一阶偏微分方程初步

第六章 一阶偏微分方程初步
6.2 一阶常微分方程的首次积分
1.求下列方程的首次积分及通积分。

（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==z y dx
dz y z dx dy 2
2
（上式为（1）式，下式为（2）式）
解：（2）式除以（1）式可得 3
3
z y dy dz = 即03
3
=-dy y dz z 积分可得： 14
4
c y z =- 从而求得一个首次积分：4
4
y z -=φ
其次，由⎩⎨⎧==dx
y zdz dx
z ydy 2
2 （上式为（3）式，下式为（4）式） 将（3）和（4）相加可得：(
)
dx z y zdz ydy 2
2+=+ 即
dx z
y zdz
ydy 2222
2=++ 积分可得到又一个首次积分x
e
z y 22
2+=ψ。

于是微分方程组的通积分为 ⎪⎩⎪
⎨⎧=+=-2222144c e z y c y z x
（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=y
x x dt dy y
x y dt dx
（上式为（1）式，下式为（2）式）
解：（1）式除以（2）式，可得
,x
y
dy dx =即ydy xdx =
积分后得12
2c y x =-。

从而求得一个首次积分2
2y x -=φ
（2）-（1）可得
1)
(=-dt
x y d 即dt x y d =-)( 积分可得2c t x y =--。

从而有得到一个首次积分t x y --=ψ
于是微分方程组的通积分为 ⎩
⎨⎧=--=-21
22c t x y c y x
（3）
xy
dz
xz dy yz dx == 解：由
xz
dy yz dx =，可得0=-ydy xdx 。

积分可得：12
2c y x =- 从而求得一个首次积分2
2
y x -=φ 由
xy
dz xz dy =，可得0=-zdz ydy ，积分可得22
2c z y =-。

于是又得到一个首次积分： 2
2
z y -=ψ
于是微分方程组的通积分为 ⎩⎨⎧=-=-2
2
21
22c z y c y x （4）
x
y dz
z x dy y z dx -=-=- 解：利用合比定理可得：
x y dz z x dy y z dx -=-=-=()0
z y x d ++ 由此可得()0=++z y x d ，于是得到一个首次积分：
z y x ++=φ
另外，我们有()()()()
2222222
22z y x d x y z zdz z x y ydy y z x xdx ++=-=-=-
于是得到另一个首次积分2
2
2
z y x ++=ψ。

于是微分方程的通积分为：
⎩⎨
⎧=++=++2
2
221
c z y x c z y x
（5）
2
22x xy y zdz
y x dy y x dx --=-=+ 解：利用合比定理可得()()
()
22222)(222
222
2z y x d x xy y zdz y x y ydy y x x xdx ++=--=-=+ 则(
)02
22=++z y x d ，即222
z y x
++=1c 。

由此可得方程的一个首次积分为：
=φ222z y x ++
另外，我们由
y
x dy y x dx -=+可得()()dy y x dx y x +=-，积分可得： 22
2
2c y xy x =--
于是得到另一个首次积分2
2
2y xy x --=ψ，于是微分方程组的通积分为：
⎩⎨⎧=--=++2
2
21
2222c y xy x c z y x 6.3 一阶线形齐次便微分方程
1.求下列方程的通解： （1）0=∂∂-∂∂y
z x x z y
解：其特征方程组为
x
dy
y dx -=。

易知，它的一个首次积分为： 2
2
y x +=ψ
于是，齐次方程的通解为：()(
)2
2
y
x z +==φψφ
其中φ是ψ的任意一元连续可微的函数。

（2）
0=∂∂+∂∂+∂∂z
u y u x u （1） 解；特征方程组为：
111dz
dy dx =
= 在（1）中，由1
1dy
dx =
得到一个首次积分：y x -=1ψ
由
1
1dz
dy =
得到另一个首次积分：z y -=2ψ 这两个首次积分是独立的；通解为：(
)()z y y x u --==,,21φψψφ 其中是任意的二元连续可微函数。

（3）()
()()0=∂∂-+∂∂-+∂∂-z u
mx lz y u lz nx x u ny mz 解：其特征方程为
mx
lz dz
lz nx dy ny mz dx -=-=-
由合比定理得到()0
nz my lx d mx lz dz n lz nx dy m ny mz dx l
++=-=-=- 由此得到()0=++nz my lx d ，于是得到一个首次积分：
nz my lx ++=1ϕ
另外，我们有()()()()
2222222
22z y x d mx lz z zdz lz nx y ydy ny mz x xdx ++=-=-=-
于是得到另一个首次积分：2
2
2
2z y x ++=ϕ 容易验证21,ϕϕ为独立的，所以方程的通解为： (
)2
22,z y x nz my lx u ++++=φ
2.试叙述求方程()
()0,,=∂∂+∂∂y
z
y x Y x z y x X 通解的方法。

解：特征方程为
()()
y x Y dy y x X dx ,,=
对上式两边积分得到()()dy y x X dx y x Y ⎰⎰
=
,,
可得到首次积分()()()dy y x X dx y x Y y x ⎰
⎰
-=,,,ϕ
所以原方程的通解为：()()()()()
⎰
⎰
-==dy y x X dx y x Y y x z ,,,φϕφ
其中φ为任意的二元连续可微函数。

3.求下列柯西问题的解： （1）y y
z x x z y
z x 2,00==∂∂+∂∂=
（2）
21,02y y
z x x z z x ==∂∂-∂∂= （3） ()y x x
u
yz y u xz z u xy
u y y ,,00
ϕ==∂∂+∂∂+∂∂=
解：特征方程为
x
dy
y dx = 由此可得首次积分2
2
x y -=ϕ
令ϕ-=
2
y ，解出ϕ-
±=y ，于是所求解为：
2222x y z -±=±=ϕ （2）特征方程为
x
dy
dx 21-=
由此可得到首次积分y x +=2
ϕ
令ϕ-=
+y 1，解出1-=-
ϕy ，于是所求解为；
()()2
2
2
11-+=-=y x z ϕ
（3）特征方程为
yz
dx xz dy xy dz = 由此可得到两个独立的首次积分2
2
22
2
1,x y y z -=-=ϕϕ 令2
,12
20
20
2
ϕϕ-
-
=-=
-x y
y z ，解出：
20
1y z +-
±
=ϕ，2
20
ϕ-
-±
=y x
于是所求解为：(
)
201220,y y U +±-±
=ϕϕϕ
6.4 一阶拟线形非齐次偏微分方程
1.求下列方程的通解: (1)z x
z
y
=∂∂ 解:其特征方程组为
z
dz dy y dx ==0 （1） 在(1)中,由0=dy ,求得一个首次积分 ()11c y ==ψ 将1c y =代入(1)中的
z
dz y dx =,积分之,有21c In z In c x
-=,得到另一个首次积分
y
x c x
ze
ze
-
-==1
2ψ
通积分为：0,=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-y
x ze y φ
其中φ是任意的二元连续可微函数.
(2)
z y
z x z 2=∂∂+∂∂ 解:其特征方程组为：
z dz
dy dx 211=
= （1） 在(1)中,由1
1dy
dx =
得到一个首次积分 y x -=1ψ 由
z
dz
dy 21=
得到另一个首次积分 y
ze
22-=ψ
通积分为： ()0,2=--y
ze
y x φ
其中φ是任意的二元连续可微函数
(3)(
)0222
22=+∂∂-∂∂-+xz y
z
xy x z x z y 解:特征方程为
xz dz
xy dy x
z y dx 222
22-=-=-+ 由此可得到两个独立的首次积分：
y
z y x y z 2
2221,++==ϕϕ
于是所求原方程的隐式通解为：
0,222=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛++y z y x y z φ 2.试叙述求方程：()()()z y x R y
z
z y x Y x z z y x X ,,,,,,=∂∂+∂∂ 通解的方法。

解：特征方程为：
()()()
z y x R dz z y x Y dy z y x X dx ,,,,,,==
根据上式求出两个首次积分1ϕ和2ϕ，若存在矩正：
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂z z y
y x
x
2121
21ϕϕϕϕϕϕ 的个二阶子阵的行列式不为零，则1ϕ与2ϕ是相互独立的首次积分， 则原方程的通积分为：
()21,ϕϕφ=z 其中φ为任意的二元连续可微函数。

3.求下列方程柯西问题的解： （1）y z y z
y x z x
z x ==∂∂+∂∂=1,2 （2）()
4,22-==∂∂++∂∂=y z y
z x y x z x
z x （3）()z y u z u z y u y x u x
u x +==∂∂+∂∂+∂∂=2
1,2 解（1）特征方程为：
z
dz
y dy x dx 2== 由此可得到两个独立的首次积分：
221,x
z x y ==
ϕϕ 令2,1ϕϕ-
-
==
z y ，它本身已经给出2,1ϕϕ-
-
==z y ，
于是应有：
y z v
x -==1
用21,ϕϕ==z y 代入，得到02
=-x xy
z 于是所求解为:
0=-xy z （2）特征方程为:
z dz x
y dy x dx =+=2 由此可得到两个独立的首次积分
x x t x z 2
21,-==ϕϕ
令22
4
,
12ϕϕ-
-
=-=y z ，解出 12,422ϕϕ-
-=+=z y
于是应有:
42
+-==y z v
x
用122,42ϕϕ=+=z y 代入，得到:
()044222
21=+-=++-x y z ϕϕ
于是所求解为: 2
x y z -= （3）特征方程为:
u
du z dz y dy x dx === 由此可得到三个独立的首次积分: x
u
x z x y ===
321,,ϕϕϕ 令:
32,22,12
ϕϕϕ-
-
-
===u
z y
解出: 32,22,12ϕϕϕ-
-
-
===u z y
于是应有: ()z y u v
x +-
==2
1
2
用3212,2,2ϕϕϕ===u z y 代入，得到02=--z y u ，于是所求解为: ()z y u +=
2
1
4.试叙述求方程 ()()()z y x R y
z
z y x Y x z z y x X ,,,,,,=∂∂+∂∂ 满足初值条件
()y z
x x ψ==0
的解的方法。

解：特征方程为
()()()
z y x R dz z y x Y dy z y x X dx ,,,,,,==
从中求出两个独立的首次积分1ϕ和2ϕ 记 ()1,,01ϕϕ-
=z y x
()2,,02ϕϕ-
=z y x
从中解出y 与z,
⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=--
-
21,2,1,21ϕϕϕϕωωz y 于是，初值问题的解为
()()()z y x z y x z ,,,,,02012ϕϕω=
()()()()()()()z y x z y x z y x z y x ,,,,,,,,,,020*******ϕϕωϕϕωψ+-。