函数与变量知识点与练习(复习用)
《19.1.1 变量与函数》教案、同步练习
第19章《19.1.1变量与函数》第19章《19.1.1变量与函数》售票数量x取定一个值时，票房收入y就随之确定一个值．例如早场x=150，则y=1500；•日场x=205，则y=2050；晚场x=310，则y=3100．问题（2）中，通过试验可以看出：每当重物质量m确定一个值时，弹簧长度L•就随之确定一个值．如果弹簧原长10cm，每1kg重物使弹簧伸长0．5cm．当m=10时，则L=15，当m=20时，则L=20．[师]很好，他说得非常正确．谢谢你．我们再来回顾活动二中的两个问题．看看它们中的变量又怎样呢？[生]活动二中的两个问题也都分别有两个变量．问题（1）中，很容易算出，当S=10cm2时，r=1．78cm；当S=20cm2时，r=2．52cm．•每当S取定一个值时，r随之确定一个值，它们的关系为r=S．问题（2）中，我们可以根据题意，每确定一个矩形的一边长，•即可得出另一边长，再计算出矩形的面积．如：当x=1cm时，则Ｓ＝1×（5-1）=4cm2，当x=2cm时，则Ｓ＝2×（5-2）=6cm2……它们之间存在关系S=x（5-x）=5x-x2．因此可知，•每当矩形长度x取定一个值时，面积Ｓ就随之确定一个值．[师]谢谢你，大家为他鼓掌．由以上回顾我们可以归纳这样的结论：上面每个问题中的两个变量互相联系，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量随之就有唯一确定的值与它对应．其实，在一些用图或表格表达的问题中，也能看到两个变量间的关系．我们来看下面两个问题，通过观察、思考、讨论后回答：（1）下图是体检时的心电图．其中横坐标x表示时间，纵坐标y•表示心脏部位的生物电流，它们是两个变量．在心电图中，对于x的每个确定的值，y都有唯一确定的对应值吗？（2）在下面的我国人口数统计表中，年份与人口数可以记作两个变量x与y，•对于表中每个确定的年份（x），都对应着个确定的人口数（y）吗？中国人口数统计表年份人口数／亿1984 10．341989 11．061994 11．761999 12．52[生]我们通过观察不难发现在问题（1）的心电图中，对于x的每个确定值，y•都有唯一确定的值与其对应；在问题（2）中，对于表中每个确定的年份x，都对应着一个确定的人口数y．[师]一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x•的每个确定的值，y•都有唯一确定的值与其对应，•那么我们就说x•是自变量（independentvariable），y是x的函数（function）．如果当x=a时，y=b，那么b•叫做当自变量的值为a时的函数值．据此我们可以认为：上节情景问题中时间t是自变量，里程s是t的函数．t=1时的函数值s=60，t=2时的函数值s=120，t=2．5时的函数值s=150，…，同样地，在以上心电图问题中，时间x是自变量，心脏电流y是x的函数；人口数统计表中，•年份x是自变量，人口数y是x的函数．当x=1999时，函数值y=12．52亿．从上面的学习中可知许多问题中的变量之间都存在函数关系．[活动一]活动内容设计：1．在计算器上按照下面的程序进行操作：填表：x 1 3 -4 0 101y显示的数y是输入的数x的函数吗？为什么？2．在计算器上按照下面的程序进行操作．下表中的x与y是输入的5个数与相应的计算结果：x 1 2 3 0 -1y 3 5 7 2 -1所按的第三、四两个键是哪两个键？y是x的函数吗？如果是，写出它的表达式（用含有x的式子表示y）．设计意图：通过在计算器上操作及填表分析，进一步认识函数意义，经过对表中数据分析推理验证以至最后确定按键、写表达式逐步掌握列函数式的方法．教师活动：引导学生正确操作、分析思考、寻求理由证据，确定按键及函数关系式．学生活动：在教师引导下，1．经历操作、填表、分析、推理、确认等一系列过程，更加深刻理解函数意义．2．通过观察、讨论、分析、猜想、验证、确立等一系列过程，进一步掌握建立函数关系式的办法．活动结论：1．从计算结果完全可以看出，每输入一个x的值，操作后都有一个唯五的y值与其对应，所以在这两个变量中，x是自变量、y是x的函数．2．从表中两行数据中不难看出第三、四按键是1这两个键，且每个x•的值都有唯一一个y值与其对应，所以在这两个变量中，x是自变量，y是x的函数．关系式是：y=2x+1《19.1.1变量与函数》同步练习一、单选题（共15题；共30分）1、物体从足够高的地方做自由落体运动，下降的高度h与时间t满足关系式h＝gt2则3秒后物体下落的高度是（g取10）（）A、15米B、30米C、45米D、60米2、下列关系式中，变量x=-1时，变量y=6的是（）A、y=3x+3B、y=-3x+3C、y=3x–3D、y=-3x–33、如图，矩形的长和宽分别为8cm和4cm，截去一个宽为x的小矩形（阴影部分）后余下另一个矩形的面积S与x之间的关系可表示为（）．A、S＝4xB、S＝4(8－x)C、S＝8(4－x)D、S＝8x4、要画一个面积为20cm2的长方形，其长为xcm，宽为ycm，在这一变化过程中，常量与变量分别为( )。
《19.1 变量与函数》课件(含习题)
讲授新课
一 函数的相关概念
情景一
想一想，如果你坐 在摩天轮上，随着 时间的变化，你离 开地面的高度是如 何变化的？
下图反映了摩天轮上的一点的高度h (m)与旋转时间t(min) 之间的关系.
(1)根据左图填表：
t/分 0 1 2 3 4 5 … h/米 3 10 37 45 37 11 … (2)对于给定的时间t ，相 应的高度h能确定吗？
方法 区分常量与变量，就是看在某个变化过程中，该 量的值是否可以改变，即是否可以取不同的值.
二 确定两个变量之间的关系
例3 弹簧的长度与所挂重物有关．如果弹簧原长为10cm， 每1千克重物使弹簧伸长0.5cm，试填下表：
重物的质量 1 2 3 4 5 (kg)
弹簧长度 (cm)
10.5 11
11.5 12 12.5
4x 8 0 x 2
(3) y x 3
x 3 0 x 3
(4) y x 1 1 1 x
x 1且 x 1
x 1 0
1 x 0
即 xx
1 1
... -1 0 1
5.我市白天乘坐出租车收费标准如下：乘坐里程不超过3公 里，一律收费8元；超过3公里时，超过3公里的部分，每公里 加收1.8元；设乘坐出租车的里程为x（公里）（x为整数）， 相对应的收费为y（元）.
4.收音机上的刻度盘的波长和频率分别是用米（m）和 千赫兹（kHz）为单位标刻的．下面是一些对应的数：
波长l(m) 300 500 600 1000 1500 频率 1000 600 500 300 200 f(khz)
你能发现每一组l，f 的值之间的关系吗？并指出变量与 常量.
一次函数知识点复习(详解加练习)
j距离(km)时间1513121110.5O 1530一次函数复习一、 变量与函数①函数定义：在一个变化过程中，如果有两个变量x 和y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么x 是自变量，y 是x 的函数 ②函数的三种表示法：列表法、图象法、解析法 ③会求函数自变量的取值范围。
④函数是研究运动变化的重要数学模型，它来源于实际，又服务于实际，学会利用函数图象研究函数的性质。
【例题讲解】例1、学校有一批复印任务，原来由甲复印社承接，按每100页40元计费，现乙复印社表示，若学校先按月付给200元的承包费，则可按每100页15元收费。
设复印页数为x 页。
（1）分别写出甲复印社收费y 1（元）、乙复印社收费y 2（元）与x 的函数关系式。
（2）请你选择：①复印页数是多少时，选择甲、乙复印社收费相同？ ②复印页数是多少时，选择甲复印社收费较少？ ③复印页数是多少时，选择乙复印社收费较少？例2、学校阅览室有能坐4 人的方桌，如果多于4 人，就把方桌拼成一行，2张方桌拼成一行能坐6 人，如图所示，请你结合这个规律，填写下表：例4、地壳的厚度约为8到40km ，在地表以下不太深的地方，温度可按y ＝3.5x ＋t 计算，其中x 是深度，t 是地球表面温度，y 是所达深度的温度．（１）在这个变化过程中，自变量和因变量分别是什么？ （２）如果地表温度为2℃，计算当x 为5km 时地壳的温度．例5、下列各曲线中不能表示y 是x 的函数是（ ）。
y （千米）与所用的时间x （小时）之间关系的函数图象，小明9点离开家，15点回家。
根据这个图象，请你回答下列问题： ①小强到离家最远的地方需几小时？此时离家多远？ ②何时开始第一次休息？休息时间多长？ ③小强何时距家21㎞？（写出计算过程）O x(吨)y(元)856.33.6例7、某市自来水公司为了鼓励市民节约用水，采取分段收费标准，某市居民每月交水费y （元）与水量x （吨）的函数关系如图所示，请你通过观察函数图象，回答自来水公司收费标准：若用水不超过5吨，水费为 元／吨；若用水超过5吨，超过部分的水费为 元／吨。
一次函数讲义变量与函数
一.常量与变量：函数与变量1.概念;在某一变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，有些量的数值始终不变，我们称它们为常量．2.了解变量的概念，会区别常量与变量．3.注意：区别自变量与因变量和常量4.练习：1、骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温随时间的变化而变化，在这一问题中，自变量是（ ）A 、沙漠B 、体温C 、时间D 、骆驼2.圆的面积S （cm 2）与圆的半径r(cm)之间的函数关系式是S=Πｒ2,，此关系式中的变量是（ ）A ，r 2B ，r C,S, Π, r 2D,S 和r二：函数的概念1. 了解函数的概念，弄清自变量与函数之间的关系2.概念：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x 与y ，并且对于x•的每一个确定的值，y 都有唯一确定的 值与其对应，那么我们就说x 是自变量，y 是x 的函数．3.注意：①两个变量x 与y ②对于x•的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应③一个变量的数值随着另一个变量的数值变化而变化 4.练习：1.下列各种表达方式中，能表示变量y 与变量x 之间的函数关系的有（ ）A ，1个 ，B ，2个 ，C ，3个，D ，4个，2.下列函数中，不是函数关系的是（ ）A,y=x （x>0）; B ，y=x -（x<0） C,y=±x （x>0）; D, y=－x （x>0）; 3、下列各图象中，y 不是x 函数的是 （ ）4.. 下列函数中，表示同一函数的是（ ）Ａ.y=x 与.y=x x 2； B.y=x 与y=（x ）2； C.y= x 与y=33x ； D.y= x 与y=2x三：自变量的取值范围的确定1. 自变量的取值必须使含自变量的代数式（数学式子）有意义 ① 整式：全体实数 ② 分式：分母不等于0③ 二次根式下含自变量：开偶数次方中的被开方数必须大于等于0。
④ 有分式也有二次根式下含自变量：两个的公共部分2.当函数解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义3.注意: 自变量的取值范围可以是有限也可以是无限，可以是一个或几个数X 1 2 3 4 y33 16O yxOxyOxyxyOy 2=x+1 (3)4.有的要列不等式或不等式组来求5.练习： 1、在函数y=xx 32+中,自变量的取值范围是( )A 、x ≥-2且x ≠0； B 、x ≤2且x ≠0； C 、x ≠0； D 、x ≤-2； 2.、函数212-++=x x y 的自变量x 的取值范围是（ ） A 、x ≥-2； B 、x ＞-2且x ≠2； C 、x ≥0且x ≠2； D 、x ≥-2且x ≠2。
高一函数知识点总结及例题
高一函数知识点总结及例题高一函数知识点总结及例题：1. 函数的定义与性质：- 函数的定义：函数是一种对应关系，每个自变量对应唯一的因变量。
- 定义域和值域：函数的定义域是自变量的取值范围，值域是函数的所有可能的因变量值的集合。
- 奇偶性：奇函数的图像以原点对称，即满足$f(-x)=-f(x)$；偶函数的图像以y轴对称，即满足$f(-x)=f(x)$。
- 单调性：递增函数的图像从左到右逐渐升高；递减函数的图像从左到右逐渐降低。
例题：给定函数$f(x)=2x^2+3x-1$，求其定义域和值域。
解答：由于函数是多项式函数，所以定义域为全体实数。
接下来求值域，可以求出函数的导函数$f'(x)=4x+3$，根据导函数的单调性可以判断函数的增减性。
导函数的系数为正数4，所以原函数是递增函数。
考虑到函数是二次函数，开口向上，所以函数的最小值就是导数的零点，即$x=-\frac{3}{4}$。
将$x=-\frac{3}{4}$代入函数中，得到最小值为$f(-\frac{3}{4}) = -\frac{7}{8}$。
所以值域为$[-\frac{7}{8},+\infty)$。
2. 基本初等函数：- 线性函数：$f(x)=kx+b$，k为斜率，b为截距。
- 幂函数：$f(x)=x^a$，a为常数，当a>0时，函数递增；当a<0时，函数递减。
- 指数函数：$f(x)=a^x$，a为常数，a>1时，函数递增；0<a<1时，函数递减。
- 对数函数：$f(x)=\log_a x$，a为常数，a>1时，函数递增；0<a<1时，函数递减。
- 三角函数：正弦函数、余弦函数、正切函数等。
例题：已知函数$f(x)=2^x-3$，求解方程$f(x)=0$的解。
解答：将$f(x)$置0得到方程$2^x-3=0$，移项得$2^x=3$。
由指数函数的性质可知，$x=\log_2 3$。
高一数学上册第一章函数及其表示知识点及练习题(含答案)
函数及其表示（一）知识梳理1．映射的概念设B A 、是两个非空集合，如果按照某种对应法则f ，对A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，则称f 是集合A 到集合B 的映射,记作f(x).2．函数的概念(1)函数的定义：设B A 、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对A 中的 任意数 x ，在集合B 中都有 唯一确定 的数y 和它对应，则这样的对应关系叫做从A 到B 的一个函数，通常记为___y=f(x),x ∈A(2)函数的定义域、值域在函数A x x f y ∈=),(中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值， 对于的函数值的集合所有的集合构成值域。
(3)函数的三要素： 定义域 、 值域 和 对应法则3．函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法（1）．图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系；（2）．列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；(3)．解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。
4．分段函数在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。
（二）考点分析考点1：判断两函数是否为同一个函数如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，称这两个函数相等。
考点2：求函数解析式方法总结：（1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法；（2）若已知复合函数)]([x g f 的解析式，则可用换元法或配凑法；（3）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出)(x f1.2函数及其表示练习题（2）一、选择题1. 判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ） ⑴3)5)(3(1+-+=x x x y ，52-=x y ； ⑵111-+=x x y ，)1)(1(2-+=x x y ；⑶x x f =)(，2)(x x g =；⑷()f x =()F x = ⑸21)52()(-=x x f ，52)(2-=x x f .A. ⑴、⑵B. ⑵、⑶C. ⑷D. ⑶、⑸2. 函数()y f x =的图象与直线1x =的公共点数目是（ ）A. 1B. 0C. 0或1D. 1或23. 已知集合{}{}421,2,3,,4,7,,3A k B a a a ==+，且*,,a N x A y B ∈∈∈ 使B 中元素31y x =+和A 中的元素x 对应，则,a k 的值分别为（ ）A. 2,3B. 3,4C. 3,5D. 2,54. 已知22(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，若()3f x =，则x 的值是（ ）A. 1B. 1或32C. 1，32或 D.5. 为了得到函数(2)y f x =-的图象，可以把函数(12)y f x =-的图象适当平移， 这个平移是（ ）A. 沿x 轴向右平移1个单位B. 沿x 轴向右平移12个单位 C. 沿x 轴向左平移1个单位 D. 沿x 轴向左平移12个单位 6. 设⎩⎨⎧<+≥-=)10()],6([)10(,2)(x x f f x x x f 则)5(f 的值为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13二、填空题1. 设函数.)().0(1),0(121)(a a f x xx x x f >⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥-=若则实数a 的取值范围是 . 2. 函数422--=x x y 的定义域 . 3. 若二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于(2,0),(4,0)A B -，且函数的最大值为9，则这个二次函数的表达式是 .4.函数0y =_____________________. 5. 函数1)(2-+=x x x f 的最小值是_________________.三、解答题1.求函数()f x =.2. 求函数12++=x x y 的值域.3. 12,x x 是关于x 的一元二次方程22(1)10x m x m --++=的两个实根，又2212y x x =+，求()y f m =的解析式及此函数的定义域.4. 已知函数2()23(0)f x ax ax b a =-+->在[1,3]有最大值5和最小值2，求a 、b 的值.参考答案（2）一、选择题 1. C 2. C 3. D 4. D∴2()3,12,f x x x x ===-<<而∴ x =5. D 平移前的“1122()2x x -=--”，平移后的“2x -”， 用“x ”代替了“12x -”，即1122x x -+→，左移 6. B [][](5)(11)(9)(15)(13)11f f f f f f f =====.二、 1.(),1-∞- 当10,()1,22a f a a a a ≥=-><-时，这是矛盾的； 当10,(),1a f a a a a<=><-时； 2. {}|2,2x x x ≠-≠且 240x -≠3. (2)(4)y x x =-+- 设(2)(4)y a x x =+-，对称轴1x =， 当1x =时，max 99,1y a a =-==-4. (),0-∞ 10,00x x x x -≠⎧⎪<⎨->⎪⎩ 5. 54- 22155()1()244f x x x x =+-=+-≥-. 三、 1. 解：∵10,10,1x x x +≠+≠≠-，∴定义域为{}|1x x ≠-2. 解： ∵221331(),244x x x ++=++≥∴y ≥，∴值域为)+∞ 3. 解：24(1)4(1)0,30m m m m ∆=--+≥≥≤得或，222121212()2y x x x x x x =+=+-224(1)2(1)4102m m m m =--+=-+∴2()4102,(03)f m m m m m =-+≤≥或.4. 解：对称轴1x =，[]1,3是()f x 的递增区间，max ()(3)5,335f x f a b ==-+=即min ()(1)2,32,f x f a b ==--+=即∴3231,.144a b a b a b -=⎧==⎨--=-⎩得。
新人教版八年级下数学《函数》练习题
新人教版八年级下数学《函数》练习题新人教版八年级下数学《函数》练题19.1 函数19.1.1 变量与函数课前预要点感知1：在一个变化过程中，数值发生的量叫做变量，数值始终不变的量叫做常量。
预练1-1：如果直角三角形两锐角的度数分别为x、y，其关系式为y=90-x，其中变量为x，常量为90.要点感知2：在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。
如果当x=a时，y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。
预练2-1：如果球的体积为V，半径为R，则V=πR^3.其中自变量是R，函数是V。
要点感知3：函数自变量的取值范围既要满足函数关系式，又要满足实际问题。
预练3-1：甲乙两地相距100km，一辆汽车以每小时40km的速度从甲地开往乙地，t小时与乙地相距s km，s与t的函数解析式是s=40t，自变量t的取值范围是0≤t≤2.5.当堂训练知识点1：变量与常量1.圆周长公式C=2πR中，下列说法正确的是(B)R是变量，2、π、C为常量。
2.写出下列各问题中的数量关系，并指出各个关系式中，哪些是常量？哪些是变量？1)购买单价为5元的钢笔n支，共花去y元；变量是n，常量是5.2)全班50名同学，有a名男同学，b名女同学；变量是a、b，常量是50.3)汽车以60km/h的速度行驶了t h，所走过的路程为s km；变量是t，常量是60.知识点2：函数的有关概念3.下列关系式中，一定能称y是x的函数的是(B)y=3x-1.4.若93号汽油售价7.85元/升，则付款金额y(元)与购买数量x(升)之间的函数关系式为y=7.85x，其中x是自变量，y是的函数。
5.当x=2和x=-3时，分别求下列函数的函数值。
1)y=(x+1)(x-2)；当x=2时，y=0；当x=-3时，y=20.2)y=2x^2-3x+2；当x=2时，y=8；当x=-3时，y=29.知识点3：函数的解析式及自变量的取值范围6.（云南中考）函数y=(x-2)/x的自变量x的取值范围为(x≠2)。
函数与变量知识点与练习(复习用)
第一讲 变量及函数知识点1: 常量及变量常量（或常数）:数值保持不变的量变量: 可以取不同数值且变化的量注: 常量和变量是相对而言的, 它由问题的条件确定。
如s ＝vt 中, 若s 肯定时, 则 s 是常量, v, t 是变量若v 肯定时, 则 v 是常量, s, t 是变量若t 肯定时, 则 t 是常量, s, v 是变量（1） 例1 分别指出下列关系式中的变量及常量:（2） 一个物体从高处自由落下, 该物体下落的距离及它下落的时间的关系式为（其中）；一个多边形的内角和A 及边数（, 且为整数）存在关系；长方体的体积及长, 宽, 高之间的关系式为。
知识点2: 函数的概念 及函数思想（难点）一般地, 设在一个变化的过程中有两个变量x, y,假如对于x 在它允许取值范围内的每一个值, y 都有唯一确定的值及它对应, 那么就说x 是自变量, y 是x 的函数.对函数概念的理解, 主要抓住以下三点：1 有两个变量；一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而变化； 对于自变量每一个确定的值, 函数有且只有一个值及之对应。
例如：y=±x, 当x=1时, y 有两个对应值, 所以y=±x 不是函数关系。
对于不同的自变量x 的取值, y 的值可以相同, 例如, 函数：y=|x|, 当x=±1时, y 的对应值都是1。
注: （1）函数体现的是一个变化的过程: 一个变量的变化对另一个变量的影响。
（2）在变化的过程中有且只有两个变量: 自变量（一般在等号的右边）和 因变量（一般在等号的左边）。
（3）函数的实质是两个变量之间的对应关系: 自变量x 每取一个值, 因变量有唯一确定的值及它对应。
（4）含有一个变量的代数式可以看作这个变量的函数。
例1 推断下列变量之间是不是存在函数关系并说明理由（1）长方形的宽肯定时, 其长及面积； （2）等腰三角形的底边长及面积 （3）某人的身高及年龄 （4）弹簧的总长度y （cm ）及所挂物体质量x （kg ）例2 下列变量x, y 的关系中, y 是x 的函数的（）x 是y 的函数的（）3x －y ＝5 ②y ＝｜x ｜ ③2210x y -=例3 下列各曲线中, 不能表示y 是x 函数的为（ ）A ．B ．C ．D ．知识点3: 函数的自变量的取值范围 （重点, 常考点）（1）若函数关系式是整式, 则自变量的取值范围是: 全体实数。
第十八章 《函数及其图像》复习资料(知识结构)(自编)
第十八章 《函数及其图象》复习资料知识结构一、函数及其图象 （一）变量与函数1.在某一变化过程中，可以取 的量，叫做变量。
取值 ，我们称之为常量。
如：圆的面积S 随半径r 的变化而变化，S 与r 是变量，π是常量。
2.表示函数的方法通常有三种：① ，② ，③ 。
（二）图形与坐标1.在平面上两条 、 且 的数轴，建立一个平面直角坐标系。
2.点的坐标（x ，y ）中，x 代表横坐标，y 代表纵坐标。
3.各象限内点的坐标符号：（如下图）4.对称两点的坐标特征（如下图）5. x 轴上点坐标表示为（x ， ），y 轴上点坐标表示为（ ，y ）6. 点P （x ，y ）到x 轴的距离是 ，到y 轴的距离是 。
7.x 轴上两点（a ，0），（b ，0）之间的距离是 或 ，y 轴上两点（0，m ），（0,n ）之间的距离是 或8.函数图象的作图方法：① ，② ，③ 。
例1：已知点P （m -1,3），（1）若点P 在第二象限，则m 的取值范围是 ， （2）当m=1时，点P 在 ，（3）当m=2时，点P 关于x 轴对称的点p 1的坐标是 ，关于y 轴对称的同为正同为负一负一正一正一负点p 2的坐标是 ，关于原点对称的点p 3的坐标是 .。
（三）函数自变量的取值范围：关键是使函数解析式有意义。
（1）当函数的解析式是整式时，自变量取 ； （2）当函数的解析式是分式时，自变量取 ； （3）当函数的解析式是偶次根式时，自变量取使 ； （4）当函数的解析式是奇次根式时，自变量取 ； （5）实际问题中，自变量的取值范围要根据实际情况而定； 注意：需要多种情况综合考虑时，注意不要遗漏。
例2：求下列函数自变量的取值范围：（1）y x =-26；（2） （3）y x =-6；（4）二、一次函数1.一次函数的概念：函数（，为常数，）叫做的一次函数。
（1）作为一次函数自变量的最高次数是1，且其系数，这两个条件缺一不可。
（2）正比例函数 （为常数，且），正比例函数是特殊的 ，2.一次函数的图像：一次函数y ＝kx ＋b （k ≠0）的图像是 。
高中数学(函数的性质)复习及习题课件PPT
(1)如果函数图像上任意一点P关于原点对称的点P′也在函数的图像上，那么，函
数图像关于原点对称，原点O叫作这个函数图像对称的中心.
(2)如果函数图像上任意一点P关于y轴对称的点P′也在函数的图像上，那么，函数
图像关于y轴对称，y轴叫作这个函数图像的对称轴.
知识清单
考点二 函数的奇偶性
函 数
高中
数学
§第二节 函数的性质
（复习+习题练习）
真题在线
例
真题在线
例
知识清单
考点一
函数的单调性
1.函数单调性的概念
如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量1 , 2 ，当1 < 2 时，有
1 < 2 ，那么函数f(x)在此区间上单调递增(增函数)；当1 < 2 时，有
2.函数奇偶性的定义
(1)奇函数：如果对于函数y=f(x)在定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，则
这个函数叫作奇函数.
(2)偶函数：如果对于函数y=f(x)在定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x),则这
个函数叫作偶函数.
(3)如果f(x)是奇函数或偶函数，我们就说f(x)具有奇偶性.
1 > 2 ，那么函数f(x)在此区间上单调递减(减函数).如果函数y=f(x)在
某个区间上是增函数或减函数，就说f(x)在此区间上具有单调性，这个区间叫
作单调区间.
知识清单ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
考点一
函数的单调性
2.单调函数的图像
增函数的图像从左往右呈上升趋势，减函数的图像从左往右呈下降趋势.
3.函数单调性证明的一般过程
知识清单
人教八年级数学下册-变量与函数(附习题)
C.p和t是变量
D.数100和t都是常量
2.分别指出下列式子中的变量和常量：
(1)圆的变周量长l=2π常r(其量中l为周长，r为半径)；
(2)式变子量m=(n-常2)量×18变0°量(m为多边形的内角
和，n为边数)；
变量
常量
变量 常量 (3)若矩形的宽为x，面积为36，则这个矩形的
长为y= 36 . 变量
2.能列出函数解析式表示两个变量之间 的关系.
3.能根据函数解析式求函数自变量的取 值范围.
4.能根据问题的实际意义求函数自变量 的取值范围.
推进新课
知识点 1 函数的概念及函数值
思考下面两个问题， 你学到了什么？
1.下图是体检时的心电图，图上点的横坐标x 表示时间，纵坐标y表示心脏部位的生物电流，它 们是两个变量.在心电图中，对于x的每一个确定 的值，y都有唯一确定的值与其对应吗？
小圆半径 小圆面积 圆环面积
课堂小结
变量
数值发生变化的量
常量
数值始终不变的量
拓展延伸 心理学家发现，学生对概念的接受能力y
与提出概念所用的时间x(单位：分)之间有如 下关系(其中0≤x≤30)：
提出概念所用的时间(x) 2 5 7 10 12 13 14 17 20 对概念的接受能力(y) 47.8 53.5 56.3 59 59.8 59.9 59.8 58.3 55
13分钟
第2课时 函数
新课导入
上节课我们学习了变量与常量， 这节课我们进一步学习函数及函数自 变量的取值范围问题.
试判断下面所给的两个例子中两 个变量是否也存在一一对应的关系.
1.下图是体检时的心电图，图上点的横坐标x 表示时间，纵坐标y表示心脏部位的生物电流，它 们是两个变量.在心电图中，对于x的每一个确定 的值，y都有唯一确定的值与其对应吗？
八年级数学：变量与函数-练习(含答案)
八年级数学：变量与函数练习（含答案）一、选择题:1．下列关于圆的面积S与半径R之间的函数关系式S=πR2中,有关常量和变量的说法正确的是（）A．S,R2是变量,π是常量 B．S,R是变量,2是常量C．S,R是变量,π是常量 D．S,R是变量,π和2是常量2．据调查,北京石景山苹果园地铁站自行车存车处在某星期日的存车量为4000次,其中电动车存车费是每辆一次0.3元,普通车存车费是每辆一次0.2元．若普通车存车数为x辆次,存车费总收入为y元,则y关于x的函数关系式是（）A．y=0.1x+800（0≤x≤4000） B．y=0.1x+1200（0≤x≤4000）C．y=-0.1x+800（0≤x≤4000） D．y=-0.1x+1200（0≤x≤4000）3．某同学在测量体温时意识到体温计的读数与水银柱的长度之间可能存在着某种函数关系,就此他与同学们选择了一种类型的体温计,经历了收集数据、分析数据、得出结论的探索过程．他们收集的数据如下：请你根据上述数据分析判断,水银柱的长度L（mm）与体温计的读数t℃（35≤t≤42）之间存在的函数关系式为（）A．L=110t-66 B．L=11370t C．L=6t-3072D．L=39552t二、填空题4．小明带10元钱去文具商店买日记本,已知每本日记本定价2元,则小明剩余的钱y（元）与所买日记本的本数x（元）之间的关系可表示为y=10-2x．在这个问题中______是变量,_______是常量．5．在函数y=12x-中,自变量x的取值范围是______．6．某种活期储蓄的月利率是0.16%,存入10000元本金,按国家规定,取款时应缴纳利息部分20%的利息税,则这种活期储蓄扣除利息税后,实得本息和y（元）与所存月数x之间的函数关系式为________．三、解答题7．求下列函数中自变量x的取值范围；（1）y=2x2+1；（2）y=13x．8．写出下列各问题中的函数关系式（不需标明自变量的取值范围）：（1）小明绕着一圈为400m的跑道跑步,求小明跑的路程s（m）与圈数n之间的函数关系式；（2）已知等腰三角形的周长为36,腰长是x,底边上的高是6,若把面积y看作腰长x的函数,试写出它们的函数关系式．四、思考题9．某旅客带了30公斤的行李乘飞机,按规定,旅客最多可免费携带20公斤的行李,超重部分每公斤按飞机票价的1.5%购买行李票,现该旅客购买了120元的行李费,求他的飞机票价格．B卷：提高题一、七彩题1．（一题多解题）按如图所示堆放钢管．（1）填表：（2）当堆到x层时,求钢管总数y关于层数x的函数关系式．二、知识交叉题2．（科外交叉题）一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动,其速度每秒增加2米,到达坡底时,小球速度达到40米/秒．（1）求小球速度v（米/秒）与时间t（秒）之间的函数关系式；（2）求3.5秒时小球的速度；（3）求几秒时小球的速度为16米/秒．三、实际应用题3．山东省是水资源比较贫乏的省份之一,为了加强公民的节水和用水意识,合理利用水资源,各地采用价格调控等手段达到节约用水的目的．某市规定用水收费标准如下：每户每月的用水不超过6立方米时,水费按每立方米a元收费；超过6立方米时,不超过的部分每立方米仍按a元收费,超过的部分每立方米按c元收费,该市某户今年3,4月份的用水量和水费如下表所示：用水量（立方米）水费（元）月份3 5 7.54 9 27设某户该月用水量为x（立方米）,应交水费为y（元）．（1）求a,c的值,并写出用水不超过6立方米和超过6立方米时,y与x之间的函数关系式；（2）若该户5月份的用水量为8立方米,求该户5月份的水费是多少元？四、经典中考题4．（2008,齐齐哈尔,4分）,函数中,自变量x的取值范围是_______．C卷：课标新型题一、探究题1．（结论探究题）某商场计划投入一笔资金采购一批商品并转手出售,经市场调查发现,如果月初出售,可获利15%,并可用本和利再投资其他商品,到月末又可获得10%；如果月末出售可获利30%,但要付出仓储费用700元．请问根据商场的资金状况,如何购销获利较多？二、说理题2．某移动通讯公司开设两种业务,“全球通”：先缴50元月租费,然后每通话1跳次,再付0．4元；“神州行”：不缴月租费,每通话1跳次,付话费0.6元（本题的通话均指市内通话）．若设一个月内通话x跳次,两种方式的费用分别为y1和y2元．（跳次：1min为1跳次,不足1min按1跳次计算,如3.2min为4跳次）（1）分别写出y1,y2与x之间的函数关系式；（2）一个月内通话多少跳次时,两种方式的费用相同？（3）某人估计一个月内通话300跳次,应选择哪种合算？参考答案A卷一、1．C 点拨：解题的关键是对π和R2中的指数如何处理．判断变量和常量的根据就是看它们是否可改变,显然π是不改变的,是常量,圆的面积是随半径R的变化而变化的,故S和R 为变量,当R变化时R2也变化,R2中的指数2与变量和常量无关．2．D 点拨：存车费总收入y=电动车存车总费用+普通车存车总费用=0.3×（4000-x）+0. 2x=-0.1x+1200,其中0≤x≤4000．故应选D．3．C 点拨：由图表可知L随t的变化而变化,通过变化规律,可以得到L与t之间的关系式为L=56.5+6（t-35）,即L=6t-3072（35≤t≤42）．二、4．x,y；10,2 点拨：因为所买日记本数x是可以变化的,小明余下的钱y也是变化的,故y与x是变量,而10和2是保持不变的,故它们是常量．5．x≠2 点拨：分式12x-有意义,须令x-2≠2,得x≠2．6．y=10000+12.8x（x≥0且x为整数）点拨：本息和=本金+利润,本金=10000元,利息=本金×月利率×月数×（1-20%）=10000×0.16%·x·0.8=12.8x,所以y=10000+12.8x．三、7．解：（1）自变量x的取值范围是全体实数；（2）因为3-x≠0,所以x≠3,即自变量x的取值范围是x≠3．8．解：（1）s=400n．（2）y=-6x+108．点拨：（1）总路程=一圈的长度×圈数；（2）由题意可知,等腰三角形的底边长为（36-2x）,所以y=12×（36-2x）×6,即y=-6x+108．四、9．解法一：（从方程的角度解）设他的飞机票价格为x元,根据题意,得（30-20）·x·1.5%=120,所以x=800．解法二：（从函数的角度解）设飞机票价格为k元,则行李票的价格y（元）与所带行李的公斤数x（公斤,x>20）之间的函数关系为y=（x-20）·k·1.5%,已知x=30时,y=120,代入关系式,得120=（30-20）·k·1.5%,解得k=800．答：略．点拨：解法一和解法二实质上是一致的,只不过考虑问题的角度不同,解法一是解法二的特殊情况．B卷一、1．解法一：（1）当x=1时,y=1；当x=2时,y=1+2=3；当x=3时,y=1+2+3=6；当x=4时,y=1+2+3+4=10；…；当x=x时,y=1+2+3+4+…+x=12x（x+1）．（2）y=12x（x+1）=12x2+x12（x≥1且为整数）．解法二：如图所示,将原题图倒置过来与原图一起拼成平行四边形,利用其面积计算公式可得到结论y=12x（x+1）,即y=12x2+12x．（1）题表中依次填为：1,3,6,10,12x2+12x．（2）y=12x·（x+1）=12x2+12x．（x≥1且为整数）点拨：仔细分析总数与层数之间的关系是解决这类图形问题常用方法之一．二、2．解：（1）v=2t；（2）当t=3.5时,v=2×3.5=7,即3.5秒时小球的速度为7米/秒；（3）当v=16时,16=2t,t=8,即8秒时小球的速度为16米/秒．点拨：本题是函数关系式与物理学科的知识交叉题,也就是函数关系式在物理学科中的实际应用．三、3．解：（1）当x≤6时,y=ax；当x>6时,y=6a+c（x-6）．将x=5,y=7.5代入y=ax,得7.5=5a,将x=9,y=27代入y=6a+c（x-6）,得27=6a+3c．解得a=1.5,c=6．所以y=1.5x（x≤6）,y=6x-27（x>6）；（2）将x=8代入y=6x-27,得y=21,所以5月份的水费是21元．四、4．x≤3且x≠1C卷一、1．解：设商场投资x元,在月初出售可获利y1元,到月末出售出获利y2元．根据题意,得y1=15%x+10%（1+15%）x=0.265x,y2=30%x-700=0.3x-700．（1）当y1=y2时,0.265x=0.3x-700,所以x=20000；（2）当y1<y2时,0.265x<0.3x-700,所以x>20000；（3）当y1>y2时,0.265x>0.3x-700,所以x<20000．所以当商场投资20000元时,两种销售方法获利相同；当商场投资超过20000元时,第二种销售方式获利较多；当商场投资不足20000元时,第一种销售方式获利较多．点拨：要求哪种销售方式获利较多,关键是比较在自变量的相同取值范围内,两个函数值的大小,除上述方法外,也可以采用作差的方法解决．二、2．解：（1）y1=50+0.4x,y2=0.6x；（2）两种方式的费用相同时,y1=y2,即50+0.4x=0.6x,解得x=250．即一个月内通话250跳次,两种方式的费用相同；（3）某人一个月估计通话300跳次,则全球通的费用为：y1=50+0.4×300=170（元）,神州行的费用为：y2=0.6×300=180（元）,因为y1<y2,所以选择“全球通”合算．点拨：“话费问题”是日常生活中常见的问题,电话费与通话时间也是一种函数关系,要用函数的思想来加以说理解决．本题体现了分类思想,分两种情况来分析问题是解决此题的关键．。
一次函数知识点总结及练习题
一次函数知识点总结6.1.1 变量和函数1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。
常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。
2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y 是x的函数。
例如：y=±x，当x=1时，y有两个对应值，所以y=±x不是函数关系。
对于不同的自变量x的取值，y的值可以相同，例如，函数：y=|x|，当x=±1时，y的对应值都是13、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。
4、确定函数取值范围的方法：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义6.1.2 函数的表示法1、三种表示方法列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。
公式法：即函数解析式，简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。
图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。
2、列表法：列一张表，第一行表示自变量取的各个值，第二行表示相应的函数值（即应变量的对应值）3、公式法：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。
一般情况下，等号右边的变量是自变量，等号左边的变量是因变量。
用函数解析式表示函数关系的方法就是公式法。
4、函数的图像一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．5、描点法画函数图形的一般步骤（通常选五点法）第一步：列表（根据自变量的取值范围从小到大或从中间向两边取值）；第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。
八年级数学下册17.1变量与函数知识总结素材新版华东师大版20220918146
《变量与函数》知识总结一知识梳理1 变量与常量：在某一变化过程中可以取不同数值的量叫做变量，取值始终保持不变的量叫做常量.2函数；设在某一变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值和它对应，那么就说x是自变量，y是自变量x的函数.函数实际上是变量之间的某种对应关系.3 自变量的取值范围：函数中自变量的取值应使函数有意义，且不能使实际问题失去意义.4 函数值：当自变量取某一数值时所对应的函数的值叫做这个函数当自变量取该值时的函数值.5 函数关系表示法：(1)解析法：用数学式子表示变量间的函数关系的方法叫做解析法.(2)列表法：用表格表示变量间的函数关系的方法叫做列表法.(3)图象法：有图象表示变量间的函数关系的方法叫做图象法.已知一个函数的解析式，通过列表、描点、连线，可以画出这个函数的图象，这种方法叫做描点法。
在画一个函数的图象时要注意自变量的取值范围.6 注意的问题(1) 变量和常量是相对的,并不是一成不变的.在一个过程中是常量,而在另一个过程则s=,当速度一定时,则速度v就是常量,而可能是变量.例如在某一运动过程中有关系式vt时间t和路程s则是变量;当时间一定时,则时间t是常量,而速度v和路程s则是变量;同样若路程一定,则路程s是常量,而时间t和速度v就是变量.特别提醒字母π,它是一个常量.(2)判断两个变量是否具有函数关系,不能只看是否存在关系式,还要看对于x的每一个值,y是否都有唯一确定的值和它对应.满足则具有函数关系,不满足则不具有函数关系.(3)要表明两个函数解析式是同一个函数,必须同时满足:①自变量的取值范围相同;②从自变量到函数的对应规律相同.二典范分析例1一天老王骑摩托车外出旅游,刚开始行驶时,油箱中有油9升,行驶了1小时后发现已耗油1.5升.(1)求油箱中的剩余油量Q(升)与行驶的时间t (小时)之间的函数关系统式,并求出自变量t 的取值范围;(2)画出这个函数的图象;(3)如果摩托车以60千米/小时的速度匀速行驶,当油箱中的余油量为3升时,老王行驶了多少千米?分析: 根据油箱中原有油9升,1小时耗油1.5升,则t 小时耗油1.5t 升,得到行驶t 小时后油箱中余油量为(9-1.5t )升,由此可得出函数关系式.解: (1)Q=9-1.5t , 由9-1.5t =0,得到t =6,故t 的取值范围为0≤t ≤6.(2)列表、描点、连线,画出函数图象.(3)由3=9-1.5t 得到t =4所以240460=⨯==vt S (千米)所以老王行驶了240千米.评析 根据实际问题列出函数关系式,根据关系式画函数图象时,一定要注意函数自变量的取值范围,不能使实际问题失去意义.例2 张华上午8点骑自行车外出办事,如图表示他离家的距离S(千米)与所用时间t (小时)之间的函数图象.根据这个图象回答下列问题:(1)张华何时休息?休息了多少时间?这时离家多远?(2)他何时到达目的地?在那里逗留了多长时间?目的地离家多远?(3)他何时返回?何时到家?返回的平均速度是多少?分析:函数图象中,纵轴表示离家的距离S(千米),横轴表示所用时间t (小时);图中水平线段,即随着时间的增加,路程并没有增加,说明人在休息;返回的平均速度为返回路程与返回时间之比.解:(1)从图中可以看出休息时间是从9:00到9:30;休息了半个小时;这时离家15千米.(2)同样从图中可以得到张华11:00到达目的地;在那里逗留了1个小时,目的地离家30千米.(3)他12:00返回;14:00到家;返回时用了2个小时,行了30千米,返回时的平均速度为15230===t s v (千米/时) 答:张华返回时的平均速度为15千米/时.评注: 解题关键是正确识图,能从函数图象中获取有价值的信息.。
初中数学--变量与函数
14.1 变量与函数重要知识点讲解1、常量与变量在一个变化过程中，数值发生变化的量叫做________，始终不变的量叫做_________。
2、函数一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么我们就说__________是自变量，y是x的__________。
3、在一个函数关系式中，如果当x a=，那么b叫做当自变量的值为a时的=时，y b____________。
4、自变量的取值范围确定自变量的取值范围时，不仅要考虑函数关系式有意义，而且还要注意_______使实际问题有意义。
5、函数的图像（1）对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的_____与________，在坐标平面内描出相应的点，这些点组成的图形，就是这个函数的_______。
（2）描点法画函数图像的一般步骤是：①___________；②_____________；③__________；（3）当函数图像从左向右上升时，函数值随自变量的变大而_________；当图像从左向右下降时，函数值随自变量的变大而_________。
（4）函数的表示方法：共有_______种，分别是______法、______法、和______法。
答案：1、变量，常量；2、唯一，x，函数；3、函数值；4、自变量的取值；5、（1）横坐标，纵坐标，图像；（2）列表，描点，连线；（3）变大，变小；（4）3，图像，列表，解析式。
重要知识点讲解知识点一：变量和常量在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。
详解：如在行程问题中，当速度v保持不变时，行走的路程s的长短随时间t的变化而变化，那么在这一过程中，v是常量，而s和t是变量。
当路程s是个定值时，行走的时间t随速度v的变化而变化，那么在这一过程中，s是常量，而v和t是变量。
注意：（1）变量和常量往往是相对的，对于不同的研究过程而言，其中的变量和常量是不、、三者之间；相同的，变量和常量的身份是可以相互转换的，如：s v t（2）区分常量与变量，就是看某个变化过程中，该量的值是否可以改变（即是否会取不同的数值）；（3）在讨论常量和变量的关系时要考虑变量的实际意义，如：长度，天数，身高不能为负数，人数必须是非负整数等。
初中函数复习专题 适合初三学生
初中函数复习一、基本概念1、常量和变量：在变化过程中，数值保持不变的量叫做常量，可以取不同数值的量叫做变量。
2、函数：⑴定义：一般的，设在一个变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于变量x 的每一个值，变量y 都有唯一．．的值与它对应，我们称y 是x 的函数。
其中x 是自变量，y 是因变量。
⑵函数的表示方法：列表法、图象法和解析法。
⑶自变量取使函数关系式有意义的值，叫做自变量的取值范围。
①函数的解析式是整式时，自变量可以取全体实数；②函数的解析式是分式时，自变量的取值要使分母不为0；③函数的解析式是二次根式时，自变量的取值要使被开方数是非负数； ④对实际问题中的函数关系，要使实际问题有意义。
二、初中所学的函数 1、正比例函数：（1）、正比例函数的定义：形如)0(≠=k kx y 的形式。
自变量与函数之间是k 倍的关系一般情况下，x 当作自变量，y 作为函数（2）、正比例函数的性质①正比例函数y=kx 的图象是经过（0，0），（1，k ）的一条直线。
②当0>k 时，图象从左到右是上升的趋势，也即是y 随x 的增大而增大。
过一、三象限。
③当0<k 时，图象从左到右是下降的趋势，也即是y 随x 的增大而减小。
过二、四象限。
注意：因为正比例函数y=kx (k ≠0)中的待定系数只有一个k ，因此确定正比例函数的解析式只需x 、y 一组条件，列出一个方程，从而求出k 值。
2、一次函数（1）、一次函数的定义：形如)0,,(≠+=k b k b kx y 且为常数的形式；自变量与常量的乘积，再加上一个常量的形式。
（2）、一次函数与正比例函数的关系)0(≠=k kx y )0,,(≠+=k b k b kx y 且为常数属于正比例 一次函数不属于（3）、一次函数的图象性质①一次函数y=kx+b 的图象是经过（0，b ）(—k/b ，0)的一条直线，也可由y=kx 平移得到② 当k>0时，y 随x 的增大而增大，b>0时，图象过第一、二、三象限，b<0时，图象过一、三、四象限 ③当k<0时，y 随x 的增大而减小，b>0时，图象过第一、二、四象限，b<0时，图象过二、三、四象限注意：一次函数y=kx+b(k ≠0)中的待定系数有两个k 和b ，因此要确定一次函数的解析式需x 、y 的两组条件，列出一个方程组，从而求出k 和b 。
(附答案解析)人教版八年级数学下册19.1.1 变量与函数(2))精选同步练习
19.1.1 变量与函数（2）同步练习班级__________姓名____________总分___________本节应掌握和应用的知识点１．在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说x是自变量,y是x的函数．２．如果当x＝a时y＝b,那么b叫做当自变量的值为a时的函数值．３．确定自变量的取值范围时,既要考虑函数关系式有意义,还要注意问题的实际意义．基础知识和能力拓展精练一、选择题1．下列曲线中表示y是x的函数的是()A. B. C. D.2．下列对函数的认识正确的是()A. 若y是x的函数，那么x也是y的函数B. 两个变量之间的函数关系一定能用数学式子表达C. 若y是x的函数，则当y取一个值时，一定有唯一的x值与它对应D. 一个人的身高也可以看作他年龄的函数3．下列函数中，自变量x的取值范围为1x<的是()A.11yx=-B.11yx=- C. 1y x=- D.11yx=-4．下列式子中的y不是x的函数的是()A. y＝－2x－3B. y＝－C. y＝±D. y＝x＋15．如图，数轴上表示的是某个函数自变量的取值范围，则这个函数解析式为（）A. y =x +2B. y =x 2+2 C. y =D. y =6．函数y=1x -中，自变量x 的取值范围是( ) A. x≥1 B. x≤1 C. x ＞1 D. x≠1 7．已知函数2x 1y x 2-=+，当x 3=时，y 的值为() A. 1 B. 1- C. 2- D. 3-8．根据如图的程序，计算当输入x=3时，输出的结果y=（）A. 2B. 3C. 4D. 59．一个长方体的体积为12 cm 3,当底面积不变,高增大时,长方体的体积发生变化,若底面积不变,高变为原来的3倍,则体积变为( ) A. 12 cm 3B. 24 cm 3C. 36 cm 3D. 48 cm 3二、填空题10．下列是关于变量 x 与 y 的八个关系式：① y = x ；② y2 = x ；③ 2x2 − y = 0；④ 2x − y2 = 0；⑤ y = x3 ；⑥ y = ∣x ∣；⑦ x = ∣y ∣；⑧ x =．其中 y 不是 x 的函数的有___________________________．（填序号）11．关于x ，y 的关系式：（1）y-x=0；（2）x=2y ；（3）y 2=2x ；（4）y-x 2=x ，其中y 是x 的函数的是_____________________12．如图是济南市8月2日的气温随时间变化的图象，根据图象可知：在这一天中，气温T(℃)____(填“是”或“不是”)时间t (时)的函数.13．等腰三角形的顶角y 与底角x 之间是函数关系吗？_________（是或不是中选择）14．在函数y=+中，自变量x的取值范围是_______.15．已知函数y＝x2－x＋2，当x＝2时，函数值y＝_____；已知函数y＝3x2，当x＝______时，函数值y＝12.16．某人乘雪橇沿如图所示的斜坡笔直下滑，滑下的距离s(m)与时间t(s)之间的关系式是s ＝t2＋10t.若下滑的时间为2s，则此人下滑的高度是_______m.三、解答题17．如图，下列各曲线中哪些能够表示y是x的函数？你能说出其中的道理吗？18．在等腰△ABC中，底角x为（单位：度），顶角y（单位：度）．（1）写出y与x的函数解析式；（2）求自变量x的取值范围．19．在国内投寄平信应付邮资如下表：信件质量x（克）0＜x≤200＜x≤400＜x≤60邮资y（元）0.80 1.60 2.40①y是x的函数吗？为什么？②分别求当x=5，10，30，50时的函数值．20．下表是丽丽往姥姥家打长途电话的几次收费记录：时间(分) 1 2 3 4 5 6 7电话费(元) 0.6 1.2 1.8 2.4 3.0 3.6 4.2(1)如果用x表示时间，y表示电话费，上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是函数，请用式子表示它们的关系；(2)随x的变化，y的变化趋势是什么？(3)丽丽打了5分钟电话，那么电话费需付多少元？(4)你能帮丽丽预测一下，如果打10分钟的电话，需付多少元话费？21．下列关系哪些表示函数关系？（1）在一定的时间t内，匀速运动所走的路程s和速度v；（2）在平静的湖面上，投入一粒石子，泛起的波纹的周长L与半径r；（3）正方形的面积S和梯形的面积S′；（4）圆的面积S和它的周长C．答案与解析1．C【解析】函数表示一个变化过程中两个变量的对应关系，对于自变量x的每个值，函数y都有唯一的值与它对应，由此可得B是正确的.故答案为：C.点睛：本题是函数的概念、函数的图象、反比例函数的意义的考查，根据函数的意义可知，函数表示一个变化过程中两个变量的对应关系，对于自变量x的每个值，函数y都有唯一的值与它对应，由此可得结果.2．D【解析】满足对于x的每一个取值,y都有唯一确定的值与之对应关系,故D正确;所以D选项是正确的.点睛：根据函数的定义可知,满足对于x的每一个取值,y都有唯一确定的值与之对应关系,据此即可确定函数的个数.3．D【解析】A项，因为1-x位于分母上，则1-x≠0，则该函数自变量x的取值范围为x≠1。
人教版初中数学讲义八年级下册第01讲 变量与函数(3个知识点+4类热点题型讲练+习题巩固)(解析版)
第01讲变量与函数课程标准学习目标①常量与变量②函数的概念与函数值③自变量的取值范围1.掌握常量与变量的概念，能够准确的判断常量与变量。
2.掌握函数的概念，能够判断函数关系以及根据自变量求函数值。
3.能够根据不同的函数表达式类型熟练的求出自变量的取值范围。
知识点01常量与变量1.变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量。
2.常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量称为常量。
变量与常量一定存在于一个变化过程中，有时可以相互转化。
【即学即练1】1．阅读并完成下面一段叙述：（1）某人持续以a 米/分的速度经t 分时间跑了s 米，其中常量是a，变量是t ，S．（2）在t 分内，不同的人以不同的速度a 米/分跑了s 米，其中常量是t ，变量是a ，S ．（3）s 米的路程不同的人以不同的速度a 米/分各需跑的时间为t 分，其中常量是s，变量是a ，t．（4）根据以上三句叙述，写出一句关于常量与变量的结论：常量和变量在一个过程中相对地存在的．【解答】解：（1）由题意得，数值不变的量为a ，为常量，数值发生变化的量为t ，s ，为变量；（2）由题意得，数值不变的量为t ，为常量，数值发生变化的量为a ，s ，为变量；（3）由题意得，数值不变的量为s ，为常量，数值发生变化的量为a ，t ，为变量；（4）根据以上三句叙述，写出一句关于常量与变量的结论：常量和变量在一个过程中相对地存在的．故答案为：a ；t ，s ；t ；a ，s ；s ；a ，t ；常量和变量在一个过程中相对地存在的．知识点02函数的概念与函数值1.函数的概念：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x 和y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与之对应，那么我们就说x 是自变量，y 是x 的函数，又称因变量。
说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应。
数的函数与变量练习题及答案
数的函数与变量练习题及答案一、选择题1. 下列哪个表达式是一个数的函数？A. y = x^2B. x + y = 5C. 2x + 3y = 7D. y = 2x - 3答案：A2. 已知函数 y = 2x + 5，当 x = 3 时，y 的值是多少？A. -1B. 1C. 7D. 11答案：C3. 下列哪个函数是一个线性函数？A. y = x^2B. y = 5x + 3C. y = 2^x答案：B4. 函数 y = -3x + 2 和 y = 2x + 5 的图像会相交于：A. (2, -4)B. (-1, 7)C. (4, 10)D. (0, -3)答案：B5. 已知函数 y = 3x - 1 和 y = -2x + 4，求两函数的交点坐标。
A. (3, 8)B. (2, 2)C. (-2, -1)D. (0, 1)答案：A二、计算题1. 已知 x = 2，求 y = x^2 - 3x + 2 的值。
解：将 x 的值代入函数中，y = 2^2 - 3(2) + 2= 0所以，当 x = 2 时，y 的值为 0。
2. 某数的平方减去这个数的两倍再加上 3 的结果为 7，求这个数。
解：设这个数为 x，根据题意可得方程：x^2 - 2x + 3 = 7移项得：x^2 - 2x - 4 = 0使用求根公式，得到：x = (2±√(2^2 - 4×1×-4)) / (2×1)= (2±√(4 + 16)) / 2= (2±√20) / 2= (2±2√5) / 2= 1±√5所以，这个数可能是1+√5 或 1-√5。
3. 函数 y = x - 3 的图像与 y 轴相交的点为：解：当图像与 y 轴相交时，x = 0。
将 x = 0 代入函数中，= -3所以，与 y 轴相交的点为 (0, -3)。
4. 某数减去 2 再乘以 3 等于 9，求这个数。
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第一讲 变量与函数知识点1：常量与变量常量（或常数）:数值保持不变的量 变量：可以取不同数值且变化的量注：常量和变量是相对而言的，它由问题的条件确定。
如s ＝vt 中，若s 一定时，则 s 是常量，v 、t 是变量若v 一定时，则 v 是常量，s 、t 是变量若t 一定时，则 t 是常量，s 、v 是变量例1 分别指出下列关系式中的变量与常量：（1） 一个物体从高处自由落下，该物体下落的距离()h m 与它下落的时间()t s 的关系式为212h gt =（其中29.8g m s ≈）； （2） 一个多边形的内角和A 与边数n （3n ≥，且n 为整数）存在关系()2180A n =-•；（3） 长方体的体积()3V cm 与长()a cm ，宽()b cm ，高()h cm 之间的关系式为V abh =。
知识点2：函数的概念 及函数思想（难点）一般地，设在一个变化的过程中有两个变量x 、y,如果对于x 在它允许取值范围内的每一个值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数.对函数概念的理解，主要抓住以下三点：1 ① 有两个变量；② 一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而变化；③ 对于自变量每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应。
例如：y=±x ，当x=1时，y 有两个对应值，所以y=±x 不是函数关系。
对于不同的自变量x 的取值，y 的值可以相同，例如，函数：y=|x|，当x=±1时，y 的对应值都是1。
注：（1）函数体现的是一个变化的过程：一个变量的变化对另一个变量的影响。
（2）在变化的过程中有且只有两个变量：自变量（一般在等号的右边）和因变量（一般在等号的左边）。
（3）函数的实质是两个变量之间的对应关系：自变量x 每取一个值，因变量有唯一确定的值与它对应。
（4）含有一个变量的代数式可以看作这个变量的函数。
例1 判断下列变量之间是不是存在函数关系并说明理由（1）长方形的宽一定时，其长与面积； （2）等腰三角形的底边长与面积 （3）某人的身高与年龄 （4）弹簧的总长度y （cm ）与所挂物体质量x （kg ）例2 下列变量x 、y 的关系中，y 是x 的函数的（）x 是y 的函数的（）① 3x －y ＝5 ②y ＝｜x ｜ ③2210x y -=例3 下列各曲线中，不能表示y 是x 函数的为（ ）A ．B ．C ．D ．知识点3：函数的自变量的取值范围 （重点、常考点）（1）若函数关系式是整式，则自变量的取值范围是：全体实数。
（2）若函数关系式是分式，则自变量的取值范围是：使分母不为0的实数。
（3）若函数关系式是二次根式时，则自变量的取值范围是：使被开方数大于或等于0的实数。
（4）若自变量出现在0次幂的底数中时，则自变量的取值范围是：使底数不为0的实数。
（5）若函数关系式表示实际问题时，则自变量的取值范围还必须使实际问题有意义。
注：求自变量的取值范围就是根据以上5点列出不等式（组），取这些“范围”公共部分。
例1 求下列函数中自变量的取量范围。
20731(1)(2)(3)2(4)(3)2221(5)(6)213x x y y y x y x x x y y x x x -+===+=+-+==---例2 今有400本图书借给学生阅读，每人8本，求余下的书数y(本)与学生 x (人)之间的函数关系式，并求自变量的x 的取量范围例3 一个游泳池内有水300 3m ，现打开排水管以每小时25 3m 的排水量排水。
(1)写出游泳池内剩余水量Q3m 与排水时间t h 间的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围。
(2)开始排水后的第5 h 末，游泳池中还有多少水？ (3)当游泳池中还剩1503m 时，已经排水多少小时？知识点4：函数的表示方法(1) 图象法：用图象来表示函数关系的方法(2) 列表法：用表格来表示函数关系的方法 (3) 解析法：用图象来表示函数关系的方法知识点5：函数值(1) 函数值：在函数解析式中,以自变量的值代入求得的值叫做函数值. (2) 注意点：①运算顺序 ②应说明自变量取什么值时的函数值.一般用“当……时”格式,或“把……代入”格式.例1当x ＝2及x ＝－3时，分别求出下列函数的函数值：(1)y ＝(x ＋1)(x －2)； (2)y ＝2x 2－3x ＋2；(3)．知识点6：列函数关系式(函数解析式) (重点、难点、常考点)(1)解析法：用数学式子来表示两个变量之间的函数关系的方法叫解析法。
其中的等式叫做函数的解析式。
(2)初中阶段主要学习四种函数关系式①常函数 一般形式：y ＝b (b 为常数) 它的图像是一条平行于x 轴的直线 ②一次函数 一般形式：y = kx ＋b ( k 、b 为常数,其中k ≠0) 它的图像是一条直线若b ＝0,则为特殊的一次函数,即正比例函数y = kx③二次函数 一般形式：2(0)y ax bx c a a =++≠、b 、c 为常数且④反比例函数 一般形式： (0)k y k k x=≠且为常数(3)分段函数：在自变量的不同取值范围内表示函数关系的解析式有不同的形式,这样的函数称为分段函数.初二阶段分段函数的一般组合: ①常函数与常函数②常函数与一次函数 ③一次函数与一次函数(4)列函数关系式时一定要写出自变量的取值范围.(5)表示同一个函数必须同时满足两个条件①函数解析式化简后相同②自变量的取值范围相同(6) 列函数关系式的三种途径：①根据实际问题,找等量关系,列函数关系式. ②根据表格, 列函数关系式③根据图象,列函数关系式.通常运用待定系数法 例1 小明去商店为美术小组买宣纸和手笔，宣纸每张3元，毛笔每支5元，商店正搞优惠活动：买一支毛笔赠一张宣纸，小明买了10支毛笔和x (10x ＞)张宣纸，那么小明用的总钱数y （元）与宣纸张数x （张）之间的函数关系式是什么？例2 某下岗职工购进一批货物，到集贸市场零售，已知卖出去的货物数量x 与售价y 的关系如下表：写出用x 表示y 的公式是 ．例3如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=1cm ，BC=2cm ，点P 从点A 出发，以1cm/s的速度沿折线AC→CB→BA 运动，最终回到点A ，设点P 的运动时间为x （s ），线段AP 的长度为y （cm ），则能够反映y 与x 之间函数关系的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．知识点7：函数的图象（重点） 1、画函数图象的一般步骤(1)函数的图象：一般地，对于一个函数，如果把自变量x与函数y的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标,在坐标平面内描出相应的点，这些点所组成的图形，就叫做这个函数的图象。
(2)由函数解析式画函数图象一般步骤：①列表②描点③连线(3)注意点：①列表前一定要考虑自变量的取值范围②描点的个数一般取5个到9个③横轴一格表示的单位长度可以与纵轴一格表示的单位长度不一样.④把自变量作为横坐标，把因变量作为纵坐标⑤一定要标注原点O及自变量与因变量的字母分别标在横轴与纵轴上。
对于实际问题,在横轴与纵轴上还要标注单位。
⑥当自变量的取值范围是全体实数时,左右两边要多画一些。
(4)数形结合思想是指将数与形结合，分析、研究、解决问题的一种思想方法，数形结合思想在解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用．2、函数图象上的点的坐标与其解析式之间的关系（1）通常判断点是否在函数图象上的方法是将这个点的坐标代入函数解析式，若满足涵数解析式，则这个点就在其函数的图象上；反之也成立。
（2）两个函数图象的交点坐标，就是这两个函数解析式所组成的方程组的解。
例1已知点B（4，2）在函数y=2x+b的图象上，试判断点C（﹣2，3）是否在该函数的图象上．例2若直线y=﹣2x﹣4与直线y=4x+b的交点在第三象限，则b的取值范围是（）A．﹣4<b<8 B．﹣4<b<0 C．b< ﹣4 或b>8 D．﹣4 ≤6 ≤8例3点A，B，C，D的坐标如图，求直线AB与直线CD的交点坐标。
作业题：一、选择题1.某人要在规定的时间内加工100个零件，则工作效率η与时间t 之间的关系中，下列说法正确的是（ ）.（A ）数100和η，t 都是变量 （B ）数100和η都是常量 （C ）η和t 是变量 （D ）数100和t 都是常量2. 汽车离开甲站10千米后，以60千米/时的速度匀速前进了t 小时，则汽车离开甲站所走的路程s （千米）与时间t （小时）之间的关系式是（ ）.（A ）1060s t =+ （B ）60s t = （C ）6010s t =- （D ）1060s t =- 3.（课本39页习题1变形）如图，若输入x 的值为－5，则输出的结果（ ）.（A ）―6 （B ）―5 （C ）5 （D ）64.下列图表列出了一项实验的统计数据，表示将皮球从高d 处落下时，弹跳高度b 与下落高度d 的关系：d 50 80 100 150 b25405075则能反映这种关系的式子是（ ）.（A ）2b d = （B ）2b d = （C ）2db = （D ）25b d =- 5.下列函数中，自变量x 不能为1的是（ ）.（A ）1y x =（B ）21x y x +=- （C ）21y x =+ （D ）8x y = 6.下列图形中的曲线不表示y 是x 的函数的是（ ）7. 甲乙两同学从A 地出发，骑自行车在同一条路上行驶到B 地，他们离出发地的距离s （千米）和行驶时间t （时）之间的函数关系的图象，如图所示。
根据图中提供的信息，有下列说法： ① 他们都行驶了18千米。
② 甲车停留了0.5小时。
③ 乙比甲晚出发了0.5小时。
④ 相遇后甲的速度小于乙的速度。
⑤ 甲、乙两人同时到达目的地。
（B ） yx（D ）y x 0 （A ） yx 0 （C ）y O x其中符合图象描述的说法有（ ）（A ）2个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）5个8.如图，四幅图象分别表示变量之间的关系，请按图象．．的顺序，将下面的四种情境与之对应排序.① ② ③ ④.a 运动员推出去的铅球（铅球的高度与时间的关系）.b 静止的小车从光滑的斜面滑下（小车的速度与时间的关系）.c 一个弹簧由不挂重物到所挂重物的质量逐渐增加（弹簧的长度与所挂重物的质量的关系）.d 小明从A 地到B 地后，停留一段时间，然后按原速度原路返回（小明离A 地的距离与时间的关系）正确的顺序是（ ）（A ）abcd （B ）adbc （C ）acbd （D ）acdb 二、填空题9.已知等式24x y +=，则y 关于x 的函数关系式为________________.10. 市场上一种豆子每千克售2元，即单价是2元/千克，豆子总的售价y （元）与所售豆子的数量x kg 之间的关系为_______，当售出豆子5kg 时，豆子总售价为______元；当售出豆子10kg 时，豆子总售价为______元．11.函数是表达现实世界中数量之间变化规律的一种数学模型，它的三种数学表示方法分别为_________、_________、_________. 12.函数2y x =-x 的取值范围是______________.13.导弹飞行高度h （米）与飞行时间t （秒）之间存在着的数量关系为213004h t t =-+，当15t =时，h =____________.14.如图,表示一辆汽车行驶的速度和时间的图象，你能用语言描述汽车的行驶情况吗？________________________________.v(千米/时)t(时)60O15.用火柴棒按如图的方式搭一行三角形，搭一个三角形需3支火柴棒，搭2个三角形需5支火柴棒，搭3个三角形需7支火柴棒，照这样的规律搭下去，搭n 个三角形需要S 支火柴棒，那么S与n的关系可以用式子表示为（n为正整数）.16.假定甲、乙两人在一次赛跑中,路程S与时间t的关系如图所示,看图填空:(1)这是一次_______赛跑.(2)甲、乙两人中先到达终点的是_________.(3)乙在这次赛跑中的平均速度是_________m/s.三、解答题17.长方形的周长为20cm，它的长为a cm，宽为b cm.（1）上述的哪些是常量？哪些是变量？（2）写出a与b满足的关系式；（3）试求宽b的值分别为2，3.5时，相应的长a是多少？（4）宽为多少时，长为8cm？18.如图所示，三角形的底边长为8cm，高为x cm.（1）写出三角形的面积y与高x之间的函数关系式；（2）用表格表示高从5cm变到10cm时（每次增加1cm）y的对应值；（3）当x每次增加1cm时，y如何变化？说说你的理由.19.如图，表示甲骑电动自行车和乙驾驶汽车的均行驶90km的过程中，行驶的路程y与经过的时间x之间的函数关系，请根据图象填空：_________出发的早，早了________小时，_____________先到达，先到_________小时，电动自行车的速度为__________km/h，汽车的速度为__________km/h.20.x 1 2 3 4 5 …1102y x =+25y x=（1）在同一个直角坐标系中画出这两个函数的图象，比较它们有什么不同（说出一条不同点即可）？（2）预测哪一个函数值先到达100.21.小明某天上午9时骑自行车离开家，15时回家，他有意描绘了离家的距离与时间的变化情况（如图所示）.（1）图象表示了哪两个变量的关系？（2）10时和13时，他分别离家多远？（3）他到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？（4）11时到12时他行驶了多少千米？（5）他可能在哪段时间内休息，并吃午餐？（6）他由离家最远的地方返回时的平均速度是多少？参考答案：1.C；151725301514131211109时间/距离/千米2.A ；3.D ；4.C ；5.B ；6.C ；7.C ；8.D ；9.24y x =-+； 10.2y x =， 10， 20；11.图像法，表达式法，表格法； 12.2x ≥； 13. 4443.75；14.答案不唯一，略； 15. 21S n =+；16. (1)100m ，(2)甲 ，(3)8；17.（1）常量是20，变量是a ，b .（2）因为2()20a b +=，所以10a b =-.（3）当2b =时，1028a =-=；当 3.5b =时，10 3.5 6.5a =-=； （4）当8a =时，1082b =-=. 18.（1）4y x =（0x >）； （2（319. 甲（或电动自行车），2，乙（或汽车），2，18，90； 20.填表如下：（1）不同点有：①1y 图象不经过原点，2y 图象经过原点；②当3x <时， 1y 图象在2y 图象上方，当103x >时，1y 图象在2y 图象下方；③随着x 增大，2y 的值比1y 的值增大的快等.（2）2y 的函数值先到达100.21. （1）时间与距离；（2）10时和13时，分别离家10千米和30千米；（3）到达离家最远的时间是12时，离家30千米；（4）11时到12时，他行驶了13千米；（5）他可能在12时到13时间休息，吃午餐；（6）共用了2时，因此平均速度为15千米/时.。