因式分解法解一元二次方程典型例题教师版

典型例题一

例 用因式分解法解下列方程：

(1)y 2＋7y ＋6＝0； (2)t (2t －1)＝3(2t －1)； (3)(2x －1)(x －1)＝1．

说明：(1)在用因式分解法解一元二次方程时，一般地要把方程整理为一般式，如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积，而右边为零时，则可令每一个一次因式为零，得到两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了．

(2)应用因式分解法解形如(x －a )(x －b )＝c 的方程，其左边是两个一次因式之积，但右边不是零，所以应转化为形如(x －e )(x －f )＝0的形式，这时才有x 1＝e ，x 2＝f ，否则会产生错误，如(3)可能产生如下的错解：

原方程变形为：2x －1＝1或x －1＝1．∴x 1＝1，x 2＝2．

(3)在方程(2)中，为什么方程两边不能同除以(2t －1)，请同学们思考

典型例题二

例 用因式分解法解下列方程

6223362+=+x x x

解：把方程左边因式分解为：

0)23)(32(=-+x x ∴032=+x 或023=-x

∴ 3

2,2321=-=x x 说明: 对于无理数系数的一元二次方程，若左边可分解为一次因式积的形式，均可用因式分解法求出方程的解。

典型例题三

例 用因式分解法解下列方程。

1522+=y y

解: 移项得：01522=--y y 把方程左边因式分解得：0)3)(52(=-+y y

∴052=+y 或

03=-y ∴.3,2521=-=y y 说明: 在用因式分解法解一元二次方程时，一定要注意，把方程整理为一般式，如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积，而右边为零时，则可令每一个一次因式都为零，得到两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了。

典型例题四

例 用因式分解法解下列方程

（1）021362=+-x x ；

（2）0)23(9)12(322=--+x x ；

分析：一元二次方程化为一般形式后，在一般情况下，左边是一个二次三项式，右边是零.二次三项式，通常用因式分解的方法，可以分解成两个一次因式的积，从而可求出方程的根.但有些问题，可直接用因式分解法求解，例如（2）符合平方差公式的结构特征.

解：（1）原方程可变形为

,0)2)(16(=--x x 016=-x 或02=-x ，∴2,6

121==x x . （2）原方程可化为

0)633()332(22=--+x x ，

即 0)633332)(633332(=+-+-++x x x x ， ∴0)363)(6335(=-+-+x x ，∴06335=-+x 或0363=-+x ， ∴321,513221

+=-=x x . 说明：因式分解将二次方程化为一次方程求解，起到了降次的作用.这种化未知为已知的解题思想，是数学中的“化归思想”.事实上，将多元方程组化为一元方程，也是此法.

典型例题五

例 用因式分解法解方程：

（1）03652=--x x ；（2）0)32(3)32(22=---x x ；

（3）0223)222(2=+---x x ；

（4）066)2332(2=++-x y . 解：（1）0)4)(9(=+-x x ，09=-x 或04=+x ..4,921-==∴x x

（2）0)

364)(32(=---x x ，即 0)94)(32(=--x x .∴032=-x 或094=-x ， ∴.4

9,2321==x x （3）[]

0)223()1(=--+x x ，即 01=+x 或0)223(=--x .∴223,121-=-=x x . （4）0)23)(32(=--y y ，即 032=-y 或023=-y ，∴23,3221==y y .

典型例题六

例 解关于x 的方程031120222=-+n mnx x m （0≠m ）

解法一：原方程可变形为

0)34)(5(=+-n mx n mx

05=-n mx 或034=+n mx

∵

0≠m ，∴.43,521m n x m n x -==

填空题

1．方程)2()2(2-=-x x 的根是

2．方程46)1)(3(+=++x x x 的解是

3．方程02)12(3)12(2=++++y y 的解是

答案：1．3221==x x ， 2．212121-=+=x x ， 3．2

3121-=-=y y ，.

解答题

1．用因式分解法解下列方程：

（1）42)2(2+=+x x ； （2）0)3()3(42=---x x x ；

（3）0611102=--x x ； （4）22)1(4)2(9+=-x x 。

（5）02=+x x ；（6）03522=--x x ；

（7）01072=+-x x ；（8）01892=++x x ；

（9）0611102=--x x ；（10）071162=-+x x .

2. 用因式分解法解下列方程：

（1）5)1)(3(=+-x x ；（2）065)4(9)4(142=--+-x x ；

（3）02)2

1(5)21(32=----x x 。

3．用因式分解法解下列关于x 的一元二次方程：

（1）022=-+x k x x ；（2）02222=-+-n m mx x ；

（3）054322=-+m mx x ；（4）018171522=--mx x m )0(≠m ；

（5）0)(222=++-ab x b a abx )0(≠ab

4．用适当的方法解下列方程：

（1）04942=-x ；（2）0942=-x x ；

（3）22=-x x ；（4）62422=-x x ；

（5）012=--x x ；（6）02522=+-x x .