连续函数压缩映射问题的讨论
压缩映射原理及应用
T是S(x0,r)上的压缩映射, 且(Tx0, x0)(1)r (0<1) (x1, x0)=(Tx0,x0)(1-)rr (x2,x0)=(Tx1,x0) (Tx1,Tx0)+(Tx0,x0)
x ,x
从而 T是压缩映射。由压缩映射原理，知T在 R n 中有唯一
的不动点 xx1,x2....x.n. 使
~ x T ~ x j n 1 a 1 jx ~ j b 1 ,j n 1 a 2 j~ x j b 2 , ,j n 1 a n ~ x jj b n .
x nl im xn
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例4.2 设f(x)在闭区间[x0-h,x0+h]上可导, 且f’(x)<1, 又f(x0)x0(1-)h, 则f(x)在[x0-h,x0+h]上有唯一的不动点x, 且x可由迭代 xn+1=Txn (n=1,2,…) (x0[x0-h,x0+h])迭代求得.
j1
j1
xA xbTx
则T是Rn到Rn的映射, 可以证明，T是压缩映射，因而存在唯一 不动点x, 使得 x=Tx=Ax+b, 即原方程组有唯一解。 事实上，x(k)=(x1(k) ,x2(k) ,…,xn(k) )Rn, k=1,2.
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n
i 1,2,..., n , a ij 1 j 1
(xn+k,xn)0 (n) (0<1) {xn}是基本列{xn}收敛 (X完备) xX, 使xnx (n)
叙述压缩映射原理
叙述压缩映射原理压缩映射原理是数学中的一个重要概念，它在不同领域都有着广泛的应用，特别是在动力系统、概率论、几何等领域中。
本文将详细介绍压缩映射原理的概念、性质和应用。
一、概念压缩映射是指在度量空间中，存在一个映射f，使得对于任意两个点x和y，它们之间的距离d(f(x),f(y))都小于它们之间的距离d(x,y)。
也就是说，压缩映射可以将原来相距较远的点映射成相距较近的点。
具体来说，若存在一个常数0< k <1，使得对于任意两个点x和y，有d(f(x),f(y))≤k d(x,y)，则称f为一个k-压缩映射。
二、性质1. 压缩映射是连续的。
这是因为对于任意两个点x和y，有d(f(x),f(y))≤k d(x,y)，因此当x趋近于y时，f(x)也趋近于f(y)。
2. 压缩映射是唯一的。
若存在两个不同的压缩映射f和g，使得它们都满足上述条件，则对于任意两个点x和y，有d(f(x),f(y))≤k d(x,y)和d(g(x),g(y))≤k d(x,y)，因此d(f(x),g(x))≤(k/(1-k)) d(f(x),f(y))，这说明f和g之间的距离也可以被压缩，因此f和g必须相等。
3. 压缩映射是有界的。
这是因为对于任意一个点x，它的像f(x)一定在以x为中心、半径为d(x,0)/(1-k)的球内。
三、应用1. 压缩映射定理。
压缩映射定理是数学分析中的一个重要结果，它说明了对于任意一个k-压缩映射f，它都有唯一的不动点x0，即f(x0)=x0。
并且，从任意一个起始点x开始，通过不断迭代f，可以得到收敛于x0的数列。
这个定理在动力系统和概率论等领域中有着广泛的应用。
2. 度量空间的完备性。
一个度量空间是完备的，当且仅当它是一个压缩映射的不动点。
这个定理在数学分析和拓扑学中有着广泛的应用。
3. 分形几何。
分形几何是一种研究自相似性的几何学，而压缩映射是分形几何中的一个重要工具。
通过对一个图形进行一系列压缩映射，可以得到一个自相似的分形。
关于函数连续若干问题
迭代2 1.347826087 1.325200399 1.324718174 1.324717957 1.324717957
迭代误差
0.152173913 0.022625688 0.000482225 0.000000217 0.000000000
计算实例2
例 2：求非线性方程的根
解:
则 xn 极限存在， lim xn x n
并且有误差估计
q xn x x1 x0 1 q
n
压缩 迭代 序列
连续函数的压缩映射
定义：如果函数满足下面条件
f :E E
f x f y k x y
0 k 1 x, y E
则称函数是Ｅ上的压缩映射. 例题
（3）不动点唯一
E , f ( ) , ,
f f k
矛盾！ 结论得证
应用举例I: 非线性方程求根
f : E E, f ( x ) 0, E , f ( ) 0
xn 1 ( xn ) f ( x) 0 x ( x) x0 E
有限的信道容量与传输大量遥感数据的需求之 间的矛盾日益突出，给数据的传输和存储带来 了极大的困难。数据压缩技术作为解决这一问 题的有效途径。
海量数据压缩技术 分形压缩技术 小波变换压缩技术
分形压缩
分形编码是数学家B.B.Mandelbrot 20世纪70年建立的分形几何 理论的基础上发展起来的一种编码方法。分形编码最大限度地利 用了图像在空间域上的自相似性（即局部与整体之间存在某种相 似性），通过消除图像的几何冗余来压缩数据。 分形图像编码是20世纪80年代后期提出的一种新的图形压缩编码 方法，Barnsley指出利用迭代函数系统（IFS）理论,存在得到10 000：1的惊人压缩比的可能性 Jacquin于1990年首次提出了分块的迭代变换理论及算法,这是首 次利用计算机进行图像分形压缩编码的自动算法，对分形图像压 缩方法的实用化起到了奠基性的作用。
压缩映射原理及其应用
§6 压缩映射原理及其应用
Banach空间的压缩映射原理是完备度量空间概念 的应用，它有助于证明微分方程、代数方程、积分 方程等问题中许多关于存在唯一性的定理。 定义1 设X是度量空间，T是X到X中的映射，如果存 ，0＜＜1，使得对所有的x，y∈X，成立 在一个数 d（Tx，Ty）≤ d（x，y）， （1） 则称T是压缩映射。 压缩映射在几何上的意思是说点x和y经T映射后， ＜ 它们像的距离缩短了，不超过d（x，y）的 倍（ 1）。
d x m+1，xm d Txm , Txm1 d x m，xm1
d Txm1,Txm2 2d xm-1，xm2
md x1，x0
（2）
由三点不等式，当n＞m时，
。 。
d xm , xn d xm , xm 1 d xm 1 , xm 2 d xn _1 , xn
1 f x, x 。按照定理条件，f x, y M
a x b, -∞＜y＜∞
现证A是压缩映射。任取 1，2 C a, b ，根据微分中值定理，存 在0＜ ＜1，满足 A2 x A1 x = =
2 x
2 x 1 x
1
（4）式给出了用逼近解x的误差估计式。
，则有0＜＜1，且
A 2 x A1 x 2 x 1 x
d A2 , A1 d 2 ,1 。
压缩映射原理的性质和应用
压缩映射原理的性质和应用摘要本文较有系统的研究了压缩映射原理及其一些应用,由于压缩映射原理是属于不动点理论中的一类原理，所以有许多不同的形式，本文主要利用在常规度量空间中讨论压缩映射原理的方法，在概率度量空间中讨论压缩映射原理。
主要内容如下:第一章,是绪论部分，首先讲了我之所以写这篇文章的原因，然后是本文所研究问题的历史背景和发展情况。
第二章，介绍压缩映射原理的最基本的形式，即Banach压缩映射原理,通过对其定理内容和证明方法的分析，深刻认识了Picard迭代方法在证明中起到的重要作用，总结出了一套通用的方法证明这类定理,还找了一个例子，用总结出的方法进行了证明。
第三章，用第一章总结出的方法研究了压缩映射原理更复杂的形式，随着研究问题的复杂，也使第一章总结出的方法变得更加完善。
第四章，把前几章得到的结论和方法应用到了微分方程和微分方程组的解的存在唯一性上。
虽然只有两个例子，但是获得方法和思想可以用到许多其他的例子上。
第五章，引入概率度量空间的概念，和其中一系列与压缩映射原理有关的概念，结合概率度量空间的一些特殊性质，用前几章的讨论方法,在概率度量空间上讨论压缩映射原理,依次讨论了含随机数的压缩映射原理,在概率度量空间上添加一些条件后的基本压缩映射原理，非线性的压缩映射原理及应用等.关键词:压缩映射;不动点；概率度量空间；非线性微分方程ABSTRACTIn this paper, a systematic study of the compression mapping principle and some applications, because of the contraction mapping theory is one of the principle in belong to the theory of fixed point， so there are many different forms， this paper mainly discussed used in conventional metric space compression mapping principle, the method of contractive mapping principle in probabilistic metric space。
[详细讲解]压缩映射原理
![[详细讲解]压缩映射原理](https://img.taocdn.com/s3/m/a2fb7c5a2f3f5727a5e9856a561252d380eb20b2.png)
泛函分析题1_1压缩映射原理p91.1.1 证明完备度量空间的闭子集是完备的子空间，而任一度量空间中的完备子空间必是闭子集．证明：(1) 设(X, )是完备度量空间，A X，A是X的闭子集．若{x n}是A中的Cauchy列，则{x n}也是X中的Cauchy列．因(X, )完备，故{x n}收敛于X中某点x．而A是X的闭子集，且{x n}是A中的点列，故其极限x也在A中．因此，{x n}是子空间A中收敛列．所以，子空间(A, )是完备的．(2) 设(X, )是度量空间，B X，B是X的完备子空间．若{x n}是B中的点列，且在X中收敛于x X．则{x n}是X中的Cauchy列，因此{x n}也是B中的Cauchy列．由B是X的完备子空间，故{x n}也是B中的收敛列．若{x n}在B中收敛于y B，则{x n}作为X中的点列也收敛于y．由极限的唯一性，x y．故x B．所以B是X中的闭子集．1.1.2 (Newton法) 设f是定义在[a, b]上的二次连续可微的实值函数，z (a, b)使得f (z) = 0，f’(z) 0．求证存在z的邻域U(z)，使得x0 U(z)，迭代序列x n +1 = x n f (x n)/f’(x n) ( n = 0, 1, 2, ...)是收敛的，并且lim n x n= z．证明：首先，由f’(z) 0，存在z的邻域V (a, b)，使得f’在cl(V)上总不为0．设m = min {| f’(x) | x cl(V)}，M = max {| f’’(x) | x cl(V)}，则m > 0．由f (z) = 0，存在z的邻域U= ( z , z + ) V，使得t cl(U)，| f (t) | m2/( M + 1)．设T : cl(U) ，T(x) = x f (x)/f’(x)．则T在cl(U)上是连续可微的．则x, y cl(U)，存在 U，使得T(x) T(y) = T’( )(x y)．故| T(x) T(y) | = | T’( ) | · | x y | = | f( ) f’’( )/f’( )2| · | x y |m2M/(( M + 1)m2) · | x y | = (M/( M + 1)) · | x y |．特别地，x cl(U)，| T(x) T(z) | (M/( M + 1)) · | x z | | x z | ．而T(z) = z f (z)/f’(z) = z，故| T(x) z | ，即T(x) cl(U)．所以，T是cl(U)上的压缩映射．x0 U，迭代序列x n +1 = x n f (x n)/f’(x n) ( n = 0, 1, 2, ...)就是cl(U)上的压缩映射T所产生迭代序列x n +1 = T(x n) ( n = 0, 1, 2, ...)．由压缩映射原理，{x n}是收敛的，并且lim n x n= z．1.1.3 设(X, )是度量空间，映射T : X X满足 (T x, Ty) < (x, y) (x y)，并且已知T有不动点，求证此不动点是唯一的．证明：若不然，设T有不同的不动点x, y X，则 (x, y) = (T x, Ty) < (x, y)，矛盾．故T的不动点是唯一的．1.1.4 设T是度量空间上的压缩映射，求证T是连续的．证明：设(X, )是度量空间，0 < < 1，T : X X是满足(T x, Ty) · (x, y) (x, y X )的压缩映射．若{x n}是X中收敛于x的点列，则 (x n, x) 0．而 (T x n, T x) · (x n, x)，故有 (Tx n, T x) 0．因此T连续．1.1.5 设T是压缩映射，求证T n (n +)也是压缩映射，并说明逆命题不一定成立．证明：(1) 设(X, )是度量空间，0 < < 1，T : X X是满足(T x, Ty) · (x, y) (x, y X )的压缩映射．n +，若S = T n是压缩映射，则x, y X，有(T n+1x, T n+1y) = (T n(T x), T n(Ty)) = (S(T x), S(Ty)) (T x, Ty) · (x, y)．所以T n+1也是压缩映射．由数学归纳法原理，T n (n +)都是压缩映射．(2) 逆命题不成立的例子：考虑T : [0, 2] [0, 2]，其中T定义如下：当x [0, 1]时，T(x) = 0；当x (1, 2]时，T(x) = x 1．显然T不是压缩映射．但x [0, 2]，T(T(x)) = 0．因此，T2是压缩映射．1.1.6 设M是( n, )中的有界闭集，映射T : M M满足： (T x, Ty) < (x, y)(x, y M，x y)．求证T在M中存在唯一的不动点．证明：(反证法) 假若T在M中没有不动点．显然，T在M上是连续的，故函数 (x, T x)在M上连续且恒大于0．因M是( n, )中的有界闭集，故 (x, T x)在M中某点x0处达到下确界．0 < (x0 , T x0 ) (T x0 , T2x0 ) < (x0 , T x0)，矛盾．所以，T在M中存在不动点．根据1.1.3，该不动点是唯一的．1.1.7 对于积分方程x(t) [0, 1]e t–s x(s) ds = y(t)，其中y(t) C[0, 1]为一给定函数， 为常数．| | < 1，求证存在唯一解x(t) C[0, 1]．证明：首先积分方程等价于e–t x(t) [0, 1]e–s x(s) ds = e–t y(t)，令z(t) = e–t x(t)，w(t) = e–t w(t)，则方程变为z(t) [0, 1]z(s) ds = w(t)．因此只要证明上面的方程有唯一解z(t) C[0, 1]．设T : C[0, 1] C[0, 1]，(Tz)(t) = w(t) + [0, 1]z(s) ds．则z1, z2 C[0, 1]，| (Tz1)(t) (Tz2)(t) | = | | · | [0, 1] (z1(s) z2(s)) ds || | · [0, 1] | z1(s) z2(s) | ds | | · max t [0, 1] | z1(t) z2(t) |；故 (Tz1, Tz2) | | · (z1, z2)．因此，T是C[0, 1]上的压缩映射．故T在C[0, 1]上有唯一不动点．即存在唯一的z(t) C[0, 1]，使得z(t) = w(t) + [0, 1]z(s) ds．。
7.6 压缩映射原理及应用
x与Tx都是T 的不动点 x=Tx （不动点的唯一性）
n0
第9页
3.压缩映射原理应用 应用压缩映射原理及其推论解决实际问题的步骤： 1) 说明X是完备距离空间； 2) 有实际问题定义映射T:XX，使x=Tx； 3) 证明所定义映射T是X上的压缩映射； 3) 有压缩映射原理说明不动点的存在唯一性。 例4.1 设f(x)在R可导, 且f’(x)<1, 则f(x)在R上有唯一的不动点 x,且x可由迭代xn+1=Txn (n=1,2,…) (x0R)迭代求得. 证 R是完备距离空间，函数f(x)是R到R的一个映射， x1,x2R, 由拉格朗日中值定理, 有 (f(x1), f(x2))=f(x1)-f(x2)=f’()x1-x2(x1,x2) f: RR是压缩映射 f(x)在R上有唯一的不动点x，对于迭代xn+1=Txn，有
( y1 , y 2 )
x [ x 0 , x 0 ]
max
y1 ( x ) y 2 ( x )
x dy f ( x, y ), y x0 y0 y ( x ) y0 f (t , y (t )dt x0 dx x y y ( x ) C[ x0 , x0 ], 令T ( y ( x )) y0 f (t , y (t )dt
第5页
n (1 k ) n ( x n k , x n ) (Tx 0 , x 0 ) (Tx 0 , x 0 ) 1 1
(xn+k,xn)0 (n) (0<<1) {xn}是基本列{xn}收敛 (X完备) xX, 使xnx (n) ② 证明极限点x就是T的不动点。 T是压缩映射T是连续映射 xn+1=Txn , xnx, T连续x=Tx (n) x是T的不动点 唯一性 设x,y都是T的不动点x=Tx,y=Ty (x,y)=(Tx,Ty)(x,y)(x,y)=0 (0<<1)
叙述并证明压缩映射原理
叙述并证明压缩映射原理压缩映射原理，也被称为Banach原则或固定点定理，是函数分析中的一个重要定理。
该原理在数学领域中有广泛的应用，尤其在拓扑学、微积分学和动力系统领域中。
压缩映射原理简要地说，对于一个完备度量空间上的收缩映射，其将这个度量空间中的每一个元素映射到自身的一个更接近的点。
具体地说，设(X, d)是一个完备度量空间，f:X-->X是一个映射，如果存在一个常数k(0<k<1)，使得对于任意的x, y∈X，都有d(f(x), f(y))≤kd(x, y)，那么f称为一个压缩映射。
压缩映射原理指出，对于这样的压缩映射f，存在唯一的X中的点x_0，使得f(x_0)=x_0。
为了证明压缩映射原理，我们首先需要证明收缩映射的连续性。
对于任意的x_1和x_2∈X，我们有：d(f(x_1), f(x_2))≤kd(x_1, x_2)另一方面，由于度量空间X是完备的，所以对于一个Cauchy序列{x_n}在X中收敛于x，即lim_{n→∞d(x_n,x)}=0。
我们可以通过数学归纳法证明{x_n}是一个Cauchy序列。
首先，由于k<1，我们有：d(x_{n+1},x_n)≤kd(x_n,x_{n-1})≤k^2d(x_{n-1},x_{n-2})≤...≤k^n(x_1,x_0)由于k<1，所以k^n趋近于0，所以d(x_{n+1},x_n)也趋近于0。
因此，{x_n}是一个Cauchy序列，且由完备性可知其收敛于一些x∈X。
现在，我们定义一个函数序列{f_n}，其中f_1=f，f_2=f∘f，...，f_{n+1}=f∘f_n，...。
由于f是一个压缩映射，所以有：d(f_{n+1}(x),f_n(x))=d(f(f_n(x)),f_n(x))≤kd(f_n(x),x)≤k^n d(f(x),x)由此可得：d(f_{n+1}(x),f_n(x))≤k^nd(f(x),x)因此，我们得到了函数序列{f_n(x)}的一致收敛性。
利用压缩映像原理证明连续函数的介值性定理
利用压缩映像原理证明连续函数的介值性定理
总之，压缩映像原理证明连续函数的介值性定理可以表述为：如果某个函数x在区间[a,b]上连续，那么它在任一点c∈[a,b]上必有一点c'∈[a,b]，使得x(c)=x(c')。
首先，需要明确的是，压缩映像原理可以用来证明连续函数的介值性定理。
压缩映像原理定义了一个连续函数，它的定义如下：关于区间[a,b]的连续函数x可以视为一个压缩的图像，任何自变量c∈[a,b]所对应的图像点c'应x(c)=x(c')成立，而其中c,c‘∈[a,b]。
接下来，压缩映像原理中定义的函数被用来证明连续函数的介值性定理。
因此，假设函数x在区间[a,b]上连续，则根据压缩映像原理，任何一个自变量c也就是图像点，其值必须与另一个特定的图像点c'相等，又由于它们属于[a,b]，故有x(c)=x(c')成立。
因此，可以得出连续函数的介值性定理。
最后，结合前面所述，可以看出，压缩映像原理可以用来解释连续函数的介值性定理，就是在任一点c∈[a,b]上必须存在一个c'使得x(c)=x(c')。
因此，连续函数的介值性定理便由此得到证明。
总之，压缩映像原理可以证明连续函数的介值性定理，即如果某函数在某区间内连续，那么它在任一点c上必有一点c'使得x(c)=x(c')。
由此可见，压缩映像原理对于理解连续函数的介值性定理具有非常重要的作用。
压缩映射原理的几个应用
压缩映射原理的几个应用定义设 H 是一个非空集，称之为距离空间，如果在 H 上定义一个双变量的实值函数ρ(x,y) ，且满足下述三个条件：(1) ρ(x,y)≥0 ，且ρ(x,y)=0 当且仅当 x=y ；(2) ρ(x,y)=ρ(y,x) ，满足交换律；(3) ρ(x,z)≤ρ(x,y)+ρ(y,z) ，满足三角不等式，称作ρ为 H 上的一个距离，以ρ为距离的距离空间 H 记作 (H,ρ) .定义距离空间 (H,ρ) 上的点列 {xn} 叫做收敛到 x0 的是指：当 n→∞时，有ρ(xn,x0)→0 ，记作 limn→∞xn=x0 ，或简单记作 xn →x0 .定义度量空间 (H,ρ) 中的一个子集 E 称为闭集，是指：∀{xn}⊂E ，若 xn→x0 则 x0∈E .定义度量空间 (H,ρ) 上的点列 {xn} 叫做基本列，是指ρ(xm,xn)→0(m,n→∞) 。
若对∀ε>0 ， \existN(ε) 使得 m,n≥N(ε)⇒ρ(xm,xn)<ε .如果空间中所有基本列都是收敛列，那么就称该空间完备。
定义设 T:(H,ρ)→(Y,r) 是一个映射，称它是连续的，如果对于 H 中任意点 x0和点列 {xn} ，有ρ(xn,x0)→0⇒r(Txn,Tx0)→0 (n →∞) .命题映射 T:(H,ρ)→(Y,r) 连续，当且仅当∀ε>0, ∀x0∈H, 以及 \existδ=δ(x0,ε)>0 ，对于任意的 x∈H ，有ρ(x,x0)<δ⇒r(Tx,Tx0)<ε证明必要性，利用反证法证明，假设存在 x0∈H 以及ε>0 ，使得对任意的 n∈N ，存在 xn 使得ρ(xn,x0)<1/n 但 r(Txn,Tx0)≥ε，即有 limn→∞ρ(xn,x0)=0 但是 limn→∞r(Txn,Tx0)≠0 ，与连续矛盾，所以必要性成立。
充分性，设题目中条件成立，且 limn→∞ρ(xn,x0)=0 ，那么对于任意ε>0 存在 N ，当 n>N 时，有ρ(xn,x0)<δ，从而 r(Txn,Tx0)<ε，于是可得到映射 T 连续。
压缩映射原理的推广及应用
一．压缩映射原理的证明定义1 设X 是度量空间，T 是X 到X 中的映射，如果存在一个数α，10<<α，使得对所有的X y x ∈,，成立),(),(y x d Ty Tx d α≤ （1）则称T 是压缩映射。
压缩映射在几何上的意思是说点x 和y 经T 映射后，它们像的距离缩短了，不超过),(y x d 的α倍)1(<α。
压缩映射是连续的，这是因为),(),(x x d Tx Tx d n n α≤若)0),((→→x x d x x n n ，显然有)0),((→→Tx Tx d Tx Tx n n ，故T 是连续映射。
定理1（压缩映射原理）设X 是完备的度量空间，T 是X 上的压缩映射，那么T 有且只有一个不动点（就是说，方程x Tx =，有且只有一个解）。
证明 设0x 是x 中任意一点，令,,021201x T Tx x Tx x ===…，01x T Tx x n n n ==-，…。
我们证明点列{}n x 是X 中柯西点列，事实上，111(,)(,)(,)m m m m m m d x x d Tx Tx d x x α+--=≤21212(,)(,)m m m m d Tx Tx d x x αα----=≤10(,)m d x x α≤≤ （2）由三点不等式，当n m >时，1121(,)(,)(,)(,)m n m m m m n n d x x d x x d x x d x x +++-≤+++1101()(,)m m n d x x ααα+-≤+++011(,)1n mmd x x ααα--=- 因01α<<，所以11n mα--<，于是得到01(,)(,)1mm n d x x d x x αα≤- ()n m > （3）所以当,m n →∞→∞时，(,)0m n d x x →，即{}n x 是X 中的柯西点列，由X 的完备，存在X x ∈，使x x m →（m →∞），又由三点不等式和条件(1), 我们有()()(),,,m m d x Tx d x x d x Tx ≤+()()1,,m m d x x d x x α-≤+上面不等式右端当m →∞时趋向于0，所以(),0d x Tx =，即x Tx =下证唯一性。
连续函数压缩映射问题的讨论
且存 在 ０＜ ｑ＜ １使 对 任意 ｚ ， ， ：∈ ［ ，］ 有 “６，
Ｉ （ １ 一 ｆ ｘ ）Ｉ ｑｌ ｌ Ｘ ， ｘ） ｆ （ ２ ≤ ｚ — ２１
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一
问题 进行 探 索 ．
１ 数 列 与 连 续 函 数 的 不 动 点 定 理
定理 １ 设 Ｙ一 八ｚ 把 区间［ ，］ ） “ ６ 映射成 ［ ，］ “６ ，
基金 项 目 ： 北京市 精 品课 程建设 项 目； 北京航 空航 天大学 重点教改项 目． 作 者 简 介 ： 玉 泉 （ ９ ７ 。 ， 京 市 人 。 士 ． 师 ， 要从 事 计算 孙 １ ７ 一） 男 北 博 讲 主 数学 研 究 ． ｍａｌｓ ｎ ｑ ｂ ａ ．ｄ ． ｎ Ｅ ｉ ｕ ｙ ＠ ｕ ａ ｅｕ ｃ ． ：
第 ｌ ４卷 第 １期
２１ Ｏ １年 １月
高 等 数 学 研 究
ＳＴＵ Ｄ Ｉ ＥＳ Ｎ ） Ｉ Ｃ（ ＬＬＥＧＥ Ａ Ｔ Ｈ ＥＭ Ａ ＴＩ Ｍ ＣＳ
Ｖ ｏ ．１ Ｎ Ｏ １ ４， ．１
Ｊ ｎ ，２ １ ａ． Ｏ１
连 续 函数 压 缩 映 射 问题 的 讨 论
孙 玉 泉 ，杨 小 远
文 献 标 识 码 Ａ 文 章 编 号 １ ０ — ３ ９ ２ １ ） 卜Ｏ ｌ 一 ５ ０ ８ １ ９ （ ０ １ Ｏ ｌ ７Ｏ
中 图分 类号 Ｏ１ ２ ７
大 学 微 积分 教 学 从 本 质 上 讲 是 为 了 培 养 学 生
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证明压缩映射原理
证明压缩映射原理压缩映射原理是现代分析数学中一个重要的定理，关于非线性算子意义下连续映射存在性和唯一性问题的关键性原理。
该原理的应用范围很广，特别是在微分方程和变分问题中占有重要的地位。
下面将系统阐述压缩映射原理的定义，证明和应用。
一、定义设$X$是一个完备的度量空间，$T:X\rightarrow X$是一个映射。
如果存在一个常数$0\leq k <1$，使得对于$X$中任意两个元素$x,y$，都满足：$$d(T(x),T(y))\leq kd(x,y)$$其中$d(x,y)$是度量空间$X$的距离。
那么$T$是$X$ 上的一种压缩映射，或者简称压缩映射。
二、证明在距离度量与完备性的基础下，压缩映射原理是比较容易证明的，可以分成两个部分来证明。
1. 映射$T$存在唯一不动点$x^*$首先需要证明映射$T$存在唯一不动点$x^*$，即$Tx^*=x^*$ 。
假设$Tx=x$，则从$Tx=T(x^*+x-x^*)$可得：$$d(Tx, Tx^*)\leq kd(x,x^*) \Rightarrow kd(x,x^*)\geqd(Tx,Tx^*)=d(T(x^*+x-x^*),T(x^*))$$根据三角不等式，上式可进一步变形：其中$n$为正整数。
因为$k<1$且$d(x_0,x^*)$为常数，所以当$n\rightarrow\infty$时，$(k+1)^n\rightarrow 0$。
$$d(x,x^*)=0\Rightarrow x=x^*$$证毕。
2. $T$ 的每个序列$x_n$都收敛于不动点$x^*$$$d(x_{n+p},x_n)\leq k^nd(x_{n+p},x_{n+p-1})+...+k^{n+p-1}d(x_{n+1},x_n)$$$$=k^n(p+1)d(x_{n+1},x_n)$$因为$k<1$且$p$为固定的正整数，有$(kp+1)\rightarrow 1$。
叙述并证明压缩映射原理
叙述并证明压缩映射原理压缩映射原理（也称为连续映射原理或Banach不动点定理）在数学分析领域中是一个非常重要的原理，它指出了一个压缩映射一定存在不动点。
下面将介绍20条关于叙述并证明压缩映射原理的内容。
1. 定义压缩映射原理压缩映射原理是关于完备度量空间中连续映射不动点存在性质的定理。
它表述为：在完备度量空间中，每一个压缩映射都有唯一的不动点。
2. 定义不动点在数学中，不动点是指一个映射函数的输入等于它的输出的点，也就是满足f(x) = x 的点x。
在此指出的是，不动点不一定是唯一的，但压缩映射的不动点是唯一的。
3. 定义完备度量空间完备度量空间是满足所有柯西序列收敛的度量空间。
柯西序列是一个序列，使得对于任意一个极小正数，存在一个正整数N，使得序列中的所有后续项距离前N个项的距离小于这个正数。
4. 定义压缩映射压缩映射是一种Lipschitz连续的函数，也就是说这种函数的斜率始终小于等于一个定值。
摩根定理解释了这个定理的几何含义。
5. 压缩映射的例子一些例子：线性或非线性内插函数；不动点迭代解法（如牛顿迭代法）；与基准函数的卷积的函数等。
6. 证明压缩映射的存在性如果T : X → X是一个压缩映射，其中X是完备度量空间，比例因子是l\lt 1，则存在唯一的不动点x^{*}，它是T在X上的唯一不动点。
7. 证明唯一性唯一性的证明：假设x^{*}和y^{*}是T的两个不动点，然后套用压缩映射的定义，可以得到d(Tx^{*}, Ty^{*})≤ld(x^{*},y^{*})由于不动点的定义，有d(x^{*},y^{*})=d(Tx^{*},Ty^{*})将其代入上式得到d(x^{*},y^{*})≤ld(x^{*},y^{*})当l\lt 1时，左侧与右侧的差距应该越来越小；当d(x^{*},y^{*})≠0时，应该可以得到\frac1l\lt 1的矛盾。
所以，唯一不动点的存在是必然的。
8. 证明不动点的存在性如果x_0 \in X是T的任意初始点，则由于T是压缩映射，对于所有n \in\mathbb{N}，d(T^{n}x_0,T^{n+1}x_0)≤ld(T^{n-1}x_0,T^{n}x_0)≤l^{n}d(x_0,Tx_0)应该能得到下式：d(T^{n}x_0,T^{m}x_0)≤\frac{l^{n}}{1-l}d(Tx_0,x_0)在上式中，应该满足\frac{l^{n}}{1-l}d(Tx_0,x_0) \rightarrow 0，即T^{n}x_0是一个柯西序列，因此存在\lim_{n \rightarrow \infty}T^{n}x_0 = x^{*}。
压缩映射原理条件
压缩映射原理条件压缩映射原理通常是在度量空间上讨论的。
度量空间是一个完备的空间，其中有一个度量（或距离）函数来度量空间中的两个点之间的距离。
我们假设这个度量空间是实数集或复数集的子集，并用$d(x,y)$表示空间中两个点$x$和$y$之间的距离。
在一个度量空间上，如果有一个映射$f: X \to X$，则我们称它为一个自映射。
如果对于所有的$x$和$y$，满足$d(f(x), f(y)) \leq k\cdot d(x, y)$，其中$k \in (0,1)$，我们称映射$f$为一个压缩映射。
而压缩映射原理则是指出，如果一个自映射$f$是一个压缩映射，则存在唯一的$x^*$使得$f(x^*) = x^*$，即$f$有一个不动点。
接下来，我们来详细讨论一下压缩映射原理的条件。
首先，要证明一个映射$f$是一个压缩映射，需要满足$d(f(x), f(y)) \leq k \cdot d(x, y)$对于所有的$x$和$y$成立。
这个条件保证了映射$f$的两个点之间的距离在映射后会变得更小，即压缩了。
其次，要应用压缩映射原理，首先需要证明度量空间$X$是一个完备的度量空间。
一个度量空间是完备的，当且仅当它的柯西序列有一个收敛限，即对于任意一个柯西序列$\{x_n\}$，存在一个极限$x^*$，使得$d(x_n, x^*) \to 0$当$n$趋向于无穷大时成立。
最后，映射$f$的定义域$X$需要是一个非空的，完备的度量空间。
这是因为压缩映射原理是在度量空间上讨论的，而且完备性是保证原理的有效性的重要条件。
总结起来，压缩映射原理的条件包括：自映射$f: X \to X$是一个压缩映射，度量空间$X$是一个非空的，完备的度量空间。
满足这些条件后，压缩映射原理保证了压缩映射$f$存在一个不动点。
应用压缩映射原理可以解决一些实际问题，例如计算数学中的迭代法。
在迭代法中，我们可以将问题的求解过程看作一个自映射，然后通过证明这个自映射是一个压缩映射，从而求解方程的解或问题的极限。
压缩映射原理及其应用
压缩映射原理及其应用摘要：压缩映射原理对泛函分析理论的发展起着重要的作用，本文介绍了压缩映像原理的证明，并在此基础上阐释了该原理在解决数列收敛、隐函数存在、微分方程解的唯一存在性三方面的应用。
关键词：压缩映射度量空间收敛存在性唯一性引言压缩映射原理就是解决某类映射不动点的存在性和唯一性的问题，这些不动点可以由迭代序列求出。
我们首先会介绍压缩映射原理（亦被称为Banach），在此基础上，会进一步介绍利用压缩映射原理求解数学分析中数列的收敛性、隐函数存在性、微分方程解的存在唯一性的问题。
1. 定义1.1.压缩映射1.1.1.设T是度量空间X到X中的映射，如果对任意的，都有（00，存在正整数N=N（），当n，m>N时有，再证x是不动点即，最后证明该点的唯一性即设有使得）任取x0 ，令x1=T x0，x2=T x1，… ，xn=T xn-1先考虑相邻两点的距离再考虑任意两点间的距离n>m0< <1是Cauchy点列X是完备度量空间，使得x是不动点若还有，使得则0< <1不动点存在且唯一3. 压缩映像原理的应用3.1.数列收敛性3.1.1.定理设是上的一个压缩系数为k（0<k<1）的压缩映像。
，，n=1，2，…，则数列一定收敛。
证明：（利用压缩映像的定义），n，（，）取，n，数列收敛3.1.2.例题3.1.2.1.设，，n=1，2，…证明数列收敛。
证明：显然，是压缩映像由压缩映像原理知收敛3.1.2.2.设，，n=1，2，…证明数列收敛.证明：是压缩映像由压缩映像原理知收敛3.2.隐函数存在定理设在带状区域上处处连续，处处有关于y的偏导数，且如果存在常数m，M，适合，则方程=0在闭区间上有唯一的连续函数，使得证明：（思路：空间映射压缩定理）在中考虑映射，对任意，由连续函数的运算性质有T是到的一个映射任取，，由微分中值定理，存在0< <1，使得，令则0< <1，，0< <1映照T是压缩的由Banach压缩映射原理，上有唯一的不动点使得显然这个不动点适合3.3.微分方程解的存在唯一性定理设在矩形连续，设，，又在R上关于x满足Lipschitz条件（即存在常数k，使得对任意的，有），在区间（）上有唯一的满足初始条件的连续函数解.证明：（思路同隐函数存在定理）设表示在区间上的连续函数全体，对成完备度量空间。
数学毕业论文压缩映射
题目：压缩映射原理及应用压缩映射原理是泛函分析一个最常用、最简单的存在性定理。
它不仅论证了不动点的存在性和唯一性，同时也给出了求不动点的方法——逐次逼近法。
即在完备的度量空间中，完备的度量空间中，通过构造一个映射，通过构造一个映射，通过构造一个映射，利用逐次逼近的方法，利用逐次逼近的方法，利用逐次逼近的方法，使其满足压缩映使其满足压缩映射原理的条件。
用它可以处理数学某些方面应用具体实例，对难以用传统方法解决的问题有重要的理论意义。
决的问题有重要的理论意义。
不动点理论一个发展方向是只限于欧氏空间多面体上的映射不动点理论一个发展方向是只限于欧氏空间多面体上的映射. 1909 . 1909 年, 荷兰数学家布劳维创立了不动点理论兰数学家布劳维创立了不动点理论. . 在此基础上在此基础上, ,不动点定理有了进一步的发展, 并产生了用迭代法求不动点的迭代思想并产生了用迭代法求不动点的迭代思想. . 美国数学家莱布尼茨在1923 年发现了更为深刻的不动点理论发现了更为深刻的不动点理论, , 称为莱布尼茨不动点理论称为莱布尼茨不动点理论. 1927 . 1927年, 丹麦数学家尼尔森研家尼尔森研 究不动点个数问题究不动点个数问题, , 并提出了尼尔森数的概念并提出了尼尔森数的概念. .我国数学家江泽涵、姜伯驹、石根华等人则大大推广了可计算涵、姜伯驹、石根华等人则大大推广了可计算 尼森数的情形尼森数的情形, ,并得出了莱布尼茨不动点理论的逆定理茨不动点理论的逆定理. .不动点理论的另一个发展方向是不限于欧氏空间中多面体上的映射, 而考察一般的距离空间或线性拓扑空间上的不动点问题察一般的距离空间或线性拓扑空间上的不动点问题. .最后给出结果的是波兰数学家巴拿赫学家巴拿赫((Banach ), 他于1922 年提出的压缩映像原理发展了迭代思想年提出的压缩映像原理发展了迭代思想, , 并给出了Banach 不动点定理不动点定理. . 这一定理有着及其广泛的应用这一定理有着及其广泛的应用, ,像代数方程、微分方程、积分方程、隐函数理论等中的许多存在性与唯一性问题均可以归结为此定理的推论理的推论。
数列压缩映射原理证明
压缩映射原理证明
一个实数与一个复数的代数表示式称为一维的，或者说一个实数可以表示为两个复数的线性组合，而一个复数可以表示为一个实数与两个复数的线性组合。
对这个问题有一种一般的解决方法，这就是将这个问题转化为一个有限制条件的线性方程组问题。
这个解有严格的数学形式，所以可以用数值计算方法来求解。
这里我们要讨论一个重要的概念——压缩映射原理，即在有限维空间中，对任何实数x,y,z都
可以构造出一个由全体实数组成的线性方程组（记为xy）。
如果我们在这个线性方程组中使用线性代数中的方法（即求导）来解出y=x^2+2xy+z（其中x,y分别为实数和虚数），那么这个方程组就是一维的。
但如果我们将x^2+2xy+z这样一个实数序列展开成一个有限维空间中的线性空间，那么这个方程组就是一维的了。
第二是它可以给出一种数值计算方法来解决这个问题。
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连续函数压缩映射问题的讨论摘要本文从课本上一个例题出发引出不动点原理，首先介绍了不动点原理在数学分析课程中的重要应用如数列极限问题等，并指出了应用不动点原理时所使用的技巧和方法.。
其次给出其在方程组求解，数学建模来等方面的例子说明不动点原理的广泛应用，以及其在范函分析中更加一般的形式。
最后通过介绍其在图像处理，导航系统及经济领域的应用来阐明创新思想的重要性，进一步开拓学生的思路,让学生有更多的想像空间。
关键字：不动点; 连续函数; 函数方程; 数列极限；应用引言：在数学分析中,我们会遇到证明某些函数方程在指定的区间内有实根,或判定某些递推数列存在极限等问题，下例便是一个比较典型的：例1 设)(x f y =把区间],[b a 映射成],[b a ,并且存在10<<q ,使得对于任意],[,21b a x x ∈,有2121)()(x x q x f x f -≤-,则(1) ],[b a 内存在唯一的不动点*x ,满足)(**x f x =;(2) 对任意初始值],[0b a x ∈,迭代序列)(1n n x f x =+收敛于*x ; (3) 01***11,x x q q x x x x q x x nn n n --≤--≤-+. 证明：(1) 存在性：由条件2121)()(x x q x f x f -≤-知函数在],[b a 上连续。
构造函数x x f x g -=)()(显然它也在],[b a 上连续，且满足：0)()(≥-=a a f a g ，0)()(≤-=b b f b g 。
由连续函数的介值性定理知必存在一点],[*b a x ∈满足0)(*=x g 即**)(x x f =。
唯一性：假设存在两点21,x x 满足：11)(x x f =，22)(x x f =，则由已知条件有21212121)()(x x x x q x f x f x x -<-≤-=-. 矛盾.(2) *1*12***1)()(x x q x x q x x q x f x f x x n n n n n -≤≤-≤-≤-=--+ ,由10<<q 知 *lim x x n n =∞→. (3)由 0121211)()(x x q x x q x x q x f x f x x nn n n n n n n n -≤≤-≤-≤-=----+知 01111)(x x q q x x x x x x n p n n n p n p n n p n -++≤-++-≤--++-+++q q q p n n --=-+11，两端令∞→p 即得01*1x x qq x x n n --≤-。
这个结论就是著名的不定点理论，也成为压缩映射原理。
例题不仅给出了收敛条件,而且还给出了收敛误差的估计.可以看出,q 越小收敛越快。
一、 不动点定理在求数列极限中的应用由例一我们可以得到如下推论：推论1：对数列}{n x 若存在常数10:<<r r ,使得对任意的n 都有11-+-≤-n n n n x x r x x ，则}{n x 收敛。
推论2：对数列}{n x 若存在常数10:<<r r ,使得112-++-≤-n n n n x x r x x ，则}{n x 收敛。
证明: 由,||,||12122201212x x r x x x x r x x k k k k k k -≤--≤-+++ 知},max{,1201][1x x x x M M r x x k n n --=≤-+,所以}{n x 是基本列,从而收敛. 下面我们看一下不动点定理在求数列极限中的应用。
例2.设],1,0[,21∈=a a x 2221--=n n x a x ，求证数列}{n x 收敛并求极限。
证明 ：易知20a x n ≤≤，我们在区间]2,0[a 上考虑函数22)(2x a x f -=，对任意的]2,0[,21a x x ∈有，21212121221)()(x x a x x x x x f x f -≤+-=-，即)(x f 是]2,0[a 上的压缩映像，从而}{n x 收敛于方程的解.设2220x a x -=得110-+=a x 。
例3. 设nn x x x 11,010+=>+,求证}{n x 收敛并求其极限. 证明:显然有1>n x ,),2,1(3221111,211121 ==+≥+=≤+=+++n x x x x n n n n ),5,4()32()11()11(111 =-≤--+=---+n x x x x x x n n n n n n 根据推论2知}{n x 收敛，再由1>n x 易知其极限为215+=A . 一般地，对于一个数列，在给出数列的递推公式的情况下， 通常需要求数列的通项公式，下面介绍用不动点法求通项公式的递推数列，首先我们给出如下定理：定理1：若数列}{n a 满足)1,(1≠+=+A B A B Aa a n n 为非零常数且，若其递推函数B Ax x f +=)(有不动点AB x -=10，则数列}{0x a n -是以A 为公比的等比数列。
证明：由0x 为不动点知B Ax x +=00，所以有A x aB Ax B Aa x a x B Aa x a x a n n n n n n =--++=--+=--+0000001. 显然结论成立。
例4. 数列}{n a 满足2,32,111≥+==+n a a a n n 求数列通项。
解： 其递推函数为32)(+=x x f 解得不动点3-=x .由}3{+n a 为公比为2的等比数列,且其首项为4,所以}{n a 通项为321-=+n n a .当函数)(x f 在],[b a 上可导时，根据微分中值定理我们有如下结论：推论3：若函数)(x f 在],[b a 上可导且1)('<x f ，)(x f 是一个压缩映射。
证明：对任意的],[,b a y x ∈当y x ≠时都有，y x y x f y f x f -<-=-)(')()(ξ， 则显然)(x f 是一个压缩映像。
例5. 设)(21,,011n n n x a x x a x a +=≥>+，证明}{n x 收敛并求其极限. 证明： 设a x x a x x f ≥+=),(21)(，则易知),,[)),([∞+⊂∞+a a f 且121121)('2<≤-=x a x f ，所以)(x f 有唯一不动点0x ，易的a x =0。
所以}{n x 极限为a .二、 不动点定理在数学模型中的应用如果函数)(x f 在],[b a 是一个连续函数，则根据连续函数的介值性定理可知：推论4.若函数)(x f 在],[b a 连续且满足],[]),([b a b a f ⊂，则)(x f 在],[b a 至少有一个不动点。
例 6. 日常生活中会有这样的体验：把椅子放在不平的地面上时通常三条腿着地放不稳，但是稍微挪动几次就可以使四条腿着地而放平稳。
现我们把该现象建模为一个数学问题，通过不动点定理来进行解释。
解：模型假设：（1）椅子四条腿长度一样，与地面接触为一点，且四点连线为正方形。
（2）地面高度连续变化。
（3）椅子在任何位置都有三只腿着地。
（4）椅子转动时中心不变。
模型建立及求解：设着地点为D C B A ,,,建立如图坐标系，设θ为AC 转动后和x 轴夹角，显然]4,4[ππθ-∈，)(θf 为A ，C 两点于地面距离之和，)(θg 为B ，D 两点于地面距离之和。
由地面平坦假设知)(θf ，)(θg 均连续。
由 椅子至少三条腿着地知对任意θ，)(θf ，)(θg 至少有一个为零。
若在初始位置4πθ-=，时有0)(=θg ，.0)(<θf 则4πθ=时必有0)(<θg ，.0)(=θf数学问题为：寻找一个0θ使得)()()(θθθg f h -=等于零。
显然4)4(0)4(4ππππ<<<-<-h h ，由不动点定理知必存在0θ使 0)()()(000=-=θθθg f h 即)()(00θθg f =三、不动点定理在方程求解中的应用对于一般的n 次代数方程0332210=+++++n n x a x a x a x a a ，根据代数基本定理我们知道它有n 个根，而且对于数值的一元二次方程我们还有其求根公式，但是当5≥n 求根公式不再存在。
另一类超越方程例如著名的Kepler 方程:b x x =-sin ε它不存在求解公式。
对于非线性方程0)(=x f （1）一般都不存在求根公式，故没有直接求法，对于这些方程都要使用迭代法来求解。
不动点迭代法就是期中的重要方法。
首先将方程（1）改写成)(x x ϕ= （2）要求解满足（1）的根*x ，即求解（2）的不动点*x 。
选择一个初始值0x ，将它带入（2）中得到迭代序列 ,2,1),(1==+n x x n n ϕ如果函数ϕ满足压缩映射的条件，则根据定理可知*lim x x n n =∞→。
不动点迭代的过程如图所示：方程)(x x ϕ=求根问题就是确定曲线)(x y ϕ=和直线x y =的交点。
迭代过程就是沿图示肩头所示方向不断寻找的过程。
在实际计算当中肯定不能取到无穷，那么如何来判断是否达到不定点，即收敛速度？例1中的结论不但告诉了我们收敛的条件，而且告诉了我们收敛的速度。
例 7. 求方程 01)(3=--=x x x f 在5.1=x 附近的根。
解：建立迭代方程 31+=x x 建立迭代序列 ,2,1,131=+=+n x x n n 此时31)(+=x x ϕ，32)1(31)('+=x x ϕ在区间]2,1[满足收敛条件。
从表中可以看出若取六位数字，7x 和8x 已经相同可以认为已经是不动点了，即方程的根。
若取迭代格式13-=x x 和5.10=x 则375.21=x ，39.122=x 不收敛。
因为此时23)('x x =ϕ，当]2,1[∈x 时，1)('>x ϕ不满足收敛条件。
当非线性方程0)(=x f 不太容易写成迭代格式的时候，如果)(x f 在其根附件可微，我们可有))((')()(k k k x x x f x f x f -+=则易得迭代公式,2,1,)(')(1=-=+n x f x f x x n n n n 这就是著名的牛顿法。
如果把导数)('x f 用其他的近似来代替则可得到其他的迭代方法如牛顿下山法，弦截法，抛物线法等，但其本质都是不动点迭代。