正弦定理(第一课时)
高中数学第一章解三角形第1节正弦定理和余弦定理第1课时正弦定理课件新人教A版必修53
45°＝
23，
∴C＝60°或 C＝120°.
当 C＝60°时，B＝75°，
b＝cssiinnCB＝ s6isnin607°5°＝ 3＋1； 当 C＝120°时，B＝15°， b＝cssiinnCB＝ s6insi1n2105°°＝ 3－1. ∴b＝ 3＋1，B＝75°，C＝60°或 b＝ 3 －1，B＝15°，C＝120°.
代入已知式子得
cos ksin
AA＝kcsoisn
BB＝kcsoisn
CC.
∴csoins
AA＝csoins
BB＝csoins
C C.
∴tan A＝tan B＝tan C.
又∵A、B、C∈(0，π)，
∴A＝B＝C.∴△ABC 为等边三角形．
法二：化边为角
由正弦定理得sina A＝sinb B＝sinc C.
提示：sina A＝sinb B＝sinc C
2．归纳总结，核心必记 (1)正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的
比相等，即 (2)解三角形
一般地，把三角形的三个角 A，B，C 和它 们的对边 a，b，c 叫做三角形的元素．已知 三角形的几个元素求其他元素的过程叫做 解三角形．
[问题思考] (1)在△ABC 中 sin A＝sin B，则 A＝B 成立 吗？ (2)在△ABC 中，sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c 成立吗？ (3)在△ABC 中，若 A>B，是否有 sin A>sin B？ 反之，是否成立？
—————————[课堂归纳·感悟提升]————————— 1．本节课的重点是正弦定理的应用，难点是正
弦定理的推导．
2．本节课要牢记正弦定理及其常见变形：
(1)sina A＝sinb B＝sinc C＝2R(其中 R 为△ABC 外
版高中数学 第一章 解三角形 1.1.1 正弦定理(一)课件 新人教B版必修5.pptx
跟踪训练1 如图，锐角△ABC的外接圆O半径为R，角A，B，C所对的 边分别为a，b，c.求证：sina A ＝2R. 证明
13
类型二 用正弦定理解三角形
例2 已知△ABC，根据下列条件，解三角形：a＝20，A＝30°，C＝ 45°. 解答 ∵A＝30°，C＝45°，∴B＝180°－(A＋C)＝105°， 由正弦定理得 b＝assiinnAB＝20ssiinn3100°5°＝40sin(45°＋60°)＝10( 6＋ 2)， c＝assiinnAC＝20sisnin3405°°＝20 2， ∴B＝105°，b＝10( 6＋ 2)，c＝20 2.
A.直角三角形 C.锐角三角形
√B.等腰三角形
D.钝角三角形
由sin A＝sin C，知a＝c，∴△ABC为等腰三角形.
1 2 3 247
3.在△ABC中，已知BC＝ 5 ，sin C＝2sin A，则AB＝_2__5___.
答案 解析
由正弦定理，得 AB＝ssiinn CABC＝2BC＝2 5.
18
命题角度2 运算求解问题
例4
在△ABC中，A＝
π 3
，BC＝3，求△ABC的周长的最大值.
解答
19
反思与感悟
利用sina A＝sinb B＝sinc C＝2R 或正弦定理的变形公式 a＝ksin A，b＝ ksin B，c＝ksin C(k>0)能够使三角形边与角的关系相互转化.
22
跟 踪 训 练 3 在 △ABC 中 ， 角 A 、 B 、 C 的 对 边 分 别 是 a 、 b 、 c ， 若 A∶B∶C＝1∶2∶3，求a∶b∶c的值. 解答
23
当堂训练
25
1. 在△ABC中，一定成立的等式是 答案 解析
正弦定理(第1课时)
∴ asinC=c sinA.
a c sin A sin C
c b . 同理，过点C作与 CB 垂直的单位向量 j ，可得 sin C sin B a b c . sin A sin B sin C
剖析定理、加深理解
正弦定理可以解决三角形中哪类问题：
a b c 2R sin A sin B sin C
变式: a=30, b=26, A=30°求角B，C和边c
a b 解：由正弦定理 sin A sin B b sin A 26 sin 30 13 A 得 sin B a 30 30
C
26
300
30
B
∵a > b
∴A>B, C=124.30,
三角形中大边对大角
所以Ｂ＝25.70,
（2）正弦定理应用范围：
① ②
2R
已知两角和任意边，求其他两边和一角 已知两边和其中一边的对角，求另一边 的对角。(注意解的情况)
定理的应用
已知两角和任意边， 求其他两边和一角
。
练1 在△ABC 中，已知c = 10,A = 45 , C = 30 C 求 a , b (精确到1cm）. 解： a c ∵
sin A
b
A c a B
。
sin C
c sin A 10 sin 45 10 2 14 ∴a = = sin C sin 30
BC的长度与角A的 大小有关吗? 三角形中角A与它的对 边BC的长度是否存在 定量关系?
C3
C2 C1
C
A
B
在Rt△ABC中,各角与其对边的关系:
b a sin B sin A c c c sin C 1
正弦定理第一课时(教学设计)
《正弦定理》§2.1《正弦定理》——第一课时（教学设计）一、教学目标1、知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探究，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。
2、过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。
使学生进一步体会数形结合的思想；通过例题与练习提高学生动手能力、分析问题解决问题的能力以及其知识迁移能力。
3、情感、态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。
二、教学重点和难点重点：正弦定理的探究和证明及其基本应用难点：正弦定理的实际应用三、教学方法：问题牵引、启发引导、合作探究四、教学手段：多媒体辅助教学五、教学过程本节的教学过程由以下几个环节构成：六、教学设计1.正弦定理的建构（1）创设情境—感知定理①视频情境播放今年第12号台风海葵给我国吴山带来的伤害，让学生再一次感受大自然力量的强大，引导学生如何利用科学知识预防自然灾难，引出本节课的内容——正弦定理。
设计意图: 由实际生活入手，让学生感受数学来源于生活，同时又服务于生活。
（2）观察证明—形成定理① 通过特殊三角形的研究，观察它的角和边之间的关系，猜想它们之间的联系。
在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。
如图1．1，在Rt ∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin aA c=，sin bB c=，又=sin 1C , A则sin sin sin abcc ABC=== b c 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin abcABC==C a B(图1．1)思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）方法一、利用三角形的高证明正弦定理Ⅰ、当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据锐角三角函数的定义，有=sin CD a B ,sin CD b A =。
第一课时：正弦定理课件
题型2、判断三角形的形状
例2、 △ABC中，若 的形状。
t an A a 2 2 t an B b
，判ห้องสมุดไป่ตู้△ABC
结论：
判断三角形的形状两种思路：
1、化为角度关系来判断， 2、化为边长关系来判断。
题型3、正弦定理与数列、函数相结合
例3、在ΔABC中，已知A，B，C成等差数列， b=1, 求证：1<a+c≤2.
。 。 . 作用：实现了
边角的互化。 (5)正弦定理可解决三角形中哪两类问题： ① ②
; .
二、课前热身
1. 在三角形中，已知B=45度，C=60度，a=12cm，则b= 2、已知三角形中 a 2 b 3 B 60 ，那么角等于 。 3、在三角形中，若 A B是 sin A sin B的（ ） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分又不必要条件 4、已知三角形中, A 60 a 3 则 圆的半径R= 。
结论：边角互化是解三角形问题常用的手段；三角形中的三 角变换，要应灵活运用正、余弦定理．在求值时，要利用三 角函数的有关性质．
●教学目标： ①理解并掌握正弦定理； ②会运用正弦定理解决一些简单的三角形度 量问题。 ●教学重点 掌握正弦定理及其变形形式，利用三角公式解 一些有关三角形中的三角函数问题。 ●教学难点 正弦定理与函数、数列等知识的综合应用。
一、知识梳理
（1）内角和定理： （2）边与边间不等关系： （3）边角不等关系： （4）正弦定理： （文字语言） (符号语言) (变式) 。 。 。
0
．
abc sin A sin B sin C
= ，该三角形外接
5、在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若三角 形的面积S=（a2+b2－c2），则∠C的度数是_______．
高中数学：11《正弦定理1》课件必修
利用正弦定理，我们可以判断给定边 长和角的三角形是否存在，以及解的 个数，从而避免出现无解或多解的情 况。
边长和角度的互换
总结词
正弦定理可以用于将三角形的边长转换为对应角的正弦值，反之亦然。
详细描述
通过正弦定理，我们可以将三角形的边长与对应角的正弦值相互转换，从而方便 地求解三角形中的未知量。
引入方式三：通过三角函数定义引入
总结词
从三角函数的定义出发，通过分析函数的性质，引出正弦定理的概念。
详细描述
三角函数是描述三角形中角度和边长之间关系的函数。在锐角三角形ABC中，设角A、B、C的正弦函数分别为 sinA、sinB、sinC，根据三角函数的定义，我们有sinA = a/c、sinB = b/c、sinC = c/c。通过分析这些函数的 性质，我们可以推导出正弦定理的表达式。
pi$，求出 $B = pi - A - C$。最后代入 $sin A = sin(B + C)$，利用两角和的正弦 公式展开，得到 $sin A = frac{3sqrt{3}}{4} times frac{sqrt{3}}{2} + frac{1}{2} times
基础题
题目
在△ABC中，已知 a = 2, b = 3, B = 60°，则角 C 的 大小为 _______．
钝角三角形证明方法
通过作高线，将钝角三角形转化为两个锐角三角形 ，再利用勾股定理和三角函数性质证明正弦定理。
等边三角形证明方法
利用等边三角形的性质，通过比较边和角的正弦值之比，证明正 弦定理。
余弦定理证明方法
利用余弦定理推导正弦定理，通过比较边和角的正弦值之比，证明正弦定理。
04
习题与解析
课件2：9.1.1 正弦定理 第1课时 正弦定理的概念
反思感悟 已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法 (1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值. (2)如果已知的角为大边所对的角，由正弦值可求锐角唯一. (3)如果已知的角为小边所对的角，则不能判断另一边所对 的角是否为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论.
跟踪训练 3.在△ABC 中，若 a＝3，b＝ 3，∠A＝60°，
跟踪训练 1．(1)在△ABC 中，若 a＝3 2，cos C＝13， S△ABC＝4 3，则 b＝________. (2)在△ABC 中，AB＝ 3，AC＝1，B＝30°， 则△ABC 的面积等于________．
【解析】(1)∵cos C＝31，∴C∈(0°，90°)， ∴sin C＝ 1－312＝2 32， 又 S△ABC＝12absin C＝21·3 2·b·232＝4 3， ∴b＝2 3.
3
所以 b＝cssiinnCB＝
3× 2 2
＝3
2 2.
2
(2)由正弦定理知：sAinCB＝sBinCA， 则sinAC45°＝sin1260°，解得 AC＝4 6. 【答案】(1)A (2)4 6
反思感悟 已知两角及一边解三角形的方法 (1)若所给边是已知角的对边时，可先由正弦定理求另一边， 再由三角形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求 第三边. (2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理 求第三个角，再由正弦定理求另外两边.
例 3.在△ABC 中，c＝ 6，∠C＝π3，a＝2， 求∠A，∠B，b.
解：因为sina A＝sinc C，
所以
sin
A＝asicn
C＝
2 2.
因为 c>a，所以∠C>∠A.所以∠A＝π4.
由三角形内角和定理，∠B＝π－(∠A＋∠C)＝51π2. 由正弦定理，sinb B＝sinc C， 得 b＝cssiinnCB＝ 6s·isnin3π51π2＝ 3＋1.
《正弦定理》第1课时示范公开课教学课件【高中数学】
解答：（1）由题意得，△ABC有两解时需要bsin A＜a＜b，
则bsin 60°＜12＜b，
∵b＝10，c＝15，
（2）在△ABC中，若b＝10，c＝15，C＝ ，则此三角形有_______解．
Байду номын сангаас
∴c＞b，只有1解．
归纳小结
（2）正弦定理的证明方法是什么？
（3）利用正弦定理如何实现三角形中边角关系的相互转化？
④a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C（△ABC的外接圆的半径为R）
新知探究
一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．
新知探究
两种类型：
初步应用
例1 △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsin A＋acos B＝0，则B＝______．
解答：由正弦定理可得sin Bsin A＋sin Acos B＝0，
因为A∈（0，π），所以sin A＞0，
初步应用
例2 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a＝2，A＝ ，则 ＝_______．
4
初步应用
例3 （1）在△ABC中，a＝12，A＝60°，三角形有两解，则边b的取值范围为________．
问题4 （1）正弦定理及其推论有哪些？
（1）正弦定理及其推论：
2．正弦定理的证明方法：
其中2R为外接圆直径．
①三角函数的定义，②外接圆法．
归纳小结
（2）正弦定理的证明方法是什么？
（3）利用正弦定理如何实现三角形中边角关系的相互转化？
问题4 （1）正弦定理及其推论有哪些？
3．利用正弦定理可以实现三角形中边角关系的相互转化：
正弦定理第一课时 优质课件
b
a
是否成立？ 是否成立？ 是否成立？
A
B
D
C
a
b
D
A
B
思考5：在任意三角形中，同理可得， , 因此有
该连等式称为正弦定理.如何用文字语言 描述正弦定理？
在一个三角形中，各边和它所对角的正 弦之比相等.
知识探究（二）：正弦定理的向量证明
思考1：在△ABC中，向量 ， ， 之间有什么关系？
C
b
a
A
B
思考2：若∠A为锐角，过点A作单位向量 i，使i⊥ ,则向量i与 , , 的 夹角分别是什么？
C
b i A
a B
思考3：由 可得什么结论？
i A
C
b
a
B
思考4：若∠A为钝角，上述推理过程有 什么变化？所得结论如何？
C
Hale Waihona Puke a biA
B
思考5：若证明 单位向量i？
，应如何作
C
b
A c
B
i
理论迁移 例1 在△ABC中，已知A=32.0°， B=81.8°，a=42.9cm，解三角形.
1.问题的引入:
在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事.明月 高. 悬,我们仰望夜空,会有无限遐想,不禁会问, 月亮离我们地球有多远呢?科学家们是怎样 测出来的呢？
问题提出
在直角三角形中，三边a，b，c，及锐角 A，B之间有怎样的数量关系？
B
a
c
C
b
A
知识探究（一）：正弦定理的形成
思考1：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝
a，AC＝b，AB＝c，则sinA，sinB，sinC
分别等于什么？
正弦定理 优秀课件
7
例1:(林场失火问题)在△ABC中，已知 A=130°,B=30°,AB=10千米，求AC与BC的 长．
解：根据三角形内角和定理,
C 180 ( A B) 180 (130 30 ) 20 AC AB 由正弦定理： 得 sin B sin C C AB AC sin B 14.42千米 sin C BC AB 130° 30° 又由 得 A 10km B sin A sin C
AB BC sin A 22.39千米 sin C
8
例2:在 ABC中，已知a 3 ， 2， 45 B b
求角 A .
解：依题意得,由正弦定理
C
a b sin A sin B
3
452o2 Nhomakorabea60
o
120
B
A
o
A
sin B sin 45 3 得 sin A a 3 2 b 2
§1.1.1正弦定理
（第一课时）
教材：人教A版
1
北 东
C
·
· A
130°
30°
10km
2
· B
问题情境
在 △ ABC 中 ， 已 知 A=130°,B=30° ， AB=10千米，求AC与BC的长．
C
130° 30° A 10km
B
3
三角形的边角之间的关系
三角形的内角和是180
两边之和大于第三边，两 边之差小于第三边
A 60 或A=120
o
o
9
归纳提升
a b c ★正弦定理： sin A sin B sin C
★主要应用： 1. 已知两角及一边，可以求出另外两边 和另一角 2. 已知两边一对角 ，可以求出另外两角 和另一边
正弦定理
已知两边和其中一边的 对角,解三角形
【例 2】 (12 分)已知△ABC 中, a=2
3 ,b=6,A=30°,解三角形.
名师导引:(1)已知边 a、 b 及角 A,用正弦定理可求 出什么量?(角 B) (2)要求角 C,还要用到什么条件?(A+B+C=180°) (3)现在有了边 a,b 及角 A、B、C,如何求边 c?(用
a b = = sin A sin B
c sin C
)
解:根据三角形内角和定理得 A=180°-(B+C)=180°-(45°+105°)=30°,
a b c 由正弦定理 = = sin A sin B sin C a sin B sin 45 b= =5× =5 2 , sin A sin 30 a sin C c= sin A
2 2 2
(2)在利用正弦定理判断三角形形状时应注 意什么?(①判断出一个三角形是等腰三角形 后,还要进一步讨论它是否可能是等边三角 形或等腰直角三角形,不要匆忙下结论;②在 △ABC 中,若 sin 2A=sin 2B,不一定只有 A=B, 因为 sin 2A=sin 2B⇒ 2A=2B,或 2A=π-2B⇒
a b 2 2 ∴ = = = sin A sin B sin 60 3 2
答案:(1)D
4 3 = . 3
4 3 (2) 3
已知三角形两角和任一边, 求其他边和角
【例 1】 在△ABC 中,a=5,B=45°,C=105°,解 这个三角形.
名师导引:(1)解这个三角形需要求出哪些量?(求 出 A,b,c) (2)要求 A 还需知道什么条件?(A+B+C=180°) (3)用什么关系求 b、c?(
第一课时 正弦定理
第一课时 正弦定理一、教材预知：１．正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等， 即Aa sin =Bb sin =Cc sin =2R （R 为△ABC 外接圆半径）证明方法：1）．直角三角形中：sinA=c a ，sinB=cb ， sinC=1即 c=A a sin ， c=Bb sin ， c=Cc sin ．∴Aa sin =Bb sin =Cc sin2）．斜三角形中证明一：（等高法）sin sin A D c B b C ==sin sin b c BC=，同理可得sin sin a bAB=证明二：（等积法）在任意斜△ABC 当中111sin sin sin 222A B C S ab C ac B bc A ∆===两边同除以abc21即得：Aa sin =Bbsin =Ccsin证明三：（外接圆法） 如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ ∴R CD Da Aa 2sin sin ===，同理Bb sin =2R ，Cc sin ＝2R证明四：（向量法）过A 作单位向量j垂直于A C 由 A C +C B =AB两边同乘以单位向量j 得 j •(A C +C B )=j •AB则j •AC +j •CB =j •AB∴|j |•|A C |cos90︒+|j |•|C B |cos(90︒-C)=| j|•|AB |cos(90︒-A)∴Ac C a sin sin= ∴sin a A=Cc sin ，同理，若过C 作j垂直于C B 得：Cc sin =Bb sin ∴Aa sin =Bb sin =Cc sina bcOB CADABCD２．正弦定理的常见变形变形：灵活运用1）2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C =；2）sin sin a B b A =，sin sin c C c B =，sin sin a C c A =； 3）::sin :sin :sin a b c A B C =． ３．解三角形1）把三角形的三边和它的对角叫做三角形的元素．2）已知三角形的几个元素（通常是3个）求其他元素的过程叫做解三角形． ４．正弦定理解斜三角形的类型 1）已知两角与一边（AAS ），有一解或无解 2）已知两边和其一边对角（ASS ），存在多解情形：两解、一解或无解 若A 为锐角时：babab a baa 已知边a,b 和∠A仅有一个解有两个解仅有一个解无解a ≥b CH=bsinA<a<b a=CH=bsinA a<CH=bsinAAC B ACB1ABACB2CHHH若A 为直角或钝角时:⎩⎨⎧>≤)( b a 锐角一解无解b a二、典型例题：例1 已知在B b a C A c ABC 和求中，,,30,45,100===∆． 解：030,45,10===C A c ∴0105)(180=+-=C A B由C c A a sin sin =得 21030sin 45sin 10sin sin 0=⨯==CA c a由Cc Bb sin sin =得25654262075sin 2030sin 105sin 10sin sin 0+=+⨯==⨯==CB c b例2 在C A a c B b ABC ,,1,60,30和求中，===∆解：∵21360sin 1sin sin ,sin sin 0=⨯==∴=bB cC Cc Bb0090,30,,60,==∴<∴=>B C C B C B c b 为锐角，∴222=+=cb a例3 C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中，===∆解：23245sin 6sin sin ,sin sin 0=⨯==∴=aA c C Cc Aa12060,sin 或=∴<<C c a A c1360sin 75sin 6sin sin ,756000+=====∴C B c b B C 时，当，1360sin 15sin 6sin sin ,1512000-=====∴CB c b BC 时，当或0060,75,13==+=∴C B b 00120,15,13==-=C B b例4 在A B C ∆中，根据下列条件指出解的个数． (1)2a =，2b =，30A =︒；(2)2a =，2b =，45A =︒；(3)5a =，2b =，120B =︒． 解:2;1;0例5 A B C ∆中，如果lg lg lg sin lg2a c B -==-，并且B 为锐角，试判断三角形形状．解：由2lg lg lg sin lg 2lg 2a c B -==-=，得2sin 2B =．因为B 为锐角，所以45B =︒，135A C +=︒．2sin 2sin a A c C==，将135A C =︒-代入得()2sin 2sin 135C C =︒-，化简得cos 0C =0180,90C C ︒<<︒∴=︒ ，所以A B C ∆为等腰直角三角形．三、及时突破：1．已知在045,30,10ABC A B c b ∆===中，已知求．2．在A B C ∆中，根据下列条件指出解的个数． (1)4a =，5b =，30A =︒； (2)5a =，4b =，60A =︒； (3)3a =，2b =，120B =︒；(4)3a =，6b =，60A =︒．3．在A B C ∆中，若222sin 2sin cos ,sin sin sin A B C A B C ==+，试判断三角形的形状． 4．在A B C ∆中，若::1:2:5a b c =，求代数式在2sin sin sin A BC -的值．5．在A B C ∆中，求证：2222112cos 2cos babB aA -=-．四、课后作业：1．在A B C ∆中，若sin sin A B ab=，则B ∠的值为 （ ）A.30︒B.45︒C.60︒D.90︒2．在A B C ∆中，若32sin a b A =，则B 的值为 （ ）A.3π B.6π C.3π或23π D.6π或56π3．在A B C ∆中，若::4:1:1A B C =，则::a b c 的值为 （ ） A.3:1:1 B.2:1:1C.2:1:1D.3:1:14．以下关于正弦定理的叙述或变形中错误的是 （ ） A.在A B C ∆中，::sin :sin :sin a b c A B C = B.在A B C ∆中，sin 2sin 2a b A B =⇔=C.在A B C ∆中，sin sin sin a b c AB C+=+D.在A B C ∆中，正弦值较大的角所对的边也较大5．三角形的两边长为3cm 、5cm ，其夹角的余弦值是方程25760x x --=的根，则此三角形的面积是（ ）A.26 cm B.215 cm 2C.28 cmD.210 cm6．在A B C ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，则()()sin sin sin sin a C B b A C -+-()s i n s i n c B A +-=．7．在A B C ∆中，()()lg sin sin 2lg sin lg sin sin A C B C A +=--，则三角形的形状是 ． 8．在A B C ∆中，45A ∠=︒，2a =，6c =，解此三角形．9．在A B C ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且满足cos cos 2B b Ca c=-+，求B ∠的值．10．在A B C ∆中，已知内角3A π=，边23BC =．设内角B x =，周长为y ．（1）求函数()y f x =的解析式和定义域；（2）求y 的最大值．。
正弦定理PPT课件
定理应用，解决引例
在ABC中，BC 54，B 45，C 60.求边长AB.
A
定义：
B
C
一般地，把三角形的三个角A、B、C和它们的对边a、b、c
叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他的元素的过程叫
做解三角形。
学以致用
1：在ΔABC中，已知A 30 , B 45 , a 2,求C、b、c.
解：由正弦定理 a b 得： sin A sin B
sin B bsin A 2 3 sin 45 3
a
22
2
B 0，180
B 60或120
当B 60时，C 75
c
Hale Waihona Puke a sin C sin A
2
2 sin 75 sin 45
2
2 sin 30 45 sin 45
6
2
当B 120时，C 15
2R sin CDB a sin A
2R
a b 2R sin A sin B
同理： a b c 2R sin A sin B sin C
C
O
A
B
D
定理应用总结
正弦定理（law of sines）
任意ΔABC中，设BC a, AC b, AB c abc
sin A sin B sin C
a b sin A sin B
已知三角形的任意两个角与一边，求其它两边和一角.
定理应用总结
正弦定理（law of sines）
任意ΔABC中，设BC a, AC b, AB c abc
sin A sin B sin C
sin A a sin B b
已知三角形的任意两边与其中一边的对角，求其他两和一边.
高中数学课件高一正弦定理第一课时.优秀文档PPT
siA n siB n siC n
（其中2R是△ABC的外接圆直径。）
1、课堂上，我们一起用向量证明了直角和锐角三角形 满足正弦定理 ，思考如何用向量证明钝角三角形 满足正弦定理 ？
2、正弦定理 还有其他方法证明吗？
3、正弦定理 还可表示为
a b c 2R sin A sin B sin C
（其中2R是△ABC的外接圆直径。）
（2） b＝20，A＝60°，a＝ ;
3、正弦定理 还可表示为 （其中2R是△ABC的外接圆直径。
（2）如图过点A取单位量 ,并让 （3）已知c＝2，A＝45°， a＝ ，则B＝________.
满足正弦定理 ，思考如何用向量证明钝角三角形
满足正弦定理 ？
a b c ? 1、课堂上，我们一起用向量证明了直角和锐角三角形
C
（2） b＝20，A＝60°，a＝10 3 ;
b
（3） b＝20，A＝60°，a＝15.
60°
A
B
四、应用
（1） b＝20，A＝60°，a＝20 3 ;
一解
（2） b＝20，A＝60°，a＝10 3 ;
一解
（3） b＝20，A＝60°，a＝15.
无解
C
20
20√3 60°
A
B
C
20
A 60°B C
如果已知两边及其夹角，如何解三角形呢？
正弦定理可解以下两种类型的三角形：
（3） b＝20，A＝60°，a＝15.
如1、图课，本RPt△113A、4 B第C中课2题，∠堂C=上900，，我们一起用向量证明了直角和锐角三角形
满足正弦定理 （3） b＝20，A＝60°，a＝15.
csinB= bsinC
1.1.1正弦定理(1)课件人教新课标
∴原式 = CF - BD + AE - CF + BD - AE = 0
CF,AE,BD都 是三角形的高.
5.在△ABC中,若B=30°,AB= 2 3 ,AC=2,
求△ABC的面积. B
解：由正弦定理
A
AB = AC sinC sinB
C
得 C = 600或1200，所以 A = 900或300
C. 2
D. 3 3
【解析】由正弦定理， BC = 3 ， sin 45 sin 75
得BC＝3 3 ，故选A.
2.（19广东）已知△ABC中，∠A，∠B，
∠C的对边分别为a，b，c．若a＝c＝
6 2 ，且∠A＝75°，则ｂ＝（ Ａ）
A．2
B．4 2 3
C．4 2 3
D． 6 2
【解析】本题考查三角函数的基本公式、
解：根据正弦定理
a=c sinA sinC
得到a = 10 2.由三角形内角和可以知道 B = 1050
由
b=c
sinB sinC
得到 b = 20sin1050
例3 在ΔABC中，AD为∠A的平分线，请用
正弦定理证明：BD = AB DC AC
A
解：在ΔABD中，AB = BD sinα sinβ
则B = ___3_0_。___
有一解
(3)在ΔABC中，已知a = 2 2,b = 2 3，A = 1200,
则B = __无__解___
无解
注意
在ΔABC中，已知a, b和A时,解三角形的情况： 当A为锐角
当A为直角或钝角
C a
b
A a>b一解 B
Ca
b A
9.1.1正弦定理(第一课时)课件(人教B版)
（第一课时）
学习目标
•1.学生通过对任意三角形中边与角的关系的探
索，能发现并证明正弦定理；
•2.学生会运用正弦定理解斜三角形的两类基本
问题.
德育目标
•1.通过设立问题情境，激发学生的学习动机和好奇
心理，使其主动参与双边交流活动；
•2.通过对问题的提出、思考、解决培养学生自信、
自立的良好心理品质；
3 :1
课堂小结
a
b
c
一个 定理 ——正弦定理
sin A sinB sinC
二种 方法 ——作高法（化斜为直）
面积法
二个 应用 —— 已知两角和一边（只有一解）
已知两边和其中一边的对角
（有一解，两解，无解）
课后探究:
（1）你还可以用其它方法证明
正弦定理吗？
a
b
c
k
（2） sin A sin B sin C
那么这个k值是什么呢?你能用一个和三角形有
关的量来表示吗?
作业：
P5 练习A，练习B
谢谢
C
c
sinC
定理探究
问题2：能否推广到斜三角形呢？
当∆ABC是锐角三角形时，设BC=a，AC=b，AB=c
C
E
a
b
B
A
c D
请同学们完成到钝角三角形的推导
B
c
a
A
b
C
正弦定理
•
=
=
（1）文字叙述
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角
的正弦的比相等.
（2）方程的观点
求B和c。
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创设情境 提出问题
定理形成 概念深化
探寻特例 提出猜想
精例点拨 举一反三
逻辑推理 证明猜想
归纳小结 课后作业
作高法：
若三角形是锐角三角形, 如图,
过点A作AD⊥BC于D,
此时有
sin B
AD c
,sinC
AD b
B
所以AD=csinB=bsinC, 即
b c,
sin B sinC
同理可得
运用① 已知两角及任意一边，解三角形。 例1：在 ABC中已知A 45O ,C 300, c 10,求 b 。
解： 因为 A 45O ,C 300, 所以
B 180 O ( A C) 180 O (45O 30O ) 105 O
由正弦定理，
b sinB
求 AB 。
3
分析：
tan A 1 3
sin A ?
C 1500
BC a 1
ac sinA sinC
求出c
运用②已知两边和其中一边的对角，解三角形。
例2：在 ABC中已知 解：因为 a b
sinA sinB
a 3,b
, 所以sin B
6, A
bsin a
A
已知 AB中CA 45，B 60 B
AB=100，求AC和BC的长。
60O
解：C 1800 450 600 750
100
由
a sin
A
b sin B
c sin C
A 45O
C
得 b
csinB sin C
100 sin 60 0 sin 750
150
2 50
4
12
所以
B (A C) ( 5 )
4 12 3
由正弦定理，
a sinA
b sinB
,
得
a bsinA sin B
2 sin
4
sin
23 3
3
运用① 已知两角及任意一边，解三角形。
探究提能：在 ABC中若 tan A 1 ,C 1500, BC 1,
B
ac
C
A
b
a
sinA=
c
b
sinB= c
c a sinA
c b sinB
sinC= 1
c c sinC
在直角三角形中：
abc sinA sinB sinC
对于锐角、钝角三角形是否成立？
锐角三角形中
几何画板验证
锐角三角形中
逻辑推理证明猜想
在任意三角形中
ab c sinA sinB sinC
c, sinC
得
csinB 10 sin105 0
b
sinC
sin 30 o
5( 6 2 )
运用① 已知两角及任意一边，解三角形。
举一反三：书本P25 练习 第1题
在 ABC中已知 b 2, A ,C 5 ,求 B, a。
4 12
解： 因为
A , C 5 ,
（2）正弦定理展现出的三角形边角关系可 以作为解三角形的利器；
（3）三角形面积公式：
1
1
1
SABC 2 absin C 2 acsin B 2 bcsin A
定理形成概念深化
公式变形：
① a _2_R_s_i_n_A_ b _2_R_s_i_n_B_ c _2_R_s_i_n_C_
a c, sin A sin C
所以 a b c sinA sinB sinC
A
c
b
a
C
D
成立
返回
等面积法：
A
图1中 过 点 A 作 A D ⊥ B C 于 D ,
sinB= AcD, AD csin B sinC= AbD,AD bsinC
S ABC
1 2
BC
AD
1 2
正弦定理
第1课时
回忆初中所学三角形中的边、角关系。
两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
大角对长边，小角对短边。 斜三角形中
A B C 1800
任意一角的外角等于不相邻的两角的和。
B
勾股定理 a2 b2 c2
直角三角形中
sin A a 、sin B b
c
c
ac
C
A
b
a
b
c
② sin A __2_R__ sin B __2_R__ sin C _2_R__
③ a : b : c __s_i_n__A_:_s_i_n__B__: _s_in__C____
④ A Ba b2Rsin A 2Rsin B
sin A sin B
精例点拨举一反三
ac sin
B
B
c
b
a
图1
D
C
1 BC AD 1 ab sin C
2
2
同理图2中
S ABC
1 2
AC
BE
1 2
bc sin
A
E
1 AC BE 1 absin C
2
2
SABC
1 2
absin C
1 2
ac sin
B
1 bcsin 2
A
图2
两边同除以1
2
abc即得： sina
c sin C
2R（几何求
6 sin 3
B,
3
c。
2 2
在 ABC
中由b a知B A,故B
3
,得
B
。
4
C (A B) ( ) 5
3 4 12
c
asinC sin A
3 s in sin
5
12
3
2 2
6
3
由边大小判断角（解）的个数
运用②已知两边和其中一边的对角，解三角形。
举一反三：
在ABC中已知 a 50,b 25 6, A 45O ,求 B 。 解：因为 a b ,
sinA sinB
所以
b sin A 25 6 sin 45o
sin B
3
a
50
2
在ABC中 由b a知B A, 故B 45o,得 B 600或120。0
运用②已知两边和其中一边的对角，解三角形。
均成立
你能严格地推理证明猜想吗？
逻辑推理证明猜想
等面 积法
证明 方法
向量 法
作高 法
外接 圆法
定理形成概念深化
正弦定理： 在一个三角形中，各边的长
和它所对角的正弦的比相等。
a sinA
b sinB
c sinC
2R（R为△ABC外接圆半径）
剖析定理：（ 谐美1）和正对弦称定美理；展现了三角形边角关系的和
已知三角形的几个元素，求其他元素的过程叫做解三角形.
创设情境提出问题
创设情境提出问题
设两个测向地点 为A、B，发射电台 位于C处，测得 AB=100m,怎样计算 距离AC和BC？
已知 ABC中
A 45，B 60
AB=100，求AC和BC
B
的长。
60O
100
A 45O
C
探寻特例提出猜想
A
b sin B
c sinC
返回
外接圆法：
B
过B作直径BC/,连AC/,
BAC 90, C C ' c
a
sinC sinC ' c 2R A
c 2R sin C
.O bC
同理 a 2R, b 2R
C/
sin A
sin B
a sin A
b sin B
6
csinA 100 sin 450
a
sin C
sin 750
100 3 50
归纳总结课后作业
1、 找到了解决任意三角形边角关系的重要 工 具—正弦定理。
2、正弦定理的证明方法。
作业：1、请掌握三种方法证明正弦定理。 2、课本P25第2题 ，P31第1题 3、完成新学径、路路通导学对应课时练习
探究提能：
1、判断题:根据已知条件判断△ABC解的情况.
(1) b=1 ，a=2，B=30o 有一解；
.
(2)b=1， a=3，B=30o 无解；
.
(3)b=1，a= 3 ，B=30o 有一解；
.
(4)b=1，a= 3，B=150o 有一解； .
(5)b= 3，a=1，B=120o有两解.
.
解决本课引入中提出的问题。