2014年陕西高考理科数学试题及答案( 纯WORD版)

2014年陕西高考数学理科试题
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合2{|0},{|1,}M x x N x x x R =≥=<∈，则M
N = （ ）
.[0,1]A .[0,1)B .(0,1]C .(0,1)D
2.函数()cos(2)6
f x x π
=-
的最小正周期是 （ ）
.
2
A π
.B π .2C π .4D π 3.定积分
1
(2)x
x e dx +⎰的值为 （ ）
.2A e + .1B e + .C e .1D e -
4.根据右边框图，对大于2的整数N ，得出数列的通项公式是 （
.2n Aa n = .2(1)n B a n =-
.2n n C a = 1.2n n D a -=
5.已知底面边长为1则该球的体积为 （ ）
32.
3
A π
.4B π .2C π 4.3D π
6.从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点， 则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（ ）
1.5A
2.5B
3.5C
4.5
D 7.下列函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是（ ）
（A ）()12
f x x = （B ）()3
f x x = （C ）()12x
f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭
（D ）()3x
f x =
8.原命题为“若12,z z 互为共轭复数，则12z z =”，关于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是 （ ）
（A ）真，假，真 （B ）假，假，真 （C ）真，真，假 （D ）假，假，假
9.设样本数据1210,,,x x x 的均值和方差分别为1和4，若i i y x a =+（a 为非零常数， 1,2,
,10i =）
，则12,
10,y y y 的均值和方差分别为 （ ）
（A ）1+,4a （B ）1,4a a ++ （C ）1,4 （D ）1,4+a
10.如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A 的水平距离10千米处下降， 已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则函数的解析式为 （ ）
（A ）313
1255
y x x =
- （B ） （B ）3241255
y x x =- （C ）3
3125
y x x =- （D ）3311255
y x x =-+ 第二部分（共100分）
二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）. 11.已知,lg ,24a x a
==则x =________.
12.若圆C 的半径为1，其圆心与点)0,1(关于直线x y =对称，则圆C 的标准方程为_______. 13. 设2
0π
θ<
<，向量()()1cos cos 2sin ，，，θθθb a
=，若b a //，则=θtan _______.
14. 观察分析下表中的数据：
猜想一般凸多面体中，E V F ，，
所满足的等式是_________. 15.（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）
.A (不等式选做题)设,,,a b m n R ∈，且225,5a b ma nb +=+=的最小值为 .B （几何证明选做题）
如图，ABC ∆中，6BC =，以BC 为直径的半圆分别交,AB AC 于点
,E F ，若2AC AE =,则EF =
.C （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点(2,
)6π
到直线sin()16
π
ρθ-=的距离是 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分） 16. （本小题满分12分）
ABC ∆的内角C B A ，，
所对的边分别为c b a ，，. （I ）若c b a ，，
成等差数列，证明：()C A C A +=+sin 2sin sin ； （II ）若c b a ，，
成等比数列，求B cos 的最小值. 17. （本小题满分12分）
四面体ABCD 及其三视图如图所示，过被AB 的中点E 作平行于AD ，BC 的平面分
别交四面体的棱CA DC BD ，，
于点H G F ，，. （I ）证明：四边形EFGH 是矩形；
（II ）求直线AB 与平面EFGH 夹角θ的正弦值.
18.（本小题满分12分）
在直角坐标系xOy 中，已知点)2,3(),3,2(),1,1(C B A ，点),(y x P 在ABC ∆三边围成的 区域（含边界）上
（Ⅰ）若0PA PB PC ++=，求OP ；
（Ⅱ）设(,)OP mAB nAC m n R =+∈，用y x ,表示n m -，并求n m -的最大值. 19.（本小题满分12分）
在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上 的产量具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：
（Ⅰ）设X 表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X 的分布列；
（Ⅱ）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元 的概率.
20.（本小题满分13分）
如图，曲线C 由上半椭圆22
122:1(0,0)y x C a b y a b
+=>>≥部分抛物线2
2:1(0)C y x
y =-+≤连接而成，12,C C 的公
共点为,
A B ，其中1C 的离心率为2
（Ⅰ）求,a b 的值；
（Ⅱ）过点B 的直线l 与12,C C 分别交于,P Q （均异于 点,A B ），若AP
AQ ⊥，求直线l 的方程.
21.（本小题满分14分） 设函数
()ln(1),()'(),0f x x g x xf x x =+=≥，其中'()f x 是()f x 的导函数.
（Ⅰ）11()(),()(()),n n g x g x g x g g x n N ++==∈，求()n g x 的表达式； （Ⅱ）若
()()f x ag x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；
（Ⅲ）设n N +∈，比较(1)(2)()g g g n +++与()n f n -的大小，并加以证明.
B
C
2014年陕西高考数学（理）试题答案
1-10BBCCDCDBAA
1112、()2
2
11x y +
-=.13.
1
2
.14. 2F E V +-= 15..A .B 3 . .C 1 . 三、16、解：（Ⅰ）证明：∵2a c b +=，∴sin sin 2sin A C B +=，又()sin sin B A C =+，
∴()sin sin 2sin A C A C +=+.
（Ⅱ）∵2
b a
c =， ∴222cos 2a c b B ac
+-=
2221
222a c ac ac ac ac ac +--=≥=. 所以当a c =时，B cos 的最小值为
1
2
. 17.（Ⅰ）证明：∵AD EFGH ∥平面,AD ABD ⊂平面,且ABD
EFGH EF =平面平面，∴A
D E F ∥，
同理AD HG ∥，∴EF HG ∥，由BC EFGH ∥平面同理可得EH FG ∥， ∴四边形EFGH 是平行四边形.由三视图知AD BCD ⊥平面，又
AD EF
∥，∴
E F ⊥平面，EF FG ⊥，90EFG =∠，
所以四边形EFGH 是矩形. （II ）解：取AD 的中点M ，连结， 显然ME BD ∥，MH CD ∥，
MF AB ∥，且1ME MH ==，
MEH EFGH 平面⊥平面，
取EH 的中点N ，连结MN ，则MN EH ⊥，
∴MN
EFGH ⊥平面，则MFN ∠就是MF （即AB ）与平面EFGH 所成的角θ
，
∵三角形MEH 是等腰直角三角形，∴MN =
又12MF AB ==
∴sin MN AFN MF ==∠
即直线AB 与平面EFGH 夹角θ（向量法）建立坐标系如图， 由条件可得，()001A ，，，()200B ，
，，
1102E ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭，，，()100F ，，，()010G ，，，则()2,0,1AB =-10,0,2EF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，
()110FG =-，，，设平面EFGH 的法向量(),,n x y z =，则
1
02
x y z -+=⎧⎪
⎨-=⎪⎩，取()1,1,0n =-，则 sin cos ,55AB n AB n AB n
θ==
=
=18.解：（Ⅰ）如图，取AB 的中点D ，则2PA PB PD +=，∴2PD PC =-， 因此，P 是ABC 的重心，所以，()2,2P ，22OP =（Ⅱ）（Ⅱ）由OP mAB nAC =+，得(,x y
∴22x m n y m n =+⎧⎨=+⎩，∴23
23x y m x y
n -+⎧
=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩
，m n -设z y x =-，
如图，直线z y x =-过点()2,3B 时，z 最大值1，即m n -的最大值为1.
19.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）以题意，X 的值可为：30061000⨯-=5001010004000⨯-=，
()8000.50.40.2P X ==⨯=，()20000.50.60.50.40.5P X ==⨯+⨯=， ()40000.50.60.3P X ==⨯=，
所以X 的分布列为
（Ⅱ）设这3季中至少有2季的利润不少于2000元为事件A ，则
()223
30.80.20.8P A C =⨯
⨯+0.896=. 20.解：（Ⅰ）以题意知，()10A -，，()10B ，，∴1b =
，又c e a ==
，解得2
4a =， ∴2a =，1b =.
（Ⅱ）设直线l 的方程是()
()10y k x k =-≠，
由方程组()()22
1
041y x y y k x ⎧+=⎪≥⎨⎪=-⎩
，得()22224240k x k x k +-+-=，
设()11,P x y ，则212214k x k +=+，2124
4
k x k -=+，
∴1284k y k -=+，22248,44k k P k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭
，4
PA k k =-，∵0y ≥，∴0k <； 由方程组()
()2
1
01y x y y k x ⎧=-+⎪≤⎨=-⎪⎩，得210x k x k +--=，
设()22,Q x y ，则21x k =--，∴222y k k =--，()
2
1,2Q k k k ----，2AQ k k =+，
∵AP
AQ ⊥，∴()421k k -⋅+=-，解得83
k =-，经检验符合题意，
所以直线l 的方程是()8
13y x =--. 21.解：(Ⅰ)∵()11f x x '=+，∴()1x g x x =+，()11x
g x x
=+，
∴()211211x
x
x g x x x x
+==+++，()313x g x x =+，……，所以()1n x g x nx =+；
用数学归纳法证明如下： （1）1n =时结论成立；
（2）假设()1n k k =≥时结论成立，即()1k x
g x kx
=
+，那么 当1n k =+时，()()111111k x
x
kx g x x k x kx
++==+++⋅
+，
即当1n k =+时结论也成立，
因此对任意的n N +∈,()1n x
g x nx
=+成立. (Ⅱ)∵()ln 11ax
x x +≥
+在[)0,+∞内恒成立， 设()()()ln 101ax x x x x
ϕ=+-≥+，则()()
()
2
11x a x x ϕ--'=
+，
若1a ≤，则()'0x ϕ≥恒成立，所以()x ϕ在[)0,+∞内单调递增， ∴()()00x ϕϕ≥=；
若1a >，则在()0,1a -内，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减，可见()()100a ϕϕ-<=，说明在[)0,+∞内，存在x ，使()0x ϕ<，即()ln 11ax
x x
+≥+不恒成立， 所以使()ln 11ax
x x
+≥
+在[)0,+∞内恒成立的a 取值范围是(],1-∞. (Ⅲ)由题设知()()()()12123231
n
g g g g n n ++++=++++，
()()ln 1n f n n n -=-+， 猜想
()12
ln 123
1
n
n n n +++
>-++， 证明：∵上式左边11111
111123123
1n n n ⎛⎫
=-
+-++-
=-+++
⎪++⎝⎭
， ∴上式等价于()111
ln 123
1
n n +++
<++， 在(Ⅱ)中，当1a =时，()()ln 101x
x x x
+>>+，
令1x n =
，则11ln 11n n ⎛⎫+> ⎪+⎝⎭
，即()1ln 1ln 1n n n +->+， 所以 1
ln 2ln12-> 1
ln 3ln 23
->
……
()1
l n 1l n 1n n
n +->+， 叠加得()111
ln 1ln1231
n n +->++++，
即()111
ln 1231n n +++
<++.。