由传递函数求状态方程

& 0 x 1 1 x 1 1 0 x = 0 2 0 x + 1 u & 2 2 x 3 0 0 3 x 3 1 &
x1 y = [3 6 3] x 2 x 3
&1 λ x & x2 = M xn &
1
λ2
…… λn
x 1 x2 M xn
+
1 1 M 1
u
输出方程
n
Y ( s ) = ∑ ci xi ( s )
i =1
n
y(t) = ∑ci xi (t) = [c1c 2 L c n ]
i=1
x1 x2 M xn
拉氏反变换
y = b n 1 Z n 1 + L + b 0 Z
= b n 1 x n ... + b 0 x 1
y = Cx = [b0 b1 x1 x2 L bn 1 ] M xn
例1.4 求其能控标 准型 解：（ 解：（1）解决分母比分子高一阶
S2 + 2S + 2 G (s) = 2 + 3 2S + 4S2 + 6S + 10
其中 x 1 = z 同样
& x2 = z
x n = z n 1
Y(s) = b n 1Sn 1 + b n 2Sn 2 + ... + b1S + b 0 Z(s)
Y(s) = b n 1Sn 1 Z(s) + b n 2Sn 2 Z(s) + ... + b1SZ(s) + b0 Z(s)
1.5
由传递函数求状态方程
一、直接法 n n1 & +a0y =bmum +bm1um1 +...+b0u 1 由 y +an1y +...+a y 在零初始条件下，求拉斯变换：
& t =0, y(0) = y(0) = &&(0) =...= yn(0) y SnY(s) +an1Sn1Y(s) +...+a0Y(s) =bmSmu(s) +...+b0u(s)
b3 = 0 b2 = 1 b1 = 1 b0 = 3
x1 y = [3 1 1] x 2 x 3
Y 二、并联法 (s) = G (s) = u (s)
M (s) (s + λ 1 )(s + λ 2 ) L (s + λ n )
λ i (i = 1,2,L n )
极点
n c1 c2 cn ci =∑ = + +L s + λ1 s + λ 2 s + λ n i =1 s + λi
ci可通过拉氏变换求留数
ci = lim G ( s)( s + λi )
ci Y(s) = ∑ u (s) i =1 s + λ i
n
s → λi
令
1 xi (s) = u(s) s + λi sxi (s) + λi xi (s) = u(s)
& x i = λ i x i + u 反变换： & x 1 = λ 1 x 1 + u & x 2 = λ 2 x 2 + u ... & x n = λ n x n + u
拉氏反变换
Z ( n ) + an 1Z ( n 1) + ... + a0 Z = u & x1 = Z , x2 = z ,..., xn = Z n 1
0 & X =0 M a0
1 1 M a 1
…0 … …0 …
x 0 1 x2 M M ＋0u … an1xn 1
可控标准型
G(s) =Y(s)/U(s) =
Y (s) Z(s) = Z(s) U (s)
(bmS +bm1S
m
m1
(S + an1S
n
n1
Leabharlann Baidu
+...+b0)
+...+ a0)
设n>m n=m+1
Z (s) 1 = n U (s) (S + an1S n1 + ... + a0 ) S nZ (s) + an1S n1Z (s) + ... + a0Z (s) = U (s)
（2）直接应用公式
& 1 0 x 1 0 x1 0 x = 0 &2 0 1 x 2 + 0 u x 3 5 3 2 x 3 1 & x1 1 2 y= 1 x 2 + 2u ( t ) 2 3 x 2
即 y=Cx+Du D为直接矩阵，输入对输出的直接作用 说明：可按能控→ 说明：可按能控→能观的关系，直接写 出能观标准型
特点：n 特点：n个子系统互不相关，都是独立 的，即解耦系统
解耦系统图形
例1.6
Y(s) 6 6 = 3 = 2 u (s) s + 6s + 11s + 6 (s + 1)(s + 2)(s + 3)
展开为部分分式 可知： 状态方程
3 3 6 = + + s +1 s + 2 s + 3
λ 1 = 1, λ 2 = 2 , λ 3 = 3 c 1 = 3, c 2 = 6, c 3 = 3
4S 3 + 9S 2 + 14 S + 23 G (s ) = 2S 3 + 4S 2 + 6S + 10
将分母最高次幂变为1 将分母最高次幂变为1
1 2 3 S +S+ 2 2 = Y(s) G (s) = 2 + 3 2 S + 2S + 3S + 5 u (s) 1 2 3 S +S+ 2 u (s) Y(s) = 2u (s) + 3 2 2 S + 2S + 3S + 5
带导数函数的微分方程，当m<n,m=n带导数函数的微分方程，当m<n,m=n-1时， 例1.5
y = [b0 b L bn1] 1 &y + 2&& + 5 y + y = && + u + 3u && y & u &
1 0 x 1 0 0 & x= 0 0 1 x 2 + 0 u 1 5 2 x 3 1