连续函数压缩映射问题的讨论

连续函数压缩映射问题的讨论

摘要

本文从课本上一个例题出发引出不动点原理，首先介绍了不动点原理在数学分析课程中的重要应用如数列极限问题等，并指出了应用不动点原理时所使用的技巧和方法.。其次给出其在方程组求解，数学建模来等方面的例子说明不动点原理的广泛应用，以及其在范函分析中更加一般的形式。最后通过介绍其在图像处理，导航系统及经济领域的应用来阐明创新思想的重要性，进一步开拓学生的思路,让学生有更多的想像空间。

关键字：不动点; 连续函数; 函数方程; 数列极限；应用

引言：在数学分析中,我们会遇到证明某些函数方程在指定的区间内有实根,或判定某些递推数列存在极限等问题，下例便是一个比较典型的：

例1 设)(x f y =把区间],[b a 映射成],[b a ,并且存在10<

(1) ],[b a 内存在唯一的不动点*

x ,满足)(**x f x =;

(2) 对任意初始值],[0b a x ∈,迭代序列)(1n n x f x =+收敛于*x ; (3) 01*

**11,x x q q x x x x q x x n

n n n --≤--≤-+. 证明：(1) 存在性：由条件2121)()(x x q x f x f -≤-知函数在],[b a 上连续。构造函数x x f x g -=)()(显然它也在],[b a 上连续，且满足：

0)()(≥-=a a f a g ，0)()(≤-=b b f b g 。

由连续函数的介值性定理知必存在一点],[*b a x ∈满足0)(*=x g 即**)(x x f =。 唯一性：假设存在两点21,x x 满足：11)(x x f =，22)(x x f =，则由已知条件有

21212121)()(x x x x q x f x f x x -<-≤-=-. 矛盾.

(2) *1*12***1)()(x x q x x q x x q x f x f x x n n n n n -≤≤-≤-≤-=--+ ,

由10<

lim x x n n =∞→. (3)由 0121211)()(x x q x x q x x q x f x f x x n

n n n n n n n n -≤≤-≤-≤-=----+

知 01111)(x x q q x x x x x x n p n n n p n p n n p n -++≤-++-≤--++-+++

q q q p n n --=-+11，两端令∞→p 即得01*1x x q

q x x n n --≤-。 这个结论就是著名的不定点理论，也成为压缩映射原理。例题不仅给出了收敛条件,而且还给出了收敛误差的估计.可以看出,q 越小收敛越快。

一、 不动点定理在求数列极限中的应用

由例一我们可以得到如下推论：

推论1：对数列}{n x 若存在常数10:<

推论2：对数列}{n x 若存在常数10:<

例2.设],1,0[,21∈=a a x 2

221--=n n x a x ，求证数列}{n x 收敛并求极限。 证明 ：易知20a x n ≤≤，我们在区间]2,0[a 上考虑函数2

2)(2

x a x f -=，对任意的]2,0[,21a x x ∈有，21212121221)()(x x a x x x x x f x f -≤+-=-，即)(x f 是]2

,0[a 上的压缩映像，从而}{n x 收敛于方程的解.设2

22

0x a x -=得110-+=a x 。 例3. 设n

n x x x 11,010+=>+,求证}{n x 收敛并求其极限. 证明:显然有1>n x ,),2,1(3221111,211121 ==+≥+=≤+

=+++n x x x x n n n n ),5,4()3

2()11()11(111 =-≤--+=---+n x x x x x x n n n n n n 根据推论2知}{n x 收敛，再由1>n x 易知其极限为215+=

A . 一般地，对于一个数列，在给出数列的递推公式的情况下， 通常需要求数列的通项公式，下面介绍用不动点法求通项公式的递推数列，首先我们给出如下定理：

定理1：若数列}{n a 满足)1,(1≠+=+A B A B Aa a n n 为非零常数且，若其递推函数B Ax x f +=)(有不动点A

B x -=10，则数列}{0x a n -是以A 为公比的等比数列。 证明：由0x 为不动点知B Ax x +=00，所以有

A x a

B Ax B Aa x a x B Aa x a x a n n n n n n =--++=--+=--+0

000001. 显然结论成立。

例4. 数列}{n a 满足2,32,111≥+==+n a a a n n 求数列通项。

解： 其递推函数为32)(+=x x f 解得不动点3-=x .由}3{+n a 为公比为2的等比数列,且其首项为4,所以}{n a 通项为321-=+n n a .

当函数)(x f 在],[b a 上可导时，根据微分中值定理我们有如下结论：

推论3：若函数)(x f 在],[b a 上可导且1)('

证明：对任意的],[,b a y x ∈当y x ≠时都有，y x y x f y f x f -<-=-)(')()(ξ， 则显然)(x f 是一个压缩映像。

例5. 设)(21,,011n n n x a x x a x a +=≥

>+，证明}{n x 收敛并求其极限. 证明： 设a x x a x x f ≥+=

),(21)(，则易知),,[)),([∞+⊂∞+a a f 且12

1121)('2<≤-=x a x f ，所以)(x f 有唯一不动点0x ，易的a x =0。 所以}{n x 极限为a .

二、 不动点定理在数学模型中的应用

如果函数)(x f 在],[b a 是一个连续函数，则根据连续函数的介值性定理可知：

推论4.若函数)(x f 在],[b a 连续且满足],[]),([b a b a f ⊂，则)(x f 在],[b a 至少有一个不动点。

例 6. 日常生活中会有这样的体验：把椅子放在不平的地面上时通常三条腿着地放不稳，但是稍微挪动几次就可以使四条腿着地而放平稳。现我们把该现象建模为一个数学问题，通过不动点定理来进行解释。