毕业设计106 数字信号处理基础

3 数字信号处理
动态应变产生的原因有载荷随时间变化，也有因构件运动，按动态应变随时间变化的性质可分为确定性和非确定性两类。

对动态应变信号进行数据分析要分析其频谱，从频域的角度来反映和揭示信号的变化规律。

将信号的时域描述通过数学处理变换为频域分析的方法称为频谱分析。

根据信号的性质及变换方法的不同，可以表示为幅值相位谱、功率谱、幅值密度谱、能量谱密度以及功率谱密度。

频谱是人们认识信号最重要的手段之一，根据频谱的组成，人们很容易抓住信号与系统的特征，据此可以有效地对信号进行分析、处理、合成以及设计特定的系统。

傅立叶变换和信号的采样是进行动态应变信号分析时用到的最基本的技术，只有将被测信号先进行采样，然后才能对信号进行下一步的分析与处理。

3.1 信号的采样[15-17]
用计算机对信号进行分析处理，由于许多信号都是连续变化的模拟量，而计算机只能识别和处理离散型的数字量，所以必须建立模拟量转换为数字量的装置，才能发挥计算机的一系列性能。

把连续的时间信号转换为离散的数字信号的过程称为模/数（D A /）转换过程，这是数字信号分析的必要过程。

D A /转换过程包括采样、量化和编码，其工作原理如图3.1所示。

图3.1 A/D 转换过程
Fig.3.1 Conversion process of A/D
信号)(t x 经过上述变换后，变成为时间上离散，幅值上量化的数字信号，通过接口电路输入计算机，这样，计算机才能进行进一步的处理。

1101
（1）采样过程
采样，又称为抽样，是利用采样脉冲序列)(t p ，从连续时间信号)(t x 中抽取一系列离散样值，使之成为采样信号)(t n x ∆的过程，其中，△t 称为采样周期，
s f t =∆/1称为采样频率，n=0,1,2, …。

则采样信号为：
)()()(t p t x t x s = (3.1)
设)()]([ωX t x F =， )()]([ωP t p F = 那么根据时域相乘频域卷积定理，有
)(*)(21)(ωωπ
ωP X X s = (3.2)
又因为采样脉冲序列是一个周期函数，所以
)(2)(s n n C P ωωδπω-=∑∞
∞- (3.3)
C n 为p(t)的傅立叶系数。

当p(t)为脉冲序列时，有
t T C s n ∆==1 (3.4)
所以，采样信号的频谱为
)()(s n s n X C X ωωω-=∑∞
∞-
=)(1s n
s
n X C
T ωω-∑∞
∞
- (3.5)
可见，信号在时域的离散化导致了频域的周期化，采样后信号频谱的变化与信号的最高频率max f 及采样频率s f 之间的关系有关。

（2）采样定理
采样周期s T 决定了采样信号的质量和数量，s T 太小，显然信息不易丢失，但使)(s nT x 的数量增加，占用大量的内存单元，数据处理速度变慢；s T 太大，采集的数据太少，会使某些信号丢失，难以恢复原来的信号，造成失真现象。

因此，选择一个合理的采样频率s s T f /1=就显得十分重要。

采样定理是C.E.Shannon 在1948年提出的,其具体表述为：一个具有有限能量的带限信号)(t x ，其最高频率分量为max f ，则该信号在频域内完全可由一系列时间间隔T 的等于或小于2/max f 的采样点所确定，即
max 2f f s ≥ (3.6)
)(t x
)
(ωX
t
(a )
-ωc 0 ωc
ω
)
(t p )
(ωP
(1)
(ωs )
-T s T s
t (b ) ωs 0
ωs ω )(t x s
-T s T s
t
(c )
-T s T s t (d )
图3.2抽样信号的傅立叶变换
Fig.3.2 Fourier transformation of sampled signal
如图3.2所示，不同的采样频率在频域内有不同的结果，其中图c)为max 2f f s ≥的采样情况,而图d)为max 2f f s <的采样情况。

（3）混淆现象
如果输入的信号不是带限信号或采样频率远小于奈奎斯特频带，则采样以后的采样信号频谱发生改变，出现高、低频成分混淆的现象。

如图3.2所示，c ）为 max 2f f s ≥，满足采样定理，显然周期谱图相互分离；而图d ）所示为max 2f f s <，周期谱图相互重叠，即谱图之间高频与低频部分发生重叠，这将使信号复原时产生频混现象。

解决频率混淆的有效措施是：
1）采样频率以满足采样定义，一般工程中取
max 456.2(f f s ）-≥ (3.7)
2）通过低通滤波器滤掉不必要或不感兴趣的高频成分以防频混的产生，此时的低通滤波器也称为抗混滤波器，如果滤波器的截止频率为c f ，则
）
4-56.2/(s c f f = (3.8)
（4）信号的复原
由上分析知，克服混淆现象的有效办法是采用足够高的采样速率，但是受到硬件的限制，同时测量信号中常常含有噪声，而噪声的带宽比有用的测量信号频率宽得多，如不及时加以抑制，这些噪声成分会反复不断地折叠到有用的频谱中。

从抽样信号频谱)(ωs X 中无失真地选出)(ωX ，必须采用频域矩形窗)(ωH 与
)(ωs X 相乘，即
)()()(ωωωH X X s = (3.9)
实现这一过程地方法是将采样信号)(t x s 通过理想低通滤波器，滤波器地传输函数为)(ωH ，从而再滤波器地输出端得到频谱为)(ωX 的连续信号)(t x 。

① 理论上： )()()(t h t x t x s *=
＝)(sin )(t c t x c c
s ωπ
ω*
()()()[]∑∞
-∞
=-=n s
c
s
c
nT t c nT x ωπ
ωsin (3.10)
式中， )(t h 的带宽为c c ωω~-，信号)(t x 的带宽为m m ωω~-，s T 为采样间隔时间。

② 工程上：将)(t x s 通过截止频率为c ω、放大倍数为s T 的低通滤波器。

（5）量化及量化误差
量化又称幅值量化，把采样信号)(t n x ∆经过舍入的方法变为只有有限个数字的数的过程称为量化。

若信号)(t x 可能出现的最大值为A ，令其分为D 个间隔，则每个间隔长度为
D A R /=，R 称为量化步长或量化增量。

当采样信号)(t n x ∆落在某一小间隔内，
经过舍入方法而变成有限值时，就会产生量化误差。

一般量化增量的大小取决于计算机的位数，其位数越高，量化增量越小，误差也越小。

（6）频率分辨率
当采样时间t ∆为一定时，采样长度T 越长，数据点数N 越多，为了减少计算量，T 不宜过长；但是T 如果过短，则不能反映信号的全貌，因为在作傅立叶变换分析时，频率分辨率f ∆与采样长度T 成反比，即
)/(1/1t N T f ∆==∆ (3.11)
显然需要综合考虑采样频率和采样长度的关系。

一般信号分析中，采样点数N 选M 2，使用较多的是512，1024，2048等。

例如在旋转机械的故障诊断系统中，整周期采样应用较多，设对旋转频率为f 的设备每周期均匀采集m 个点，共采L 个周期，则f f L =∆，这就保证了关键频率的正确对位。

（7）泄露和窗函数
对数字信号进行分析时需要选取合理的窗函数对信号进行截断。

1）泄露现象
设截断区间为（-T ～T ），对于T t >||的)(t x 值为零，故而所得到的谱为近似谱，与实际有一定的差距。

截断实质上是对无限长的信号加一个权函数)(t ω，)(t ω称为窗函数，则被分析的信号变为：
)()()(t t x t x ωω= (3.12)
其傅立叶变换为：
)(*)()(ωωωωW X X = (3.13)
即截断后所得的频谱)(ωωX 是真实频谱)(ωX 与窗谱)(ωW 的卷积。

加窗后的频谱被分散为一个包含主瓣与旁瓣的)(sin t c 函数，显然，真谱被歪曲了，这种现象称为泄露，泄露是影响频谱分析精度的主要因数之一。

2）窗函数及其选用
信号处理过程中，对信号进行傅立叶变换,在实际应用中采用FFT 运算，只能对有限的时域信号进行分析，截断是必然的，而截断必将会引起泄漏现象。

改善泄漏的措施是采用加权技术，即选择合适的窗函数)(t ω进行加权，使旁瓣压低。

研究窗谱形状的基本思想是改善截断处的不连续状态，加窗的作用除了减小泄露以外，在某些场合，还可以抑制噪声，提高频率辩识能力。

评价一个窗函数的性能指标通常有以下几条：
①3dB 带宽B ，它是主瓣归一化的幅值下降到-3dB 时的带宽。

②瓣幅度A(dB)，表示最大旁瓣峰值与主瓣幅值之比。

③旁瓣峰值衰减率D(dB/10倍频)，表示最大旁瓣峰值与相距10倍频处的旁瓣峰值之比。

理想的窗函数)(t ω应具有最小的B 和A ，以及最大的D ，此外，窗函数)(t ω还应是非负的实偶函数，且)(t ω从对称中心开始是非递增的。

对窗函数的基本要求是：窗谱的主瓣要窄且高，以提高分辨率；旁瓣要小，正负交替接近相等，以减小泄露或负谱现象。

工程中实际应用的窗函数有矩形窗、三角窗、汉宁窗、海明窗和高斯窗等，
窗函数的选择，应考虑被分析信号的性质与处理要求。

如果仅要求精确读出主瓣频率，而不考虑幅值精度，则可选用主瓣宽度比较窄而便于分辨的矩形窗，如测量物体的自振频率；如果分析窄带信号，且有较强的干扰噪声，则应选用旁瓣幅度小的窗函数，如汉宁窗和三角窗；汉宁窗旁瓣衰减率为60dB/10倍频，旁瓣峰值降低明显，且主瓣并不因此而十分加宽，因此可有效地抑制泄漏，对随机信号或周期信号可加汉宁窗；冲击和瞬态过程与随机信号或周期信号不同，这些信号是随时间按指数衰减的信号，这时可加矩形窗（适用于冲击过程）或指数衰减窗（适用于衰减振动过程）来提高信噪比。

表3.1列出了几种典型窗函数的性能特点。

表3.1典型窗函数的性能特点
3.2 信号处理的基本方法[16-20]
3.2.1 信号的幅值域分析[16-17]
周期信号幅值分析主要包括：均值、绝对均值、平均功率、有效值、峰值（正峰值或负峰值）、双峰值、某一特定时刻的幅值、幅值随时间的变化关系、峰值因素和波形因素等。

这种分析方法主要用于谐波信号或主要成分为谐波信号的复杂周期信号，对于一般的复杂周期信号，在分析前应先进行滤波处理，得到所需分析的谐波信号。

设周期信号为)(t x ，周期为0T ，其相关的计算表达式如下。

① 均值
均值是信号的直流分量，是信号幅值在分析区间内的算术平均。

其定义为
⎰=0
0)()(1T t x dt t x T m (3.14) 对于长度为N 的数字信号，其均值为：
∑==N
i i
x x
N
m 1
1
(3.15)
② 绝对均值
绝对均值是信号绝对值的算术平均，它反映了交变信号经全波整流后的等效
直流信号，是信号强度的平均。

⎰
=0
)|(||)(|1
T t x dt t x T m (3.16)
长度为N 的数字信号：
||1
1
||∑==N
i i
x x
N
m (3.17)
③ 平均功率（均方值）
对于非衰减的周期信号，其能量积分为无穷大，只能用平均功率来反映能量，这种信号称为功率信号。

⎰
=0
20
)
()(1T t x dt t x P (3.18)
长度为N 的数字信号：
∑==N
i i
x x
N
P 1
21
(3.19)
④ 有效值（均方根值）
⎰
=
20)(1T RMS dt t x T x (3.20)
长度为N 的数字信号：
∑==
N
i i RMS x N x 1
21 (3.21) ⑤ 峰值（单峰值）和双峰值（峰－峰值）
峰值： )m a x (i p x x =，（i=1,2, …,N ） (3.22) 双峰值： )m i n ()m a x (i i p p x x x -=-，（i=1,2, …,N ） (3.23) ⑥ 波形因素（波形指标）和峰值因素（峰值指标）
波形因素为有效值与绝对均值之比，峰值因素为峰值与有效值之比，反映了信号波形形状及特性，在机械设备故障诊断中经常用作诊断依据。

波形因素： |
|x f m x F R M S = (3.24)
峰值因素： R M S
p c x x F = (3.25)
3.2.2 信号的时域分析[16-18]
随机信号为非确定性信号，大多数情况下，所研究的信号为随机信号。

对其分析只能用测量的有限样本进行统计分析，求出参数的估计。

①统计特征分析
随机信号的主要统计特征有：均值、均方值、方差、标准差。

均值估计： ∑==N
i i
x x
N
11ˆμ
(3.26)
均方值估计： ∑==N
i i x x N 121ˆψ
(3.27) 方差估计： 21
2
)ˆ(1ˆx N
i i x N μ
σ
-=∑= (3.28) 标准差： 2ˆˆσσ= (3.29) ②概率密度函数、概率分布函数
随机信号的概率密度函数)(x p 表示瞬时数据落在某指定范围内的概率密度，描述了随机信号在各个时刻的统计特性。

对于样本长度为N 的离散信号，其概率密度函数估计为
x
N N x p
x
∆=)(ˆ (3.30) 其中，x ∆：中心为x 的窄区间宽度
x N ：落在x x ∆±区间内的数据个数
N ：数据长度
概率分布函数估计为
x p F N
i i i
∆=∑=1ˆˆ (3.31) 其中，)(ˆx p
i 为各组区间的概率密度估计，%100)(ˆ⨯∆=x
N N x p i
i 概率密度函数的应用：a)判别原信号中是否含有周期成分，以及周期成分在整个信号中所占的比例；b)可以作为产品设计的重要依据，用于机械零件疲劳寿命的估计和疲劳试验；c)用于机器设备的故障诊断。

③ 相关分析
相关分析不但适用于随机信号，也适用于确定性信号，它描述的是波形的相似程度。

自相关函数描述了同一信号的一个时刻i t 和另一时刻τ+i t 时幅值之间的依赖关系，反映了幅值随时间变化的快慢程度，其定义为
dt t x t x T R i T
i T x )()(1lim )(0
ττ+=⎰∞→ (3.32)
互相关函数描述了一个信号)(t x 在时间i t 和另一个信号)(t y 在时间τ+i t 时的
数据之间的关系，其定义为
dt t y t x T R i T
i T xy )()(1lim )(0
ττ+=⎰∞→ (3.33)
相关函数的应用有：a)利用相关分析探测地下管道泄漏位置；b)相关测速；c)从噪声背景中分离出有用信号，由此可以设计出相关滤波器。

3.2.3 信号的频域分析 [16-21]
本文主要用到的是功率谱密度分析。

功率谱密度函数是在频域中对信号能量或功率分布情况的描述。

功率谱密度函数)(ωx S 有一个非常重要的特性是它与相关函数)(τx R 为傅立叶变换对。

设)(t x 与)(t y 分别为时间历程的信号，根据维纳－辛钦（Wiener-Khinchin ）公式，有
ττωωτd e R S j x x -∞
∞
-⎰=)()( (3.34)
ωωπ
τωτd e S R j x x )(21
)(⎰
∞
∞
-= (3.35)
因为自相关函数是偶函数，所以)(ωx S 是非负实偶函数。

ττωωτd e R S j x x -∞∞
-⎰=)()(定义在所有频域上，一般称为双边谱,但在实际中，用定义在非负频率上的谱更为方便，这种谱称为单边功率谱密度函数)(ωx G ，则
ττωωωτd e R S G j x x x -∞
∞
-⎰==)(2)(2)( （0≥ω） (3.36)
同理可定义两个随机信号之间的互功率谱密度函数，即
ττωωτd e R S j xy xy -∞
∞
-⎰=)()( (3.37)
ωωτωτd e S R j xy xy )(21
)(⎰
∞
∞
-= (3.38)
其中)(ωxy S 为)(t x 与)(t y 的互功率谱密度函数，)(τxy R 为)(t x 与)(t y 的互相关函数，其单边功率谱密度函数为)(ωxy G ，则
ττωωωτd e R S G j xy xy xy -∞
∞-⎰==)(2)(2)( （0≥ω） (3.39)
利用功率谱可以求出系统的频率响应函数，可以剔除干扰信号等。