求三角形内一点到三个顶点距离之和的最小值
求三角形内一点到三个顶点距离之和的最小值复习课程
求三角形内一点到三个顶点距离之和的最小值求三角形内一点到三个顶点距离之和的最小值1、已知三角形ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，P是三角形ABC内一点，求PA+PB+PC的最小值.解：由题意三角形ABC为直角三角形，以直角顶点C为原点，CB为x轴，CA为y轴建立坐标系（如图）则C（0，0）A（0，3）B（4，0）以B为旋转中心，将△BPC绕点B逆时钟旋转60°至△BP'C'，连接PP'、CC'、AC'则△BPP'，△BCC'均为等边三角形所以PB=PP'，PC=P'C'所以PA+PB+PC=AP+PP'+P'C'≥AC'而C'（2，-2√3）所以AC'=√[（0-2）²+（3+2√3）²]=√（25+12√3）.即PA+PB+PC的最小值等于AC'的长√（25+12√3）.2、已知三角形ABC中，AB=10，AC=17，BC=21，P 是三角形ABC内一点，求PA+PB+PC的最小值.解：过A作AD⊥BC于D，设BC=x，则CD=21-x由勾股定理得AD²=10²-x²=17²-(21-x）²，解得x=6，AD=8，DC=15以D为坐标原点，BC为x轴，DA为y轴建立坐标系（如图）则A（0，8）B（-6，0）C（15，0）以C为旋转中心，将△CPB绕点C逆时钟旋转60°至△CP'B'，连接PP'、BB'、AB'则△CPP'，△CBB'均为等边三角形所以PC=PP'，PB=P'B'所以PA+PB+PC=AP+PP'+P'B'≥AB'而B'（9/2，-21√3/2）所以AB'=√[（0-9/2）²+（8+21√3/2）²]=√（415+168√3）.即PA+PB+PC的最小值等于AB'的长√（415+168√3）.【补充说明】（1）如图，以△ABC的三边为边，分别向外作等边三角形BCD、ACE、ABF，连接AD、BE、CF，则（1）AD、BE、CF交于一点P，且∠APB=∠APC=∠BPC=120°，（2）P到A、B、C三顶点距离的和最小，且PA+PB+PC=AD=BE=CF。
中考最值专题--费马点模型
中考最值专题--费马点模型【模型建立】在三角形中，有一点P到三个顶点距离之和最小，点p在三角形哪里？【问题分析】费马尔问题的思考：如何找到一点P使它到△ABC三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小？【问题解决】费马点的确切定义：数学上称，到三角形3个顶点距离之和最小的点为费马点。
它是这样确定的：1、如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点；2、如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。
费马点的性质：费马点有如下主要性质：1．费马点到三角形三个顶点距离之和最小。
2．费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°。
【模型总结】费马点最小值快速求解：费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换. 秘诀：以△ABC任意一边为边向外作等边三角形，这条边所对两顶点的距离即为最小值。
费马点最值模型典例讲解例1. 如图，矩形ABCD是一个长为1000米，宽为600米的货场，A、D是入口，现拟在货场内建一个收费站P，在铁路线BC段上建一个发货站台H，设铺设公路AP、DP以及PH之长度和为l，求l的最小值．变式练习>>>1．如图，某货运场为一个矩形场地ABCD，其中AB＝500米，AD＝800米，顶点A，D为两个出口，现在想在货运广场内建一个货物堆放平台P，在BC边上（含B，C两点）开一个货物入口M，并修建三条专用车道PA，PD，PM．若修建每米专用车道的费用为10000元，当M，P建在何处时，修建专用车道的费用最少？最少费用为多少？（结果保留整数）【注】本题旋转△AEB、△BEC也都可以，但都必须绕着定点旋转！变式练习>>>2．若P为锐角△ABC的费马点，且∠ABC=60°，PA=3，PC=4, 求PB的值.例题3. 已知：△ABC是锐角三角形，G是三角形内一点。
费马点在数学解题中的应用
P
B
C
F是锐角△ABC内一点，
结论
1.若三角形3个内角均小于120°，那么3条 距离连线正好三等分费马点所在的周角.
2.若三角形有一个角大于等于120°，则 费马点为三角形钝角的顶点。
距离之和的最小值如何求？
知识运用
例1：
A,B,C,D四个城市恰好为一个正方形的四个顶点， 现在要设立P,Q两个交通枢纽，并建设公路连接 AP,BP,PQ,QC,QD，四个城市之间都有公路相连， 并使整个公路系统的总长为最小，则这个公路 应当如何修建？
费马点定义
ห้องสมุดไป่ตู้
费马点——就是到三角形的三个顶点的
距离之和最小的点．
A
P
B
C
如图,P为△ABC所在平面上的一点，若P到 △ABC三顶点的距离之和为PA+PB+PC,当点 P哪点时,距离之和最小。
找费马点方法
如何找点P使它到△ABC 三个顶点的距离之和 PA+PB+PC最小？
若三角形3个内角均小于120°，那么3条 距离连线正好三等分费马点所在的周角，即该 点所对三角形三边的张角相等，均为120°。 所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心。
费马点 在数学解题中的应用
你听说过费马点吗?
法国著名数学家费尔马曾提 出关于三角形的一个有趣问题： 在三角形所在平面上，求一点， 使该点到三角形三个顶点距离之 和最小。人们称这个点为“费马 点”。这是一个历史名题。
近几年中考数学出现过不少这类 问题。
本节课我们将了解这个问题的产生、 形成、推理和论证过程及应用．
练习：
已知正方形ABCD内一动点E到A、B、 C三点的 距离之和的最小值为 2 6 ，求此正方形的边 长．
求三角形内一点到三个顶点距离之和的最小值求三角形内一点到三个顶点最短值
求三角形内一点到三个顶点距离之与的最小值1、已知三角形ABC中,AC=3,BC=4,AB=5,P就是三角形ABC内一点,求PA+PB+PC的最小值、解:由题意三角形ABC为直角三角形,以直角顶点C为原点,CB为x轴,CA为y轴建立坐标系(如图)则C(0,0)A(0,3)B(4,0)以B为旋转中心,将△BPC绕点B逆时钟旋转60°至△BP'C',连接PP'、CC'、AC'则△BPP',△BCC'均为等边三角形所以PB=PP',PC=P'C'所以PA+PB+PC=AP+PP'+P'C'≥AC'而C'(2,-2√3)所以AC'=√[(0-2)²+(3+2√3)²]=√(25+12√3)、即PA+PB+PC的最小值等于AC'的长√(25+12√3)、2、已知三角形ABC中,AB=10,AC=17,BC=21,P就是三角形ABC内一点,求PA+PB+PC的最小值、解:过A作AD⊥BC于D,设BC=x,则CD=21-x由勾股定理得AD²=10²-x²=17²-(21-x)²,解得x=6,AD=8,DC=15以D为坐标原点,BC为x轴,DA为y轴建立坐标系(如图) 则A(0,8)B(-6,0)C(15,0)以C为旋转中心,将△CPB绕点C逆时钟旋转60°至△CP'B',连接PP'、BB'、AB'则△CPP',△CBB'均为等边三角形所以PC=PP',PB=P'B'所以PA+PB+PC=AP+PP'+P'B'≥AB'而B'(9/2,-21√3/2)所以AB'=√[(0-9/2)²+(8+21√3/2)²]=√(415+168√3)、即PA+PB+PC的最小值等于AB'的长√(415+168√3)、【补充说明】(1)如图,以△ABC的三边为边,分别向外作等边三角形BCD、ACE、ABF,连接AD、BE、CF,则(1)AD、BE、CF交于一点P,且∠APB=∠APC=∠BPC=120°,(2)P 到A、B、C三顶点距离的与最小,且PA+PB+PC=AD=BE=CF。
三角形内有没有一个点到三边距离之和最小
三⾓形内有没有⼀个点到三边距离之和最⼩不论是不是内⼼, ⼀个点到三边的距离都是垂线段的长度, 相互之间不能直接⽐较.正确的结论是这样的:①若三⾓形不等腰,则平⾯上到三边距离和最⼩的点是最⼤内⾓的顶点.②若三⾓形等腰, ⽽底边⼤于腰,则到三边距离和最⼩的点是顶⾓的顶点.③若三⾓形等腰, ⽽底边⼩于腰,则底边上(内部和端点)任意⼀点到三边距离和相等, 并为平⾯上点到三边距离和的最⼩值.④若三⾓形等边,则三⾓形内任意⼀点到三边距离和相等, 并为平⾯上点到三边距离和的最⼩值.证明不难, 关键是如下特殊情况.借⽤下⾯的图, P是△AMN的⼀边MN所在直线上任意⼀点.PE, PF分别为到另两边的垂线段. 设AM ≥ AN, NK MJ分别是AM, AN边上的⾼.则有如下结论:1) MJ ≥ NK.2) 当P不在线段MN上, 有PE+PF > NK.3) 若AM = AN, 且P在线段MN上, 有PE+PF = NK.4) 若AM > AN, P在线段MN上且不与N重合, 则PE+PF > NK.证明:1) ∵AN·MJ/2 = S△AMN = AM·NK/2, ∴AN·MJ = AM·NK.⼜∵AM ≥ AN, ∴MJ ≥ NK.2) 若P在M左侧, 则PE+PF ≥ PE > MJ ≥ NK. 若P在N的右侧, 则PE+PF ≥ PF > NK. 因此PE+PF > NK对直线MN上不在线段MN 上的P点均成⽴.3) ∵S△AMP = AM·PF/2, S△ANP = AN·PE/2,∴S△AMN = S△AMP+S△AMP = (AM·PF+AN·PE)/2.⼜∵S△AMN = AM·NK/2, ∴AM·NK = AM·PF+AN·PE (*).∵AM = AN, ∴NK = PF+PE.4) 接上⾯(*)式.∵AM > AN, PE > 0,∴AM·NK = AM·PF+AN·PE < AM·PF+AM·PE = AM·(PE+PF),∴NK < PE+PF.向左转|向右转回到⼀般情况.如图, 设P是△ABC所在平⾯上任意⼀点, PD, PE, PF分别为其到三边的垂线段.过P作BC的平⾏线, 交AB, AC于M, N.不妨设AB ≥ AC, 则有AM ≥ AN. 设NK, NL为N到AB, BC的垂线段.∵MN // BC, ∴PD = NL.⽽上⾯的特殊情况已证PE+PF ≥ NK, ∴PD+PE+PF ≥ NL+NK.即P到三边距离和不⼩于N到三边距离和.这样就完成了第⼀步放缩, 将平⾯上的点变到⼀条边所在的直线上.再对N使⽤上⾯的特殊情况(N在直线AC上运动),可知AB ≥ BC时, N到三边的距离和不⼩于C到三边的距离和 (由AB ≥ AC, 此时AB为最⼤边). ⽽BC ≥ AB, N到三边的距离和不⼩于A到三边的距离和, (由AB ≥ AC, 此时BC为最⼤边).总结起来, N到三边的距离和不⼩于最⼤内⾓的顶点到三边的距离和.这样就完成了第⼆步放缩, 将直线上的点变到⼀点.因此平⾯上到△ABC三边距离和的最⼩值⼀定在其最⼤内⾓的顶点取得.⽽当△ABC有两边或三边相等, 上述放缩过程中的部分"≥"能成⽴等号.此时可能有更多的点取得最⼩值.具体来说, 当三⾓形等腰, 且底边⼩于腰, 最⼤内⾓是底⾓.底边上的点到三边(另两边)的距离和为定值, 即都等于最⼩值.但对底边之外的点, 第⼀步放缩的不等号是严格的, 因此不能取得最⼩值.当三⾓形等边, 两步放缩都能取得等号(对三⾓形内的点).因此最⼩值在三⾓形内的任意点处取得(其实也可以直接⽤△APB, △BPC, △CPA的⾯积证明).⾄此结论证毕.如果⾮要说内⼼到三边距离的极值性质, 那就是"到三边距离的最⼤值最⼩".这个其实很显然, ⽽且意义不⼤, 所以就不写了.。
中考试题“费马点”
中考试题“费马点”费尔马,法国业余数学家，拥有业余数学之王的称号，他是解析几何的发明者之一．费马点—-就是到三角形的三个顶点的距离之和最小的点．费尔马的结论：对于一个各角不超过120°的三角形,费马点是对各边的张角都是120°的点,对于有一个角超过120°的三角形，费马点就是这个内角的顶点．△三个顶点的距离之和P A+PB+PC最小？这就下面简单说明如何找点P使它到ABC是所谓的费尔马问题．图1解析：如图1，把△APC绕A点逆时针旋转60°得到△AP′C′，连接PP′．则△APP′为等边三角形,AP= PP′，P′C′=PC，所以P A+PB+PC= PP′+ PB+ P′C′．点C′可看成是线段AC绕A点逆时针旋转60°而得的定点,BC′为定长，所以当B、P、P′、C′四点在同一直线上时,P A+PB+PC最小．这时∠BP A=180°-∠APP′=180°-60°=120°，∠APC=∠A P′C′=180°-∠AP′P=180°—60°=120°，∠BPC=360°—∠BP A-∠APC=360°—120°—120°=120°△的每一个内角都小于120°时,所求的点P对三角形每边的张角都是因此，当ABC120°,可在AB、BC边上分别作120°的弓形弧，两弧在三角形内的交点就是P点;当有一内角大于或等于120°时，所求的P点就是钝角的顶点．费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换．本文列举近年“费马点"走进中考试卷的实例，供同学们学习参考．例1 (2008年广东中考题)已知正方形ABCD内一动点E到A、B、C三点的距离之26图2 图3 分析：连接AC ，发现点E 到A 、B 、C 三点的距离之和就是到ABC △三个顶点的距离之和,这实际是费尔马问题的变形，只是背景不同．解 如图2,连接AC ,把△AEC 绕点C 顺时针旋转60°，得到△GFC ，连接EF 、BG 、A G ，可知△EFC 、△AGC 都是等边三角形，则EF =CE ．又FG =AE ，∴AE +BE +CE = BE +EF +FG （图4)．∵ 点B 、点G 为定点（G 为点A 绕C 点顺时针旋转60°所得)．∴ 线段BG 即为点E 到A 、B 、C 三点的距离之和的最小值,此时E 、F 两点都在BG 上(图3）．设正方形的边长为a ,那么BO =CO 2，GC 2a , GO 6． ∴ BG=BO +GO =22+62a ． ∵ 点E 到A 、B 、C 26∴ 22a 6a 26a =2． 注 本题旋转△AEB 、△BEC 也都可以，但都必须绕着定点旋转,读者不妨一试． 例2 （2009年北京中考题) 如图4，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 三个顶点的坐标分别为()6,0A -，()6,0B ,(0,43C ，延长AC 到点D ， 使CD =12AC ，过点D 作DE ∥AB 交BC 的延长线于点E .（1）求D 点的坐标；(2）作C 点关于直线DE 的对称点F ,分别连结DF 、EF ,若过B 点的直线y kx b =+将四边形CDFE 分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式;（3)设G 为y 轴上一点，点P 从直线y kx b =+与y 轴的交点出发，先沿y 轴到达G 点，再沿GA 到达A 点，若P 点在y 轴上运动的速度是它在直线GA 上运动速度的2倍，试确定G 点的位置，使P 点按照上述要求到达A 点所用的时间最短．分析和解：（1）D 点的坐标（3,（过程略）．（2) 直线BM的解析式为y =+)．图4（3)如何确定点G 的位置是本题的难点也是关健所在．设Q 点为y 轴上一点，P 在y 轴上运动的速度为v ，则P 沿M →Q →A 运动的时间为2MQ AQ v v +，使P 点到达A 点所用的时间最短，就是12MQ ＋AQ 最小，或MQ ＋2AQ 最小． 解法1 ∵ BQ =AQ , ∴MQ ＋2AQ 最小就是MQ ＋AQ ＋BQ 最小,就是在直线MO 上找点G 使他到A 、B 、M 三点的距离和最小．至此，再次发现这又是一个费尔马问题的变形,注意到题目中等边三角形的信息，考虑作旋转变换．把△MQB 绕点B 顺时针旋转60°，得到△M ′Q ′B ，连接QQ ′、MM ′（图5)，可知△QQ ′B 、△MM ′B 都是等边三角形，则QQ ′=BQ ．又M ′Q ′=MQ ,∴MQ ＋AQ ＋BQ = M ′Q ′+ QQ ′+AQ ．∵点A 、M ′为定点，所以当Q 、Q ′两点在线段A M ′上时，MQ ＋AQ ＋BQ 最小．由条件可证明Q ′点总在AM ′上，所以A M ′与OM 的交点就是所要的G 点（图6)．可证OG =12MG ．图5 图6 图7解法2 考虑12MQ＋AQ最小，过Q作BM的垂线交BM于K，由OB=6，OM=63,可得∠BMO＝30°，所以QK＝12 MQ．要使12MQ＋AQ最小，只需使AQ＋QK最小，根据“垂线段最短"，可推出当点A、Q、K在一条直线上时，AQ+QK最小，并且此时的QK垂直于BM，此时的点Q即为所求的点G（图7）．过A点作AH⊥BM于H，则AH与y轴的交点为所求的G点.由OB=6,OM=63，可得∠OBM=60°, ∴∠BAH=30°在Rt△OAG中,OG=AO·tan∠BAH=23∴G点的坐标为（0，23）（G点为线段OC的中点）．例3 （2009年湖州中考题)若点P 为△ABC所在平面上一点，且∠APB=∠BPC=∠CP A=120°, 则点P叫做△ABC的费马点．(1）若P为锐角△ABC的费马点,且∠ABC=60°，P A=3，PC=4, 则PB的值为；(2）如图8，在锐角△ABC的外侧作等边△ACB′，连结BB′．求证：BB′过△ABC的费马点P，且BB′=P A+PB+PC．图8解：（1）利用相似三角形可求PB的值为3(2)设点P为锐角△ABC的费马点，即∠APB=∠BPC=∠CP A=120°如图8,把△ACP绕点C顺时针旋转60°到△B′CE，连结PE，则△EPC为正三角形．∵∠B′EC = ∠APC =120°,∠PEC=60°∴∠B′EC+∠PEC=180°即P、E、B′三点在同一直线上∵∠BPC=120°,∠CPE=60°，∴∠BPC +∠CPE =180°，即B、P、E 三点在同一直线上∴B、P、E、B′四点在同一直线上，即BB′过△ABC的费马点P．又PE=PC,B′E= P A，∴BB′=E B′+PB+PE=P A+PB+PC．注通过旋转变换，可以改变线段的位置，优化图形的结构．在使用这一方法解题时需注意图形旋转变换的基础,即存在相等的线段,一般地，当题目出现等腰三角形（等边三角形）、正方形条件时，可将图形作旋转60°或90°的几何变换，将不规则图形变为规则图形，或将分散的条件集中在一起，以便挖掘隐含条件，使问题得以解决．费尔马问题是个有趣的数学问题，这些问题常常可通过旋转变换来解决．。
费马点的证明
A
D
E
M
F
B
C
例题2：如图，在RT△AOC中，∠OAC=30º，点O（0,0），C1,0），点A在y 轴正半轴上，以AC为一边作等腰三角形RT△ACP，使得点P在第一象限。 （1）求出所有符合题意的点P的坐标。 （2）在RT△AOC内部存在一点Q，使得AQ,OQ,CQ之和最小，请求出这个和 的最小值。
（3)当点M在何处时AM+CM+ＢＭ最小。（４）当AM+CM+ＢＭ最小为 3 ＋
１时正方形的边长。
A
D
E
N
M
B
C
例题分析： （1）略 （2)连接AC与BD相较于M点。 （3）点M就是△ABC的费马点，连接CE交BD与M。 （4）当AM+BM+CM最小时，就是CE的长，设AB=a,在RT△CEF中根据勾股 定理可以求得。
D
E
A
P B
C
如图：把△APC绕着点A逆时针旋转60º得△ＡＭＥ， ＰＡ＋ＰＢ＋ＰＣ＝ＰＢ＋ＰＭ＋ＭＥ＝ＢＥ＝ＣＤ
如图２：在三角形中任意选择一点Ｑ， ＰＡ＋ＰＢ＋ＰＣ＝ＢＥ＞ＢＱ＋ＱＮ＋ＮＥ
D A
E
D
E
A
M P B
C
N P
B
Q
例题:1如图：正方形ABCD，△ABE是等边三角形，M为对角线ＢＤ上一动点 （不与Ｂ重合），将ＢＭ绕Ｂ点逆时针旋转６０º得点Ｎ，连接NE ,CM AM。 （1）求证：△BNE≌△BMA。 （2）当点M在何处时AM+CM最小。
⑤当AM+BM+CM的最小值为2 时，菱3 形ABCD的边长为2。
E
A
D
N
M
B
一点到三角形三个顶点距离之和最小值
一点到三角形三个顶点距离之和最小值在平面几何中，三角形是最基本的几何形状之一，它由三条线段组成，这三条线段称为边。
而三角形的三个顶点即为连接这三条边的点。
现在的问题是，给定一个点P和一个三角形ABC，如何确定点P到三角形ABC三个顶点的距离之和最小值呢？我们可以通过画图来观察一下这个问题的特点。
假设点P在三角形ABC的内部，我们可以发现，点P到三个顶点的距离之和是一个固定值，即三角形的周长。
但是，如果点P不在三角形ABC的内部，而是在三角形的外部，情况就变得复杂一些。
我们可以假设点P在三角形ABC的外部，且点P到三个顶点的距离之和最小。
那么，我们可以发现，点P到三个顶点的连线会与三角形的三条边相交。
以点P到边AB上的交点为例，我们可以发现，如果我们将点P沿着边AB的方向移动一点点，点P到三个顶点的距离之和会变小。
同理，点P到边AC和边BC上的交点也具有相同的性质。
这样一来，我们可以得出一个结论：点P到三角形ABC三个顶点的距离之和最小，当且仅当点P到三角形ABC的三条边上的交点重合。
这个交点有一个特殊的名字，叫做三角形ABC的费马点。
费马点是指在平面上给定一个点P，使得点P到三角形ABC三个顶点的距离之和最小。
费马点的特点是，它到三个顶点的连线夹角相等，即∠APB = ∠BPC = ∠CPA。
现在，我们来考虑一下如何求解费马点。
我们可以通过以下步骤来实现：1. 首先，我们需要计算出三角形ABC的三条边的长度，假设分别为a、b、c。
2. 然后，我们可以根据三角形的边长和角度关系，利用三角函数来求解费马点的坐标。
3. 假设费马点的坐标为(x, y)，我们可以得到以下方程组：(x - xA)^2 + (y - yA)^2 = a^2(x - xB)^2 + (y - yB)^2 = b^2(x - xC)^2 + (y - yC)^2 = c^2其中，(xA, yA)、(xB, yB)、(xC, yC)分别为三角形ABC的三个顶点的坐标。
【范例】线段最值系列--费马点模型(
线段最值系列—费马点模型学号：姓名：【问题背景】“费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最短的点.若给定一个三角形△ABC的话，从这个三角形的费马点P到三角形的三个顶点A、B、C的距离之和比从其它点算起的都要小.这个特殊点对于每个给定的三角形都只有一个.若三角形有一内角大于等于120°，则此钝角的顶点就是距离和最小的点.【构图模型】问题：如图1，如何找点P使它到△ABC三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小？图文解析：如图1，把△APC绕C点顺时针旋转60°得到△A′P′C，连接PP′．则△CPP′为等边三角形，CP= PP′，P A =P′A′，∴P A+PB+PC= P′A′+ PB+ PP′≥B C′．∵点A′可看成是线段CA绕C点顺时针旋转60°而得的定点，BA′为定长，∴当B、P、P′、A′ 四点在同一直线上时，P A+PB+PC最小．最小值为BA.′【如图1和图2，利用旋转、等边等条件转化相等线段.】∴∠APC=∠A′ P′C=180°-∠CP′P=180°-60°=120°，∠BPC=180°-∠P′PC=180°-60°=120°，∠APC=360°-∠BPC-∠APC=360°-120°-120°=120°.因此，当△ABC的每一个内角都小于120°时，所求的点P对三角形每边的张角都是120°；当有一内角大于或等于120°时，所求的P点就是钝角的顶点．费马点问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换．【构图总结】利用旋转、等边等条件转化相等线段，将三条线段转化成首尾相连的三条线段，利用两点之间线段最短进而解决该问题.【典型例题】例1（2019⋅武汉）如图，在△MNG中，MN=6，∠M=75°，MG=42，点O是△MNG内一点，则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是______．例2如图，已知矩形ABCD，AB=4，BC=6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA+MD+ME的最小值为______．ON G图2AB CDME图1图2例1图例2图例3 如图1，已知一次函数y =x +3的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，抛物线c bx x y ++-=2过A 、B 两点，且与x 轴交于另一点C ． （1）求b 、c 的值；*（2）点D 为AC 的中点，点E 在线段BD 上，且BE =2ED ，连接CE 并延长交抛物线于点M ，求点M 的坐标；（3）将直线AB 绕点A 按逆时针方向旋转15°后交y 轴于点G ，连接CG ，如图2，P 为△ACG 内一点，连接P A 、PC 、PG ，分别以AP 、AG 为边，在他们的左侧作等边△APR ，等边△AGQ ，连接QR ，求P A +PC +PG 的最小值．例4 如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（－1,0），点B 的坐标为（4，0），经过点A 点B 抛物线y =x ²+bx +c 与y 轴交于点C . （1）求抛物线的关系式.*（2）△ABC 的外接圆与y 轴交于点D ，在抛物线上是否存在点M 使S △MBC =S △DBC ，若存在，请求出点M 的坐标.（3）点P 是直线y = -x 上一个动点，连接PB ，PC ，当PB +PC +PO 最小时，求点P 的坐标及其最小值.图1 图2备用图线段最值系列—费马点模型课堂检测学号： 姓名：1.如图，四个村庄坐落在矩形ABCD 的四个顶点上，AB ＝10公里，BC ＝15公里，现在要设立两个车站E ，F ，则EA +EB +EF +FC +FD 的最小值为 公里．2.小颖在学习“两点之间线段最短”查阅资料时发现：ABC ∆内总存在一点P 与三个顶点的连线的夹角相等，此时该点到三个顶点的距离之和最小． 【特例】如图1，点P 为等边ABC ∆的中心，将ACP ∆绕点A 逆时针旋转60︒得到ADE ∆，从而有DE PC =，连接PD 得到PD PA =，同时12060180APB APD ∠+∠=︒+︒=︒，180ADP ADE ∠+∠=︒，即B 、P 、D 、E 四点共线，故：PA PB PC PD PB DE BE ++=++=．在ABC ∆中，另取一点P '，易知点P '与三个顶点连线的夹角不相等，可证明B 、P '、D '、E 四点不共线，所以P A P B P C PA PB PC '+'+'>++，即点P 到三个顶点距离之和最小．【探究】（1）如图2，P 为ABC ∆内一点，120APB BPC ∠=∠=︒，证明PA PB PC ++的值最小； 【拓展】（2）如图3，ABC ∆中，6AC =，8BC =，30ACB ∠=︒，且点P 为ABC ∆内一点，求点P 到三个顶点的距离之和的最小值．。
模型 费马点最值模型(学生版)
模型探究费马点问题思考：如何找一点P 使它到△ABC 三个顶点的距离之和PA+PB+PC 最小？，当B、P、Q、E 四点共线时取得最小值.费马点的定义：数学上称，到三角形3个顶点距离之和最小的点为费马点。
它是这样确定的：1.如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点；2.如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。
费马点的性质：1．费马点到三角形三个顶点距离之和最小.2．费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°.费马点最小值快速求解：费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换． 秘诀：以△ABC任意一边为边向外作等边三角形，这条边所对两顶点的距离即为最小值=BP AP CP BP PQ QE BE ++++≥例题精讲【例1】．已知，在△ABC 中，∠ACB ＝30°（1）如图1，当AB ＝AC ＝2，求BC 的值；（2）如图2，当AB ＝AC ，点P 是△ABC 内一点，且PA ＝2，PB ＝，PC ＝3，求∠APC 的度数；（3）如图3，当AC ＝4，AB ＝（CB ＞CA ），点P 是△ABC 内一动点，则PA+PB+PC 的最小值为．变式训练【变式1-1】如图，P 是边长为1的等边ABC ∆内的任意一点，求t PA PB PC =++的取值范围.【变式1-2】．已知点P是△ABC内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫△ABC的费马点（Fermatpoint）．已经证明：在三个内角均小于120°的△ABC中，当∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°时，P就是△ABC的费马点．若点P是腰长为的等腰直角三角形DEF的费马点，则PD+PE+PF＝．【变式1-3】．如图，P为正方形ABCD对角线BD上一动点，若AB＝2，则AP+BP+CP的最小值为______.【例2】.如图，P是边长为2的正方形ABCD内一动点，Q为边BC上一动点，连接PA、PD、PQ，则PA+PD+PQ 的最小值为________变式训练【变式2-1】．如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA+MD+ME 的最小值为（）A．3+2B．4+3C．2+2D．10【变式2-2】．如图，已知正方形ABCD内一动点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为1+，则这个正方形的边长为．【变式2-3】．两张宽为3cm的纸条交叉重叠成四边形ABCD，如图所示，若∠α＝30°，则对角线BD上的动点P 到A，B，C三点距离之和的最小值是．1．如图，正方形ABCD内一点E，E到A、B、C三点的距离之和的最小值为，正方形的边长为_______．2．如图，在边长为6的正方形ABCD中，点M，N分别为AB、BC上的动点，且始终保持BM＝CN．连接MN，以MN为斜边在矩形内作等腰Rt△MNQ，若在正方形内还存在一点P，则点P到点A、点D、点Q的距离之和的最小值为．3．如图，四个村庄坐落在矩形ABCD的四个顶点上，AB＝10公里，BC＝15公里，现在要设立两个车站E，F，则EA+EB+EF+FC+FD的最小值为公里．4．如图，P为等边三角形ABC内一点，∠BPC等于150°，PC＝5，PB＝12，求PA的长．5．将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点B、C落在格点上，点A在BC的垂直平分线上，∠ABC ＝30°，点P为平面内一点．（1）∠ACB＝度；（2）如图，将△APC绕点C顺时针旋转60°，画出旋转后的图形（尺规作图，保留痕迹）；（3）AP+BP+CP的最小值为．6．如图1，P是锐角△ABC所在平面上一点．如果∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，则点P就叫做△ABC费马点．（1）当△ABC是边长为4的等边三角形时，费马点P到BC边的距离为．（2）若点P是△ABC的费马点，∠ABC＝60°，PA＝2，PC＝3，则PB的值为．（3）如图2，在锐角△ABC外侧作等边△ACB′，连接BB′．求证：BB′过△ABC的费马点P．7．如图（1），P为△ABC所在平面上一点，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，则点P叫做△ABC的费马点．（1）若点P是等边三角形三条中线的交点，点P（填是或不是）该三角形的费马点．（2）如果点P为锐角△ABC的费马点，且∠ABC＝60°．求证：△ABP∽△BCP；（3）已知锐角△ABC，分别以AB、AC为边向外作正△ABE和正△ACD，CE和BD相交于P点．如图（2）①求∠CPD的度数；②求证：P点为△ABC的费马点．8．定义：在一个等腰三角形底边的高线上所有点中，到三角形三个顶点距离之和最小的点叫做这个等腰三角形的“近点”，“近点”到三个顶点距离之和叫做这个等腰三角形的“最近值”．【基础巩固】（1）如图1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD为BC边上的高，已知AD上一点E满足∠DEC＝60°，AC＝，求AE+BE+CE＝；【尝试应用】（2）如图2，等边三角形ABC边长为，E为高线AD上的点，将三角形AEC绕点A逆时针旋转60°得到三角形AFG，连接EF，请你在此基础上继续探究求出等边三角形ABC的“最近值”；【拓展提高】（3）如图3，在菱形ABCD中，过AB的中点E作AB垂线交CD的延长线于点F，连接AC、DB，已知∠BDA ＝75°，AB＝6，求三角形AFB“最近值”的平方．9．如图①，点M为锐角三角形ABC内任意一点，连接AM、BM、CM．以AB为一边向外作等边三角形△ABE，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN．（1）求证：△AMB≌△ENB；（2）若AM+BM+CM的值最小，则称点M为△ABC的费马点．若点M为△ABC的费马点，试求此时∠AMB、∠BMC、∠CMA的度数；（3）小翔受以上启发，得到一个作锐角三角形费马点的简便方法：如图②，分别以△ABC的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M即为△ABC的费马点．试说明这种作法的依据．10．问题提出（1）如图①，已知△OAB中，OB＝3，将△OAB绕点O逆时针旋转90°得△OA′B′，连接BB′．则BB′＝；问题探究（2）如图②，已知△ABC是边长为4的等边三角形，以BC为边向外作等边△BCD，P为△ABC内一点，将线段CP绕点C逆时针旋转60°，点P的对应点为点Q．①求证：△DCQ≌△BCP；②求PA+PB+PC的最小值；问题解决（3）如图③，某货运场为一个矩形场地ABCD，其中AB＝500米，AD＝800米，顶点A，D为两个出口，现在想在货运广场内建一个货物堆放平台P，在BC边上（含B，C两点）开一个货物入口M，并修建三条专用车道PA，PD，PM．若修建每米专用车道的费用为10000元，当M，P建在何处时，修建专用车道的费用最少？最少费用为多少？（结果保留整数）11．【问题情境】如图1，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，BC＝5，则△ABC的外接圆的半径值为．【问题解决】如图2，点P为正方形ABCD内一点，且∠BPC＝90°，若AB＝4，求AP的最小值．【问题解决】如图3，正方形ABCD是一个边长为3cm的隔离区域设计图，CE为大门，点E在边BC上，CE＝cm，点P 是正方形ABCD内设立的一个活动岗哨，到B、E的张角为120°，即∠BPE＝120°，点A、D为另两个固定岗哨．现需在隔离区域内部设置一个补水供给点Q，使得Q到A、D、P三个岗哨的距离和最小，试求QA+QD+QP的最小值．（保留根号或结果精确到1cm，参考数据≈1.7，10.52＝110.25）．12．已知抛物线y＝﹣x2+bx+4的对称轴为x＝1，与y交于点A，与x轴负半轴交于点C，作平行四边形ABOC 并将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′O′C′．（1）求抛物线的解析式和点A、C的坐标；（2）求平行四边形ABOC和平行四边形A′B′O′C′重叠部分△OC′D的周长；（3）若点P为△AOC内一点，直接写出PA+PC+PO的最小值（结果可以不化简）以及直线CP的解析式．13．如图，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为（0，2），点D在x轴的正半轴上，∠ODB＝30°，OE为△BOD的中线，过B、E两点的抛物线与x轴相交于A、F两点（A在F的左侧）．（1）求抛物线的解析式；（2）等边△OMN的顶点M、N在线段AE上，求AE及AM的长；（3）点P为△ABO内的一个动点，设m＝PA+PB+PO，请直接写出m的最小值，以及m取得最小值时，线段AP 的长．。
初中数学微专题——费马点
初中数学·几何综合几何模型·专题复习——费马点一、费马点及结论费马点：就是到三角形的三个顶点的距离之和最小的点。
费尔马的结论：对于一个各角不超过120°的三角形，费马点是对各边的张角都是120°的点；对于有一个角超过120°的三角形，费马点就是这个内角的顶点。
二、费马点结论的证明例：P为△ABC内任一点，请找点P使它到ABC△三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小？（1）当△ABC各角不超过120°时，如下图。
解析：如图，把△APC绕A点逆时针旋转60°得到△AP′C′，连接PP′．则△APP′为等边三角形，AP= PP′，P′C′=PC，所以PA+PB+PC= PP′+ PB+ P′C′．点C′可看成是线段AC绕A点逆时针旋转60°而得的定点，BC′为定长，所以当B、P、P′、C′四点在同一直线上时，PA+PB+PC最小．这时∠BPA=180°-∠APP′=180°-60°=120°，∠APC=∠A P′C′=180°-∠AP′P=180°-60°=120°，∠BPC=360°-∠BPA-∠APC=360°-120°-120°=120°因此，当ABC△的每一个内角都小于120°时，所求的点P对三角形每边的张角都是120°，可在AB、BC边上分别作120°的弓形弧，两弧在三角形内的交点就是P点。
（2）当△ABC有一个内角超过120°时，如下图。
解析：如图，延长BA至C'使得AC=AC'，做∠C'AP'=∠CAP，并且使得AP'=AP, PC'=PC，（说了这么多，其实就是把三角形APC以A为中心做了个旋转）则△APC≌△AP'C'∵∠BAC≥120°∴∠PAP'=180°-∠BAP-∠C'AP'=180°-∠BAP-∠CAP=180°-∠BAC≤60°∴等腰三角形PAP'中，AP≥PP'∴PA+PB+PC≥PP'+PB+PC'>BC'=AB+AC所以A是费马点因此，当ABC△有一内角大于或等于120°时，所求的P点就是钝角的顶点．三、费马点的求法当△ABC是三个内角皆小于120°三角形时，分别以 AB、BC、CA为边，向三角形外侧做正三角形△ABD、△ACE，然后连接DC、BE，则二线交于一点，记作点P，则点P就是所求的费马点。
7.最值问题之费马点问题
A
A
E
B
C
B
C
D
A
D
E
P
B
C
B
A E
P C
F
在图三的模型里有结论：（1）∠BPD=60°；（2）连接 AP，AP 平分∠DPE． 有这两个结论便足以说明∠PAB=∠BPC=∠CPA=120°． 但是在这里有个小小的要求，细心的同学会发现，这个图成立的一个必要条件是 ∠BAC<120°，若 BAC 120 ,这个图就不是这个图了，会长成这个样子：
如图，以 MG 为边作等边△MGH，连接 NH，则 NH 的值即为所求的点 O 到△MNG 三个顶
点的距离和的最小值．（此处不再证明）
M
H
N
G
过点 H 作 HQ⊥NM 交 NM 延长线于 Q 点，
根据∠NMG=75°，∠GMH=60°，可得∠HMQ=45°，
∴△MHQ 是等腰直角三角形，
∴MQ=HQ=4，
最小值．至于点 P 的位置？这不重要！
D A
B
C
如何求 BD？考虑到△ABC 和△ACD 都是特殊的三角形，过点 D 作 DH⊥BA 交 BA 的延长线于 H 点，根据勾股定理， BD2 = BH 2 + DH 2 即可得出结果．
H
D A
B
C
【练习】如图，已知矩形 ABCD，AB=4，BC=6，点 M 为矩形内一点，点 E 为 BC 边上任意 一点，则 MA+MD+ME 的最小值为______．
∴NH= NQ2 + HQ2 = 100 +16 = 2 29 ．
Q 4 M
4 H
6
N
G
【练习】如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AB=AC=1，P 是△ABC 内一点，求 PA+PB+PC 的最小值．
费马点问题
费马点问题1．费马点在三角形内部，到三角形三个顶点的距离之和最小的点叫做费马点．2．基本模型如图，在锐角△ABC 内有一点O ，分别连接OA 、OB 、OC ，求证：当∠AOB ＝∠AOC ＝∠BOC ＝120°时，OA ＋OB ＋OC 最小．证明：将△APC 绕点C 旋转60°至△A ′P ′C ，则△PP ′C 是等边三角形，∴OA ＋OB ＋OC ＝BP ＋PP ′＋P ′A ≥BA ′，此时∠BPC ＝180°－∠CPP ′＝120°，∠A ′P ′C ＝180°－∠CP ′P ＝120°，∴∠APC ＝∠A ′P ′C ＝120°，∴∠AOB ＝∠AOC ＝∠BOC ＝120°．3．基本结论（1）对于一个各角都不超过120°的三角形，费马点是对各边的张角都是120°的点．（2）对于有一个角超过120°的三角形，费马点就是这个内角的顶点．（不作研究）4．基本题型（1）两点之间线段最短（2）垂线段最短（3）加权问题加权费马点，旋转加缩放，系数先化一，必为勾股数．A BCPABP PCP′P′A′APBC类型1：经典费马点问题：两点之间线段最短【例题1】如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝60°，BCP 是△ABC 内一动点，将△ACP 绕点A 逆时针旋转60°得到△ADE ，连接PE 、BD ，则PA ＋PB ＋PC 的最小值为___________．【例题2】如图，等边△ABC 中，AB ＝2，若点P 是△ABC 内部一个动点，则P A ＋PB ＋PC 的最小值为__________．【例题3】如图，Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝2，BC ＝P 是△ABC 内一个动点，则P A ＋PB ＋PC 的最小值为__________．【例题4】如图，正方形ABCD 内一动点E ，到顶点A 、B 、C 的距离之和AE ＋BE ＋CE，则这个正方形边长为____________．PEDCBAABCPAB CPE DCBA【例题5】如图，△ABC 中，AB ＝5，BC ＝3，∠ABC ＝60°，若点P 是△ABC 内一个动点，则P A ＋PB ＋PC 的最小值为__________．【例题6】如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，∠CAB ＝30°，AD ⊥BC ，垂足为D ，P 为线段AD 上的一动点，连接PB 、PC ，则P A ＋2PB 的最小值为_____________．【例题7】如图，在△MNG 中，MN ＝6，∠M ＝75°，MG ＝O 为△MNG 内一点，则点O 到△MNG 三个顶点的距离之和的最小值为____________．【例题8】如图，锐角三角形ABC 中，∠ACB ＝60°，AB ＝7，BC ＝5，AC ＝8，D 为△ABC 内一点，BD ＝1，△ABC 内有动点P ，则P A ＋PC ＋PD 的最小值为_________．PCAGNABCD P类型2：动态费马点问题：垂线段最短【例题9】如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA＋MD＋ME的最小值为___________．【例题10】如图，四个村庄坐落在矩形ABCD的四个顶点上，AB＝10公里，BC＝15公里，现在要设立两个车站E、F，则EA＋EB＋EF＋FC＋FD的最小值为__________公里．类型3：加权费马点——缩放法，旋转系数大的线段【例题11】如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠ABC＝30°，P是△ABC内一动点，则P APB＋PC的最小值为___________．【例题12】如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，点P为△ABC内一点，则12P A＋PBPC的最小值为___________．AB CDEMAB CDEFPC BAAB CP【例题13】如图，点P是边长为2的等边△ABCP A＋PB＋12PC的最小值为_________．AB CP费马点问题1．费马点在三角形内部，到三角形三个顶点的距离之和最小的点叫做费马点．2．基本模型如图，在锐角△ABC 内有一点O ，分别连接OA 、OB 、OC ，求证：当∠AOB ＝∠AOC ＝∠BOC ＝120°时，OA ＋OB ＋OC 最小．证明：将△APC 绕点C 旋转60°至△A ′P ′C ，则△PP ′C 是等边三角形，∴OA ＋OB ＋OC ＝BP ＋PP ′＋P ′A ≥BA ′，此时∠BPC ＝180°－∠CPP ′＝120°，∠A ′P ′C ＝180°－∠CP ′P ＝120°，∴∠APC ＝∠A ′P ′C ＝120°，∴∠AOB ＝∠AOC ＝∠BOC ＝120°．3．基本结论（1）对于一个各角都不超过120°的三角形，费马点是对各边的张角都是120°的点．（2）对于有一个角超过120°的三角形，费马点就是这个内角的顶点．（不作研究）4．基本题型（1）两点之间线段最短（2）垂线段最短（3）加权问题加权费马点，旋转加缩放，系数先化一，必为勾股数．A BCPABP PCP′P′A′APBC类型1：经典费马点问题：两点之间线段最短【例题1】如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BCP是△ABC内一动点，将△ACP绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，连接PE、BD，则PA＋PB＋PC的最小值为___________．【答案】7．【例题2】如图，等边△ABC中，AB＝2，若点P是△ABC内部一个动点，则P A＋PB＋PC的最小值为__________．【答案】（提示：将△ABP绕点A顺时针旋转60°得到△AB′P′）【例题3】如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝P是△ABC内一个动点，则P A＋PB＋PC的最小值为__________．【答案】．（提示：将△ABP绕点A顺时针旋转60°得到△AB′P′）【例题4】如图，正方形ABCD内一动点E，到顶点A、B、C的距离之和AE＋BE＋CE，则这个正方形边长为____________．【答案】2．（提示：将△ABE绕点A顺时针旋转60°得到△AB′E′，∠B′BP＝90°－60°＝30°，设B′P＝x，则PB，B′B＝BC＝2x，在Rt△B′PC中，x2＋＋2x)2＝2，解得x＝1，∴BC＝PEDCBAABCP P′A′MPCBAAB CPP′B′NMPCBAEDCBAABCDEPB′E′2）【例题5】如图，△ABC 中，AB ＝5，BC ＝3，∠ABC ＝60°，若点P 是△ABC 内一个动点，则P A ＋PB ＋PC 的最小值为__________．【答案】7．（提示：将△ABP 绕点A 顺时针旋转60°得到△AB ′P ′）【例题6】如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，∠CAB ＝30°，AD ⊥BC ，垂足为D ，P 为线段AD 上的一动点，连接PB 、PC ，则P A ＋2PB 的最小值为_____________．【答案】．（提示：费马点）【例题7】如图，在△MNG 中，MN ＝6，∠M ＝75°，MG ＝O 为△MNG 内一点，则点O 到△MNG 三个顶点的距离之和的最小值为____________．【答案】（提示：将△MOG 绕点M 顺时针旋转60°得到△MO ′G ′）【例题8】如图，锐角三角形ABC 中，∠ACB ＝60°，AB ＝7，BC ＝5，AC ＝8，D 为△ABC 内一点，BD ＝1，△ABC 内有动点P ，则P A ＋PC ＋PD 的最小值为_________．PCB AABCPP′B′E FP′B′PD CBAGNG′O′HNMOGABCD PC′P′PFE D CBA1．（提示：将△APC绕点A逆时针旋转60°得到△AP′C′）类型2：动态费马点问题：垂线段最短【例题9】如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA＋MD＋ME的最小值为___________．【答案】4＋（提示：将△AMD绕点D顺时针旋转60°得到△A′M′D）【例题10】如图，四个村庄坐落在矩形ABCD的四个顶点上，AB＝10公里，BC＝15公里，现在要设立两个车站E、F，则EA＋EB＋EF＋FC＋FD的最小值为__________公里．【答案】15＋（提示：将△AMD绕点D顺时针旋转60°得到△A′M′D）类型3：加权费马点——缩放法，旋转系数大的线段【例题11】如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠ABC＝30°，P是△ABC内一动点，则P APB＋PC的最小值为___________．【答案】（提示：将△ABP绕点B逆时针旋转90°得到△A′BP′）AB CDEMAB CDEFE′B′C′F′NMFEDCBAPCBA ABCEPP′A′【例题12】如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，∠BAC ＝90°，点P 为△ABC 内一点，则12P A ＋PBPC 的最小值为___________．【答案】（提示：方法1，将△APC 缩小到原来的12，并绕点C 顺时针旋转90°得到△AP ′C ′；方法2，原式＝12(P A ＋2PBPC )，将△APC 扩大到原来的2倍，并绕点C 顺时针旋转90°得到△A ′P ′C ）【例题13】如图，点P 是边长为2的等边△ABCP A ＋PB ＋12PC 的最小值为___________．．（提示：方法1，将△APC 缩小到原来的12，并绕点A 逆时针旋转60°得到△AP ′C ′；方法2，将△APC，并绕点C 逆时针旋转30°得到△A ′P ′C ；方法3，原式＝12A ＋2PB＋PC )，将△APCC 顺时针旋转90°得到△A ′P ′C ）A BCPP′A′PEC B AABCPABCE PC′P′ABCPA′P′。
求三角形内一点到三个顶点距离之和的最小值-求三角形内一点到三个顶点最短值.docx
求三角形内一点到三个顶点距离之和的最小值1、已知三角形ABC中，AC=3 , BC=4 , AB=5 , P是三角形ABC内一点，求PA+PB+PC 的最小值.AC∖∖ ∖ √∖∖ fVc解：由题意三角形ABC为直角三角形，以直角顶点C为原点，CB为X轴，CA为y轴建立坐标系（如图）则C（0，0）A（0，3）B（4，0）以B为旋转中心，将△ BPC绕点B逆时钟旋转60°至厶BP'C',连接PP'、CC'、AC'则厶BPP'，△ BCC'均为等边三角形所以PB=PP' ，PC=P'C'所以PA+PB+PC=AP+PP'+P'≥AC'而C'（2，-2√3）所以AC'=√[ （0-2）2+ （3+2√3 ）2]= √（25+12√3 ）即PA+PB+PC 的最小值等于AC'的长√ （25+12√3）.2、已知三角形ABC 中，AB=10 , AC=17 , BC=21 , P是三角形ABC内一点，求PA+PB+PC 的最小值.解：过A作AD丄BC于D ,设BC=X ,贝U CD=21-x由勾股定理得AD2=102-x2=172-(21-x ) 2 ,解得x=6 , AD=8 , DC=15以D为坐标原点，BC为X轴，DA为y轴建立坐标系(如图) 则A (0 , 8) B (-6 , 0) C (15 , 0 )以C为旋转中心，将△ CPB绕点C逆时钟旋转60°至厶CP'B',连接PP'、BB'、AB'则厶CPP' , △ CBB'均为等边三角形所以PC=PP' , PB=P'B'所以PA+PB+PC=AP+PP'+P'≥AB'而B' (9/2 , -21√3/2 )所以AB'=√[ (0-9/2 ) 2+ (8+21√3/2 ) 2]= √(415+168√3).即PA+PB+PC 的最小值等于AB'的长√( 415+168√3 ).【补充说明】(1 )如图，以△ ABC的三边为边，分别向外作等边三角形BCD、ACE、ABF，连接AD、BE、CF，贝U(1 ) AD、BE、CF 交于一点P,且∠ APB= ∠ APC= ∠BPC=120 , (2 ) P到A、B、C三顶点距离的和最小，且证明：∙∙∙AF=AB , ∠ FAC= ∠ BAE , AC=AE •••△AFC S ABE∙∙∙ CF=BE同理可证厶BCF S BDA , CF=AD∙∙∙ AD=BE=CF.•••△ AFC s ABE∙∙∙∠ AFC= ∠ ABE∙∙∙∠BPF= ∠ BAF=60 , ∠ BPC=120同理可证∠ APB= ∠ APC=120∙∙∙∠ APB= ∠ APC= ∠ BPC=120至于P到三顶点距离之和为何最小上面两题已明。
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求三角形内一点到三个顶点距离之和的最小值
1、已知三角形ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，P是三角形ABC内一点，求PA+PB+PC的最小值.
解：由题意三角形ABC为直角三角形，以直角顶点C为原点，CB为x轴，CA为y轴建立坐标系（如图）
则C（0，0）A（0，3）B（4，0）
以B为旋转中心，将△BPC绕点B逆时钟旋转60°至△BP'C'，连接PP'、CC'、AC'
则△BPP'，△BCC'均为等边三角形
所以PB=PP'，PC=P'C'
所以PA+PB+PC=AP+PP'+P'C'≥AC'
而C'（2，-2√3）
所以AC'=√[（0-2）²+（3+2√3）²]=√（25+12√3）. 即PA+PB+PC的最小值等于AC'的长√（25+12√3）.
2、已知三角形ABC中，AB=10，AC=17，BC=21，P 是三角形ABC内一点，求PA+PB+PC的最小值.
解：过A作AD⊥BC于D，设BC=x，则CD=21-x
由勾股定理得AD²=10²-x²=17²-(21-x）²，解得x=6，AD=8，DC=15
以D为坐标原点，BC为x轴，DA为y轴建立坐标系（如图）
则A（0，8）B（-6，0）C（15，0）
以C为旋转中心，将△CPB绕点C逆时钟旋转60°至△CP'B'，连接PP'、BB'、AB'
则△CPP'，△CBB'均为等边三角形
所以PC=PP'，PB=P'B'
所以PA+PB+PC=AP+PP'+P'B'≥AB'
而B'（9/2，-21√3/2）
所以AB'=√[（0-9/2）²+（8+21√3/2）²]=√
（415+168√3）.
即PA+PB+PC的最小值等于AB'的长√（415+168√3）. 【补充说明】（1）如图，以△ABC的三边为边，分别向外作等边三角形BCD、ACE、ABF，连接AD、BE、CF，则（1）AD、BE、CF交于一点P，且∠APB=∠APC=∠BPC=120°，（2）P到A、B、C三顶点距离的和最小，且PA+PB+PC=AD=BE=CF。
证明：∵AF=AB，∠FAC=∠BAE，AC=AE
∴△AFC≌ABE
∴CF=BE
同理可证△BCF≌BDA，CF=AD
∴AD=BE=CF.
∵△AFC≌ABE
∴∠AFC=∠ABE
∴∠BPF=∠BAF=60°，∠BPC=120°
同理可证∠APB=∠APC=120°
∴∠APB=∠APC=∠BPC=120°
至于P到三顶点距离之和为何最小上面两题已明。
（2）给出三个点，怎样用尺规作图，使某一点P到这三点的距离之和最短
解：如果三个点在同一直线上，P点为居中的那个点
如果三个点能组成三角形，这里的点P就是著名的“费马点”这时的一般结论是：
当三角形有一个内角大于或等于120度的时候，费马点就是这个内角的顶点；
如果三个内角都小于120度，那么，费马点就是使得费马点与三角形三顶点的连线两两夹角为120度的点。
作法：设三点为A、B、C
1、作等边三角形ABD、等边三角形ACE
2、作上述两个三角形的外接圆，两圆交于点P 则P即为拟求作的点。