ABC 中，∠C=90°，如果 AC=2，cosA= 2 ，那么 AB 的长是（ ） 3
A．3
【答案】A 【解析】
B． 4 3
C． 5
D． 13
根据锐角三角函数的性质，可知 cosA= AC = 2 ，然后根据 AC=2，解方程可求得 AB=3. AB 3
AE=PE=x； ∵∠PBE=60° ∴∠BPE=30°
在直角△BPE 中，BE= 3 PE= 3 x， 33
∵AB=AE-BE=6 米，
则 x- 3 x=6， 3
解得：x=9+3 3 ． 则 BE=3 3 +3． 在直角△BEQ 中，QE= 3 BE= 3 （3 3 +3）=3+ 3 ．
33 ∴PQ=PE-QE=9+3 3 -（3+ 3 ）=6+2 3 ． 答：电线杆 PQ 的高度是（6+2 3 ）米．
y 4x 1 x2 2
1 (x 4)2 8 ， 2
则抛物线的对称轴为 x 4 ， 当 x 4 时， y 随 x 的增大而减小，即小球距 O 点水平距离超过 4 米呈下降趋势，B 正
确，
当 y 7.5 时， 7.5 4x 1 x2 ，
2
整理得 x2 8x 15 0 ， 解得， x1 3 ， x2 5 ， 当小球抛出高度达到 7.5m 时，小球水平距 O 点水平距离为 3m 或 5m ，D 错误，符合题
∴∠GAM＝∠BAE，AB＝AG＝2 3 ，
∵AG 分别平分∠EAD， ∴∠BAE＝∠EAG， ∵∠BAD＝90°， ∴∠GAM＝∠BAE＝∠EAG＝30°， ∵GM⊥AD， ∴∠AMG＝90°，
∴在 Rt△AGM 中，sin∠GAM＝ GM ，cos∠GAM＝ AM ，
AG
AG
∴GM＝AG•sin30°＝ 3 ，AM＝AG•cos30°＝3，
D．﹣4 3
【答案】B 【解析】
【分析】
根据已知求出 B（﹣
b
b2 ,
），由△AOB 为等边三角形，得到 b2
＝tan60°×（﹣
b
），
2a 4a
4a
2a
即可求解；
【详解】
解：抛物线 y＝ax2+bx+c（a＞0）过原点 O， ∴c＝0，
B（﹣
b
b2 ,
），
wk.baidu.com
2a 4a
∵△AOB 为等边三角形，
∴ b2 ＝tan60°×（﹣ b ），
意； 故选：D 【点睛】
本题考查的是解直角三角形的 坡度问题、二次函数的性质，掌握坡度的概念、二次函数
的性质是解题的关键．
2．如图，△ABC 内接于半径为 5 的⊙O，圆心 O 到弦 BC 的距离等于 3，则∠A 的正切值等 于（ ）
A． 3 5
B． 4 5
C． 3 4
D． 4 3
【答案】C
【解析】
同理可得 HT＝ 3 ，CT＝3，
∵∠AMG＝∠B＝∠BAD＝90°， ∴四边形 ABNM 为矩形，
∴MN＝AB＝2 3 ，BN＝AM＝3，
∴GN＝MN﹣GM＝ 3 ，
∴GN＝HT， 又∵GN∥HT， ∴四边形 GHTN 是平行四边形， ∴GH＝TN＝BC﹣BN﹣CT＝10﹣3﹣3＝4， 故选：B．
长，同理可得 HT、CT 的长，再通过证四边形 ABNM 为矩形得 MN＝AB＝2 3 ，BN＝AM＝
3，最后证四边形 GHTN 为平行四边形可得 GH＝TN 即可解决问题．
【详解】
解：如图作 GM⊥AD 于 M 交 BC 于 N，作 HT⊥BC 于 T． ∵△ABE 沿着 AE 翻折后得到△AGE，
【分析】
延长 PQ 交直线 AB 于点 E，设 PE=x 米，在直角△APE 和直角△BPE 中，根据三角函数利用 x
表示出 AE 和 BE，列出方程求得 x 的值，再在直角△BQE 中利用三角函数求得 QE 的长，则
问题求解．
【详解】
解：延长 PQ 交直线 AB 于点 E，设 PE=x．
在直角△APE 中，∠A=45°，
A．100sin35°米
B．100sin55°米
C．100tan35°米
D．100tan55°米
【答案】C
【解析】
【分析】
根据正切函数可求小河宽 PA 的长度．
【详解】
∵PA⊥PB，PC=100 米，∠PCA=35°，
∴小河宽 PA=PCtan∠PCA=100tan35°米．
故选：C．
【点睛】
此题考查解直角三角形的应用，解题关键在于掌握解直角三角形的一般过程是：①将实际
故选 A. 点睛：此题主要考查了解直角三角形，解题关键是明确直角三角形中，余弦值
cosA=
A的邻边 斜边
，然后带入数值即可求解.
10．如图，抛物线 y＝ax2+bx+c（a＞0）过原点 O，与 x 轴另一交点为 A，顶点为 B，若
△AOB 为等边三角形，则 b 的值为（ ）
A．﹣ 3
B．﹣2 3
C．﹣3 3
4a
2a
∴b＝﹣2 3 ；
故选 B． 【点睛】
本题考查二次函数图象及性质，等边三角形性质；能够将抛物线上点的关系转化为等边三
角形的边关系是解题的关键．
11．把 RtABC 三边的长度都扩大为原来的 3 倍，则锐角 A 的余弦值（ ） A．扩大为原来的 3 倍 B．缩小为原来的 1 C．扩大为原来的 9 倍 D．不变
2 ④ PB 2PC ．其中结论正确的个数是（ ）
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
【答案】A
【解析】
【分析】
根据矩形的性质结合全等三角形的判定与性质得出△ADE≌△BCE（SAS），进而求出△ABE
是等边三角形，再求出△AEP≌△ABP（SSS），进而得出∠EAP＝∠PAB＝30°，再分别得出
质，涉及面较广，但难易适中．
4．如图，从点 A 看一山坡上的电线杆 PQ ，观测点 P 的仰角是 45，向前走 6m 到达 B 点， 测得顶端点 P 和杆底端点 Q 的仰角分别是 60 和 30 ，则该电线杆 PQ 的高度（ ）
A． 6 2 3
B． 6 3
C．10 3
D．8 3
【答案】A
【解析】
∴∠BED＝∠CDF，
设 CD＝1，CF＝x，则 CA＝CB＝2，
∴DF＝FA＝2﹣x，
∴在 Rt△CDF 中，由勾股定理得，
CF2+CD2＝DF2，
即 x2+1＝（2﹣x）2，
解得： x 3 ， 4
sin BED sin CDF CF 3 ． DF 5
故选：B．
【点睛】
本题考查的是图形翻折变换的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、三角形外角的性
【分析】
求出抛物线与直线的交点，判断 A 、 C ；根据二次函数的性质求出对称轴，根据二次函数 性质判断 B ；求出当 y 7.5 时， x 的值，判定 D ．
【详解】
解：
y
y
1 2
1 2
x
x2
4x
，
解得，
x1 y1
0 0
，
x2
y2
7 7 2
，
7 ∶7=1∶2，∴A 正确； 2 小球落地点距 O 点水平距离为 7 米，C 正确；
试题分析：如答图，过点 O 作 OD⊥BC，垂足为 D，连接 OB，OC，
∵OB=5，OD=3，∴根据勾股定理得 BD=4.
∵∠A= 1 ∠BOC，∴∠A=∠BOD. 2
∴tanA=tan∠BOD= BD 4 . OD 3
故选 D．
考点：1.垂径定理；2.圆周角定理；3.勾股定理；4.锐角三角函数定义．
∴tan∠DAE＝ DE ＝tan30°＝ 3 ，
AD
3
∴AD＝ 3 DE，即 AD 3 CD ， 2
∵AB＝CD，
∴③ AD 3 AB 正确； 2
∵∠CEP＝30°，
∴CP＝ 1 EP， 2
∵EP＝BP，
∴CP＝ 1 BP， 2
∴④PB＝2PC 正确． 综上所述：正确的共有 4 个． 故选：A． 【点睛】 此题主要考查了四边形综合，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，含 30 度角的直角三角形性质以及三角函数等知识，证明△ABE 是等边三角形是解题关键．
AD 与 AB，PB 与 PC 的数量关系即可．
【详解】
解：∵在矩形 ABCD 中，点 E 是 CD 的中点，
∴DE＝CE，
又∵AD＝BC，∠D＝∠C，
∴△ADE≌△BCE（SAS），
∴AE＝BE，∠DEA＝∠CEB，
∵EA 平分∠BED，
∴∠AED＝∠AEB，
∴∠AED＝∠AEB＝∠CEB＝60°，故：①EB 平分∠AEC，正确；
∵OH⊥AB，
∴BH＝AH＝ 3 3 ，
∵OA＝OB，∠AOB＝120°， ∴∠AOH＝∠BOH＝60°，
在 Rt△AOH 中，sin∠AOH＝ AH ， AO
AH ∴AO＝ sin AOH
3
3 3
6，
2
∴扇形 AOB 的面积为： 120 62 12 ， 360
故选：A．
【点睛】
本题考查扇形面积公式，三角形的中位线定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会
问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②
根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答
案，再转化得到实际问题的答案．
8．如图，在扇形 OAB 中， AOB 120 ，点 P 是弧 AB 上的一个动点（不与点 A 、 B 重 合）， C 、 D 分别是弦 AP ， BP 的中点．若 CD 3 3 ，则扇形 AOB 的面积为（ ）
3
【答案】D 【解析】 【分析】 根据相似三角形的性质解答． 【详解】 三边的长度都扩大为原来的 3 倍， 则所得的三角形与原三角形相似，
∴△ABE 是等边三角形，
∴∠DAE＝∠EBC＝30°，AE＝AB，
∵PE⊥AE，
∴∠DEA＋∠CEP＝90°，
则∠CEP＝30°，
故∠PEB＝∠EBP＝30°，
则 EP＝BP，
又∵AE＝AB，AP＝AP，
∴△AEP≌△ABP（SSS）， ∴∠EAP＝∠PAB＝30°， ∴AP⊥BE，故②正确； ∵∠DAE＝30°，
质可得到 BED CDF ，设 CD 1， CF x ，则 CA CB 2 ，再根据勾股定理即可求
解．
【详解】
解：∵△DEF 是△AEF 翻折而成，
∴△DEF≌△AEF，∠A＝∠EDF，
∵△ABC 是等腰直角三角形，
∴∠EDF＝45°，由三角形外角性质得∠CDF+45°＝∠BED+45°，
故选：A．
【点睛】 本题考查解直角三角形的实际应用，解答关键是根据题意构造直角三角形解决问题.
5．如图，在矩形 ABCD中 E 是 CD 的中点， EA 平分 BED, PE AE 交 BC 于点 P ， 连接 PA ，以下四个结论：① EB 平分 AEC ；② PA BE ；③ AD 3 AB ；
6．如图，在矩形 ABCD 中，AB＝2 3 ，BC＝10，E、F 分别在边 BC，AD 上，BE＝DF．将
△ABE，△CDF 分别沿着 AE，CF 翻折后得到△AGE，△CHF．若 AG、CH 分别平分∠EAD、∠ FCB，则 GH 长为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．7
【答案】B
【解析】
【分析】
如图作 GM⊥AD 于 M 交 BC 于 N，作 HT⊥BC 于 T．通过解直角三角形求出 AM、GM 的
锐角三角函数的知识点总复习含答案
一、选择题 1．如图，将一个小球从斜坡的点 O 处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数 y＝4x－ 1 x2
2 刻画，斜坡可以用一次函数 y＝ 1 x 刻画，下列结论错误的是( )
2
A．斜坡的坡度为 1: 2 B．小球距 O 点水平距离超过 4 米呈下降趋势 C．小球落地点距 O 点水平距离为 7 米 D．当小球抛出高度达到 7.5m 时，小球距 O 点水平距离为 3m 【答案】D 【解析】
【点睛】 本题考查翻折变换，解直角三角形，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常 用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
7．如图，要测量小河两岸相对的两点 P，A 的距离，可以在小河边取 PA 的垂线 PB 上的一 点 C，测得 PC=100 米，∠PCA=35°，则小河宽 PA 等于（ ）