人教版高中数学必修二 二项式定理与杨辉三角(2)-课件

莱布尼茨 三角形
例1.求证：9998 1 能被100整除．
证明：因为 9998 1 (100 1)98 1,
由二项式定理可知
(100 1)98 C90810098 C91810097 (1) C92810096 (1)2 ...
C99861002 (1)96
C9987100(1)97
证明：由二项式定理可知
(1
x)n
Cn0
Cn1x Cn2 x2
...
C n1 n
x
n1
Cnn xn
1 nx Cn2 x2 ... Cnn1xn1 Cnn xn ,
因为x > 0，所以上式右边的项都是正数，
从而可知 (1 x)n 1 nx.
实际应用 经济学中常借助二项式定理进行近似值估算
1
辉 三
第1行 (a b)1
第2行 (a b)2 第3行 (a b)3
11 12 1 13 3 1
角 第4行 (a b)4
14 6 4 1
第5行 (a b)5 1 5 10 10 5 1
第6行 (a b)6 1 6 15 20 15 6 1
··· ···
说明：假设
C k 1 n
Cnk
，则
课堂小结
本节课学习了杨辉三角，并通过观察总结 杨辉三角中数字的特征，再次回顾了组合数的 性质．应用二项式定理证明整除问题及估计近 似值．
课后作业
教材P33习题3–3A3、5 P34习题3–3C4
拓展作业
通过书籍或者网络查找有关数学材料，了 解杨辉三角中蕴含的其他数学内容，将有关材 料整理成小论文，与其他同学进行交流．
2.二项式定理的通项公式为：Tk1 Cnk ankbk ，利用通项
公式可以求指定项．
3.区分清楚系数和二项式系数，并理解应用赋值法得到 二项式系数和为 2n.
巩固练习：
已知 x2 1 n 的展开式中，所有的二项式系数之和为1024，则
n =__，展开式中含有 x6的项是___，该项的二项式系数是___.
n!
n! ,
(n k 1)!(k 1)! (n k)!k !
化简可得 1 1 ，从而有 k n 1.
k 1 nk
2
利用二项式系数的对称性可知，二项式系数
Cn0
,
Cn1
,
Cn2
,
...,
Cnn
2
,
C n1 n
,
Cnn
,
是先逐渐变大，再逐渐变小.
当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大， 当n是奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大．
我国古代数学家贾宪在1050年前后就 给出了类似的数表，这一成果在南宋 数学家杨辉著的《详解九章算术》中
得到摘录．因此，这一数表在我国称 为“贾宪三角”或“杨辉三角”．西方文 献中，一般称其为“帕斯卡三角”，这 些文献认为类似的数表是数学家帕斯 卡于1654年发现的．实际上比我国发 现数表要晚了600多年．
杨辉三角至少具有以下性质：
说明：杨辉三角中的数代表的二项展开式的二项式系数，
从第三行起，假设其中的任意一个数为
Ck n 1
，其上一行
与这个数相邻的两个数分别为Cnk1, Cnk ，由组合数性质
可知，Cnk1
C k 1 n
wk.baidu.comCnk
，显然结论成立．
根据性质，大家能不能直接写出杨辉三角中第7行的数呢？
第0行 (a b)0
北京市中小学空中课堂
二项式定理与杨辉三角（2）
高二年级 数学
主讲人 李任宏 北京市第一六一中学
复习上节课的主要内容：
1.二项式定理：(a b)n Cn0an Cn1an1b ... Cnk ankbk ... Cnnbn 二项展开式有n+1项，按a的降幂排列，利用定理可以 直接写二项展开式．
例如，假设某地区现有人口100万，且人口的年平均增长率
为1.2%，那么6年后该地区的人口应为 100(11.2%)6,
这个数大概是多少呢？
利用例2的结果可知 100(11.2%)6 100(1 61.2%) 107.2
100(11.2%)6 100(1 61.2% 15 (1.2%)2 ) 107.416 100(11.2%)6 保留6位有效数字的近似值107.419.
C98 98
(1)98
,
注意到上述右边的展开式中，前面98项都是100的倍数，最
后一项为1，由此可知，原数能被100整除.
归纳反思：
借助二项式定理可以解决整除的问题，其 方法是利用二项式定理将目标表达式按照除数 展开，得出除数的整数倍即可．
例2.当n是正整数且x>0时，求证：(1 x)n 1 nx.
辉 三
第1行 (a b)1
第2行 (a b)2 第3行 (a b)3
11 12 1 13 3 1
角 第4行 (a b)4
14 6 4 1
第5行 (a b)5 1 5 10 10 5 1
第6行 (a b)6 1 6 15 20 15 6 1
··· ···
杨辉三角至少具有以下性质：
（2）从第三行起，不在两端的任意一个数，都等于上一行中 与这个数相邻的两数之和． 可以说成：从第三行起，每一行除了两端的1，其余每个数都 等于它“肩上”两个数的和.
解：依题意可知 2n 1024 ，因此n=10.
从而可知展开式的通项为 Tk1 C1k0 (x2 )10k (1)k (1)k C1k0 x202k ,
要使此项含有 x6，必须有20 – 2k = 6，从而k=7，
因此含有 x6 的项为 T8 (1)7 C170 x6 C130 x6 120x6. 该项的二项式系数是120.
第7行 (a b)7 1 7 21 35 35 21 7 1
杨辉三角至少具有以下性质：
（3）杨辉三角的每一行的数都是开始越来越大，然后越 来越小（中间大、两边小）．
第6行 n=6 1 6 15 20 15 6 1 第7行 n=7 1 7 21 35 35 21 7 1
杨 第0行 (a b)0
（1）每一行都是对称的，且两端的数都是1； 这个对称可以表述为：与首末两端“等距离”的两个数相等.
说明：杨辉三角中的数代表的二项展开式的二项式系数， 由组合数性质可知，Cnk Cnnk，所以每一行的数都是对称的． 两端的数分别是 Cn0 , Cnn ，显然二者均为1.
杨 第0行 (a b)0
1
谢谢
杨 第0行 (a b)0
1
辉 三
第1行 (a b)1
第2行 (a b)2 第3行 (a b)3
11 12 1 13 3 1
角 第4行 (a b)4
14 6 4 1
第5行 (a b)5 1 5 10 10 5 1
第6行 (a b)6 1 6 15 20 15 6 1
··· ···
图片来自互联网资源
第1行 (a b)1 第2行 (a b)2 第3行 (a b)3 第4行 (a b)4
1 11 12 1 13 3 1 14 6 4 1
当二项式的次数 不太大时，可以 借助规律直接写 出二项式系数．
第5行 (a b)5 1 5 10 10 5 1
第6行 (a b)6 1 6 15 20 15 6 1
杨 第0行 (a b)0
1
辉 三
第1行 (a b)1
第2行 (a b)2 第3行 (a b)3
11 12 1 13 3 1
角 第4行 (a b)4
14 6 4 1
第5行 (a b)5 1 5 10 10 5 1
第6行 (a b)6 1 6 15 20 15 6 1
··· ···
杨辉三角至少具有以下性质：