以平面波展开法分析光子晶体能带结构.
一维光子晶体的能带结构计算与分析
ｍｅｄｉｕｍ ｌａｙｅｒ Ａ ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｏｎｅ ｏｆ ｍｅｄｉｕｍ ｌａｙｅｒｓ ｃｏｍｐｏｓｉｎｇ ｔｈｅ ｐｈｏｔｏｎｉｃ ｃｒｙｓｔａｌ ａｔ ｆｉｒｓｔ，
ｏｒ ｔｈｅ ｏｐｔｉｃａｌ ｔｈｉｃｋｎｅｓｓ ｏｆ ｔｈｅ ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｅ ｌａｙｅｒ ｉｓ ｅｖｅｎ ｔｉｍｅｓ ｏｆ Ａ．Ｂｙ ｃｏｎｔｒａｒｉｅｓ，ｗｈｅｎ
ｅｆｆｅｃｔｓ ａｎｄ ｎｅｗ ｔｅｃｈｎｉｑｕｅｓ．Ｈｅｎｃｅ ｉｔ ｉｓ ｅｓｓｅｎｔｉａｌ ｔｏ ｓｔｕｄｙ ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐ ｂｅｔｗｅｅｎ
ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ ａｎｄ ｐｈｏｔｏｎｉｃ ｂａｎｄ ｇａｐｓ． Ｔｒａｎｓｆｅｒ ｍａｔｒｉｘ ｍｅｔｈｏｄ ｉｓ ａ ｐｏｗｅｒｆｕｌ ａｎｄ ｓｔｒａｉｇｈｔｆｏｒｗａｒｄ ｔｏｏｌ ｔｏ ａｎａｌｙｓｉｓ ｔｈｅ ｂａｎｄ
ｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｒａｔｉｏ ｏｆ ｔｈｅ ｍｅｄｉｕｍ ｌａｙｅｒ’Ｓ ｒｅｆｒａｃｔｉｖｅ ｉｎｄｅｘ ｗｈｉｃｈ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓ ｔｈｅ １ Ｄ ｐｈｏｔｏｎｌｃ ｃｒｙｓｔａｌ，ｔｈｅ ｌａｒｇｅｒ ｔｈｅ ｒａｔｉｏ ｏｆ ｔｈｅ ｒｅｆｒａｃｔｉｖｅ ｉｎｄｅｘ（ｎａ／ｒｉｂ），ｔｈｅ ｗｉｄｅｒ ｔｈｅ
ｅｖｅｎ ｔｉｍｅｓ ｏｆ ＣＯｏ．Ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｏｎ ｓｈｉｐ ｂｅｔｗｅｅｎ ｐｈｏｔｏｎｉｃ ｂａｎｄ ｇａｐ ｏｆ １ Ｄ ｔｅｍａｒｙ ｐｈｏｔｏｎｉｃ
ｍｅｄｉｕｍ ｃｒｙｓｔａｌ ａｎｄ ｔｈｅ ｒｅｆｒａｃｔｉｖｅ ｉｎｄｅｘ，ｔｈｉｃｋｎｅｓｓ，ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｔｈｅ
ｌａｙｅｒ ｉｓ ｓｉｍｉｌａｒ ｔｏ １ Ｄ
ｄｉｅｌｅｃｔｒｉｃ ｃｏｎｓｔａｎｔ ｗｈｉｃｈ ｃａｎ ｃｒｅａｔｅ ｓｏｍｅ ｒａｎｇｅｓ ｏｆ ｆｏｒｂｉｄｄｅｎ ｆｒｅｑｕｅｎｃｉｅｓ ｆｏｒ
二维光子晶体完全光子带隙的优化设计
二维光子晶体完全光子带隙的优化设计刘茂军;周莹;王丽;马季【摘要】应用平面波展开法推导二维光子晶体横磁场模式和横电场模式主方程,得到两种模式下的二维光子晶体完全带隙,并研究二维光子晶体完全带隙宽度及中心频率位置随填充比和背景介质介电常数的变化规律,从而实现二维光子晶体完全光子带隙的优化.%We used the plane-wave expansion method to derive the master equation of two-dimensional photonic crystal for transverse magnetic mode and transverse electric mode,and obtained the complete photonic-band-gap of two-dimensional photonic crystal for two modes.We studied the change rule of filling ratio and dielectric constant of background medium with the complete photonic-band-gap width and center frequency location of two-dimensional photonic crystal.Thus,the optimal design of the complete photonic-band-gap was realized.【期刊名称】《吉林大学学报（理学版）》【年(卷),期】2017(055)005【总页数】5页(P1292-1296)【关键词】二维光子晶体;平面波展开法;完全光子带隙【作者】刘茂军;周莹;王丽;马季【作者单位】吉林师范大学物理学院,吉林四平136000;吉林师范大学物理学院,吉林四平136000;吉林师范大学物理学院,吉林四平136000;同济大学物理科学与工程学院,上海200092【正文语种】中文【中图分类】O436光子晶体是介电常数受空间位置周期性调制的光学微结构, 具有光子局域态和光子禁带, 在新型光电器件、光学传感、高效低损耗反射镜、光子晶体微谐振腔及高效率发光二极管等领域应用广泛[1-9]. 光子晶体的理论研究方法主要有传输矩阵法、时域有限差分法和平面波展开法等[10-12]. 其中, 平面波展开法是研究光子晶体带隙结构的主要方法. 本文将电磁场在倒格矢空间内展开为平面波叠加的形式, 进而将Maxwell方程组化为一个本征方程, 通过求解本征值得到相应的本征解, 即得到在光子晶体内存在的本征模式. 平面波展开法优点在于能快速得到本征模式的电磁场分布以及光子晶体的带隙结构, 计算各种理想结构光子晶体带隙所得结果准确且高效[13]. 根据平面波展开法得到的光子晶体带隙结构可考察能带结构、禁带宽度以及各光子态之间的关系等光学特性[14]. 对于某个偏振态, 若在一定频率范围内不存在对应的模式, 则称其为该偏振态的光子带隙. 对于两个偏振态, 若在一定频率范围内均不存在对应的模式, 则称其为完全光子带隙[15]. 完全光子带隙的宽度与位置均决定了该光子晶体的应用性能, 因此对于光子晶体完全带隙的优化设计研究有一定的意义. 本文用平面波展开法计算两种模式下二维光子晶体的完全带隙, 并讨论填充比及背景介质介电常数对二维光子晶体完全带隙的影响.光在电介质内的传播遵循Maxwell方程, 假设构成二维光子晶体介质为无源介质, 则Maxwell方程为：对于非磁性材料光子晶体, 有所以, Maxwell方程组可表示为：其中ε(r)为二维光子晶体的介电常数, 受空间位置的周期性调制, 二维情况下可记为ε(r∥).对于横磁场模式(TM模式), 电磁场为:其中r∥=xi+yj. 将式(11),(12)代入式(9),(10), 有将式(13)～(15)中的时间项、Hx和Hy消除后可得式(16)即为TM模式对应的主方程.对于横电场模式(TE模式), 电磁场为:将式(17),(18)代入式(9),(10), 有将式(19)～(21)中的时间项、Ex和Ey消除后可得式(22)即为TE模式对应的主方程.根据二维光子晶体介电常数的周期性分布, 有其中在求解主方程时, 可将1/ε(r∥)在倒易空间进行Fourier展开其中: G∥=l1b1+l2b2为倒易空间内的二维矢量; K(G∥)为1/ε(r∥)的Fourier系数, 为二维光子晶体的填充比, ac为二维光子晶体原包面积, J1为一阶Bessel函数.对二维光子晶体完全光子带隙进行数值分析, 通过参数调节得到二维光子晶体完全光子带隙宽度及其完全带隙中心频率位置的变化规律, 从而实现完全光子带隙的优化设计. 二维光子晶体的基本参数为：背景介质介电常数εb=11.56, 空气柱εa=1, 空气柱在空间为正方结构排列, 如图1所示. 空气柱半径ra=0.45a, a=10-6 m为晶格常数, 填充比k=0.636 2.二维光子晶体结构的完全光子带隙如图2所示. 由图2可见: 当f=0～0.8ω时, TM 模式比TE模式有更宽的带隙, 二者重合的部分称为完全光子带隙; 该结构具有宽为Δ ω=0.057ω的完全光子带隙, 中心频率ωmid=0.452ω, Δ ω/ωmid=12.61%.填充比对完全光子带隙结构的影响如图3所示. 由图3可见: 当f=0～0.8ω时, TM 模式比TE模式有更宽的带隙; 当k=0.536 2时, 该结构不存在完全光子带隙; 当k=0.636 2时, 该结构具有宽为Δ ω=0.057ω的完全光子带隙, 中心频率ωmid=0.452ω, Δ ω/ωmid=12.61%; 当k=0.736 2时, 该结构具有宽为Δω=0.089ω的完全光子带隙, 中心频率ωmid=0.475ω, Δ ω/ωmid=18.74%; 该结构二维光子晶体的完全光子带隙宽度随填充比的增大而增大, 且完全光子带隙中心频率的位置发生蓝移.背景介质介电常数对完全光子带隙结构的影响如图4所示. 由图4可见: 当f=0～0.8ω时, TM模式比TE模式有更宽的带隙; 当εb=10.24时, 该结构具有宽为Δω=0.036ω的完全光子带隙, 中心频率ωmid=0.467ω, Δ ω/ωmid=7.71%; 当εb=11.56时, 该结构具有宽为Δ ω=0.057ω的完全光子带隙, 中心频率ωmid=0.452ω, Δ ω/ωmid=12.61%; 当εb=12.89时, 该结构具有宽为Δω=0.071ω的完全光子带隙, 中心频率ωmid=0.438ω, Δ ω/ωmid=16.21%; 该结构二维光子晶体的完全光子带隙宽度随背景介质介电常数的增大而增大, 且完全光子带隙中心频率的位置发生红移.综上, 本文用平面波展开法推导了二维光子晶体的主方程, 并对二维光子晶体完全光子带隙进行了数值分析, 通过调节参数, 得到了正方晶格二维光子晶体完全光子带隙的宽度和位置的变化规律. 结果表明: 增大填充比可使完全光子带隙的宽度增加, 完全光子带隙的位置蓝移；增大背景介质介电常数可使完全光子带隙的宽度增加, 完全光子带隙的位置红移.【相关文献】[1] Yablonovitch E. 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以平面波展开法分析光子晶体能带结构.
以平面波展開法分析光子晶體能帶結構廖淑慧講師中州技術學院電子工程系黃坤賢學生黃照智學生中州技術學院電子工程系摘要光子晶體的主要特色在於所謂的光子能隙—電磁波無法在能隙中傳播。
雖然三維的光子晶體被認為是最具應用潛力的，但是二維光子晶體的結構在製程上卻佔有較易製作的優勢，所以在光電元件裝置及相關研究領域上亦廣為使用。
我們使用平面波展開法，分別計算一維和二維光子晶體的能帶結構。
根據理論分析的結果，我們發現一維光子晶體無論介電常數差異如何，總是存在著光子能隙。
對於二維正方晶格的結構計算，我們發現正方晶格對TM波有能隙，對TE波則無。
關鍵詞: 光子晶體，光子能隙，平面波展開法壹﹑前言當半導體中的電子受到晶格的週期性位勢(periodic potential)散射時，部份波段會因破壞性干涉而形成能隙(energy gap)，導致電子的色散關係(dispersion relation)呈帶狀分佈，此即所謂的電子能帶結構(electronic band structure)。
西元1987年，E. Yablonovitch 與S. John不約而同地提出相關見解[1][2]，說明類似的現象亦存在於所謂的光子系統中。
根據他們提出的研究報告顯示，在介電係數呈週期性排列的三維介電材料中，電磁波被散射後，某些波段的電磁波強度將會因破壞性干涉而呈指數衰減，無法在該材料內傳遞，這樣的現象相當於在對應的頻譜上形成能隙，因此，色散關係也具有帶狀結構，此即所謂的光子能帶結構(photonic band structure)。
這種具有光子能帶結構的介電物質，就稱為光子晶體(photonic crystal)。
事實上，在三維光子能帶結構的概念尚未被提出之前，科學家們對於一維的光子晶體(層狀介電材料) 的研究早已行之多年。
電磁波在一維的光子晶體中的干涉現象早已應用在各種光學實驗以及相關的應用產品之中，例如作為波段選擇器、濾波器、繞射光柵元件或反射鏡等。
利用平面波展开法在matlab中计算一维光子晶体的带隙结构
利用平面波展开法在matlab中计算一维光子晶体的带隙结构光子晶体是一种周期性的光学结构，它具有在一定频率范围内禁带结构的特性，这种结构对于光子的传播和控制具有重要意义。
利用平面波展开法在Matlab中计算一维光子晶体的带隙结构是一种常见的方法，本文将详细介绍这种计算方法的步骤和原理。
一维光子晶体是一种由周期性介质层叠而成的光学结构，在这种结构中，光的传播受到周期性介质的布拉格散射影响，从而产生禁带结构。
为了计算一维光子晶体的带隙结构，我们可以利用平面波展开法，该方法可以将一维光子晶体看做平面波在周期性介质中的传播，并通过布拉格散射条件来求解光子的能带结构。
在Matlab中，我们可以通过编写相应的程序来实现对一维光子晶体带隙结构的计算。
在编写程序之前，我们首先需要了解平面波展开法的原理和计算步骤。
平面波展开法的基本思想是将光子晶体的电磁场表示为平面波的叠加，然后利用布拉格散射条件求解电磁场的分布和能带结构。
平面波展开法的计算步骤如下：1. 定义光子晶体的周期性结构，包括介质的折射率分布和周期性的层叠结构。
2. 将电磁场表示为平面波的叠加形式，即电磁场可以由一系列波矢和频率确定的平面波组成。
3. 根据布拉格散射条件，求解平面波在周期性介质中的传播行为，得到光子的色散关系。
4. 根据色散关系，求解光子的能带结构，包括带隙的位置和宽度等信息。
在Matlab中，我们可以通过编写相应的程序来实现以上计算步骤。
我们需要定义光子晶体的周期性结构，包括介质的折射率分布和周期性的层叠结构。
然后，我们可以利用Matlab中的矩阵运算和数值方法来求解平面波在周期性介质中的传播行为，并得到光子的色散关系。
我们可以利用色散关系来计算光子的能带结构，并可视化带隙结构的位置和宽度。
假设我们要计算周期性介质的折射率分布为正弦形式的一维光子晶体的带隙结构。
该光子晶体的周期性结构如下：n(x) = n0 + Δn * sin(2πΛx)其中n0为基准折射率，Δn为周期性介质的折射率差，Λ为周期长度。
三维平面波法讨论及光子晶体完全禁带分析
三维平面波法讨论及光子晶体完全禁带分析张长青【摘要】详细讨论了三维平面波法(PWM)的特征方程及数值求解过程,分析了简体立方、面心立方和体心立方等典型晶胞的基本参数,计算了这些晶胞在空心晶格、实心晶格、球形晶格和方形晶格等情况下无缺陷时的完全禁带.【期刊名称】《云南民族大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2013(022)001【总页数】7页(P57-63)【关键词】平面波法;三维光子晶体;完全带隙【作者】张长青【作者单位】中国移动通信集团湖南有限公司岳阳分公司,湖南岳阳414000【正文语种】中文【中图分类】TN911.74三维光子晶体制备复杂，但实用性强，备受人们关注.目前，三维光子晶体有木材堆砌式、钻石结构和球形等部件.虽然最初提出面心立方结构是在20世纪80年代［1－2］，但实际工作中怎样选用面心立方结构和填充率确定光子带隙是在2年后［3］.实验发现，用介电材料构成周期性结构，通过测量电磁波透射率来确定是否存在光子带隙的方法是很不成功的，从而迫使人们关注光子能带的理论计算.Ames的研究人员第1次从理论上证实了具有金刚石结构的光子晶体有很大的光子带隙［4］，激励人们开始从实验上寻找金刚石结构的光子晶体，1年后终于制作了1个具有全方位光子带隙的金刚石结构三维光子晶体模型［5］.这说明从理论上研究光子晶体是何等的重要.完全带隙是指在确定频率范围内，任何方向入射的电磁波都不能在光子晶体中传播.用无吸收损耗材料制成的光子晶体，在完全带隙情况下，各个方向的透射率为0，反射率为1.该特性应用于光波导中，其优异的导波性能使它在集成光学领域中具有广泛的应用前景.光子晶体中的Maxwell方程是无法求出解析解的，电磁场的矢量性又使数值模拟非常困难，好在光子之间不存在相互作用，禁带计算比电子更加准确，而平面波法的物理概念清晰，可直接应用介质结构的周期性，当方程从实空间变换到离散傅里叶空间后，可将光子晶体的禁带计算简化为代数的本征问题求解，且只需求解最简布里渊区(first brillouin zone)就可得到足够信息反映电磁波在光子晶体中的色散关系.1 平面波展开法［6］在无电荷源(ρ=0)、无电流源(J=0)、无磁流源(Jm=0)的光子晶体中传播的单色电磁波方程是式中ε(r)=εr(r)是相对介电常数，E(r)、H(r)是电磁矢量，ω是角频率，c是真空中光速.1.1 三维平面波法的色散方程光子晶体中的电磁场被周期变化的介电常数散射，据Bloch定理可以得到矢量式F(r)=u(r)exp(ik·r)，其中的Bloch矢量函数u(r)=u(r+T)，F(r)为E(r)或H(r).为了得到色散关系，我们将u(r)做平面波展开，由于u(r)是周期函数，只有符合傅里叶级数形式的平面波才对方程F(r)=u(r)exp(ik·r)有贡献.所以，(1)和(2)式中的电磁场E(r)和H(r)可以按倒格矢量作离散傅里叶变换:光子晶体的周期性决定了它的介电常数的倒数也是周期函数，按倒格矢量作离散傅里叶变换:将(3)、(4)、(5)代入(1)、(2)式中，可得:对于平面波展开系数E(G)和H(G)，(6)和(7)式是等价的本征值方程，因磁场满足H(G)⊥(k+G)，可降解一维度，一般只分析(7)式.由于非磁性光子晶体中的磁场H 是Hermitian矩阵，若设eλ是H(G)的单位矢量，则H(G)=H(G)eλ，考虑到磁场H相互正交的2个偏振模式，则(7)式为:其中λ'=1、2表示标量H(G')的2个偏振模式，G是参考倒晶格矢量，G'是求和倒晶格矢量.若用eλ对(8)式两边做点积，等式右边:H(G)·eλ=H(G)(eλ·eλ)=H(G)，矢量转为标量;等式左边解要复杂一些，根据矢量代数(A×B)·C=(B×C)·A=(C×A)·B=－(A×C)·B，取A=(k+G)、B= ［(k+G')× eλ'］和C=eλ，则左边矢量部分可简化为:所以矢量式(8)可以简化为下面的标量式:其中λ =1、2表示标量H(G)的2个偏振模式，λ'=1、2表示标量H(G')的2个偏振模式.由于H(G)⊥(k+G)，取e1、e2是互为垂直且垂直于(k+G)的单位矢量，因e1、e2、(k+G)三者正交，则(k+G)×e1=|k+G|e2，(k+G)× e2= －|k+G|e1，同理 e1'、e2'、k+G'亦是如此.为了分析方便，令 P=k+G，P'=k+G'，若对(9)式中λ、λ'求和部分求和则有:再将单位矢量的和式用矩阵表示，则(9)式简化为:显然，(11)式是一个特征方程，其特征矩阵由4组数据组成，即ε－1(G－G')、k+G、k+G'和H(G)与H(G')矢量对应基底单位矢量点积的矩阵，求出这4组数据，通过不断选择第一布里渊区中不同波矢量k值和倒格子空间的倒格矢量，就可以求出特征矩阵，并求出特征值，最后求出归一化频率ω/ω0与波矢量k的关系曲线，即光子晶体的禁带特性.1.2 一、二维平面波法的色散方程利用三维光子晶体的平面波色散方程(11)式，可以改造成一、二维光子晶体的平面波色散方程.1.2.1 一维光子晶体平面波色散方程因为是一维空间，我们将波矢量与倒晶格矢量的和k+G确定在X方向，如果将e1、e1'假定为Y方向，则e2、e2'就一定在Z方向，这样e1、e2、e1'、e2'都是确定的单位矢量.根据(11)式，其中的单位矢量矩阵元素应为:e2·e2'=1，e1·e1'=1，e2·e1'=0，e1·e2'=0，所以(11)式可以得到2个完全相同的一维光子晶体色散方程:1.2.2 二维光子晶体平面波色散方程因为是二维空间，设波矢量与倒晶格矢量的和k+G=P=(kx+Gx)i+(ky+Gy)j，即P 仅位于XY平面内，没有确定坐标.又因 e1、e2、P 三者正交，e1'、e2'、P'亦如此，当e1、e1'确定为Z 方向后，e2、e2只能落在XY平面上，并与P、P'正交，所以e2·e1'=e1·e2'=0.因为e2、e2'、P 没有确定方向，为了方便研究，且将e2、e2'设为Z方向，根据P×e1=Pe2、P × e2= －Pe1公式，并重解(10)式可得:由于已经将e1、e1'确定为Z方向，所以(P×e1)·(P'×e1')必垂直Z轴.如果取(P×e1)·(P'×e1')=P·P'=(k+G)·(k+G')为X方向场量，则P P'e1·e1'=P P'= k+Gk+G'应为Y方向场量，根据波矢、电场和磁场的右手螺旋关系k=E×H，(k+G)·(k+G')对应横电场TE波，k+G k+G'对应横磁场TM波，则(11)式演变来的二维光子晶体色散方程为展开后得到如下2式:TE波的H偏振场量(14)式，TM波的E偏振场量(15)式.1.3 3种典型三维晶格结构的相关参数所有晶格结构都可以分类为简体立方、体心立方和面心立方，以及它们的复式结构.了解这3种典型晶格结构的相关参数是分析三维光子晶体的重要基础，具体如表1所示.从(11)式可知，特征矩阵主要由4项组成，下面我们来求解第1项介电常数倒数ε－1(G－G').二元光子晶体由晶格和背景2种介质组成，设晶胞(cell)为a、b两区，a区介质是εa，b区介质是εb，即设晶胞a、b区的体积分别是Va、Vb，晶胞总体积为V=Va+Vb，根据下面(16)式，对倒格矢量空间逆向离散傅里叶变换，并设G－G'=G.因为是求一个晶胞中的介电常数的倒数，可取消求和号，又因为这2个区域中的ε是常数，所以可以将其提出积分号，移项后对一个晶胞积分得先分析上式第2项，当G≠0时因对称性和周期性，积分为0，从而第2项为0;当G=0时exp(－iG·r)=1，因而积分等于V，即晶胞体积，所以第2项为，则(16)式为其中f=Va/V为εa在晶胞中的填充率，而叫结构因子.由于结构因子是对晶格点积分，仅与晶格点形状有关，复式结构除外(如钻石结构)与晶格结构无关.由于晶格结构因子不可能是复数，根据迪美弗定理取exp(－iG·r)实部cos(G·r).下面将研究几种典型晶格的结构因子.1.3.1 球形晶格结构因子1.3.2 立方晶格结构因子研究晶格结构时我们将晶格结点当作质点来考虑，但研究结构因子时，因需要考虑填充率，所以必须借用圆球堆积图来分析，而圆球的半径r则是重要参数.表2所示是三类球体晶格和立方晶格结构的填充率，其中r是球体晶格的圆球堆积的圆球半径，l是立方晶格的边长，a是晶格常数，V=a1·a2×a3，是晶胞体积.1.4 钻石结构晶格分析钻石结构的基元包含2个相同元素，分别位于(0，0，0)和(1/4，1/4，1/4)，基元加在面心立方晶格点上，每个元素有4个最邻近的元素，形成四面体键结.钻石结构晶胞较空，球形晶格的填充率只有34%.钻石结构的空间晶格是面心立方的复式结构，所以正格基矢和倒格基矢等参数与面心立方晶格一样.因钻石结构复杂，在做傅里叶变换时要用平移定理:即假设一元素ε(r)的傅里叶变换为ε(G)，若将此元素移动一距离r0，则傅里叶变换需乘上一相位变化因子exp(iG·r0)，即∑ε(r+rj)↔∑ε(G)·exp(iG·r0)，所以(16)式变为显然，钻石结构晶格和面心立方晶格的结构因子S(G)、填充率f是一样的，不同的只是介电常数倒数多了一项cos(G·r0)，为此把cos(G·r0)直接加在结构因子中，即得1.5 倒格矢量 G、G'，波矢量 k，k+G 的参考基矢 e1、e1'、e2、e2'(11)式中的倒格矢量G、G'，是晶胞中各倒晶格的位置矢量，其中G是参考倒格矢量，G'是求和倒格矢量，其值分别是 G=m1b1+m2b2+m3b3，G'=m1'b1+m2'b2+m3'b3，虽然 m1、m2、m3 和 m1'、m2'、m3'都取整数值1，2，…，n，但数值计算时必须错开取值，为了计算方便，取值范围都设为［－n，n］，且n的大小决定了计算量，一般为n＜10.(11)式中的波矢量k，是表1所示的波矢量空间第一布里渊区边界对应的各段边界.如:简立方晶胞第一布里渊区边界是由波矢量组成，在第一布里渊区边界的数值计算中，为了精确，我们往往将每个k矢量等分成多段(如4、6、8段等)来计算. (11)式中基矢矩阵的e1、e2 是H(G)的基矢，e1'、e2'是H(G')的基矢，其中e1、e2、k+G 以及 e1'、e2'、k+G'三者正交.因G和G'的倒格基矢b1、b2、b3可变换到k=kxi+kyj+kzk的波矢空间，所以同取G、G'和k的i与 j分量，便可以得到 e1、e2和 e1'、e2'的基矢.其实，我们只需要得到 e1、e2，通过取 e1、e2的转置就可以得到e1'、e2'的基矢.三维 PWM法中表现倒格矢量 G、G'和波矢量 k以及求解特征矩阵κ(G－G')·可用 Matlab 编程实现，此处略.2 计算结果为了分析三维光子晶体的完全禁带，特选择简体立方、体心立方、面心立方和面心立方复式结构的钻石结构4种二元晶胞模型，对晶格εa=1、背景εb=12和晶格εa=12、背景εb=1，及球形晶格半径0.2a≤r≤0.5a和立方晶格边长0.2a≤l≤0.5a(步长为0.01a)的情况下作模拟计算，结果如图1、2所示.简体立方空实心球体晶格和立方晶格都没有完全禁带;体心立方空心球体晶格在r=(0.4～0.44)a，f=(0.61～0.9)ω/ω0处存在完全禁带，尤其在r=0.44a时带隙宽度为Δf=(0.9－0.86)ω/ω0，实心球体晶格在r=0.23a、f=0.52ω/ω0处存在禁带.空心立方晶格在 l=0.45a，f=0.58ω/ω0以及在l=0.49a、f=0.54ω/ω0和f=0.89ω/ω0处同时存在禁带，实心立方晶格在l=0.39a，f=0.55ω/ω0处存在禁带;面心立方空心球体晶格在r=0.32a，f=0.89ω/ω0处存在完全禁带.实心球体晶格没有禁带.空心立方晶格在r=0.28a，f=(0.51～0.62)ω/ω0处存在较宽禁带，实心立方晶格没有禁带;钻石结构空心球体晶格在r=(0.2～0.34)a，f=0.36ω/ω0开始一直存在完全禁带，且带隙越来越宽，并向高位移动.实心球体晶格在r=0.33a，f=(0.82～0.88)ω/ω0存在禁带，但空心和实心立方晶格没有禁带.4 结论从图1、2中可以看出，体心立方的球形晶格和方形晶格都存在完全禁带，只是带隙宽度越来越窄.面心立方仅空心球形晶格和空心方形晶格存在完全禁带，且空心方形的禁带宽度要宽得多.钻石结构也只有空心球形晶格和实心球形晶格存在完全禁带，且带隙都较宽，尤其是空心球形晶格的带隙宽度超过0.5ω/ω0，是非常理想的光子晶体材料结构.参考文献:［1］YABLONOVITCH E.Inhibited spontaneous emission in solid－state physics and electronics［J］.Phys Rev Lett，1987，58:2059－2062. ［2］JOHN S.Strong localization of photos in certain disordered dielectric super lattices［J］.Phys Rev Lett，1987，58:2486 －2489.［3］YABLONOVITCH E，GMITER T J.Photonic band structure:the face－centered－cubic case［J］.Phys Rev Lett，1989，63:1950－1953.［4］HO K M，CHAN C T，SOUKOULIS C M.Existence of photonic gap in periodic dielectric structures［J］.Phys Rev Lett，1990，65:3152－3155. ［5］YABLONOVITCH E，GMITTER T J，LEUNG K M.Photonic band structure:The face－centered－cubic case employing nonspherical atoms ［J］.Phys Rev Lett，1991，67:2295 －2298.［6］张高德.广义光子晶体元件之研究与分析［D］.台湾:国立中央大学，2007.。
一维光子晶体能带结构特性分析 山东农业大学
Abstract ： Based on plane wave expansion method，the influences of different parameters on the band gap of one － dimensional photonic crystal were studied according to numerical method． Experimental results show that when the normalized frequency range light beams into one － dimensional photonic crystal surface，the light generates a plurality of photonic band gap． When the difference of medium refractive index is increased，the number of band gap is increased and the width of band gap is enlarged． The band gap center moves towards the low frequency range． The necessary and sufficient condition of Omni directional photonic band gap is that grazing incidence light cone has no the transmission state in TE mode and TM mode， and Brewster angle of medium is outside of the light cone． Key words： One － dimensional photonic crystal； plane wave expansion method； photonic band gap； omni directional photonic band gap 1987 年， E． Yablonovitch 与 S． John 根据半导体材料中形成电子能隙的物理机理 ， 提出了在介电材料 ［1 ］［2 ］ 。将介电材料在三维空间进行周期性排列 ， 周期性排列的光子系统中也会出现光子能隙 固定波段的 ［3 ］［4 ］ 。 相对于三维、 色散关系呈现带状， 此种现象称为光子晶体带隙 电磁波会因为干涉呈现衰减性传输 ， 二维的复杂结构， 两种介电材料周期性堆叠在一起形成的一维光子晶体 ， 具有结构简单， 计算方便， 便于制 ［4 ］［5 ］ 。通过理论分析发现， 作的优势， 受到众多科研工作者的重视 一维光子晶体结构满足一定的条件， 能 够实现全向反射光子禁带。
利用平面波展开法在matlab中计算一维光子晶体的带隙结构
利用平面波展开法在matlab中计算一维光子晶体的带隙结构1. 引言1.1 研究背景光子晶体是近年来新型功能性材料的研究热点之一，其具有周期性结构对光子的传播性质具有重要影响，表现出许多独特的光学性质。
光子晶体的带隙结构是其中一个最基本的性质，也是许多光子晶体应用的关键。
通过调控光子晶体的结构参数，可以实现对光子带隙的调控，从而实现光子晶体的光学性能优化和设计。
利用平面波展开法在Matlab中计算一维光子晶体的带隙结构具有重要意义，可以为光子晶体的设计和性能优化提供有力支持。
本文将从理论基础出发，详细介绍平面波展开法的原理，光子晶体的带隙结构计算方法，以及在Matlab中实现算法的过程。
希望通过本研究对光子晶体的带隙结构有更深入的理解，为未来的光子晶体研究和应用提供新的思路和方法。
1.2 研究目的研究目的是利用平面波展开法在Matlab中计算一维光子晶体的带隙结构，通过研究光子晶体的带隙结构，可以深入了解光子晶体的光学特性和传输特性。
这对于设计和制造新型光子晶体材料具有重要意义。
目的在于探究光子晶体的带隙结构与其微结构之间的关系，为调控光子晶体的光学性质提供理论指导。
通过计算一维光子晶体的带隙结构，可以更好地理解光子晶体在光学通信、光子器件和传感器等领域的应用潜力，并为实际应用提供技术支持。
研究光子晶体的带隙结构还有助于拓展光学材料的设计思路，推动光子晶体材料在光电子领域的发展。
通过本研究，可以为光子晶体的应用研究和材料设计提供重要的理论基础和技术支持。
1.3 研究意义光子晶体的带隙结构计算是光子学研究的重要内容之一，能够揭示光子在晶格周期性结构中的行为规律。
利用平面波展开法在Matlab 中计算一维光子晶体的带隙结构，可以快速准确地获得光子晶体的能带结构，为进一步研究光子传输、光谱性质等提供重要依据。
通过本研究，可以深入了解光子晶体的光学性质，为光子学领域的发展和光子晶体材料的应用提供理论支持。
光子晶体带隙结构的数值计算
第37卷增刊电子科技大学学报Vol.37suppl 2008年6月Journal of University of Electronic Science and Technology of China Jun.2008光子晶体带隙结构的数值计算郭强，谢康，张雅蕊(电子科技大学光电信息学院成都610054)【摘要】该文简述了光子晶体的基本概念及基于平面波方法的理论分析。
光子晶体是周期性介质结构，其带隙结构计算复杂，难于进行解析分析，只能使用数值模拟，所以关于光子晶体带隙的计算成为其理论研究的一个重要分支。
该文在推导出一维光子晶体的解析解后，使用平面波方法在MATLAB 下编写了通用的二维光子晶体能带结构计算程序，找到了出现最大带隙的结构参数，为设计和制作二维光子晶体提供了理论依据。
关键词带隙;周期结构;光子晶体;平面波中图分类号TP18文献标识码ANumerical Computation of Photonic Crystal Band GapGUO Qiang,XIE Kang,and ZHANG Ya-rui(School of Optoelectronic Information,University of El ectronic Science and Technology of Chi naChengdu610054)Abstr act The basic conception and theoretical methods based on plane wave method (PWM)are reviewed in this paper.As the periodic structure of photonic crystal is intricate,it is very hard to make a mathematical analysis.So people usually analyze a photonic crystal through numerical simulations.Therefore,it is essential to study numerical methods in the theoretical research of photonic crystals.In this paper,one-dimensional photonic band gap structures are derived,general computational routines are programmed to calculate photonic crystal band gap using MA TLAB,and parameters for widest band gap are found.Key wor ds band gap;periodic structure;photonic crystal;plane wave method收稿日期：20080304基金项目：国家杰出青年科学基金(60588502)作者简介：郭强()，男，硕士，主要从事集成光学方面的研究文献[1]提出了光子晶体(又称光子禁带材料)的概念，使操纵和控制光子的梦想成为可能。
光子晶体平面波展开法
光子晶体平面波展开法一、引言光子晶体是一种具有周期性介电常数的材料，它可以通过控制光的传播和反射来实现光学器件的设计和制备。
其中，平面波展开法是一种计算光子晶体能带结构的常用方法之一。
本文将对光子晶体平面波展开法进行详细介绍。
二、基本原理1. 布拉格反射定律布拉格反射定律是描述衍射现象的基本定律，它可以用来计算光在晶体中的传播方向和反射强度。
布拉格反射定律可以表示为：nλ = 2d sinθ其中，n为衍射级数，λ为入射光波长，d为晶格常数，θ为入射角。
2. 周期性边界条件在计算光子晶体能带结构时，需要考虑到周期性边界条件。
即，在一个正方形或立方体中放置一个原胞（最小重复单元），并在其周围设置周期性边界条件。
这样可以保证在整个空间中只有一个原胞存在，并且能够模拟出真实材料的周期性结构。
3. 平面波展开法平面波展开法是一种计算周期性结构能带结构的方法，它基于布洛赫定理，将波函数表示为平面波和周期函数的乘积形式。
即：ψ(r) = eik·r u(r)其中，k为波矢量，r为位置矢量，u(r)为周期函数。
利用周期性边界条件，可以将平面波展开成傅里叶级数形式：eik·r = ∑G C(G) e iG·r其中，G为倒格矢量（满足G·a=2πn），C(G)为系数。
将上述公式代入薛定谔方程中，并利用布洛赫定理可以得到能带方程：(H(k+G,k)+E(k,G))C(G) = 0其中，H(k+G,k)为哈密顿矩阵元素，E(k,G)为能量本征值。
三、计算步骤1. 建立晶格模型首先需要建立光子晶体的晶格模型。
可以通过软件建模或手工绘制来实现。
在建立晶格模型时需要考虑到晶体的对称性和周期性边界条件。
2. 计算倒格矢量和倒空间根据布拉格反射定律可以计算出晶体的倒空间和倒格矢量。
倒格矢量可以表示为：G = m1b1 + m2b2 + m3b3其中，m1、m2、m3为整数，b1、b2、b3为倒格矢量。
二维光子晶体的能带分析
2
#G∃ -1 (G -G∃) | k + G || k + G∃| h(G) = c2 h(G) ( 7)
式 ( 6)和式 ( 7) 就是 TE和 TM 的特征方程。
给定一个 k 值, 用 N ∀ N 列平面波来近 似 (即
G 取 N 个不同的值 ) , 可以求得一组本征值, i 连续
从 1取到 N, 我们就可以得到 N 个同样形式的方程。
孙 鉴 王明吉 李玉洋 1
( 大庆石油学院电子科学学院, 大庆 163318; 大庆石油管理局公共汽车公司西区分公司 1, 大庆 163712)
摘 要 光子晶体是一种介电 常数空间周期性变化、具有光子带隙结构, 能控制 光子传播状 态的新型材 料。根据横截 面上介
质柱构成的多边形边数 n和数 目 m 满足一定关系。介绍了三种二维光子晶体的结构。利用平面波展开法 ( PW E )计算并仿真
ZHUAN G W en1, 2, DUAN Ji zhou1, SHAO H ong bo2, ZHAN G Y ing3, YAN H ua yun3, X ING Si jun3
( In stitu te of O ceanology Ch in ese A cadem y of Sciences1, Q ingdao 266071, P. R. Ch in a; Q ingdaoU n iversity of Science and T echnology2, Q ingdao 266042, P. R. Ch ina;
个方向上存在周期结构, 光子禁带只可能出现在这 个方向上, 如果存在 三维的周期结构, 就可能 出现 全方位的光子禁带, 落在禁带中的光在任何方向上 都被禁止传播。这种具有光子 禁带的周期性 介质 结构的晶体称为光子晶体 ( Photon ic Cyrstals) , 也被 称为 光半导体 !。
光子晶体简介及应用
光子晶体及其应用的研究(程立锋物理电子学)摘要：光子晶体(PbmDftic Crystal)是一种新型的人工材料，其最显著的特点就是具有光子禁带(Photonic B锄d．G￡lp，简称PBG)，频率落在光子禁带内的电磁波是禁止传播的，因而具有光子带隙的周期性奔电结构就称为光子晶体。
近几年，光子晶体被广泛地应用于微波、毫米波的电路设计中。
的滤波特性，加以优化，则可以实现带通滤波器。
迄今为止，已有多种基于光子晶体的全新光子学器件被相继提出，包括无阈值的激光器，无损耗的反射镜和弯曲光路，高品质因子的光学微腔，低驱动能量的非线性开关和放大器，波长分辨率极高而体积极小的超棱镜，具有色散补偿作用的光子晶体光纤，以及提高效率的发光二极管等。
光子晶体的出现使光子晶体信息处理技术的"全光子化"和光子技术的微型化与集成化成为可能，它可能在未来导致信息技术的一次革命，其影响可能与当年半导体技术相提并论。
关键词：光子晶体；算法；应用；1光子晶体简介在过去的半个世纪里，随着人们对电子在物质尤其是半导体中运动规律的研究，使得对电子控制能力的增加，从而产生了各种微电子器件以及大规模的集成电路。
推动了电子工业和现代信息产业的迅猛发展，半导体技术在人们生活中扮演着越来越重要的角色。
半导体的工作载体是电子，因此半导体的研究围绕着怎样利用和控制电子的特性。
但近年来，电子器件的进一步小型化以及在减小能耗下提高运行速度变得越来越困难。
人们感到了电子产业发展的极限，转而把目光投向了光子。
与电子相比，以光子作为信息和能量的载体具有优越性。
光子是以光速运动的微观粒子，速度快；它的静止质量为零，彼此间不存在相互作用，即使光线交汇时也不存在相互干扰：它还有电子所不具备的频率和偏振等特征。
电子能带和能隙结构是电子作为一种波的形式在凝聚态物质中传播的结构，而光子和电子一样具有波动性，那么是否存在这样一种材料，光子作为一种波的形式在其中传播也会产生光子能带和带隙。
利用平面波展开法在matlab中计算一维光子晶体的带隙结构
利用平面波展开法在matlab中计算一维光子晶体的带隙结构【摘要】本文利用平面波展开法在Matlab中计算了一维光子晶体的带隙结构。
在理论基础部分，介绍了光子晶体的基本原理和相关知识。
平面波展开法原理详细解释了该方法在计算带隙结构中的应用。
通过建立合适的计算模型，使用Matlab编程进行计算，并对数值模拟结果进行了分析。
实验验证部分通过与已有实验结果的对比，证明了本文方法的有效性。
展望未来研究，在总结了本文研究意义的基础上，指出了对一维光子晶体带隙结构进一步研究的方向和价值。
通过本文的研究，可以更好地理解光子晶体的特性和应用，为相关领域的研究提供重要的理论指导和实验依据。
【关键词】平面波展开法、一维光子晶体、带隙结构、理论基础、计算模型、数值模拟、实验验证、研究展望、总结1. 引言1.1 研究背景光子晶体是一种具有周期性介质结构的材料，其具有优良的光学性能，被广泛应用于光学通信、传感器、光子集成电路等领域。
光子晶体的带隙结构是其独特光学性质的基础，通过调控光子晶体的结构参数可以实现对特定光波的传输、反射、折射等控制。
随着光子晶体在光学领域的应用日益增多，对光子晶体的带隙结构进行深入研究已成为当前光子晶体研究的热点之一。
利用平面波展开法在matlab中计算一维光子晶体的带隙结构是一种常见且有效的方法，可以快速准确地获取光子晶体的带隙特性。
本文旨在探讨利用平面波展开法在matlab中计算一维光子晶体的带隙结构，通过建立合适的计算模型和采用相应的计算方法，分析一维光子晶体在不同结构参数下的带隙特性。
通过数值模拟结果的分析，可以深入了解一维光子晶体的光学性能，为进一步优化光子晶体结构和拓展其应用领域提供参考。
1.2 研究目的本文旨在利用平面波展开法在matlab中计算一维光子晶体的带隙结构。
通过对一维光子晶体的带隙结构进行研究，我们可以更深入地了解光子晶体的特性及其在光学领域中的应用。
具体来说，我们的研究目的包括：探索平面波展开法在计算光子晶体带隙结构中的有效性和精度，建立一套完整的计算模型，为进一步研究光子晶体的光学性质奠定基础；分析不同参数对光子晶体带隙结构的影响，从而优化光子晶体的设计及应用；最终，利用数值模拟结果，得出关于一维光子晶体带隙结构的相关规律和特性，为实际应用提供理论指导和参考。
利用平面波展开法在matlab中计算一维光子晶体的带隙结构
利用平面波展开法在matlab中计算一维光子晶体的带隙结构一维光子晶体是一种周期性介质结构，具有禁带结构，在光学和光电器件中有着重要的应用。
利用平面波展开法（PWE）可以有效地计算光子晶体的带隙结构。
本文将介绍如何利用Matlab编程实现一维光子晶体的PWE计算，并对其带隙结构进行分析。
1. 研究背景光子晶体是一种具有周期性介质结构的材料，在光学领域有着广泛的应用。
其具有光子禁带结构，对于特定波长的光具有较强的反射和传输特性，因此在传感器、激光器、光子集成电路等领域有着重要的应用价值。
而一维光子晶体是光子晶体的一种简化形式，具有周期性的沿着一个方向的结构。
利用PWE方法可以有效地计算一维光子晶体的带隙结构，并为光子晶体的设计和应用提供重要的理论指导。
2. PWE方法原理平面波展开法是一种用于计算周期性结构光学性质的方法，其基本原理是将周期性结构中的电磁波场用平面波进行展开，通过求解Maxwell方程组得到波动方程的本征解，从而得到介质中的光子带隙结构。
对于一维光子晶体，其周期性结构沿着一个方向周期性变化，可以采用平面波在这个方向上的分量进行展开，通过矩阵形式的折射率矩阵、磁导率矩阵、传输矩阵等求解方法，得到光子晶体的带隙结构。
3. Matlab实现在Matlab中，可以通过编写程序实现一维光子晶体的PWE计算。
首先需要定义光子晶体的结构参数，包括周期长度、介质折射率、入射光波长等。
然后构建平面波展开的函数，将Maxwell方程组转化为矩阵形式，通过对角化矩阵得到本征值和本征矢量，从而得到光子晶体的带隙结构。
最后通过绘制带隙结构图和计算带隙频率等方法，对光子晶体的光学性质进行分析和评价。
4. 结果与分析通过Matlab程序计算得到的一维光子晶体的带隙结构可以得到带隙频率和带隙宽度等重要的光学性质参数。
根据带隙的位置和宽度，可以对光子晶体的传输和反射特性进行分析，评价其在光学器件中的应用价值。
通过调整结构参数和入射光波长等参数，可以进一步优化光子晶体的性能，并为其在传感器、激光器等应用中提供设计指导。
光子晶体平面波法初学者的研讨
(1.20) 式中 为无量纲位矢， 为无量纲时间。此时定义新的电介质函和新的磁 场强度矢量如下：
＝
＝
则
, 必然满足下式：
(1.22)
’
1‘
(1.22) 式中 ’为 的梯度，如果两个光子晶体其余参数都相同，仅仅是尺度不同， 那么它们的本征方程可以通过尺度变换写成一样的关于无量纲位矢 的方程形 式，也就是说光子晶体具有无标度性。因此，在光子晶体中，涉及频率时候通常 用归一化频率:
,
,
,
·
(1.7) 其中 , 表示波矢为 的磁场分量平面波的两个正交偏振方向的单位矢量， 且{ , 1 , , 2 , }构成右手螺旋系，满足 · , 0， , 表示 ,
3
方向上的振幅。令
＝1
因为周期性介质中 是周期性函数，因此 可在 k 空间展开为：
＝
·
(1.8) 也必为周期性函数。因此
根据(1.8) (1.9)式，则有：
|
||
|
,
的本征方程组
＝ω
4 平面波扩展法的讨论
(1.19)
4.1 光子晶体带隙的无标度性
光子晶体带隙具有无标度性。这就是说两个光子晶体如果其余参数都相同， 只是尺寸不同，那么它们具有相同的光子带隙结构，仅仅是带隙的波长范围不同。
7
因此，在讨论光子晶体的光子带结构时常用归一化频率 /2 为单位，表示光子 晶体带结构的无标度性。下面给出简单证明。
用平面波展开法求解光子带结构的目的是获得本征矩阵Θ并计算其本征值。 该算法的执行步骤可以总结如下：
1. 设定光子晶体的结构参数，包括晶格常数、介质的介电常数、几何参数 等，并计算倒格子空间的基矢。
利用平面波展开法在matlab中计算一维光子晶体的带隙结构
利用平面波展开法在matlab中计算一维光子晶体的带隙结构作者：黄晓泽周琦饶黄云来源：《科技创新与应用》2019年第13期摘 ;要：利用平面波展开法，在王建东所研究的光在光子晶体（photonic crystal）中传输所满足的非线性薛定谔方程基础上，计算光子晶体间隙结构的本征方程，根据本征方程在matlab 中进行运算，得到光子晶体的带隙结构。
关键词：平面波展开;本征方程;光子晶体;matlab;带隙结构中图分类号：O734 ; ; ; ; 文献标志码：A ; ; ; ; 文章编号：2095-2945（2019）13-0029-03Abstract： Based on the nonlinear Schrodinger equation of light propagation in photonic crystal （photonic crystal） studied by Wang Jiandong， the intrinsic equation of photonic crystal gap structure is calculated by plane wave expansion method. According to the intrinsic equation， the operation is carried out in matlab， and the band gap structure of photonic crystal is obtained.Keywords： plane wave expansion; eigenequation; photonic crystal; matlab; band gap structure1 概述1987年，埃利·雅布羅诺维奇和萨耶夫·约翰提出了潜力材料光子晶体的概念，而在后来的二十多年里，通过科学家们的不断努力，光子晶体成为了一种超越半导体材料的新型材料，成为了新能源以及新材料领域之中的一颗璀璨新星，具有划时代的标志。
用平面波法计算光子晶体光纤
用平面波法计算光子晶体光纤孙长伟;王艳春;霍亮【摘要】In this article, we have discussed the application of plane wave method in photonic crystal fibers at length, selecting a big unit cell that includes core area in the cross section of photonie crystal fiber. An imaged two dimension periodic structure is formed and expanded the magnetic field with plane waves, and we can solve Maxwell equation with arbitrary cross section fibers.%本文讨论了平面波法在光子晶体光纤中的应用，在光子晶体光纤的横截面内选取包含芯层的一个大晶格，形成一个假想的二维周期结构，用平面波将模式磁场展开．就可以求解任意横截面光纤中的麦克斯韦方程。
【期刊名称】《广东石油化工学院学报》【年(卷),期】2011(021)006【总页数】4页(P35-37,46)【关键词】光子晶体光纤;平面波法;超品格【作者】孙长伟;王艳春;霍亮【作者单位】蚌埠学院机械与电子工程系,安徽蚌埠233030;蚌埠学院机械与电子工程系,安徽蚌埠233030;蚌埠学院机械与电子工程系,安徽蚌埠233030【正文语种】中文【中图分类】TN250 引言光子晶体是一种电介质常数ε(r)在空间周期性分布的人造晶体,电介质常数ε(r)的周期分布可以是一维、二维或三维的,它的很多概念和研究方法都是从固体物理学中借鉴过来的,比如布洛赫定理、布里渊区、平面波法、能带图等等。
光子晶体光纤(PCF)是一种具有全新性质的波导,它在二维光子晶体中引入一个缺陷作为光纤的芯层,而光子晶体则作为包层,光在缺陷中沿电介质常数ε(r)不变的z方向传播。
光子晶体禁带计算
光子晶体禁带计算光子晶体是一种具有周期性结构的材料，它的禁带是指在一定频率范围内光的传播被禁止。
光子晶体禁带计算是研究光子晶体的光学特性的重要方法之一。
光子晶体禁带计算可以通过建立光子晶体的周期性结构模型来进行。
在这个模型中，光子晶体由周期性的高折射率材料和低折射率材料交替排列而成。
通过计算这个结构模型中的电磁场的传播特性，可以得到光子晶体的禁带。
光子晶体禁带计算的基本原理是利用平面波展开方法将电磁场分解成不同的频率和波矢的分量，然后根据光子晶体的周期性结构，利用布拉格衍射原理计算不同波矢的分量的传播特性。
通过求解Maxwell方程组，可以得到不同频率下的波矢和传播常数。
当某个频率下不存在波矢满足布拉格衍射条件时，即为禁带。
光子晶体禁带计算的结果可以帮助我们理解光子晶体的光学特性。
光子晶体的禁带决定了光子晶体对不同频率光的传播特性。
在禁带内，光的传播被禁止，而在禁带外，光可以自由传播。
这种特性使得光子晶体在光学器件中具有独特的应用价值。
光子晶体禁带计算的方法有多种，常用的方法包括平面波展开方法、有限差分时间域方法、有限元方法等。
每种方法都有其特点和适用范围。
选择合适的方法进行光子晶体禁带计算可以提高计算的准确性和效率。
光子晶体禁带计算在光子晶体的设计和应用中起着重要的作用。
通过计算得到的光子晶体禁带信息可以帮助我们设计出具有特定光学性质的光子晶体材料。
例如，通过调节光子晶体的结构参数，可以实现对特定频率光的选择性反射或透射，从而实现光波的控制和调制。
除了光子晶体禁带计算，还有其他方法可以研究光子晶体的光学特性。
例如，可以使用光子带隙光纤测量技术直接测量光子晶体的禁带。
这种方法可以通过将光纤置于光子晶体中，利用光纤与光子晶体之间的耦合来测量光子晶体的禁带。
光子晶体禁带计算是研究光子晶体光学特性的重要方法之一。
通过计算光子晶体的禁带，可以了解光子晶体对不同频率光的传播特性，为光子晶体的设计和应用提供理论基础。
利用平面波展开法在matlab中计算一维光子晶体的带隙结构
利用平面波展开法在matlab中计算一维光子晶体的带隙结构1. 引言1.1 背景介绍随着光子晶体材料的制备技术不断提升，人们对其带隙结构的研究也变得更加深入。
而在计算光子晶体的带隙结构时，平面波展开法成为一种常用且有效的方法。
通过将光波场用一组基础函数（平面波）展开，可以得到光子晶体的频谱信息，进而确定其带隙结构。
在此基础上，借助matlab等数值计算工具，可以方便地模拟和计算一维光子晶体的带隙结构。
本文将介绍利用平面波展开法在matlab中计算一维光子晶体的带隙结构的方法及其原理，并对计算结果进行分析和讨论。
通过对一维光子晶体的带隙结构进行深入研究，有助于深化对光子晶体材料性质的理解，为其在光学器件和光子学应用中的设计与优化提供理论依据和技术支持。
1.2 光子晶体的基本概念光子晶体是一种具有周期性结构的材料，它的周期性结构能够产生光子带隙，从而实现光子的禁带传导和光子晶体的光学性质调控。
光子晶体的基本单位通常是由介电常数或折射率不同的材料构成的周期性排列的点阵结构。
通过调控点阵结构的周期、形状和材料的光学参数，可以实现对光子的传输、调制和控制。
光子晶体具有许多独特的物理性质，如光学带隙、负折射率、反射率增强和光子导波等。
这些性质被广泛应用于传感器、激光器、光学通信、光子计算和光伏等领域。
光子晶体的基本概念包括周期性结构、光子带隙、布里渊区等，对于理解光子晶体的性质和设计光子晶体器件至关重要。
在本文中，我们将介绍利用平面波展开法在matlab中计算一维光子晶体的带隙结构的方法和原理，以期为光子晶体的研究和应用提供参考和指导。
通过计算与分析一维光子晶体的带隙结构，可以深入了解光子晶体的光学性质，为设计新型光子晶体器件提供理论基础和指导。
这一部分的内容是对光子晶体的基本特性和重要性进行介绍和阐述，为后续章节的内容提供必要的背景知识。
1.3 研究现状虽然光子晶体的研究已经取得了一定的进展，但仍然存在一些问题和挑战，如光子晶体的制备技术、带隙结构的优化设计等方面仍需进一步深入研究。
用平面波展开方法计算二维光子晶体带隙结构
用平面波展开方法计算二维光子晶体带隙结构
平面波展开法是实现二维光子晶体结构带隙的有效方法，它可以用来计算晶体的空间和频
率带隙以及带隙中的高低频分布。
该方法可用于二维和三维可调谐易克隆波导系统，并能
够有效模拟光子晶体结构中具有非常宽和可调谐的光学带隙。
平面波展开法基于空间和频率分布进行计算，它首先通过对二维声发射阵列进行数值模拟，计算出二维空间和频率发射分布，然后利用方向性响应函数和单个平面波态的叠加来求解
完全的发射器的空间和频率发射分布，并由此算出六个方向的发射波动。
最后，通过分析
六个发射方向处的空间和频率带隙分布，实现对二维光子晶体结构带隙的精确计算。
平面波展开方法在计算二维光子晶体带隙结构方面有其独特的优势，它具有容易实现、精
确模拟的优点，而且还可以不受线性模式的约束，实现真正的空间及频率可调谐带隙结构
的计算，从而在光子晶体结构设计方面提供了有价值的参考。
太赫兹波在二维光子晶体波导中的传输特性研究
会议论文太赫兹波在二维光子晶体波导中的传输特性研究Ξ黄小琴, 陈鹤鸣(南京邮电大学光电工程学院, 光通信研究所, 南京210003摘要:首先用平面波展开法(PWM 计算了二维光子晶体的能带结构, 然后提出了适合TH z 波传输的光子晶体波导模型, 并采用时域有限差分法(FD TD 研究了TH z 波在这种波导中的传输特性。
在波导的输入输出口采样场值经过傅立叶变换以后进行比较, 结果很合理。
分析结果表明, 位于光子晶体禁带内的TH z 波在这种波导中的传输是几乎没有损耗的, 这为开发性能优良的TH z 器件提供了理论依据。
关键词:光子晶体; TH z 波器件; 平面波法; 中图分类号:O 441. 4文献标识码:A 2 20243203S tudy on the T ra nsm of Te ra he rtz W a ve in 2DC rys ta lW a ve guideHUAN G X iao 2qin , CH EN H e 2m ing(Colleg e of Op toelectron ic E ng ineering , Institu te of Op tica l T eleco m m un ica tions ,N anj ing U n iversity of P osts and T eleco m m un ica tions , N anj ing 210003, CH NAbstract :A t first , the band gap p roperty is investigated by u sing p lane w ave m ethod (PWM . A new typ e of w avegu ide m odel is designed . T hen the tran s m issi oncharacteristic of ter 2ahertz in th is k ind of w avegu ide is studied by m ean s of the fin ite difference ti m e dom ain m ethod (FD TD si m u lati on . Fou rier tran sfo r m ing fo r the field sam p led in the i m pu t o r ou tpu t of the w avegu ide is p erfo r m ed . T he com p arison show s that the resu lts are qu ite reasonab le . T he re 2search resu lts show that the TH z w ave , w ho se frequencies are in the pho ton ic band gap (PB G , can tran sfer w ith no lo ss in th is k ind of w avegu ide . T h is research p rovides a theo retic basis fo r the developm en t of TH z devices .Key words :pho ton ic crystal ; TH z devices ; PWM ; FD TD引言光子晶体是一种折射率呈周期变化的新型微结构材料[1], 因受到布拉格散射而成能带结构, 能带间有带隙存在。
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廖淑慧講師
中州技術學院電子工程系
黃坤賢學生
黃照智學生
中州技術學院電子工程系
摘要
光子晶體的主要特色在於所謂的光子能隙—電磁波無法在能隙中傳播。雖然三維的光子晶體被認為是最具應用潛力的，但是二維光子晶體的結構在製程上卻佔有較易製作的優勢，所以在光電元件裝置及相關研究領域上亦廣為使用。我們使用平面波展開法，分別計算一維和二維光子晶體的能帶結構。根據理論分析的結果，我們發現一維光子晶體無論介電常數差異如何，總是存在著光子能隙。對於二維正方晶格的結構計算，我們發現正方晶格對TM波有能隙，對TE波則無。
事實上，在三維光子能帶結構的概念尚未被提出之前，科學家們對於一維的光子晶體(層狀介電材料)的研究早已行之多年。電磁波在一維的光子晶體中的干涉現象早已應用在各種光學實驗以及相關的應用產品之中，例如作為波段選擇器、濾波器、繞射光柵元件或反射鏡等。因為科學界一直未能以「晶格」的角度來看待週期性光學材料，所以遲遲未能將固態物理上已發展成熟的能帶理論運用在這方面。直到1989年，Yablonovitch與Gmitter首次嘗試在實驗上證明三維光子能帶結構的存在[3]，終於引起相關研究領域的注意，並且開始大舉投入這方面的研究。
(1)
(2)
(3)
(4)
其中 為電場強度， 為磁場強度， 為相對介電常數， 、 為真空中的介電常數和導磁係數。
假設電場與磁場都是時間的諧和場，可令:
(5)
(6)
將(5)及(6)式代入(1)、(2)式中，整理之後可得到磁場的赫姆霍茲方程式(Helmholtz's equation)：
(7)
其中ω和c分別為光在真空中的角頻率及光速， 為介電常數函數。根據布洛赫定理(Bloch's Theorem)，在週期性排列結構中的電磁場可以用平面波展開如下：
考慮一介電質圓柱在x-y平面的週期排列，圓柱在z方向上無窮延伸出去，晶格基底向量(primitive lattice vector)為 ， ，a代表晶格間距，R為圓柱半徑，圓柱的材質為鋁(Al，其介電常數 )。正方晶格的倒晶格還是正方晶格，倒晶格基底向量(reciprocal lattice vector)為 ， ，根據(9)、(10)式可以求得 如下所示：
目前，光子晶體在光通訊系統中已有非常多的應用，例如光開關、光放大器、光交換等元件，甚至於非線性光子晶體光纖、多模態光子晶體光纖等，都在光電領域中有著非常具大的應用潛力。若能在元件中或電路製作前，先以演算法分析所需的光子晶體，必能為龐大的半導體製程省下大量的費用。
目前計算光子能帶結構的數值方法最常見的主要有:平面波展開法(plane wave expansion method,PWM)[4]-[7]有限元素法(finite element method, FEM)[8]-[10]及時域有限差分法(finite difference time domain, FDTD)[11]-[14]。在本論文中將利用平面波展開法，計算一維與二維光子晶體的色散曲線(dispersion curve)，找出其能隙所在。
關鍵詞:光子晶體，光子能隙，平面波展開法
壹﹑前言
當半導體中的電子受到晶格的週期性位勢(periodic potential)散射時，部份波段會因破壞性干涉而形成能隙(energy gap)，導致電子的色散關係(dispersion relation)呈帶狀分佈，此即所謂的電子能帶結構(electronic band structure)。西元1987年，E. Yablonovitch與S. John不約而同地提出相關見解[1][2]，說明類似的現象亦存在於所謂的光子系統中。根據他們提出的研究報告顯示，在介電係數呈週期性排列的三維介電材料中，電磁波被散射後，某些波段的電磁波強度將會因破壞性干涉而呈指數衰減，無法在該材料內傳遞，這樣的現象相當於在對應的頻譜上形成能隙，因此，色散關係也具有帶狀結構，此即所謂的光子能帶結構(photonic band structure)。這種具有光子能帶結構的介電物質，就稱為光子晶體(photonic crystal)。
參﹑結果分析
在本論文中，我們使用了一部份參考文獻[15].中的數據，以作為確認數值演算的結果依據。
在一維光子晶體結構中，無論介電常數比值為何，只要 ，永遠存在著能隙(圖1.)。由圖1.、圖2.及圖3.能隙的比較，我們也發現介電常數差額愈小者，能隙亦較小。
對於二維光子晶體結構，則主要計算正方晶格(square lattice)結構排列的二維光子晶體，探討其在橫磁波與橫電波下的色散特性曲線。
(12)
二﹑橫電波(TEmode)
在TE模態下，電場方向在x-y平面上，磁場在z方面上( 、 和 )，(11)式可化簡如下：
(13)
若考慮一維的問題，k和G只有兩個方向，分別是+x與-x，此時可將 分別取為 ，所以，特徵方程式可簡化為:
(14)
在此情況下， 和 都在y-z平面，所以TE mode和TM mode的情況是一樣的。
貳﹑光子能帶結構分析
平面波展開法主要的功能是用來求解光子晶體的色散關係(dispersion relation)。透過平面波展開法，可以了解光子晶體能隙的形成，並且可以利用超晶胞(supercell)的技巧求解含有缺陷(defect)的光子晶體的色散關係。
考慮一無源、線性、非損耗性( )介質的Maxwell方程式如下：
(8)
其中 為倒晶格向量， 、2， 為布洛赫波向量(Bloch's wavevector)， 為磁場沿著 方向的係數， 為兩個與 相互垂直的單位向量。
由於 為一週期函數，所以可用傅立葉級數展開之：
(9)
(10)
其中 為單位晶格(unit cell)，V為單位晶格的體積。
接著將(8)及(9)式代入(7)式，透過一些整理 後可得到一特徵方程式如下：
(11)
由(11)式，可根據不同的 值解出對應特徵值{ωn}及特徵向量 。若只考慮二維的問題時，(11)式可分解為兩個特徵值方程式，分別對應於橫磁波(TMmode)和橫電波(TEmode)。
一﹑橫磁波(TMmode)
假設電磁波的傳播方向在x-y平面上 ，在TM模態下僅考慮 、 和 三個場量，則(11)式可化簡如下：