由传递函数求状态方程
控制系统的状态空间表达式
第一章 控制系统的状态空间表达式Chapter 1 State space representation of control systems本章内容• 状态变量及状态空间表达式 • 状态空间表达式的模拟结构图 • 状态空间表达式的建立(1) • 状态空间表达式的建立(2) • 状态矢量的线性变换 • 由传递函数求状态方程• 由状态空间表达式求传递函数阵 • 离散系统的状态空间表达式• 时变系统和非线性系统的状态空间表达式系统的动态特性由状态变量构成的一阶微分方程组来描述，能同时给出系统全部独立变量的响应，因而能同时确定系统的全部内部运动状态。
1.1 状态变量及状态空间表达式1.1 State space representation of control systems 状态变量 (State variables)状态：表征系统运动的信息和行为状态变量：能完全表示系统运动状态的最小个数的一组变量x 1(t ), x 2(t ), …, x n (t ) 状态向量(State vectors)由状态变量构成的向量 x (t )T 123()(),(),()...()n x t x t x t x t x t =⎡⎤⎣⎦状态空间 (State space) • 以各状态变量x 1(t ),x 2(t ),…… x n (t )为坐标轴组的几维空间。
•状态轨迹：在特定时刻t ，状态向量可用状态空间的一个点来表示，随着时间的推移，x (t )将在状态空间描绘出一条轨迹线。
状态方程 (State equations)• 由系统的状态变量与输入变量之间的关系构成的一阶微分方程组。
例1.1 设有一质量弹簧阻尼系统。
试确定其状态变量和状态方程。
解：系统动态方程2()().()().()()()d yF t ky t f yt m dt my t f yt ky t F t ⎧--=⎪⎨⎪++=⎩ 设1()()y t x t =，2()()yt x t = 12()()............................................(1)1()()()()........(2)x t y t f k x t y t y t F t m m m =⎧⎪⎨=--+⎪⎩12212()()1()()()()xt x t k f x t x t x t F t m m m =⎧⎪⎨=--+⎪⎩1122010()()()1()()xt x t F t f k x t x t m m m ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ＝ 状态方程的标准形式：()()()xt Ax t Bu t =+ （A ：系统矩阵 B ：输入矩阵） 输出方程 (O u t p u t e q u a t i o n )系统的输出量与状态变量之间的关系[]112()()()10 ()x t y t x t x t ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦()()y t Cx t =(C:输出矩阵）状态方程和输出方程的总和即称为状态空间表达式。
由传递函数求状态空间表达式根据前面介绍的微分方程与状态空间
b0sm b1sm1 L bm1s bm sn a1sn1 L an1s an
c1 c2 L cn
s 1 s 2
s n
(n m)
其中：
ci
lim G(s)(s
si
i )
X
1
(s
)
s
1
1
U (s)
X
2
(
s)
s
1
2
U (s)
X
n
(s)
s
1
n
U (s)
分解式第二部分表示状态变量与输出的关系， 输出y等于各状态变量与输入的线性组合，即式中 的C和D阵。
若传递函数等效为：
G(s)
b0
b1s n1 b2 s n1 s n a1s n1
bn1s an1s
bn an
式中
bi (bi aib0 ), (i 1,2, , n)
：
此时，式中的C阵和D阵可直接写成
sX 1(s) 1 X1 (s) U (s)
sX2
(s)
2
X
2 (s) U (s)
sX n (s) n X n (s) U (s)
x1 1x1 u
x2
2 x2
u
xn n xn u
Y (s) G(s)U (s) c1 U (s) c2 U (s) L cn U (s)
sn
a1s n1
b
an1s an
系统的微分方程为：
y (n) a1 y (n1) an1 y an y bu
则根据上节公式，可直接写出状态空间表达 式。即：
0 1 0
0
A
0
,
B , C 1
由传递函数转换成状态空间模型（1）
由传递函数转换成状态空间模型（1）由传递函数转换成状态空间模型——⽅法多 SISO 线性定常系统⾼阶微分⽅程化为状态空间表达式SISO ()()()()()()m n u b u b u b y a y a y a y m m m n n n n ≥+++=++++--- 1102211ΛΛ)(2211110nn n n mm m a s a s a s b s b s b s G +++++++=---ΛΛ假设1+=m n外部描述←—实现问题：有了部结构—→模拟系统部描述SISO +=+=ducx y bu Ax x&实现问题解决有多种⽅法，⽅法不同时结果不同。
⼀、直接分解法因为1011111()()()()()()()()1m m m mn n n nY s Z s Z s Y s U s Z s U s Z s b s b s b s b s a s a s a ----?=?=?++++++++L L ++++=++++=----)()()()()()(1111110s Z a s a s a s s U s Z b s b s b s b s Y n n n n m m m m ΛΛ对上式取拉⽒反变换，则++++=++++=----z a z a za z u zb z b z b z b y n n n n m m m m &Λ&Λ1)1(1)(1)1(1)(0 按下列规律选择状态变量，即设)1(21,,,-===n n z x zx z x Λ&，于是有+----===-u x a x a x a xx x x x n n n n 12113221Λ&M &&写成矩阵形式式中，1-n I 为1-n 阶单位矩阵，把这种标准型中的A 系数阵称之为友阵。
只要系统状态⽅程的系数阵A 和输⼊阵b 具有上式的形式，c 阵的形式可以任意，则称之为能控标准型。
现代控制理论(刘豹)第一章
状态变量
状态向量
状态空间
状态方程
状态：表征 系统运动的信 息和行为 状态变量： 能完全表示系 统运动状态的 最小个数的一 组变量
由状态变量 构成的向量 x1(t) x2(t) : xn(t)
以各状态变量 x1(t),x2(t),…… xn(t)为坐标轴 组成的几维空 间。
S nY ( s ) + an −1S n −1Y ( s ) + ... + a0Y ( s ) = bm S mu ( s ) + ... + b0Y ( s )
(bm S m + bm −1S m −1 + ... + b0 ) Y ( s ) Z ( s ) G ( s) = Y ( s) / U ( s) = = ⋅ n n −1 ( S + an −1S + ... + a0 ) Z ( s) U ( s)
& x3 x3
x2 x1
机电工程系
∫
∫
∫
习题2 习题
已知离散系统的差分方程为
y (k + 2) + 3 y (k + 1) + 2 y (k ) = 2u (k + 1) + 3u (k )
试求系统的状态空间表达式，并画出其模拟结构图。
解：假设初始条件为零，系统微分方程的 Z 变换为：
z 2Y ( z ) + 3 zY ( z ) + 2Y ( z ) = 2sU ( z ) + 3U ( z )
S n Z ( s ) + an −1S n −1Z ( s ) + ... + a0 Z ( s ) = U ( s ) Y ( s ) = bn −1S
传递函数和状态方程互转
传递函数和状态方程互转传递函数和状态方程是用于描述线性时不变系统的两种常见方法。
它们可以互相转换，下面介绍具体的方法。
将传递函数转换为状态方程：1. 将传递函数分子分母展开，得到表达式： Y(s) = b0s^n +b1s^(n-1) + ... + bn / (s^m + a1s^(m-1) + ... + am) 。
2. 将分母因式分解，得到： (s+a1)(s+a2)...(s+am) 。
3. 对每个根对应的项，设一个状态变量： x1 = -a1x1 + u , x2 = -a2x2 + x1 , ... , xm = -amxm + xm-1 。
4. 将状态变量代入传递函数表达式，得到状态方程： Y(s) = b0s^n + b1s^(n-1) + ... + bn [u-sx1-s^2x2-...-s^mxm] 。
5. 对状态方程取拉普拉斯反变换，得到时域表示： y(t) =b0(dx(n)/dt^n) + b1(dx(n-1)/dt^(n-1)) + ... + bn[u(t)-d^(m-1)y(t)/dt^(m-1)-...-d^0y(t)/dt^0] 。
将状态方程转换为传递函数：1. 对状态方程取拉普拉斯变换，得到表达式： Y(s)[s^m + a1s^(m-1) + ... + am] = b0s^nX(s) + b1s^(n-1)X(s) + ... + bnX(s) 。
2. 整理得： Y(s)/X(s) = b0s^n + b1s^(n-1) + ... + bn / (s^m + a1s^(m-1) + ... + am) 。
3.这就是传递函数的表达式。
综上所述，传递函数和状态方程的互转可以通过代数方法进行。
由传递函数求状态方程
带导数函数的微分方程，当m<n,m=n-1时，
例1.5
y b 0b 1 b n 1
y 2 y 5 y y u u 3 u
0 1 0 x1 0 x 0 0 1 x20u
1 5 2x3 1
0
1
x
2
0
u
x 3 5 3 2 x 3 1
y
2 3
1
1 2
x x x
1 2 2
2u
(
t)
即 y=Cx+Du
D为直接矩阵，输入对输出的直接作用
说明：可按能控→能观的关系，直接写 出能观标准型
bn1xn.. .b0x1
x1
yCxb0 b1 bn1x2
xn
例1.4 准型
G(s)42SS3394SS2216S S 4 1203 求其能控标
解：（1）解决分母比分子高一阶
G(s)22S3S 24 S22S 6S210
将分母最高次幂变为1
1.5 由传递函数求状态方程
一、直接法
由 y n a n 1 y n 1 . .a 1 y . a 0 y b m u m b m 1 u m 1 . .b 0 u .
在零初始条件下，求拉斯变换：
t 0 ,y(0 )y (0 ) y (0 ) . .y .n (0 ) S n Y (s) a n 1 S n 1 Y (s) . .a .0 Y (s) b m S m u (s) . .b 0 .u (s)
同样
Y Z ((s s))bn 1 S n 1bn 2S n 2...b1 Sb0
已知传递函数求状态空间表达式
已知传递函数求状态空间表达式在控制系统理论中，常常需要将已知的传递函数转换为状态空间表达式。
这是因为状态空间形式更加直观，便于进行控制器设计和系统分析。
首先，我们需要将传递函数化简为标准形式：$$G(s) = frac{b_0 s^n + b_1 s^{n-1} + cdots + b_{n-1} s + b_n}{s^n + a_1 s^{n-1} + cdots + a_{n-1} s + a_n}$$其中 $n$ 为传递函数的阶数，$b_i$ 和 $a_i$ 是系数。
接下来，我们可以通过状态空间的基本方程来表示传递函数： $$begin{aligned}dot{x} &= Ax + Buy &= Cx + Duend{aligned}$$其中，$x$ 是 $n$ 维状态向量，$u$ 是 $m$ 维输入向量，$y$ 是$p$ 维输出向量。
$A$、$B$、$C$、$D$ 是系数矩阵，它们的维度分别为 $n times n$、$n times m$、$p times n$ 和 $p times m$。
我们可以通过下列步骤获得$A$、$B$、$C$ 和 $D$：1. 首先，将传递函数分解为零极点形式：$$G(s) =kfrac{(s-z_1)(s-z_2)cdots(s-z_n)}{(s-p_1)(s-p_2)cdots(s-p_n )}$$其中，$k$ 是比例系数，$z_i$ 和 $p_i$ 是零点和极点。
2. 利用零极点分解结果，构造传递函数的控制分式表达式：$$G(s) = kfrac{(s-z_1)}{(s-p_1)} cdot frac{(s-z_2)}{(s-p_2)} cdots frac{(s-z_n)}{(s-p_n)}$$3. 对每个控制分式，构造对应的状态空间模型：$$begin{aligned}dot{x_i} &= p_i x_i + uy_i &= z_i x_iend{aligned}$$其中，$i$ 取值为 $1$ 到 $n$。
一阶传递函数转换为状态方程
一阶传递函数转换为状态方程在控制系统理论中，传递函数是描述系统输入与输出之间关系的一种数学模型。
然而，传递函数并不能直接用于描述系统的状态变化。
为了能够更好地理解和分析控制系统的状态，我们需要将传递函数转换为状态方程。
一阶传递函数是一种简单而常见的传递函数形式。
它可以表示为：G(s) = K / (τs + 1)其中，G(s)是传递函数，K是传递函数的增益，τ是系统的时间常数，s是复变量。
要将一阶传递函数转换为状态方程，我们需要引入状态变量和控制器变量。
状态变量是用于描述系统状态的变量，而控制器变量则是用于描述控制器状态的变量。
假设我们有一个一阶传递函数：G(s) = K / (τs + 1)我们可以定义状态变量x和控制器变量u：x = dx/dtu = K * e其中，e是系统输入和系统输出之间的误差。
接下来，我们可以将传递函数转换为状态方程：dx/dt = (1/τ) * x + (1/τ) * u根据控制理论中的状态空间表达式，我们可以将状态方程写为矩阵形式：dx/dt = Ax + Bu其中，A是状态矩阵，B是输入矩阵。
对于一阶传递函数，状态矩阵A和输入矩阵B可以表示为：A = -1/τB = 1/τ通过将传递函数转换为状态方程，我们可以更好地理解和分析控制系统的状态变化。
状态方程能够提供关于系统状态随时间变化的信息，帮助我们设计和调节控制器，以达到期望的控制效果。
需要注意的是，在实际应用中，我们可能会遇到更复杂的控制系统和传递函数形式。
对于高阶传递函数，我们可以使用类似的方法将其转换为状态方程。
通过掌握传递函数与状态方程之间的转换关系，我们能够更好地理解控制系统的行为，提高系统的稳定性和性能。
总结起来，将一阶传递函数转换为状态方程是控制系统理论中的基础操作之一。
通过引入状态变量和控制器变量，我们可以将传递函数转换为描述系统状态变化的状态方程。
这样做可以更好地理解和分析控制系统的状态，并帮助我们设计和调节控制器，以达到期望的控制效果。
状态、状态变量、状态空间、状态方程和动态方程
如式(2-2)所示。
其中,G=(g1,g2,…,gm ),G 是一个函数矢量。
第2章 状态空间分析法
在现代控制理论中,用系统的状态方程和输出方程来描
述系统的动态行为,状态方程和输出方程合起来称作系统的
状态空间表达式或动态方程。
根据函数向量F 和G 的不同情况,一般控制系统可以分
取每个积分器的输出端信号为状态变量x1 和x2,积分器的输
入端即ሶ 1 和ሶ 2,从图可得系统状态方程:
第2章 状态空间分析法
第2章 状态空间分析法
例2-6 求如图2-10(a)所示系统的动态方程。
图2-10 方块图
第2章 状态空间分析法
第2章 状态空间分析法
第2章 状态空间分析法
2.4 由系统的微分方程或传递函数求其动态方程
第2章 状态空间分析法
第2章 状态空间分析法
第2章 状态空间分析法
例2-2-电路如图2-6所示。以ei 作为系统的控制输入u(t),
eo 作为系统输出y(t)。建立系统的动态方程。
图2-6 RLC 电路
第2章 状态空间分析法
解 该RLC 电路有两个独立的储能元件L 和C,我们可以
取电容C 两端电压和流过电感L 的电流作为系统的两个状态
性,因此会产生一定程度上的结构差异,这也会导致动态方程
差异的产生;从系统微分方程或传递函数出发的系统实现问
题,更是会导致迥然不同的系统内部结构的产生,因而也产生
了不同的动态方程。所以说系统动态方程是不唯一的。
第2章 状态空间分析法
例如图2-11所示的传递函数的直接法实现,按照图上所
示各状态变量的取法,我们有式(2-24)所示动态方程。如果将
matlab根据传递函数矩阵求状态空间方程
MATLAB根据传递函数矩阵求状态空间方程在探讨MATLAB如何根据传递函数矩阵求状态空间方程之前，首先需要了解传递函数和状态空间方程的概念。
传递函数是描述线性时不变系统输入与输出之间关系的数学方法，通常用于描述信号处理、控制系统等领域中的系统行为。
而状态空间方程则是另一种描述系统动态行为的方法，它能够全面描述系统的状态随时间的变化。
在工程领域中，状态空间方程常常用于分析系统的稳定性、控制系统的设计等问题。
在MATLAB中，我们可以利用控制工具箱提供的函数来求解传递函数矩阵对应的状态空间方程。
我们需要用tf函数将传递函数表示为MATLAB中的传递函数对象，然后利用ss函数将传递函数对象转化为状态空间对象，从而得到对应的状态空间方程。
接下来，我们以一个具体的例子来演示MATLAB如何根据传递函数矩阵求状态空间方程。
假设有如下传递函数矩阵：\[ G(s) = \begin{bmatrix} \frac{2s+1}{s^2+3s+2} &\frac{3s+2}{s^2+s+1} \\ \frac{s+1}{s^2+2s+1} &\frac{4s+1}{s^2+4s+3} \end{bmatrix} \]我们希望利用MATLAB求解对应的状态空间方程。
我们可以利用tf函数将传递函数矩阵表示为MATLAB中的传递函数对象：```matlabnum = {[2 1; 3 2]; [1 1; 4 1]}; % 分子矩阵den = {[1 3 2; 1 1 1]; [1 2 1; 1 4 3]}; % 分母矩阵G = tf(num,den);```接下来，我们可以利用ss函数将传递函数对象转化为状态空间对象：```matlabsys = ss(G);```通过以上步骤，我们就可以得到对应的状态空间方程。
值得注意的是，状态空间方程通常表示为如下形式：\[ \dot{x} = Ax + Bu \]\[ y = Cx + Du \]其中，\[ A \]、\[ B \]、\[ C \]、\[ D \] 分别是状态方程的系数矩阵，\[ x \] 是系统的状态向量，\[ u \] 是系统的输入向量，\[ y \] 是系统的输出向量。
现代控制理论课后题答案(第二章-第六章)
1
R R2C1 1 1 1 1 x1 x2 u1 x R1 R2C1 R2C1 R2C1 1 1 1 2 x1 x2 u1 x R2C2 R2C2 R2C2 y u2 u1 x1
即:
R1 R2C1 1 R1 R2C1 x x 2 1 R2C2
x2
u
R1
R3
y
R2
图 P2.8 RL 电网络
解 采用机理分析法求状态空间表达式。由电路原理可得到如下微分方程
2 x1 x2 R3 R2 x2 L2 x
1 x1 x2 R3 u x1 L1 x / R1
y x1 x2 R3
(2) 解 采用拉氏变换法求取状态空间表达式。对微分方程 (2)在零初试条件 下取拉氏变换得：
2s 3Y ( s ) 3sY ( s ) s 2U ( s ) U ( s ) 1 2 1 s Y (s) s 1 2 2 U ( s ) 2s 3 3s s 3 3 s 2
dy1 dy ， x4 2 。 dt dt
3 Kx1 B1 M1 x
2
d ( x2 x1 ) dt
对 M 2 有：
4 f (t ) B M2x
经整理得：
1
d ( x2 x 1) dx B 2 dt dt
2
状态方程为：
1 x3 x x 2 x4 B B K 3 x1 1 x3 1 x4 x M1 M1 M1 B B B 1 4 1 x3 ( 1 2 ) x4 u x M2 M2 M2 M2
1 1 R2C1 x1 R2C1 u1 x2 1 1 R C R2C2 2 2
可首先把传递函数变成微分方程
nm
式中 bi (i 0,1, m) 是任意，，常系数。同样按以
上方法C阵可以写成
C bm bm1 b0 b0 0 0
此时，输出仅是状态变量的线性组合，与输入 无直接关系。
例：已知系统的传递函数
G(s)
2s 1
(s 1)(s 2)(s 4)
试按能控标准形实现写出状态空间表达式。
a1 0 ,B
0
1
C bn anb0 bn1 an1b0 b1 a1b0 , D b0
从传递函数的角度分析，这实际上是一种分 子与分母直接分离分解法。设中间变量，可得：
Y(s) Z(s) Y(s) U (s) U (s) Z(s)
按简化公式可得：
0 1 A 6 5
0 B 1
，
C b1 b2 5 3
D 1
一般情况下，系统输出的阶次高于输入的阶
次，则 b0=0, 传递函数为严格真有理分式形式，
即
G(s)
b0 s m b1s m1 bm1s bm s n a1s n1 an1s an
：
此时，式中的C阵和D阵可直接写成
C bn bn1 b1 , D b0
由此画出的系统计算机模拟图如图所示。
能控标准形实现模拟图
例: 已知系统的传递函数：
G(s) s2 2s 1 s2 5s 6
试按能控标准形实现写出状态空间表达式。
解：由公式写出能控标准形为：
G(s)
Y (s) U (s)
b0sm b1sm1 L bm1s bm sn a1sn1 L an1s an
传递函数到状态空间方程
传递函数到状态空间方程传递函数和状态空间方程是控制工程中的两个重要概念，传递函数通过输入输出信号之间的关系描述系统的动态特性，而状态空间方程则是通过描述系统的状态和状态变化来描述系统的行为。
在某些情况下，需要将传递函数表示为状态空间方程的形式，以便更方便地进行系统分析和控制设计。
要将传递函数转换为状态空间方程，首先需要确定系统的状态变量和输入输出变量。
状态变量是描述系统动态特性的内部变量，通常是系统的未知变量，可以通过测量输出信号来估计。
例如，机械系统的状态变量可以是位置、速度和加速度。
输入输出变量是系统的已知变量，输入变量是控制器向系统输入的信号，输出变量是从系统输出的信号。
例如，机械系统的输入变量可以是轴向力和扭矩，输出变量可以是位置传感器和速度传感器测量的信号。
假设传递函数为G(s)，表示输出y与输入u之间的关系。
则根据控制理论，传递函数可以表示为状态空间方程的形式。
首先，将传递函数G(s)表示为分子多项式和分母多项式的比值形式。
G(s) = Y(s) / U(s) = b0 + b1s + b2s^2 + ... / a0 + a1s + a2s^2+ ...然后，将传递函数拆分为几个单元，并确定每个单元的状态空间方程形式。
常见的单元包括一阶系统、二阶系统、零阶系统和常数项。
一阶系统的传递函数为：G(s) = K / (T*s + 1)其中K代表系统的增益，T代表系统的时常常数。
将其表示为状态空间方程为：ẋ = -1/T * x + 1/T * uy = K * x其中x为状态变量，y为输出变量，u为输入变量。
ẋ表示状态变量的一阶微分，即状态变量随时间的变化率。
二阶系统的传递函数为：G(s) = K / (T1 * T2 * s^2 + (T1 + T2) * s + 1)其中K代表系统的增益，T1和T2代表系统的两个时常常数。
将其表示为状态空间方程为：ẋ1 = -1/T1 * x1 - (1/(T1 * T2)) * x2 + 1/T1 * uẋ2 = x1y = K * [1 0] * [x1; x2]其中x1和x2为状态变量，y为输出变量，u为输入变量。
由传递函数转换成状态空间模型1
X n =_a n X ia n 4X 2-a 1X n u由传递函数转换成状态空间模型一一方法多！!!SISO 线性定常系统高阶微分方程化为状态空间表达式SISOy (n j+a y D+azy W )+…+a n y =b 0u 俨)+b 1u (m _L )+…+b m u(n ^m )b °s mb,sm 4s nys n」 a 2s n^ ■ a n外部描述＜实现问题：有了内部结构一-模拟系统 内部描述‘X = Ax +bu y =cx+ du实现冋题解决有多种方法，方法不同时结果不同直接分解法 因为Y(s) Z(s) _ Z(s) Y(s) U(s) Z(s) U(s) Z(s)n―1b )s m bs m bmQ ss ys 亠 亠a n 」s a n:丫(s) =(b °s m +bs m '+…+b m 」s + b m )Z(s)iU (s) = (s n+a 1s n，十■八 +a n/S + a n)Z(s)对上式取拉氏反变换，则jy =b o Z (m)+32^)+…+b m'Z + b m Z<(n )丄(n 4) I ■ ■ ■.u=z +az ++a n 』z+a n zX 2 = X 3G(s)二SISO按下列规律选择状态变量,即设x 1 二 z, X 2 二乙 ,X n(nd),于是有_x ；l - 0ir x j 「0] X 2■01—4y 二[b 2 b 1 b °] X 2 =[30] f uX 1X ；式中，|心为n -1 A 系数阵称之为友阵。
只要系统状态方程的系数阵 A 和输入阵b 具有上式的形式，c 阵的形式可以任意, 则称之为能控标准型。
则输出方程y 二 b °X n b i X n 」b m 」X 2 b m X i写成矩阵形式_X L IX 2y = [b m b m」b 1 b 0 ]'X n 」」n 一分析A,b,c 阵的构成与传递函数系数的关系。
已知传递函数求状态空间表达式
已知传递函数求状态空间表达式
在控制系统中，状态空间模型是一种常用的描述系统动态特性的方法。
然而，在实际应用中，有时候我们只能获取到系统的传递函数，而无法直接得到状态空间表达式。
那么，如何根据已知的传递函数求解状态空间表达式呢？
首先，我们需要将传递函数转换为特征方程的形式。
对于一个一阶系统，其传递函数可以表示为：
G(s) = K / (s + a)
其中，K和a是常数。
将其整理为特征方程的形式，可以得到： s + a = K / Y(s)
其中，Y(s)是系统的输出信号。
这个方程的左侧是状态空间模型中的状态方程，而右侧则是输出方程。
我们可以通过反演Laplace变换，将其转换为时域方程的形式，从而得到状态空间表达式。
对于高阶系统，我们需要将传递函数拆分为多个一阶系统的组合，然后重复上述步骤即可。
需要注意的是，在进行状态空间转换时，需要考虑到系统的初值条件和边界条件。
这些条件对于状态空间模型的建立非常重要，需要在转换过程中加以考虑。
总之，已知传递函数求解状态空间表达式的方法并不复杂，关键在于将传递函数转换为特征方程的形式，然后通过反演Laplace变换得到时域方程，最终得到状态空间表达式。
- 1 -。
微分方程与状态空间表达式之间变换
Y 1 0 0 X
其中：Ａ为一种规范形称为友矩阵，输入矩阵的特点是，其最后一 行元素与方程系数对应，而其余各元为零或为单位阵（A阵，对角线上 方元素为1，最后一行元素为分母负系数的反向罗列，其他元素为0；B 阵，最后一行元素为1，其他元素为0。）D=0无直联通道，
6 y 6u 例：D-E. y 6 y 11y S-E
1、传递函数中没有零点时的变换 传递函数为：
b G( s) n s a1 s n 1 a n 1 s a n
系统的微分方程为：
a n y bu y ( n ) a1 y ( n1) a n1 y
则根据上节公式，可直接写出状态空间表达 式。即：
二.输入项中包含有导数项：
D-E y a1 y
n n 1
an y b0u b1u
n
n 1
bnu bn 1u
若按相变量法选状态, 则出现解的不唯一性
x1 y x y 2 x y n 1 n
0 1 x x 2 n x an
1
an 1
0 x1 0 x 2 u 0 1 xn 1 a1
能控标准形实现的模拟图
b G (s) n s a1s n 1 an 1s an bs n 1 a1s 1 an 1s1 n an s n
• 其状态变量图为
1 s 1 1 s 1 s 1 1 s 1 b u (s) ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ y ( s)
0 即X 0 an 1 0 0 x1 x 0 2 u 1 0 xn a1 b
现代控制工程题目及解答.答案
1.简述现代控制理论和经典控制理论的区别.答：经典控制理论是以传递函数为基础的一种控制理论，控制系统的分析与设计是建立在某种近似的和试探的基础上，控制对象一般是单输入单输出、线性定常系统；对多输入多输出系统、时变系统、非线性系统等则无能为力。
主要的分析方法有频率特性分析法、根轨迹分析法、描述函数法、相平面法、波波夫法等。
控制策略仅限于反馈控制、PID控制等。
这种控制不能实现最优控制。
现代控制理论是建立在状态空间上的一种分析方法，它的数学模型主要是状态方程，控制系统的分析与设计是精确的。
控制对象可以是单输入单输出控制系统也可以是多输入多输出控制系统，可以是线性定常控制系统也可以是非线性时变控制系统，可以是连续控制系统也可以是离散和数字控制系统。
主要的控制策略有极点配置、状态反馈、输出反馈等。
现代控制可以得到最优控制。
2.简述用经典控制理论方法分析与设计控制系统的方法,并说明每一种方法的主要思想。
答：1：建立数学模型2：写出传递函数3：用时域分析和频域分析的方法来判断系统的稳定性等。
以及对其进行系统的校正和反馈。
频域响应法、根轨迹法根轨迹法的主要思想为：通过使开环传函数等于-1的s值必须满足系统的特征方程来控制开环零点和极点的变化，使系统的响应满足系统的性能指标。
频域响应法的主要思想为：通过计算相位裕量、增益裕量、谐振峰值、增益交界频率、谐振频率、带宽和静态误差常数来描述瞬态响应特性，首先调整开环增益，以满足稳态精度的要求；然后画出开环系统的幅值曲线和相角曲线。
如果相位裕量和增益裕量提出的性能指标不能满足，则改变开环传递函数的适当的校正装置便可以确定下来。
最后还需要满足其他要求，则在彼此不产生矛盾的条件下应力图满足这些要求。
3.什么是传递函数？什么是状态方程答：传递函数：在零起始条件下，线型定常系统输出象函数X0（s）与输入象函数X i（s）之比。
描述系统状态变量间或状态变量与输入变量间关系的一个一阶微分方程组（连续系统）或一阶差分方程组（离散系统）称为状态方程。
传递函数到状态空间方程
传递函数和状态空间方程引言传递函数和状态空间方程是控制系统工程中常用的数学模型和分析工具。
它们用于描述和分析动态系统的行为和性能，对于控制系统的设计和优化起着关键作用。
传递函数定义在控制系统中，传递函数是一个描述输入和输出之间关系的数学函数。
传递函数通常用G(s)表示，其中s是复数变量，表示系统的复频域特性。
传递函数描述了一个线性、时不变系统对输入信号的响应。
传递函数的一般形式如下：b0*s^n + b1*s^(n-1) + ... + bnG(s) = ---------------------------------------s^m + a1*s^(m-1) + ... + am其中n和m分别是传递函数的分子和分母的最高次幂。
用途传递函数可用于描述系统的频率响应和稳定性特性。
传递函数可以反映系统对不同频率的输入信号的放大或衰减情况，帮助工程师了解系统的动态特性。
传递函数还可以用于控制系统的设计和分析。
通过对传递函数进行数学运算和变换，可以获得系统的稳定性、动态响应以及频域特性等关键性能指标。
工作方式传递函数的输入是一个复数变量s，代表系统的频域特性。
通过将s带入传递函数的表达式中，可以得到系统的输出。
传递函数的输出代表了系统对输入信号的响应。
通过对传递函数表达式进行分析和计算，可以获得系统的稳定性、频率响应和动态响应等关键性能指标。
状态空间方程定义在控制系统中，状态空间方程是一种用状态变量表示系统状态的数学模型。
状态空间方程描述了系统的状态和状态变化随时间的规律。
状态空间方程的一般形式如下：dx/dt = Ax + Buy = Cx + Du其中，x是系统的状态向量，表示系统的状态变量；u是系统的输入向量，表示系统的输入信号；y是系统的输出向量，表示系统的输出信号；A、B、C和D是系统的系数矩阵。
用途状态空间方程可以用于描述和分析系统的动态行为和稳定性特性。
状态空间方程是一种直观、物理意义明确的模型，可以帮助工程师理解系统的内部状态和相互关系。
4.6仿真理论基础(一)——状态空间表达式
M
状态方程
y(t) 输出方程：y=x1
状态变量图
u1
m
x2 ∫ x2 x1 ∫ x1 1 y
B
m
K
m
仿真理论基础（一）——状态空间表达式
谢 谢！
xn
an1
an2
ann
xn
bn1
bn2
bnr
ur
状态方程：X AX BU
可求得状态的时间响应，即能决定系统状态的行为
仿真理论基础（一）——状态空间表达式
2.状态空间表达式
u1
状态方程 输出方程 状态空间表
x1
X
x2
n×1维状态向量
xn
a11
a12
a1n
n×n维 系统矩
A
a21
a22
a2n
阵
an1
an 2
ann
U
u2
ur
b11 b12 B b21 b22
bn1 bn2
r×1维输入向量
b1r
b2r
bnr
n×r维 输入矩 阵
向量矩阵形式：
达式
x1 a11 a12 a1n x1 b11 b12 b1r u1
状态变量图
x2
状态空间表 达式
状态变量图
xn an1x1 an2x2 annxn bn1u1 bn2u2 bnrur
向量矩阵形式：
x1 a11 a12 a1n x1 b11 b12 b1r u1
x2
a21
a22
a2n
x2
b21
b22
b2r
u2
D=0
仿真理论基础（一）——状态空间表达式 2.状态空间表达式
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& 0 x 1 1 x 1 1 0 x = 0 2 0 x + 1 u & 2 2 x 3 0 0 3 x 3 1 &
x1 y = [3 6 3] x 2 x 3
&1 λ x & x2 = M xn &
1
λ2
…… λn
x 1 x2 M xn
+
1 1 M 1
u
输出方程
n
Y ( s ) = ∑ ci xi ( s )
i =1
n
y(t) = ∑ci xi (t) = [c1c 2 L c n ]
i=1
x1 x2 M xn
ci可通过拉氏变换求留数
ci = lim G ( s)( s + λi )
ci Y(s) = ∑ u (s) i =1 s + λ i
n
s → λi
令
1 xi (s) = u(s) s + λi sxi (s) + λi xi (s) = u(s)
& x i = λ i x i + u 反变换： & x 1 = λ 1 x 1 + u & x 2 = λ 2 x 2 + u ... & x n = λ n x n + u
4S 3 + 9S 2 + 14 S + 23 G (s ) = 2S 3 + 4S 2 + 6S + 10
将分母最高次幂变为1 将分母最高次幂变为1
1 2 3 S +S+ 2 2 = Y(s) G (s) = 2 + 3 2 S + 2S + 3S + 5 u (s) 1 2 3 S +S+ 2 u (s) Y(s) = 2u (s) + 3 2 2 S + 2S + 3S + 5
其中 x 1 = z 同样
& x2 = z
x n = z n 1
Y(s) = b n 1Sn 1 + b n 2Sn 2 + ... + b1S + b 0 Z(s)
Y(s) = b n 1Sn 1 Z(s) + b n 2Sn 2 Z(s) + ... + b1SZ(s) + b0 Z(s)
1.5
由传递函数求状态方程
一、直接法 n n1 & +a0y =bmum +bm1um1 +...+b0u 1 由 y +an1y +...+a y 在零初始条件下，求拉斯变换：
& t =0, y(0) = y(0) = &&(0) =...= yn(0) y SnY(s) +an1Sn1Y(s) +...+a0Y(s) =bmSmu(s) +...+b0u(s)
拉氏反变换
y = b n 1 Z n 1 + L + b 0 Z
= b n 1 x n ... + b 0 x 1
y = Cx = [b0 b1 x1 x2 L bn 1 ] M xn
例1.4 求其能控标 准型 解：（ 解：（1）解决分母比分子高一阶
S2 + 2S + 2 G (s) = 2 + 3 2S + 4S2 + 6S + 10
特点：n 特点：n个子系统互不相关，都是独立 的，即解耦系统
解耦系统图形
例1.6
Y(s) 6 6 = 3 = 2 u (s) s + 6s + 11s + 6 (s + 1)(s + 2)(s + 3)
展开为部分分式 可知： 状态方程
3 3 6 = + + s +1 s + 2 s + 3
λ 1 = 1, λ 2 = 2 , λ 3 = 3 c 1 = 3, c 2 = 6, c 3 = 3
b3 = 0 b2 = 1 b1 = 1 b0 = 3
x1 y = [3 1 1] x 2 x 3
Y 二、并联法 (s) = G (s) = u (s)
M (s) (s + λ 1 )(s + λ 2 ) L (s + λ n )
λ i (i = 1,2,L n )
极点
n c1 c2 cn ci =∑ = + +L s + λ1 s + λ 2 s + λ n i =1 s + λi
G(s) =Y(s)/U(s) =
Y (s) Z(s) = Z(s) U (s)
(bmS +bm1S
m
m1
(S + an1S
n
n1
+...+b0)
+...+ a0)
设n>m n=m+1
Z (s) 1 = n U (s) (S + an1S n1 + ... + a0 ) S nZ (s) + an1S n1Z (s) + ... + a0Z (s) = U (s)
带导数函数的微分方程，当m<n,m=n带导数函数的微分方程，当m<n,m=n-1时， 例1.5
y = [b0 b L bn1] 1 &y + 2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ& + 5 y + y = && + u + 3u && y & u &
1 0 x 1 0 0 & x= 0 0 1 x 2 + 0 u 1 5 2 x 3 1
（2）直接应用公式
& 1 0 x 1 0 x1 0 x = 0 &2 0 1 x 2 + 0 u x 3 5 3 2 x 3 1 & x1 1 2 y= 1 x 2 + 2u ( t ) 2 3 x 2
即 y=Cx+Du D为直接矩阵，输入对输出的直接作用 说明：可按能控→ 说明：可按能控→能观的关系，直接写 出能观标准型
拉氏反变换
Z ( n ) + an 1Z ( n 1) + ... + a0 Z = u & x1 = Z , x2 = z ,..., xn = Z n 1
0 & X =0 M a0
1 1 M a 1
…0 … …0 …
x 0 1 x2 M M ＋0u … an1xn 1
可控标准型