圆的有关性质精选课件PPT
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圆的周长的应用
圆的周长是指围绕圆边缘的线的长度 。
在日常生活和科学研究中，圆的周长 被广泛应用于各种领域，如几何学、 物理学、工程学等。
圆的周长的计算公式
C = 2πr，其中C表示圆的周长，r表 示圆的半径，π是一个常数，约等于 3.14159。
圆的面积
圆的面积的定义
圆的面积是指圆所占平面的大小。
圆的面积的计算公式
A = πr^2，其中A表示圆的面积，r表示圆的半径，π是一个常数， 约等于3.14159。
圆的面积的应用
在日常生活和科学研究中，圆的面积被广泛应用于各种领域，如几何 学、物理学、天文学等。
圆周率π
圆周率π的定义
圆周率π是一个常数，用于描述圆的周长与直径的 比值。
圆周率π的近似值
圆的性质
圆具有许多基本的性质，如圆心到圆上任一点的距离相等 、经过圆心的直径将圆分成两个相等的部分等。这些性质 在数学中有着广泛的应用。
圆的方程
圆的方程是描述圆的标准数学表达式，通过圆的方程可以 确定圆的位置和大小。
科学中的圆
总结词
圆在科学领域中也有着广泛的应用， 涉及到物理学、化学和生物学等多个 学科。
物理学
在物理学中，圆经常出现在各种实验 和现象中，如单摆的摆动、电磁波的 传播等。
化学
化学反应中经常涉及到各种圆形的分 子结构和化学键，如共价键、离子键 等。
生物学
在生物学中，细胞膜的形状、生物体 的骨骼结构等都与圆形有关，许多生 物体的运动轨迹也是圆形的。
THANKS
感谢观看
圆周率π的近似值约为3.14159。
圆周率π的应用
在日常生活和科学研究中，圆周率π被广泛应用于 各种领域，如几何学、物理学、工程学等。
初中圆 ppt课件
作圆的切线
切线的定义
切线是与圆只有一个公共点的直 线，这个公共点叫做切点。
切线的判定
要判定一条直线是否为圆的切线， 可以通过切线的定义进行判定，即 看直线与圆是否只有一个公共点。
切线的作法
在已知圆上任取一点，过这一点作 圆的切线，这样的切线有且只有一 条。
作圆的直径和半径
01
02
03
直径的定义
通过圆心并且两端都在圆 上的线段叫做圆的直径。
详细描述：在几何证明题中，有时需要通过添加辅助线 来构造与圆相关的图形，从而利用圆的性质来证明题目 中的结论。
详细描述：解决与圆相关的几何证明题需要掌握一些解 题技巧，如利用圆的性质进行等量代换、利用切线性质 进行转化等，这些技巧能够简化问题并提高解题效率。
圆与其他几何图形的关系
总结词：相交和相切 总结词：组合图形
详细描述
圆内接四边形定理指出，圆内接 四边形的对角线互相平分。这个 定理是解决与圆内接四边形相关 问题的重要依据。
切线长定理
总结词
切线长定理是关于圆的切线与经过切点的半径之间关系的定 理。
详细描述
切线长定理指出，从圆外一点引出的两条切线，它们的切线 长相等。这个定理在证明其他与圆有关的定理时经常用到， 如垂径定理。
详细描述：圆与其他几何图形如三角形、矩形等 经常出现相交或相切的情况，这些关系涉及到一 些重要的几何定理和性质，如切线长定理、相交 弦定理等。
详细描述：在解决几何问题时，有时需要将圆与 其他几何图形组合起来形成复杂的组合图形，这 些组合图形具有一些特殊的性质和定理，能够为 解题提供重要的思路和方法。
详细描述：圆形具有优美的对称性和流畅的线条，常用 于装饰和艺术设计中，如建筑设计、绘画和雕塑等。
第二十四章《圆》复习课件
．r
O
S = nπr2
360
2024/10/13
或
S
=
1
2
lr
4.圆柱的展开图:
A
D
h Br C
S侧 =2πr h S全=2πr h+2 π r2
2024/10/13
5.圆锥的展开图:
a h
r S侧 =πr a S全=πr a+ π r2
2024/10/13
a 侧面
底面
常见的基本图形及结论:
AC
本 第1部分 圆的基本性质
章 第2部分 与圆有关的位置关系
安
排 第3部分 正多边形和圆
复 习
第4部分
弧长和面积的计算
内 容
第5部分
有关作图
2024/10/13
一.圆的基本概念: 1.圆的定义:到定点的距离等于定长的点的 集合叫做圆. 2.有关概念: (1)弦、直径(圆中最长的弦)
(2)弧、优弧、劣弧、等弧
∴ OA⊥ l l
切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们 的切线长相等；这点与圆心的连线平分 这两条切线的夹角。
．A
． O ． B
2024/10/13
∵PA、PB为⊙O的切线 ∴PA=PB, P ∠APO= ∠BPO
三角形的外接圆与内切圆:
A．
A
B． O．
．
C
B
．
O C
三角形的外心就是三角形各边垂直平分线的交点.
三角形的内心就是三角形各角平分线的交点.
不在同一直线上的三点确定一个圆.
2024/10/13
特别的:
等边三角形的外心与内心重合. 内切圆半径与外接圆半径的比是1:2.
小学圆的认识ppt课件
圆在日常生活中的运用
总结词
圆在日常生活中的运用非常广泛，如轮胎、餐具、体育器材 等。
详细描述
轮胎的外形是圆形，因为圆形可以保证车辆在行驶过程中平 稳，减少摩擦阻力。此外，许多餐具和体育器材也是圆形设 计，如碗、盘子、篮球等。这些设计都是基于圆的性质和特 点，能够满足人们的生活需求。
02
圆的构成要素
用直尺和圆规画圆
总结词
结合直尺的精确性
详细描述
使用直尺确定半径的长度，然后用圆规在直尺上确定圆心位置。接着，将圆规的尖端固定在圆心位置，另一端在 纸上旋转一圈即可。这种方法结合了直尺的精确性和圆规的简便性，能够快速准确地画出所需的圆。
05
圆的性质与定理
圆内角和定理
总结词
圆内角和定理描述了圆内角的度 数总和。
圆与圆锥的关系
圆锥的侧面展开图是圆
将圆锥的侧面展开，可以得到一个圆 ，这个圆的半径等于圆锥的母线长。
圆锥的底面是圆
圆锥的底面是一个圆，其半径等于圆 锥的底面半径。
圆与其他曲线的结合
圆与椭圆的结合
将椭圆的长轴和短轴分别作为圆的直 径，可以得到两个圆，这两个圆与椭 圆相切。
圆与抛物线的结合
将抛物线的准线作为圆的直径，可以 得到一个圆，这个圆与抛物线相切于 焦点。
小学圆的认识ppt课件
目
CONTENCT
录
• 圆的定义与基本性质 • 圆的构成要素 • 圆的度量 • 圆的画法 • 圆的性质与定理 • 圆的拓展知识
01
圆的定义与基本性质
什么是圆
总结词
圆的定义是平面内到定点距离等 于定长的所有点的集合。
详细描述
圆是一种常见的几何图形，它由 平面内满足特定条件的所有点组 成。这个定点被称为圆心，而定 长被称为半径。
《圆的有关性质》PPT课件
1． 如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，若∠ACO＝32°，则∠COB 的度数等于 64°. 2．如图，⊙O 的直径 CD＝10，弦 AB＝8，AB⊥CD，垂足为 M，则 DM 的长为 8.
3．如图，△ABC 内接于⊙O，AB＝BC，∠ABC＝120°，AD 为⊙O 的直径，AD＝6，那么 BD ＝3 3.
1．垂径定理的应用 用垂径定理进行计算或证明，常需作出圆心到弦的垂线段(即弦心距)，则垂足为弦的中 点，再利用解半径、弦心距和弦的一半组成的直角三角形来达到求解的目的 ． 2．圆心角、圆周角性质的应用． 3．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理的应用．
(1)(2010·重庆)如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，若∠ABC＝70°，则∠AOC 的
∴AB＝2OB＝4OP＝4 3 cm. (2)①∵AB 是半圆的直径，点 C 在半圆上， ∴∠ACB＝90°.在 Rt△ABC 中， AC＝ AB2－BC2＝ 102－62＝8 ②∵PE⊥AB，∴∠APE＝90°. 又∠ACB＝90°， ∴∠APE＝∠ACB.又∵∠PAE＝∠CAB， ∴△AEP∽△ABC，∴BPEC＝AACP ，∴P6E＝10×8 12，∴PE＝145.
A．17 cm B．7 cm C．12 cm D．17 cm 或 7 cm
(4)(2010·南通)如图，⊙O 的直径 AB＝4，点 C 在⊙O 上，∠ABC＝30°，则 AC 的长是( )
A．1
B. 2
C. 3
D．2
【点拨】本组题主要考查圆的有关基本知识，掌握有关性质或定理是做好此类题的关键．
【解答】(1)∵∠ABC＝70°，∴∠AOC＝2∠ABC＝2×70°＝140°，故选 A.
1．定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心 距相等．
圆的有关性质课件.ppt
解:
23÷2÷20=0.575cm
答: 这棵红衫树的半径每年增 加0.575cm
1.如图：CD为⊙O直径，AE交⊙O于B，且AB=OC， ∠A=20o,求∠DOE的度数.
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石 拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧 形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦 的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
以OA为半径的圆上。
矩形－－四点共圆
练一练 1.如何在操场上画一个半径是5m 的圆？说出你的理由
首先确定圆心, 然后用5米长的绳子一端固 定为圆心端,另一端系在一端尖木棒,木棒 以5米长尖端划动一周,所形成的图形就是 所画的圆.
根据圆的形成定义
练一练
2 你见过树木的年轮吗?从树木的年轮,可以 很清楚的看出树木生长的年龄,如果一棵20年 树龄的红杉树的树干直径是23cm,这棵红杉 树的半径每年增加多少?.
活 动 三 练习
1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O 到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
解： OE AB
A
E
B
AE 1 AB 1 8 4
22 在 Rt △AOE中
·
O
AO2 OE2 AE2
AO OE2 AE2 = 32 +42 =5cm
答：⊙O的半径为5cm.
2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的 两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形 ADOE是正方形．
圆的有关概念和性质
一石激起千层浪 奥运五环
乐在其中
圆的概念
如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个
23÷2÷20=0.575cm
答: 这棵红衫树的半径每年增 加0.575cm
1.如图：CD为⊙O直径，AE交⊙O于B，且AB=OC， ∠A=20o,求∠DOE的度数.
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石 拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧 形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦 的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
以OA为半径的圆上。
矩形－－四点共圆
练一练 1.如何在操场上画一个半径是5m 的圆？说出你的理由
首先确定圆心, 然后用5米长的绳子一端固 定为圆心端,另一端系在一端尖木棒,木棒 以5米长尖端划动一周,所形成的图形就是 所画的圆.
根据圆的形成定义
练一练
2 你见过树木的年轮吗?从树木的年轮,可以 很清楚的看出树木生长的年龄,如果一棵20年 树龄的红杉树的树干直径是23cm,这棵红杉 树的半径每年增加多少?.
活 动 三 练习
1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O 到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
解： OE AB
A
E
B
AE 1 AB 1 8 4
22 在 Rt △AOE中
·
O
AO2 OE2 AE2
AO OE2 AE2 = 32 +42 =5cm
答：⊙O的半径为5cm.
2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的 两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形 ADOE是正方形．
圆的有关概念和性质
一石激起千层浪 奥运五环
乐在其中
圆的概念
如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个
《圆的有关性质》(第3课时)ppt课件
在同圆或等圆中，如果两条弧相
等，那么它们所对的圆心角______ ，
所对的弦______；
相等
在同圆相或等等圆中，如果两条弦相 等，那么它们所对的圆心角______，所
同圆或等圆 中，两个圆心角、 两条弧、两条弦 中有一组量相等，
对的弧______．
相等 它们所对应的其
相等
余各组量也相等．
5．巩固
03
O
02
N
04
15°
05
N′
06
30°
07
性质
01
把圆 O 的半径 ON 绕圆心 O 旋 转任意一个角度．
03
O
02
N
04
30°
05
N′
06
60°
07
性质
01
把圆 O 的半径 ON 绕圆心 O 旋转任意一
个角度．
05
N′
02
N
06
n°
03
O
07
性质
04
60°
把圆 O 的半
径 ON 绕圆 心 O 旋转任
与 OF 相等吗？为什么？
相等．
因为 AB=CD，所以∠AOB=∠COD．
又因为 AO=CO，BO=DO，
A
所以 △AOB ≌ △COD．
又因为 OE 、OF 是 AB 与 CD
对应边上的高，
所以 OE=OF．
E
B
D
O F
C
6．例题
例1 如图，在⊙O 中， = AB，∠AACCB =60°． 求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC．
学习重点： 同圆或等圆中弧、弦、圆心角之间的关 系．
课件说明
22、圆及其相关性质PPT课件
17
【名师辨析】 本题没有给出图形，AB和CD的位置不确定，所以应分AB、CD 在直径的同侧和异侧两种情况，若两种情况存在，则AB、CD之间的距离有两个结 果．
【正解】 ①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1， ∵AB＝24 cm，CD＝10 cm，∴AE＝12 cm，CF＝5 cm， ∵OA＝OC＝13 cm， ∴EO＝5 cm，OF＝12 cm， ∴EF＝OF－OE＝12－5＝7 cm；
中考新突破 · 数学(江西)
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202X权威 · 预测
第一部分 教材同步复习
3
►知识点二 垂径定理 1．垂径定理：垂直于弦的直径①_平__分___弦，并且平分弦所对
的②__两__条___弧． 2．垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且
平分弦所对的两条弧． 3．垂径定理与推论的延伸：根据圆的对称轴，如图所示，在
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第一部分 教材同步复习
5
►知识点三 弧、弦、圆心角
1．定理：在①__同__圆__或__等__圆__中，相等的圆心角所对的②_弧___相等，所对的③ __弦___相等，所对的④_弦__心__距___相等．
2．推论 (1)在同圆或等圆中，如果两条⑤__弧__相等，那么它们所对的⑥__圆__心__角___相等， 所对的⑦__弦___相等． (2)在同圆或等圆中，如果两条⑧__弦___相等，那么它们所对的圆心角相等，所对 的⑨___弧___相等．
【考查内容】圆周角定理．
【解析】如图，当点 C 在以 O 为圆心的优弧 AB 上时， 总有∠AC1B＝12∠AOB＝60°，此时 OC＝OA＝2；当点 C 在过 A、O、B 时三点的圆的优弧 AB 上时，总有∠ACB＋∠AOB ＝180°，此时 OC 的长随点 C 的位置不同而改变，且有 OB≤OC2≤OC3，即 2≤OC≤4，∴OC 长度的整数值为 2、3 或 4.
圆的有关概念及性质PPT课件
推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半， 那么这个三角形是直角三角形.
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的所有的 圆周角相等.相等的圆周角所对的弧相等.
D
E
∵∠ADB与∠AEB 、∠ACB 是
C 同弧所对的圆周角
O
∴∠ADB=∠AEB =∠ACB
A B
性质 3:半圆或直径所对的圆周角都 相等,都等于900(直角).
解得 x＝147.∴⊙O 的半径为147.
2．已知⊙O 的半径为 13 cm，弦 AB∥CD，AB＝
24 cm，CD＝10 cm，则 AB，CD 之间的距离为( D )
A．17 cm
B．7 cm
C．12 cm
D．7 cm 或 17 cm
12．(2014·凉山州)已知⊙O 的直径 CD＝10 cm，
点 P(0，－7)的直线 l 与⊙B 相交于 C，D 两点，则弦 CD
长的所有可能的整数值有( )
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【解析】∵点 A 的坐标为(0,1)，圆的半径为 5， ∴点 B 的坐标为(0，－ 4)．又∵点 P 的坐标为 (0，－ 7)， ∴ BP＝ 3. ①当 CD 垂直圆的直径 AE 时，CD 的值最小， 如图，连结 BC，在 Rt△BCP 中，BC＝5，BP＝3， ∴CP＝ BC2－BP2＝4，∴CD＝2CP＝8； ②当 CD 经过圆心时，CD 的值最大， 此时 CD＝AE＝10.综上可得弦 CD 长的所有可能的整数值有 8,9,10， 共 3 个．故选 C.
3．如图，⊙O的弦AB垂直平分半径OC，则四边 形OACB是( C )
A．正方形 B．长方形 C．菱形 D．以上答案都不对
5．(2014·嘉兴、舟山)如图，⊙O 的直径 CD 垂直弦 AB 于点 E，且 CE＝2，DE＝8，则 AB 的长为( D )
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的所有的 圆周角相等.相等的圆周角所对的弧相等.
D
E
∵∠ADB与∠AEB 、∠ACB 是
C 同弧所对的圆周角
O
∴∠ADB=∠AEB =∠ACB
A B
性质 3:半圆或直径所对的圆周角都 相等,都等于900(直角).
解得 x＝147.∴⊙O 的半径为147.
2．已知⊙O 的半径为 13 cm，弦 AB∥CD，AB＝
24 cm，CD＝10 cm，则 AB，CD 之间的距离为( D )
A．17 cm
B．7 cm
C．12 cm
D．7 cm 或 17 cm
12．(2014·凉山州)已知⊙O 的直径 CD＝10 cm，
点 P(0，－7)的直线 l 与⊙B 相交于 C，D 两点，则弦 CD
长的所有可能的整数值有( )
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【解析】∵点 A 的坐标为(0,1)，圆的半径为 5， ∴点 B 的坐标为(0，－ 4)．又∵点 P 的坐标为 (0，－ 7)， ∴ BP＝ 3. ①当 CD 垂直圆的直径 AE 时，CD 的值最小， 如图，连结 BC，在 Rt△BCP 中，BC＝5，BP＝3， ∴CP＝ BC2－BP2＝4，∴CD＝2CP＝8； ②当 CD 经过圆心时，CD 的值最大， 此时 CD＝AE＝10.综上可得弦 CD 长的所有可能的整数值有 8,9,10， 共 3 个．故选 C.
3．如图，⊙O的弦AB垂直平分半径OC，则四边 形OACB是( C )
A．正方形 B．长方形 C．菱形 D．以上答案都不对
5．(2014·嘉兴、舟山)如图，⊙O 的直径 CD 垂直弦 AB 于点 E，且 CE＝2，DE＝8，则 AB 的长为( D )
24-1 圆的有关性质 课件(共60张PPT)
平分弦所对的两条弧。
知识梳理
知识点4：垂径定理的应用。
将垂径定理和勾股定理有机结合，化圆中问题为三角形问题。
“圆弧AB”或“弧AB”。圆的任意一条直径
的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做
半圆（semi-circle）。
圆
能够重合的两个圆叫做等圆，容易
看出：半径相等的两个圆是等圆；
反过来，同圆或等圆的半径相等。
在同圆或等圆中，能够互相重合的
弧叫做等弧。
圆
概念辨析
直径是弦，弦是直径。这句话正确吗？
2
2
1
∠DOB。
2
圆周角
探究结论
分别测量图中所对的圆周角∠ACB和
圆心角∠AOB的度数，可以发现两角的
度数相同。
同弧所对的圆周角的度数等于这条弧所
对的圆心角的度数的一半。
圆周角
则有圆周角定理：一条弧所对的圆周角等
于它所对的圆心角的一半。
我们还可以得到推论：（1）同弧或等弧
进一步，我们还可以得到推论：平分弦（
不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦
所对的两条弧。
垂直于弦的直径
问题二
赵州桥（图右）是我国隋代建造的石拱桥，距
今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳
与智慧的结晶。它的主桥拱是圆弧形，它的跨
度（弧所对的弦的长）为37m，拱高（弧的
中点到弦的距离）为7.23m，求赵州桥主桥拱
8（）。∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，
∴∠AOD=∠BOD，∴AD=BD。又在Rt∆ABD中，
2
2
2
2
2
AD +BD =AB ，∴AD=BD= AB= ×10=5
知识梳理
知识点4：垂径定理的应用。
将垂径定理和勾股定理有机结合，化圆中问题为三角形问题。
“圆弧AB”或“弧AB”。圆的任意一条直径
的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做
半圆（semi-circle）。
圆
能够重合的两个圆叫做等圆，容易
看出：半径相等的两个圆是等圆；
反过来，同圆或等圆的半径相等。
在同圆或等圆中，能够互相重合的
弧叫做等弧。
圆
概念辨析
直径是弦，弦是直径。这句话正确吗？
2
2
1
∠DOB。
2
圆周角
探究结论
分别测量图中所对的圆周角∠ACB和
圆心角∠AOB的度数，可以发现两角的
度数相同。
同弧所对的圆周角的度数等于这条弧所
对的圆心角的度数的一半。
圆周角
则有圆周角定理：一条弧所对的圆周角等
于它所对的圆心角的一半。
我们还可以得到推论：（1）同弧或等弧
进一步，我们还可以得到推论：平分弦（
不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦
所对的两条弧。
垂直于弦的直径
问题二
赵州桥（图右）是我国隋代建造的石拱桥，距
今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳
与智慧的结晶。它的主桥拱是圆弧形，它的跨
度（弧所对的弦的长）为37m，拱高（弧的
中点到弦的距离）为7.23m，求赵州桥主桥拱
8（）。∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，
∴∠AOD=∠BOD，∴AD=BD。又在Rt∆ABD中，
2
2
2
2
2
AD +BD =AB ，∴AD=BD= AB= ×10=5
圆的有关性质ppt课件
7.1.4 圆周角定理及推论
（1）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相 等，都等于这条弧所对的圆心角的一半. （2）推论：半圆（直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所 对 的弦是直径.
7.1.5 圆内接四边形
（1）定义：如果一个四边形的四个顶点在同一个圆上，那么这个 四边形叫做这个圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆. （2）性质：圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于 它的内对角.
7.1.5 圆内接四边形
（1）定义：如果一个四边形的四个顶点在同一个圆上，那么这个 四边形叫做这个圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆. （2）性质：圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于 它的内对角.
【例1】如图，在⊙O中， A，B是圆上的两点，已知∠AOB=40°，直 径CD∥AB，连接AC，则∠BAC= 35 度.
②经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. （3）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线 长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.
【例1】在公园的O处附近有E、F、G、H四棵树，
位置如图所示（图中小正方形的边长均相等），现计划修建一座以
为圆心，OA为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E、F、G、
（3）正多边形的有关计算：
①边长：an=2Rn·sin180°/n
②周长：Pn=n·an
③边心距：rn=Rn·cos180°/n
④面积：Sn=
1 2
an·rn·n
⑤内角：n 2180
n
⑥外角：360
n
⑦中心角： 36n0（Rn为正多边形的半径，rn为边心距，an为边长）
7.3.2 圆的周长与弧长公式
圆的有关性质-课件ppt
在 Rt△ABC 中，
A
O
B
BC= AB2 AC 2 = 102 62 =8（cm）
D
应用
如图，⊙O 的直径 AB 为 10 cm，弦 AC 为 6 cm， ACB 的平分线交⊙O 于点 D，求 BC，AD，BD 的长．
C
∵ CD 平分ACB，
∴ ACD=BCD，
∴ AOD=BOD ． ∴ AD=BD．
重要思路：（由）垂径定理—构造直角三角形— （结合）勾股定理—建立方程．
31.1.3 弧、弦、圆心角
• 教学目标： 1.了解圆心角的概念； 2.掌握在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两 条弦中有一组量相等，就可以推出它们所对应的 其余各组量也相等．
• 教学重点： 同圆或等圆中弧、弦、圆心角之间的关系．
性质
把圆 O 的半径 ON 绕圆心 O 旋转任意一个角度．
N
N′
n°
O
我们把顶点在圆心的角叫做圆心角．如∠NON′是 圆 O 的一个圆心角．
性质
把圆心角等分成 360 份，则每一份的圆心角是 1°，
同时整个圆也被分成了 360 份．
则每一份这样的弧叫做 1°的弧．这样，
1°的圆心角对着 1°的弧，
O
2
∴
同理， BAC
CAD BAD
1 COD． 2 CAD
1 2
B BOC．D
C
证明猜想
圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
探究
思考： 一条弧所对的圆周角之间有什么关系？同弧或等弧 所对的圆周角之间有什么关系？ 同弧或等弧所对的圆周角相等．
A
D
O
B
C
探究
《圆的认识》圆PPT优秀教学课件
04
圆的综合应用举例
求解切线方程问题
切线定义及性质
典型例题解析
回顾切线定义，阐述切线与半径垂直 的性质。
选取具有代表性的切线方程问题，详 细解析求解过程。
切线方程求解方法
通过圆心坐标和切线斜率，利用点斜 式或斜截式求解切线方程。
求解切线长问题
切线长定义及性质
回顾切线长定义，阐述切线与半 径、切线长与弦长的关系。
圆心、半径和直径
01
02
03
圆心
圆的中心，用字母O表示。
半径
连接圆心和圆上任意一点 的线段，用字母r表示。
直径
通过圆心且两端点都在圆 上的线段，用字母d表示， 且d=2r。
圆的周长与面积
圆的周长
围绕圆形绘制的线的长度，计算公 式为C=2πr或C=πd。
圆的面积
圆形所占平面的大小，计算公式为 S=πr²。
半径
03
一般方程中，半径$r=frac{sqrt{D^{2}+E^{2}-4F}}{2}$。
圆的参数方程
01 02
定义
以点$O(a,b)$为圆心，$r$为半径的圆的参数方程为 $left{ begin{array}{l} x=a+rcostheta y=b+rsintheta end{array} right.$，其中$theta$为参数。
求解割线性质问题
割线性质概述
总结割线的性质，如割 线与半径的关系、割线 定理等。
割线性质应用
利用割线性质解决与圆 相关的角度、长度等问 题。
典型例题解析
选取具有代表性的割线 性质问题，详细解析求 解过程。
05
与圆相关的数学问题拓展
点到直线距离公式推导及应用
圆的有关性质》(第3课时)课件
周长的推导
周长是由圆的直径和π值 相乘得到的，即周长 = πd，其中d是圆的直径。
圆的面积计算
圆的面积的定义
圆的面积是指圆所占平面的大小。
面积的计算公式
面积 = πr^2。
面积的推导
面积是由圆的半径和π值相乘得到的，即面积 = πr^2。
周长与面积的关系
周长与面积的关系
周长和面积是圆的重要属 性，它们之间存在一定的 关系。
割线的定义与性质
割线的定义
割线是与圆有两个公共点的直线 。
割线的性质
割线与圆心的距离大于半径，割线 与圆有两个交点。
割线的应用
在几何学中，割线常用于计算圆的 面积、周长等。
切线与割线的应用
切线与割线的性质在几何学中有着广泛的应用，如计算圆的面积、周长、弧长等。
在实际生活中，切线与割线的应用也十分常见，如建筑设计、机械制造等领域。
圆上两点之间的距离为直径
02
圆上任意两点之间的距离等于直径，直径是经过圆心的弦。
圆心到圆上任一点的距离相等
03
圆心到圆上任一点的距离都等于半径，半径是连接圆心和圆上
任意一点的线段。
圆的基本性质
01
直径所对的圆周角为直角
直径所对的圆周角等于直角，即90度。
02
弦心距定理
弦心距、半径和半弦长满足勾股定理，即弦心距的平方加上半径的平方
周长与面积的关联
周长的增加会导致面积的 增加，反之亦然。
周长与面积的差异
周长和面积的计算公式不 同，它们所代表的意义也 不同。
01
圆的切线与割线
切线的定义与判定
切线的定义
切线的性质
切线是与圆只有一个公共点的直线。
第9讲圆的基本性质复习课件(共46张PPT)
全效优等生
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垂径定理的应用 例3 如图3－9－4所示，某窗户由矩形和弓形组成，已知 弓形的跨度AB＝3 m，弓形的高EF＝1 m，现计划安装玻璃， 请帮工程师求出弧AB所在圆O的半径．
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图3－9－4
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推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所 对的两条弧．
3．同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦、两个 弦心距中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也分别相等.
确定圆的条件： 确定一个圆必须明确两个要素：①圆心(决定圆的位置)； ②半径(决定圆的大小)．
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∵PE⊥AB，∴AE＝BE＝12AB＝12×4 2＝2 2. 在 Rt△PBE 中，PB＝3， ∴PE＝ 32－（2 2）2＝1， ∴PD＝ 2PE＝ 2， ∴a＝3＋ 2.
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垂径定理 1．与弦有关的题目，要求解边与角时，连结半径构造等 腰三角形是常用的辅助线． 2．求圆中的弦长时，通常作辅助线，由半径、弦的一半 以及弦心距构成直角三角形运用勾股定理进行求解．
【思路生成】根据垂径定理可得 AF＝12AB，再表示出 AO， OF，然后利用勾股定理列式进行计算．
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解：∵弓形的跨度 AB＝3 m，EF 为弓形的高， ∴OE⊥AB，∴AF＝12AB＝32 m， 设 AB 所在圆 O 的半径为 r，弓形的高 EF＝1 m，∴AO ＝r，OF＝r－1. 在 Rt△AOF 中，AO2＝AF2＋OF2， 即 r2＝322＋(r－1)2， 解得 r＝183. 答：弧 AB 所在圆 O 的半径为183 m.
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垂径定理的应用 例3 如图3－9－4所示，某窗户由矩形和弓形组成，已知 弓形的跨度AB＝3 m，弓形的高EF＝1 m，现计划安装玻璃， 请帮工程师求出弧AB所在圆O的半径．
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图3－9－4
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推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所 对的两条弧．
3．同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦、两个 弦心距中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也分别相等.
确定圆的条件： 确定一个圆必须明确两个要素：①圆心(决定圆的位置)； ②半径(决定圆的大小)．
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∵PE⊥AB，∴AE＝BE＝12AB＝12×4 2＝2 2. 在 Rt△PBE 中，PB＝3， ∴PE＝ 32－（2 2）2＝1， ∴PD＝ 2PE＝ 2， ∴a＝3＋ 2.
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垂径定理 1．与弦有关的题目，要求解边与角时，连结半径构造等 腰三角形是常用的辅助线． 2．求圆中的弦长时，通常作辅助线，由半径、弦的一半 以及弦心距构成直角三角形运用勾股定理进行求解．
【思路生成】根据垂径定理可得 AF＝12AB，再表示出 AO， OF，然后利用勾股定理列式进行计算．
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解：∵弓形的跨度 AB＝3 m，EF 为弓形的高， ∴OE⊥AB，∴AF＝12AB＝32 m， 设 AB 所在圆 O 的半径为 r，弓形的高 EF＝1 m，∴AO ＝r，OF＝r－1. 在 Rt△AOF 中，AO2＝AF2＋OF2， 即 r2＝322＋(r－1)2， 解得 r＝183. 答：弧 AB 所在圆 O 的半径为183 m.
《圆的有关性质》PPT课件 人教版九年级数学
B
D
O
F
E
(2)请写出以点A为端点的弦及直径；
弦AF,AB,AC.其中弦AB又是直径.
C
A
(
(
（3）请任选一条弦，写出这条弦所对的弧.
答案不唯一，如：弦AF,它所对的弧是 AF 和 ABF .
巩固练习
在以下所给的命题中:①半圆是弧;②弦是直
径;③如图所围成的图形是半圆.
其中正确的命题有 ①
.
解析： 弧不但包括半圆，还包括优弧、劣弧，
探究新知
垂径定理
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
C
推导格式：
∵ CD是直径，CD⊥AB，
⌒ =BD.
⌒ =BC,
⌒
⌒ AD
∴ AE=BE, AC
·O
A
E
D
B
温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种
语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.
探究新知
想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不
(5)半圆是最长的弧；
(6)直径是最长的弦；
(7)长度相等的弧是等弧.
课堂检测
能力提升题
一根5m长的绳子，一端栓在柱子上，另一端栓
着一只羊，请画出羊的
活动区域．
5m
课堂小结
（描述性定义）
要画一个确定的圆，关
键是确定圆心和半径
集 合 定 义
同圆半径相等
旋转定义
同心圆
定义
圆
有关
概念
同圆
等圆
等弧
直径是圆中最长的弦
例 矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.
求证：A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上.
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④.圆是轴对称图形，对称轴是直径
A.1个 B.2个
C.3个
D.4个
4.下列命题中正确的是( D
)
A.弦的垂线平分弦所对的弧;
B.平分弦的直径垂直于这条弦;
C.过弦的中点的直线必过圆心;
D.弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦 且过圆心;
双基训练
5. 如图,将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧 恰好经过圆心，则折痕AB的长为( C )
12.已知直径AB被弦CD分成AE=4,
EB=8,CD和AB成300角,则弦CD
的弦心距OF=___1_;CD=_2__3_5_.
D
F
A
B
C
EO
13.已知：如图，直径CD⊥AB，垂足为E .
⑴若半径R = 2 ，AB = 2 3 , 求OE、DE 的长.
⑵若半径R = 2 ，OE = 1 ，求AB、DE 的长.
/cztvr wgi/162391.html
/hohdahq /16301 6.ht ml
A
B
C
D
O
7.已知:⊙O中弦AB∥CD且AB=9cm,CD=12cm, ⊙O的直径为15cm,则弦AB,CD间的距离为
(C )
A.1.5cm
B.10.5cm;
B
·OOE D C
A
P
A
B
10. 同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C,D,已知 AB=4,CD=2,AB的弦心距为1,则两个同心圆的
半径之比为( B)
A.3:2 B. 5: 2 C. 5 :2 D.5:4
11.已知:AB 和CD 是⊙O的两条弧,且 AB =2 CD ,则( C )
A.AB=2CD B.AB>2CD C.AB<2CD D.都不对
C.1.5cm或10.5cm D.都不对;
随堂训练
8.已知P为⊙o内一点，且OP＝2cm，如果⊙o
的半径是3cm ，则过P点的最长的弦等于 .
最短的弦等于_________。
M
O
P
A
B
N
9.P为⊙O内一点,且OP=2cm,若⊙O的半径为3cm,
则过P点的最短弦长等于( D )
A.1cm B.2cm C. 5 cm D. 2 5cm
量关系，并给予证明。
O
A EF B
C
D
3、如图为一圆弧形拱桥，半径OA = 10m，拱高为4m，求拱桥跨度AB的长。
C
A
D
B
O
2021/3/2
17
Байду номын сангаас
4. 某机械传动装置在静止状态时，连杆PA与点A 运动所形成的⊙O交于B点，现测得PB=8cm， AB=10cm， ⊙O 的半径R=9cm，求此时P到圆 心O的距离。
圆的有关性质
垂径定理的应用
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并 且平分弦所对的两条弧.
题设
结论
（1）直径
｝｛（3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧
（2）垂直于弦
（5）平分弦所对的劣弧
M
垂径定理
O
C A
N
①直线MN过圆心 ②MN⊥AB
B
③ ④
A⌒C=B⌒C
AM= MB
⑤
⌒
AN=
⌒
NB
M
垂径定理推论1
O
C
A
B
N
①③推 并直论且A平C线平1.=分M分B非CN弦过直所圆径对心的的弦两的条直弧②④⑤径。MAA垂⌒⌒NMN直=⊥=NM⌒⌒于BABB弦，
随堂训练 1．如图，在⊙O中，弦AB的 A 长为8cm，圆心O到AB的距离 为3cm，则⊙O的半径是_____．
2．如图，在⊙O中，CD是直径， EA=EB,请些出三个正确的结论 _____________________．
A.2cm B. 3 cm C. 2 3cm D. 2 5cm
6.已知点P是半径为5的⊙O内
O
的一定点，且OP=4，则过P
点的所有弦中，弦长可能取 A
B
的整数值为（ C ）
A.5，4，3
B.10，9，8，7，6，5，4，3
C.10，9，8，7，6 D.10，9，8
/lsrd mnt /16355 1.ht ml /b mxb vt ng hd/163060.ht ml
⑶由⑴ 、⑵两题的启发，你还能编出什么其 他问题？
C
⑴d + h = r ⑵ r2d2(a)2
2
在a,d,r,h中，已知其中任
O
意两个量,可以求出其它
E
A
B
两个量.
D
课前训练
1.到点A的距离为4cm的所有点组成的图形是 _以__点__A_为__圆__心__，__4_c_m__为__半__径__的__圆___。 2.（07·广东模拟）如图，AB是⊙O的弦，半 径OC、OD分别交AB于点E、F，AE=BF，请 找出线段OE与OF的数
C
EB ·O
B ED ·O
A
双基训练 1.确定一个圆的条件是—圆—心——和—半—径——
2.已知AB=10cm,以AB为直径作圆,那么在此 圆上到AB的距离等于5的点共有( C )
A.无数个 B.1个 C.2个 D.4个
3.下列说法中正确的个数是（ B）
①.直径是弦
②.半圆是弧
③.平分弦的直径垂直于弦
A B
O
P
双基训练
5.如图，水平放置的一个油管的截面半径为 13cm，其中有油部分油面宽AB=24cm，则截 面上有油部分油面高CD= —8—c—m———
半径、弦长、弓形的高、
圆心到弦的距离
O
A
/tuuttjp/1 62564. ht ml /eiqcklq xyw/164312.html /hlapltoa ou/162 970.ht ml / wdtg ve wsb/16 2356.ht ml /czbihbc w/162389.html /jidpcg carn/163 292.ht ml /rg awbz/ 163015 .ht ml /q tg bwzltui/163 571.ht ml /ml vdfws wa/161430.html /bolr ysj/163552.html /abffs mmg/162847.html /ebju mh/ 162390 .ht ml /hqouwoni xx/163153.html