基于压缩感知的CT重建算法的研究进展

中国医疗设备 2019年第34卷 08期 VOL.34No.08 167
综述
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g(x) 为 正 则 化 项， 在 投 影 数 据 不 完 整 条 件 下， 通 过 数 据 保 真 度 重 建 图 像， 在 数 学 上 属 于 一 个 不 完 备 方 程 求 解，需要添加先验知识来作为正则项，对优化过程进行约 束。 正 则 化 可 以 分 为 基 于 图 像 稀 疏 化 的 方 法， 以 及 利 用 先验图像约束的方法两大类 。 [11-14] 常用的稀疏化有 L0 范 数，L1 范数，TV（Total Variation）以及字典学习等不同方 法，先验图像包括人体解剖结构，患者早期的医学影像信 息以及其他模态信息。优化问题的求解可以通过近端算法 （Proximal Algorithms）实现 。 [15-17] 2.2.1 基于图像稀疏化的 CT不完整投影数据重建
Research of CT Reconstruction Algorithms Based on Compressed Sensing
YIN Juan1, FAN Yilu1, QIN Shaohua2
1. Department of Medical Engineering, Shandong Provincial Qianfoshan Hospital, Jinan Shandong 250014, China; 2. School of Physics and Electronics, Shandong Normal University, Jinan Shandong 250358, China
2 基于压缩感知的CT重建算法 近年来，为了减少 X 射线对于病患的危害，对减少
CT 扫描的时间和降低扫描的强度提出了新的要求 [4-5] ；同 时随着 CT 应用场景的扩展，有些应用也需要快速成像或 者减少 CT 扫描的角度。这都导致 CT 投影数据的不完整， 如何在投影数据不完整的条件，保证 CT 重建图像的质量， 是 CT 重建算法面临的新挑战。
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基于压缩感知的CT重建算法的研究进展
尹娟1，范医鲁1，秦绍华2
1. 山东省千佛山医院 医学工程部，山东 济南 250014；2. 山东师范大学 物理与电子科学学院，山东 济南 250358
[摘 要] 减少CT扫描的剂量和角度，可以大幅减少医学影像检查对患者的危害。在投影数据减少的条件下，传统的重建算法 在重建速度和重建精度方面都无法满足临床诊断的要求。基于压缩感知理论的CT 重建算法，可以在投影数据不完整的条件 下，有效提高CT成像质量。本文对基于压缩感知的CT重建算法进行了研究，对其数学模型，重建过程进行了论述。着重对 基于稀疏和先验图像两种不同的正则化项的重建方法进行了分析。文章最后还对深度学习网络和卷积稀疏编码等新兴技术 对基于压缩感知的CT重建算法的影响进行了分析。 [关键词] CT；重建算法；压缩感知；稀疏表示
迭代类重建算法将测量得到投影数据作为已知量，将 重建图像作为未知量，建立方程组，通过解方程来重建未 知图像。设图像 X 有 M 个像素，投影数据 B 有 N 个测量值， 则图像 X 和投影数据 B 之间的关系用方程组可以描述为
(4) 其 中 A 为 N×M 维 投 影 系 数 矩 阵， 其 元 素 为 第 个像素对第 个投影值的贡献。求解这个方程组，就可以 得 到 需 要 重 建 的 图 像。 迭 代 重 建 算 法 主 要 有 代 数 重 建 算 法（Algebraic Reconstruction Technique，ART）[2] 和 联 合 代 数 重 建 算 法（Simultaneous Algebraic Reconstruction Technique，SART），以及基于优化理论的期望最大法 EM、 最小范数法和最大后验概率算法 MAP 等。迭代类重建算 法具有抗噪声性能好，可应用先验知识，对数据完备性要 求较低等优点，但是其计算量较大，重建速度慢，限制了 其在实际系统中的应用。虽然 1970 年 Gordon 等 [2] 就提出 ART 算法，但受限于当时的计算机运算能力，一直没有商 业应用。当时的 CT 一直沿用简单的 FBP 算法，直到 2009 年， 第一个基于迭代重建 IRIS（Iterative Reconstruction in Image Space，Siemens Healthineers） 算 法 才 获 得 FDA 许 可。 此 后陆续有多种基于迭代重建的 CT 算法获得 FDA 认证，例 如 ASIR 算 法（Adaptive Statistical Iterative Reconstruction， GE Healthcare）、SAFIRE 算法（Sinogram-Affirmed Iterative Reconstruction，Siemens Healthineers）、iDose4 算法（Philips Healthcare）和 Veo 算法（GE Healthcare）等。近年来，得 益于计算机技术的飞速进步，以及人们对于低剂量 CT 的 需求，迭代算法重新成为研究的热点 [3]。
(2) 投影数据 b
(3)
收稿日期：2019-05-13 基金项目：山东省自然科学基金面上项目（ZR2016FM39）。 通讯作者：秦绍华，博士，主要研究方向为医学图像处理。
通讯作者邮箱：qinshaohua@sdnu.edu.cn
图1 X射线穿过非均匀物体示意图
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复 x 是不可能的，但当满足 x 的稀疏性和观测阵的 RIP 特性
要求时，可以利用非线性优化的方法完美的恢复出信号，即：
(8) (9) 其中 为 的估计值， 为 的估计值。 常用的恢复算法有凸优化算法和贪婪算法两类，凸优 化算法的代表是 BP（Basis Pursuit）算法 [7]，贪婪算法包括 MP（Matching Pursuit） 算 法 [8]、OMP（Orthogonal Matching Pursuit）算法 [9] 和 CoSaMP（Compressive Sampling Matching Pursuit）算法 [10] 等多种算法。 2.2 基于压缩感知的重建算法 在投影数据不完整的条件下，传统的重建算法在重建速 度和重建精度方面都无法满足实际应用的需求。压缩感知理 论为不完整投影数据重建问题提供了新的思路。一方面，压 缩感知理论对信息的采集位置没有要求，另一方面，压缩感 知理论对于信息的采集数量要求较低，这使得根据不完整数 据进行 CT 图像重建成为可能。综合公式 (4)、(8)、(9)，可 得到基于压缩感知的 CT 不完整投影数据重建过程如下
则
称该信号为 K 稀疏信号。
通过观测阵，
可以得到信号的观测数据
（6）
如果观测阵满足 RIP（Restricted Isometry Property）特
性，那么可以从压缩后的观测数据
准确地恢复出信
号 。如果观测阵是高斯随机矩阵或贝努力矩阵，那么
M 的下限是
(7)
其中 C 为一正常数。正常情况下，由于 M<N，从 y 恢
1 传统的CT重建算法 CT 是通过具有一定能量和穿透能力的 X 射线与物体
相互作用的原理而成像的。如当一定能量的 X 射线穿过物 体时，X 射线的强度会发生衰减，其衰减程度与物体的成分、
厚度有关，如果物体是均匀的，X 射线的强度按指数规律 衰减，遵循 Lambert-Beer 定律 ：
(1) 其中 I0 位射线原始强度，I 为射线穿透物体后的强度， μ 为被测物体的衰减系数，l 为射线穿过物体的长度。 如果物体是非均匀的，如图 1 所示，假设其衰减系数 分布为 μ(x,y)，则其衰减程度为沿投射路径 L 的线积分
引言 自从 1927 年，英国工程师 Hounsfield 研制成功第一台
医用 CT 装置以来，CT 在临床领域一直发挥着重要作用。 Hounsfield 和 Cormack 两位没有医学经历的科学家，也因 为其在 CT 领域的开创性工作，在 1979 年被授予诺贝尔生 理或医学奖。CT 技术主要是利用 X 射线穿透物体的衰减 信息来进行物体断层图像信息的重建 [1]。从投影重建图像 本质上属于数学反问题，重建算法是 CT 技术的核心理论 问题。
2.1 压缩感知理论
压缩感知理论（Compressed Sensing，CS）是一项不同于 传统数据处理技术的全新理论，其发展以 2006 年 Donoho[6]
在理论上取得的重大突破为标志，目前压缩感知理论正在快
速发展。其基本理论体系如下 ：信号 ，可以表示为
（5）
其中 为表示基或稀疏基， 为系数，如果，
Key words: CT; reconstruction algorithms; compressed sensing; sparse representation
[中图分类号] R318
[文献标识码] A
doi：10.3969/j.issn.1674-1633.2019.08.041
[文章编号] 1674-1633(2019)08-0166-04
impact of new technologies, such as deep learning networks and convolutional sparse coding, on CT reconstruction algorithms based
on compressed sensing were analyzed.
(10) 其中 为需要重建图像 X 的估计值，A 为投影系数矩阵， B 为投影数据 . 这个问题可以通过转化为优化问题求解
(11) 其中 为数据保真度，表示重建图像和真实图像的 差值，在实际应该用中，真实图像往往是未知的，因此常 常用重建图像的正向投影与测量值的偏差来度量，即
(12) 其中 为 p- 范数，p 取不同值时，采用不同的标准衡 量数据保真度，当 p=2 时，表示我们常用的欧氏距离。
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CT 重建就是根据投影数据 b，求解 μ(x, y) 的过程。CT 重建算法主要分为解析类（Analytic Reconstruction，AR） 和迭代类（Iterative Reconstruction，IR）。解析类重建算法 以 Randon 变换为理论基础，经过长期的发展，目前已经 形成了完整的理论体系。解析类重建算法主要包括二维图 像重建的滤波反投影算法（Filtering Back-Projection，FBP） 和三维图像重建的 FDK 算法。FBP 算法一直都被作为 CT 重建算法的基础和“金标准”。解析类重建算法发展时间较 长，具有分辨率高、重建速度快等优点，但是抗噪声性能 较差，对数据的完备性要求较高。
Abstract: Studies have shown that reducing the dose and Angle of CT scans can significantly reduce the harm of medical imaging
to patients. Under the condition of reduced projection data, traditional reconstruction algorithms can not meet the requirements of
clinical diagnosis in terms of reconstruction speed and accuracy. CT reconΒιβλιοθήκη Baidutruction algorithms based on compressed sensing can
effectively improve the quality of CT imaging under the condition of incomplete projection data. In this paper, the algorithms of CT
reconstruction based on compressed sensing was studied, and its mathematical model and reconstruction process were discussed. The
reconstruction methods based on two different regularization terms, sparse and prior images, were analyzed emphatically. Finally, the