以平面波展开法分析光子晶体能带结构.
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(8)
其中 為倒晶格向量， 、2， 為布洛赫波向量(Bloch's wavevector)， 為磁場沿著 方向的係數， 為兩個與 相互垂直的單位向量。
由於 為一週期函數，所以可用傅立葉級數展開之：
(9)
(10)
其中 為單位晶格(unit cell)，V為單位晶格的體積。
接著將(8)及(9)式代入(7)式，透過一些整理 後可得到一特徵方程式如下：
關鍵詞:光子晶體，光子能隙，平面波展開法
壹﹑前言
當半導體中的電子受到晶格的週期性位勢(periodic potential)散射時，部份波段會因破壞性干涉而形成能隙(energy gap)，導致電子的色散關係(dispersion relation)呈帶狀分佈，此即所謂的電子能帶結構(electronic band structure)。西元1987年，E. Yablonovitch與S. John不約而同地提出相關見解[1][2]，說明類似的現象亦存在於所謂的光子系統中。根據他們提出的研究報告顯示，在介電係數呈週期性排列的三維介電材料中，電磁波被散射後，某些波段的電磁波強度將會因破壞性干涉而呈指數衰減，無法在該材料內傳遞，這樣的現象相當於在對應的頻譜上形成能隙，因此，色散關係也具有帶狀結構，此即所謂的光子能帶結構(photonic band structure)。這種具有光子能帶結構的介電物質，就稱為光子晶體(photonic crystal)。
目前，光子晶體在光通訊系統中已有非常多的應用，例如光開關、光放大器、光交換等元件，甚至於非線性光子晶體光纖、多模態光子晶體光纖等，都在光電領域中有著非常具大的應用潛力。若能在元件中或電路製作前，先以演算法分析所需的光子晶體，必能為龐大的半導體製程省下大量的費用。
目前計算光子能帶結構的數值方法最常見的主要有:平面波展開法(plane wave expansion method,PWM)[4]-[7]有限元素法(finite element method, FEM)[8]-[10]及時域有限差分法(finite difference time domain, FDTD)[11]-[14]。在本論文中將利用平面波展開法，計算一維與二維光子晶體的色散曲線(dispersion curve)，找出其能隙所在。
事實上，在三維光子能帶結構的概念尚未被提出之前，科學家們對於一維的光子晶體(層狀介電材料)的研究早已行之多年。電磁波在一維的光子晶體中的干涉現象早已應用在各種光學實驗以及相關的應用產品之中，例如作為波段選擇器、濾波器、繞射光柵元件或反射鏡等。因為科學界一直未能以「晶格」的角度來看待週期性光學材料，所以遲遲未能將固態物理上已發展成熟的能帶理論運用在這方面。直到1989年，Yablonovitch與Gmitter首次嘗試在實驗上證明三維光子能帶結構的存在[3]，終於引起相關研究領域的注意，並且開始大舉投入這方面的研究。
參﹑結果分析
在本論文中，我們使用了一部份參考文獻[15].中的數據，以作為確認數值演算的結果依據。
在一維光子晶體結構中，無論介電常數比值為何，只要 ，永遠存在著能隙(圖1.)。由圖1.、圖2.及圖3.能隙的比較，我們也發現介電常數差額愈小者，能隙亦較小。
對於二維光子晶體結構，則主要計算正方晶格(square lattice)結構排列的二維光子晶體，探討其在橫磁波與橫電波下的色散特性曲線。
(12)
二﹑橫電波(TEmode)
在TE模態下，電場方向在x-y平面上，磁場在z方面上( 、 和 )，(11)式可化簡如下：
(13)
若考慮一維的問題，k和G只有兩個方向，分別是+x與-x，此時可將 分別取為 ，所以，特徵方程式可簡化為:
(14)
在此情況下， 和 都在y-z平面，所以TE mode和TM mode的情況是一樣的。
以平面波展開法分析光子晶體能帶結構
廖淑慧講師
中州技術學院電子工程系
黃坤賢學生
黃照智學生
中州技術學院電子工程系
摘要
光子晶體的主要特色在於所謂的光子能隙—電磁波無法在能隙中傳播。雖然三維的光子晶體被認為是最具應用潛力的，但是二維光子晶體的結構在製程上卻佔有較易製作的優勢，所以在光電元件裝置及相關研究領域上亦廣為使用。我們使用平面波展開法，分別計算一維和二維光子晶體的能帶結構。根據理論分析的結果，我們發現一維光子晶體無論介電常數差異如何，總是存在著光子能隙。對於二維正方晶格的結構計算，我們發現正方晶格對TM波有能隙，對TE波則無。
貳﹑光子能帶結構分析
平面波展開法主要的功能是用來求解光子晶體的色散關係(dispersion relation)。透過平面波展開法，可以了解光子晶體能隙的形成，並且可以利用超晶胞(supercell)的技巧求解含有缺陷(defect)的光子晶體的色散關係。
考慮一無源、線性、非損耗性( )介質的Maxwell方程式如下：
考慮一介電質圓柱在x-y平面的週期排列，圓柱在z方向上無窮延伸出去，晶格基底向量(primitive lattice vector)為 ， ，a代表晶格間距，R為圓柱半徑，圓柱的材質為鋁(Al，其介電常數 )。正方晶格的倒晶格還是正方晶格，倒晶格基底向量(reciprocal lattice vector)為 ， ，根據(9)、(10)式可以求得 如下所示：
(1)
(2)
(3)
(4)
其中 為電場強度， 為磁場強度， 為相對介電常數， 、 為真空中的介電常數和導磁係數。
假設電場與磁場都是時間的諧和場，可令:
(5)
(6)
將(5)及(6)式代入(1)、(2)式中，整理之後可得到磁場的赫姆霍茲方程式(Helmholtz's equation)：
(7)
其中ω和c分別為光在真空中的角頻率及光速， 為介電常數函數。根據布洛赫定理(Bloch's Theorem)பைடு நூலகம்在週期性排列結構中的電磁場可以用平面波展開如下：
(11)
由(11)式，可根據不同的 值解出對應特徵值{ωn}及特徵向量 。若只考慮二維的問題時，(11)式可分解為兩個特徵值方程式，分別對應於橫磁波(TMmode)和橫電波(TEmode)。
一﹑橫磁波(TMmode)
假設電磁波的傳播方向在x-y平面上 ，在TM模態下僅考慮 、 和 三個場量，則(11)式可化簡如下：
其中 為倒晶格向量， 、2， 為布洛赫波向量(Bloch's wavevector)， 為磁場沿著 方向的係數， 為兩個與 相互垂直的單位向量。
由於 為一週期函數，所以可用傅立葉級數展開之：
(9)
(10)
其中 為單位晶格(unit cell)，V為單位晶格的體積。
接著將(8)及(9)式代入(7)式，透過一些整理 後可得到一特徵方程式如下：
關鍵詞:光子晶體，光子能隙，平面波展開法
壹﹑前言
當半導體中的電子受到晶格的週期性位勢(periodic potential)散射時，部份波段會因破壞性干涉而形成能隙(energy gap)，導致電子的色散關係(dispersion relation)呈帶狀分佈，此即所謂的電子能帶結構(electronic band structure)。西元1987年，E. Yablonovitch與S. John不約而同地提出相關見解[1][2]，說明類似的現象亦存在於所謂的光子系統中。根據他們提出的研究報告顯示，在介電係數呈週期性排列的三維介電材料中，電磁波被散射後，某些波段的電磁波強度將會因破壞性干涉而呈指數衰減，無法在該材料內傳遞，這樣的現象相當於在對應的頻譜上形成能隙，因此，色散關係也具有帶狀結構，此即所謂的光子能帶結構(photonic band structure)。這種具有光子能帶結構的介電物質，就稱為光子晶體(photonic crystal)。
目前，光子晶體在光通訊系統中已有非常多的應用，例如光開關、光放大器、光交換等元件，甚至於非線性光子晶體光纖、多模態光子晶體光纖等，都在光電領域中有著非常具大的應用潛力。若能在元件中或電路製作前，先以演算法分析所需的光子晶體，必能為龐大的半導體製程省下大量的費用。
目前計算光子能帶結構的數值方法最常見的主要有:平面波展開法(plane wave expansion method,PWM)[4]-[7]有限元素法(finite element method, FEM)[8]-[10]及時域有限差分法(finite difference time domain, FDTD)[11]-[14]。在本論文中將利用平面波展開法，計算一維與二維光子晶體的色散曲線(dispersion curve)，找出其能隙所在。
事實上，在三維光子能帶結構的概念尚未被提出之前，科學家們對於一維的光子晶體(層狀介電材料)的研究早已行之多年。電磁波在一維的光子晶體中的干涉現象早已應用在各種光學實驗以及相關的應用產品之中，例如作為波段選擇器、濾波器、繞射光柵元件或反射鏡等。因為科學界一直未能以「晶格」的角度來看待週期性光學材料，所以遲遲未能將固態物理上已發展成熟的能帶理論運用在這方面。直到1989年，Yablonovitch與Gmitter首次嘗試在實驗上證明三維光子能帶結構的存在[3]，終於引起相關研究領域的注意，並且開始大舉投入這方面的研究。
參﹑結果分析
在本論文中，我們使用了一部份參考文獻[15].中的數據，以作為確認數值演算的結果依據。
在一維光子晶體結構中，無論介電常數比值為何，只要 ，永遠存在著能隙(圖1.)。由圖1.、圖2.及圖3.能隙的比較，我們也發現介電常數差額愈小者，能隙亦較小。
對於二維光子晶體結構，則主要計算正方晶格(square lattice)結構排列的二維光子晶體，探討其在橫磁波與橫電波下的色散特性曲線。
(12)
二﹑橫電波(TEmode)
在TE模態下，電場方向在x-y平面上，磁場在z方面上( 、 和 )，(11)式可化簡如下：
(13)
若考慮一維的問題，k和G只有兩個方向，分別是+x與-x，此時可將 分別取為 ，所以，特徵方程式可簡化為:
(14)
在此情況下， 和 都在y-z平面，所以TE mode和TM mode的情況是一樣的。
以平面波展開法分析光子晶體能帶結構
廖淑慧講師
中州技術學院電子工程系
黃坤賢學生
黃照智學生
中州技術學院電子工程系
摘要
光子晶體的主要特色在於所謂的光子能隙—電磁波無法在能隙中傳播。雖然三維的光子晶體被認為是最具應用潛力的，但是二維光子晶體的結構在製程上卻佔有較易製作的優勢，所以在光電元件裝置及相關研究領域上亦廣為使用。我們使用平面波展開法，分別計算一維和二維光子晶體的能帶結構。根據理論分析的結果，我們發現一維光子晶體無論介電常數差異如何，總是存在著光子能隙。對於二維正方晶格的結構計算，我們發現正方晶格對TM波有能隙，對TE波則無。
貳﹑光子能帶結構分析
平面波展開法主要的功能是用來求解光子晶體的色散關係(dispersion relation)。透過平面波展開法，可以了解光子晶體能隙的形成，並且可以利用超晶胞(supercell)的技巧求解含有缺陷(defect)的光子晶體的色散關係。
考慮一無源、線性、非損耗性( )介質的Maxwell方程式如下：
考慮一介電質圓柱在x-y平面的週期排列，圓柱在z方向上無窮延伸出去，晶格基底向量(primitive lattice vector)為 ， ，a代表晶格間距，R為圓柱半徑，圓柱的材質為鋁(Al，其介電常數 )。正方晶格的倒晶格還是正方晶格，倒晶格基底向量(reciprocal lattice vector)為 ， ，根據(9)、(10)式可以求得 如下所示：
(1)
(2)
(3)
(4)
其中 為電場強度， 為磁場強度， 為相對介電常數， 、 為真空中的介電常數和導磁係數。
假設電場與磁場都是時間的諧和場，可令:
(5)
(6)
將(5)及(6)式代入(1)、(2)式中，整理之後可得到磁場的赫姆霍茲方程式(Helmholtz's equation)：
(7)
其中ω和c分別為光在真空中的角頻率及光速， 為介電常數函數。根據布洛赫定理(Bloch's Theorem)பைடு நூலகம்在週期性排列結構中的電磁場可以用平面波展開如下：
(11)
由(11)式，可根據不同的 值解出對應特徵值{ωn}及特徵向量 。若只考慮二維的問題時，(11)式可分解為兩個特徵值方程式，分別對應於橫磁波(TMmode)和橫電波(TEmode)。
一﹑橫磁波(TMmode)
假設電磁波的傳播方向在x-y平面上 ，在TM模態下僅考慮 、 和 三個場量，則(11)式可化簡如下：