2019年高考复习数学选择填空压轴1

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江苏省2019年高考数学压轴卷(含解析)

江苏省2019年高考数学压轴卷（含解析）注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求1．本试卷共4页，包含填空题（第1题～第14题）、解析题（第15题～第20题）．本卷满分为160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上指定位置作答，在其它位置作答一律无效．4．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．参考公式：球体的体积公式：V＝334Rπ，其中为球体的半径．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．全集，集合则═ ．12{}345U＝，，，，134{}}35{A B＝，，，＝，，UA B⋂（）ð2．已知是虚数单位，若，则＝．i12i a i a R+∈（﹣)(）＝，a3．我国古代数学算经十书之一的《九章算术》一哀分问题：今有北乡八千一百人，西乡九千人，南乡五千四百人，凡三乡，发役五百，意思是用分层抽样的方法从这三个乡中抽出500人服役，则北乡比南乡多抽人．4．如图是一个算法的流程图，则输出y的取值范围是．5．已知函数，若f（m）＝﹣6，则f（m﹣61）＝．22353log(1)3x xf xx x-⎧-<⎨-+≥⎩（）＝6．已知f （x ）＝sin （x ﹣1），若p ∈{1，3，5，7}，则f （p ）≤0的概率为．7．已知函数f （x ）＝2sin （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则f 2π（）的值为　　． 76π8．已知A ，B 分别是双曲线的左、右顶点，P （3，4）为C 上一点，则△PAB 2212x y C m ：-＝的外接圆的标准方程为．9．已知f （x ）是R 上的偶函数，且当x ≥0时，f （x ）＝|x 2﹣3x |，则不等式f （x ﹣2）≤2的解集为．10．若函数f （x ）＝a 1nx ，（a ∈R）与函数g （x 实数a 的值为．11．设A ，B 在圆x 2+y 2＝4上运动，且，点P 在直线3x +4y ﹣15＝0上运动．则AB ＝的最小值是．|PA PB |+ 12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝，∠ABC 的平分线交AC 23π于点D ，BD ＝1，则a +c 的最小值为． 13．如图，点D 为△ABC 的边BC 上一点，，E n （n ∈N）为AC 上一列点，且满2BD DC = 足：，其中实数列{a n }满足4a n ﹣1≠0，且a 1＝2，则11414n n n n n E A E D E a B a +=+ （﹣）﹣5111a -+++…+＝． 211a -311a -11n a -14．已知函数，其中e 是自然对数的底数．若集合{x ∈Z|x 2910(1)e ,023x x x f x x x ⎧++<⎪⎨⎪-≥⎩（）＝+6,x 0（f （x ）﹣m ）≥0}中有且仅有4个元素，则整数m 的个数为．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解析应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内）15．(本小题满分14分) 如图，在直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，已知点M 为棱BC 上异于B ，C 的一点．（1）若M 为BC 中点，求证：A 1C ∥平面AB 1M ；（2）若平面AB 1M ⊥平面BB 1C 1C ，求证：AM ⊥BC ．16.（本小题满分14分）已知 12(,),(0,cos(),.2273πππαπβαβαβ∈∈-=+=),（1）求的值；22sin αβ（﹣）（2）求的值．cos α17．(本小题满分14分) 学校拟在一块三角形边角地上建外籍教室和留学生公寓楼，如图，已知△ABC 中，∠C ＝，∠CBA ＝θ，BC ＝a ．在它的内接正方形DEFG 中建房，其余部分绿化，2π假设△ABC 的面积为S ，正方形DEFG 的面积为T ．（1）用a ，θ表示S 和T ；（2）设f （θ）＝，试求f （θ）的最大值P ； T S18.(本小题满分16分) 已知椭圆，短轴长为． 22221x y C a b：+＝0a b （＞＞）（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）如图，经过椭圆左项点A 且斜率为k （k ≠0）直线l 与C 交于A ，B 两点，交y 轴于点E ，点P 为线段AB 的中点，若点E 关于x 轴的对称点为H ，过点E 作与OP （O 为坐标原点）垂直的直线交直线AH 于点M ，且△APM ，求k 的值．19．(本小题满分16分) 已知函数()212ln 2f x x x ax a R =+-∈，．（1）当3a =时，求函数()f x 的极值；（2）设函数()f x 在0x x =处的切线方程为()y g x =，若函数()()y f x g x =-是()0+∞，上的单调增函数，求0x 的值；（3）是否存在一条直线与函数()y f x =的图象相切于两个不同的点？并说明理由．20．(本小题满分16分) 已知集合A ＝a 1，a 2，a 3，…，a n ，其中a i ∈R（1≤i ≤n ，n ＞2），l （A ）表示和a i +a j （1≤i ＜j ≤n ）中所有不同值的个数．（Ⅰ）设集合P ＝2，4，6，8，Q ＝2，4，8，16，分别求l （P ）和l （Q ）；（Ⅱ）若集合A ＝2，4，8，…，2n ，求证：； (1)()2n n l A -=（Ⅲ）是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由？ l A （）数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．请在答题卡指定区域内作答．解析应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲如图，已知AB 为半圆O 的直径，点C 为半圆上一点，过点C 作半圆的切线CD ，过点B 作BD CD ⊥于点D . 求证：2BC BA BD =⋅．B ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵=a b M c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，10=102N ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦，且()110402MN -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦，求矩阵M ． C ．选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2{ 2x t y t==--（t 为参数）．在极坐标系中（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，极轴与x 轴的非负半轴重合），圆C 的方程为4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求直线l 被圆C 截得的弦长． D ．选修4—5：不等式选讲已知正实数x y z 、、，满足3x y z xyz ++=，求xy yz xz ++的最小值．。

2019年高考全国卷Ⅰ高考压轴卷数学(理)试题及答案解析

绝密★启用前2019年高考全国卷Ⅰ高考压轴卷数学（理）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合402x A x x ⎧-⎫=∈≥⎨⎬+⎩⎭Z，1244x B x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，则A B =I （） A ．{}12 x x -≤≤B ．{}1,0,1,2- C ．{}2,1,0,1,2-- D ．{}0,1,22．已知a 是实数，i1ia +-是纯虚数，则a 等于（） A ．2-B ．1-C 2D ．13．“0a ≤”是“函数()|(1)|f x ax x =-在区间(0,)+∞内单调递增”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点到渐近线的距离等于实轴长,则此双曲线的离心率为（）A 2B 3C 5D 55．若221m n >>,则（） A ．11m n> B ．1122log log m n >C ．()ln 0m n ->D ．1m n -π>6．已知平面向量a ,b ,满足(3=a ,3=b ,()2⊥-a a b ,则-=a b （） A ．2B ．3C ．4D ．67．执行右边的程序框图,输出的2018ln =S ,则m 的值为（） A ．2017 B ．2018 C ．2019D ．20208．据统计,连续熬夜48小时诱发心脏病的概率为0055．,连续熬夜72小时诱发心脏病的概率为019．,现有一人已连续熬夜48小时未诱发心脏病,则他还能继续连续熬夜24小时不诱发心脏病的概率为（）S ＝S ＋⎰i ＋1i1x d x开始否 i ＜m ？结束是i ＝1，S ＝0 i ＝i ＋1输出SA．6 7B．335C．1135D．019．9．已知一几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（）A．163π+B．112π+C．1123π+D．143π+ 10．将()2sin22cos21f x x x=-+的图像向左平移π4个单位,再向下平移1个单位,得到函数()y g x=的图像,则下列关于函数()y g x=的说法错误的是（）A．函数()y g x=的最小正周期是πB．函数()y g x=的一条对称轴是π8x=C．函数()y g x=的一个零点是3π8D．函数()y g x=在区间5π,128π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减11．焦点为F的抛物线2:8C y x=的准线与x轴交于点A,点M在抛物线C上,则当MAMF 取得最大值时,直线M A的方程为（）A．2y x=+或2y x=--B．2y x=+C．22y x=+或22y x=-+D．22y x=-+12．定义在R上的函数()f x满足()()22f x f x+=,且当[]2,4x∈时,()224,232,34x x xf x xxx⎧-+≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩,()1g x ax=+,对[]12,0x∀∈-,[]22,1x∃∈-使得()()21g x f x=,则实数a的取值范围为（）A．11,,88⎛⎫⎡⎫-∞-+∞⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭U B．11,00,48⎡⎫⎛⎤-⎪⎢⎥⎣⎭⎝⎦UC．(]0,8D．11,,48⎛⎤-∞-+∞⎥⎪⎝⎦⎡⎫⎢⎣⎭U二、填空题：本大题共4小题,每小题5分． 13．已知1sin )1lg()(2++-+=x x x x f 若21)(=αf 则=-)(αf 14．在()31nx x x ⎛++ ⎪⎝⎭的展开式中,各项系数之和为256,则x 项的系数是__________．15.知变量x ,y 满足条件236y xx y y x ≤+≥≥-⎧⎪⎨⎪⎩,则目标函数223x y z x y-=+的最大值为16．如图,在ABC △中,3sin2ABC ∠=,点D 在线段AC 上,且2AD DC =,43BD =,则ABC △的面积的最大值为__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知公差不为零的等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足：113a b ==,24b a =, 且1a ,4a ,13a 成等比数列．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）令nn na cb =,求数列{}n c 的前n 项和n S ． 18．（本小题满分12分）某市举行“中学生诗词大赛”,分初赛和复赛两个阶段进行,规定：初赛成绩大于90分的具有复赛资格,某校有800名学生参加了初赛,所有学生的成绩均在区间(]30,150内,其频率分布直方图如图．（1）求获得复赛资格的人数；（2）从初赛得分在区间(]110,150的参赛者中,利用分层抽样的方法随机抽取7人参加学校座谈交流,那么从得分在区间(]110,130与(]130,150各抽取多少人？（3）从（2）抽取的7人中,选出3人参加全市座谈交流,设X 表示得分在区间(]130,150中参加全市座谈交流的人数,求X 的分布列及数学期望()E X ．19．（本小题满分12分）如图,底面ABCD 是边长为3的正方形,DE ⊥平面ABCD ,//AF DE ,3DE AF =,BE 与平面ABCD 所成角为60︒．（1）求证：AC ⊥平面BDE ；（2）求二面角F BE D --的余弦值．20．（本小题满分12分）过抛物线22(0)x py p =>的焦点F 的直线与抛物线在第一象限的交点为A ,与抛物线准线的交点为B ,点A 在抛物线准线上的射影为C ,若AF FB =u u u r u u u r,ABC △的面积为83（1）求抛物线的标准方程；（2）过焦点F 的直线与抛物线交于M ,N 两点,抛物线在M ,N 点处的切线分别为1l ,2l ,且1l 与2l 相交于P 点,1l 与x 轴交于Q 点,求证：2FQ l ∥．21．（本小题满分12分）设函数()(ln f x x x =-+．（1）探究函数()f x 的单调性；（2）若0x ≥时,恒有()3f x ax ≤,试求a 的取值范围；请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分． 22.(本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中,圆C 的普通方程为2246120x y x y +--+=．在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线l 的极坐标方程为πsin 4ρθ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭（1）写出圆C 的参数方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设直线l 与x 轴和y 轴的交点分别为A ,B ,P 为圆C 上的任意一点,求PA PB ⋅u u u r u u u r的取值范围．23．（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】设函数()21f x x =-．（1）设()()15f x f x ++<的解集为A ,求集合A ；（2）已知m 为（1）中集合A 中的最大整数,且a b c m ++=（其中a ,b ,c 为正实数）,求证：1118a b ca b c---⋅⋅≥．2019年高考全国卷Ⅰ高考压轴卷数学（理）试题答案解析一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．【答案】B 【解析】集合{}{}40241,0,1,2,3,42x A x x x x ⎧-⎫=∈≥=∈-<≤=-⎨⎬+⎩⎭Z Z ,{}14224B x x x x ⎧⎫=≤≤=-≤≤⎨⎬⎩⎭,则{}1,0,1,2A B =-I ,故选B ．2．【答案】D 【解析】i 1ia +-是纯虚数,i 1+(+1)i=1i 2a a a +--,则要求实部为0,即1a =．故选D ． 3．【答案】C ．【解析】当0a =时,()|(1)|||f x ax x x =-=在区间(0,)+∞上单调递增；当0a <时,结合函数2()|(1)|||f x ax x ax x =-=-的图像知函数在(0,)+∞上单调递增,如图1-7(a)所示；当0a >时,结合函数2()|(1)|||f x ax x ax x =-=-的图像知函数在(0,)+∞上先增后减再增,不符合条件,如图1-7(b)所示.所以要使函数()|(1)|f x ax x =-在(0,)+∞上单调递增,只需0a ≥,即“0a ≥”是“函数()|(1)|f x ax x =-在区间(0,)+∞内单调递增”的充要条件.故选C.4．【答案】C【解析】由题意可设双曲线C 的右焦点(),0F c ,渐进线的方程为by x a=±,可得2d b a ===,可得c =,可得离心率ce a=故选C ． 5．【答案】D【解析】因为221m n >>,所以由指数函数的单调性可得0m n >>, 因为0m n >>,所以可排除选项A ,B ；32m =,1n =时,可排除选项C , 由指数函数的性质可判断1m n -π>正确,故选D ． 6．【答案】B【解析】由题意可得：2==a ,且：()20⋅-=a a b ,即220-⋅=a a b ,420-⋅=a b ,2⋅=a b ,由平面向量模的计算公式可得：3-===a b ．故选B ．7．【答案】B【解析】第一次循环,2,2ln ==i S 第二次循环,3,3ln ln 2ln 12ln 3232==+=+=⎰i x dx xS 第三次循环,4,4ln ln 2ln 13ln 4343==+=+=⎰i x dx xS 第四次循环,5,5ln ln 4ln 14ln 5454==+=+=⎰i x dx xS ……推理可得m=2018,故选B ．8．【答案】A【解析】设事件A 为48h 发病,事件B 为72h 发病,由题意可知：()0055P A =．,()019P B =．,则()0945P A =．,()081P B =．, 由条件概率公式可得：()()()()()0816|09457P AB P B P B A P A P A ====．．．故选A ． 9．【答案】C【解析】观察三视图可知,几何体是一个圆锥的14与三棱锥的组合体,其中圆锥的底面半径为1,高为1．三棱锥的底面是两直角边分别为1,2的直角三角形,高为1．则几何体的体积21111π1π111213432123V =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+．故本题答案选C ．10．【答案】D【解析】由题意可知：()12sin 4π21f x x x x ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭,图像向左平移π4个单位,再向下平移1个单位的函数解析式为： ()ππ2sin 2112sin 244π4g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．则函数()g x 的最小正周期为2ππ2T ==,A 选项说法正确；当π8x =时,22ππ4x +=,函数()y g x =的一条对称轴是π8x =,B 选项说法正确；当3π8x =时,2π4πx +=,函数()y g x =的一个零点是3π8,C 选项说法正确；若5π,128πx ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,则5π3π2,4122πx ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦,函数()y g x =在区间5π,128π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不单调,D 选项说法错误；故选D ． 11．【答案】A 【解析】过M 作M P 与准线垂直,垂足为P ,则11cos cos MA MA MFMPAMP MAF ===∠∠,则当MA MF取得最大值时,MAF ∠必须取得最大值,此时直线AM 与抛物线相切,可设切线方程为()2y k x =+与28y x =联立,消去y 得28160ky y k -+=,所以264640k ∆=-=,得1k =±．则直线方程为2y x =+或2y x =--．故本题答案选A ．12．【答案】D【解析】因为()f x 在[]2,3上单调递减,在(]3,4上单调递增,所以()f x 在[]2,3上的值域是[]3,4,在(]3,4上的值域是119,32⎛⎤⎥⎝⎦,所以函数()f x 在[]2,4上的值域是93,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦,因为()()22f x f x +=,所以()()()112424f x f x f x =+=+,所以()f x 在[]2,0-上的值域是39,48⎡⎤⎢⎥⎣⎦,当0a >时,()g x 为增函数,()g x 在[]2,1-上的值域为[]21,1a a -++, 所以3214918a a ≥-+≤+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩,解得18a ≥；当0a <时,()g x 为减函数,()g x 在[]2,1-上的值域为[]1,21a a +-+, 所以3149218a a ≥+⎧⎪≤+⎨-⎪⎪⎪⎩,解得14a ≤-,当0a =时,()g x 为常函数,值域为{}1,不符合题意,综上,a 的范围是11,,48⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U ,故选D ．二、填空题：本大题共4小题,每小题5分． 13．【答案】23【解析】解析：因为1sin )1lg()(2++-+=x x x x f 的定义域为R,关于原点对称,21sin )1lg(1sin )1lg()()(22=+-++++++-+=-+）（x x x x x x f f αα故221)(=+-αf 则=-)(αf 2314．【答案】7【解析】令1x =可得各项系数和：()31112561n⎛+⨯= ⎝,据此可得：7n =,73x x ⎛+ ⎝展开式的通项公式为：()721732177C C r r rr r r T xx x --+==, 令72102r -=可得：6r =,令72112r -=可得：407r =,不是整数解,据此可得：x 项的系数是67C 7=． 15.3【解析】作出236y x x y y x ≤+≥≥-⎧⎪⎨⎪⎩,表示的可行域,如图变形目标函数,()1,2cos x y zθ-⋅===,其中θ为向量)1=-a 与(),x y =b 的夹角,由图可知,()2,0=b 时θ有最小值6π, (),x y =b 在直线y x =上时,θ有最大值56412π+=ππ,即5612θπ≤≤π,5612θπ≤≤π,目标函数z=故选C ．16．【答案】【解析】由sin2ABC ∠=可得：cos 2ABC ∠=, 则sin 2sin cos 22ABC ABC ABC ∠∠∠==．由sin2ABC ∠<452ABC ∠<︒,则90ABC ∠<︒,由同角三角函数基本关系可知：1cos 3ABC ∠=．设AB x =,BC y =,()30,0,0AC z x y z =>>>,在ABD △中由余弦定理可得：()22162cosz x BDA +-∠=,在CBD △中由余弦定理可得：2216cos z y BDC +-∠=由于180BDA BDC ∠+∠=︒,故cos cos BDA BDC∠=-∠,()222216162z x z y +-+-=整理可得：22216620z x y +--=．①在ABC △中,由余弦定理可知：()2221233x y xy z +-⨯=,则：2222246339z x y xy =+-,代入①式整理计算可得：2214416339x y xy ++=,由均值不等式的结论可得：4161699xy xy ≥=, 故9xy ≤,当且仅当x =,y 时等号成立,据此可知ABC △面积的最大值为：()max max 11sin 922S AB BC ABC =⨯⨯⨯∠=⨯= 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）【答案】（1）()32121n a n n =+-=+,3n n b =；（2）223n n n S +=-．【解析】（1）设{}n a 的公差为d ,则由已知得21134a a a =,即()()2331233d d +=+,解之得：2d =或0d =（舍）,所以()32121n a n n =+-=+；因为249b a ==,所以{}n b 的公比3q =,所以3n n b =．（2）由（1）可知213n nn c +=, 所以23357213333n n n S +=++++．．．,21572133333n n n S -+=++++．．．, 所以12111211112121243323234133333313n n n n n n n n n S --⎛⎫⋅- ⎪+++⎛⎫⎝⎭=++++-=+-=- ⎪⎝⎭-．．．, 所以223n nn S +=-． 18.（本小题满分12分）【答案】（1）520人；（2）5人,2人；（3）()67E X =．【解析】（1）由题意知[)90,110之间的频率为：()1200.00250.0050.007520.01250.3-⨯++⨯+=,()0.30.01250.0050200.65++⨯=,获得参赛资格的人数为8000.65520⨯=人．（2）在区间(]110,130与(]130,150，0.0125:0.00505:2=，在区间(]110,150的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人，分在区间(]110,130与(]130,150各抽取5人，2人．结果是5人，2人．（3）X 的可能取值为0，1，2，则：()305237C C 20C 7P X ===；()215237C C 41C 7P X ===；()125237C C 12C 7P X ===；故X 的分布列为： X0 1 2 P 27 47 17 ()20127777E X =⨯+⨯+⨯=． 19．（本小题满分12分）【答案】（1）见解析（213 （1）证明：∵DE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴DE AC ⊥，又∵底面ABCD 是正方形，∴AC BD ⊥．∵BD DE D =I ，∴AC ⊥平面BDE ．（2）解：∵DA ，DC ，DE 两两垂直，∴建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，∵BE 与平面ABCD 所成角为60︒，即60DBE ∠=︒， ∴3ED DB=，由3AD =，可知32BD =36DE =6AF = 则(3,0,0)A ，6)F ，(0,0,36)E ，(3,3,0)B ，(0,3,0)C ，∴(0,6)BF =-u u u r ，(3,0,26)EF =-u u u r ．设平面BEF 的一个法向量为(,,)n x y z =r ，则0,0,n BF n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r 即360,360,y z x z ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩ 令6z =(4,6)n =r ．∵AC ⊥平面BDE ，∴CA u u u r 为平面BDE 的一个法向量，∴(3,3,0)CA =-u u u r ，∴||cos,||||n CAn CAn CA⋅<>===⋅r u u u rr u u u rr u u u r∵二面角F BE D--为锐角，∴二面角F BE D--．20.（本小题满分12分）【答案】（1）24x y=；（2）证明见解析．【解析】（1）因为AF FB=u u u r u u u r，所以F到准线的距离即为三角形ABC△的中位线的长，所以2AC p=，根据抛物线的定义AC AF=，所以24AB AC p==，BC=，122ABCS p=⋅⋅=△解得2p=，所以抛物线的标准方程为24x y=．（2）易知直线MN的斜率存在，设直线:1MN y kx=+，设()11,M x y，()22,N x y 联立241x yy kx=+⎧⎪⎨⎪⎩=消去y得2440x kx--=，得124x x=-，24xy=，'2xy=，设()11,M x y，()22,N x y，111:22l y y xx+=，222:22l y y xx+=，()22212212112121121212442,22,12444p p px xy y x x x x x x x x y x yx x x x⎛⎫-⎪-++⎝⎭===+⋅===---，得P点坐标21,12x xP+⎛⎫-⎪⎝⎭，由111:22l y y xx+=，得1,02xQ⎛⎫⎪⎝⎭，12QFkx=-，221141222lxkx x-==⋅=-，所以2QF lk k=，即2PQ l∥．21.（本小题满分12分）【答案】（1）增函数；（2）1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（3）见解析．【解析】（1）函数()f x的定义域为R．由()'10f x=≥，知()f x是实数集R上的增函数．（2）令()()(33lng x f x ax x x ax=-=--，则()2131'axg x--，令())2131h x ax =--，则()()23169169'x a ax a x ax h x ⎡⎤----==．（i ）当16a ≥时，()'0h x ≤，从而()h x 是[)0,+∞上的减函数，注意到()00h =，则0x ≥时，()0h x ≤，所以()'0g x ≤，进而()g x 是[)0,+∞上的减函数，注意到()00g =，则0x ≥时，()0g x ≤时，即()3f x ax ≤．（ii ）当106a <<时，在⎡⎢⎣上，总有()'0h x >，从而知，当x ⎡∈⎢⎣⎭时，()3f x ax >；（iii ）当0a ≤时，()'0h x >，同理可知()3f x ax >，综上，所求a 的取值范围是1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22.（本小题满分10分）【答案】（1）2cos 3sin x y θθ+=+⎧⎨⎩=，20x y +-=；（2）44PA PB -⋅≤+u u u r u u u r 【解析】（1）圆C 的参数方程为2cos 3sin x y θθ+=+⎧⎨⎩=（θ为参数）．直线l 的直角坐标方程为20x y +-=．（2）由直线l 的方程20x y +-=可得点()2,0A ，点()0,2B ．设点(),P x y ，则()()222,,2222412PA PB x y x y x y x y x y ⋅=--⋅--=+--=+-u u u r u u u r ．由（1）知2cos 3sin x y θθ+=+⎧⎨⎩=，则()4sin 2cos 44PA PB θθθϕ⋅=++=++u u u r u u u r ．因为θ∈R，所以44PA PB -≤⋅≤+u u u r u u u r23．（本小题满分10分）【答案】（1）55|44A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭；（2）见解析．【解析】（1）()()15f x f x ++<即21215x x -++<，当12x <-时，不等式化为12215x x ---<，∴5142x -<<-；当1122x -≤≤时，不等式化为12215x x -++<，不等式恒成立；当12x >时，不等式化为21215x x -++<，∴1524x <<．综上，集合55|44A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭．（2）由（1）知1m =，则1a b c ++=．则1a b c a a -+=1b b -≥1c c -≥则1118a b c a b c ---⋅⋅≥=，即8M ≥．。

2019全国卷Ⅰ高考压轴卷数学理科 Word版含解析

最新2019全国卷Ⅰ高考压轴卷数学理科一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合402x A x x ⎧-⎫=∈≥⎨⎬+⎩⎭Z，1244x B x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，则A B =（）A ．{}12 x x -≤≤B ．{}1,0,1,2-C ．{}2,1,0,1,2--D ．{}0,1,22．已知a 是实数，i1ia +-是纯虚数，则a 等于（） A．B ．1-CD ．13．“0a ≤”是“函数()|(1)|f x ax x =-在区间(0,)+∞内单调递增”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点到渐近线的距离等于实轴长，则此双曲线的离心率为（）ABCD5．若221m n >>，则（） A ．11m n> B ．1122log log m n >C ．()ln 0m n ->D ．1m n -π>6．已知平面向量a ，b，满足(=a ，3=b ，()2⊥-a a b ，则-=a b （） A ．2B ．3C ．4D ．67．执行右边的程序框图，输出的2018ln =S ,则m 的值为（） A ．2017 B ．2018 C ．2019D ．20208．据统计，连续熬夜48小时诱发心脏病的概率为0055．，连续熬夜72小时诱发心脏病的概率为019．，现有一人已连续熬夜48小时未诱发心脏病，则他还能继续连续熬夜24小时不诱发心脏病的概率为（）A ．67B ．335C ．1135D ．019．9．已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．163π+ B ．112π+ C ．1123π+ D ．143π+ 10．将()1f x x x =-+的图像向左平移π4个单位，再向下平移1个单位，得到函数()y g x =的图像，则下列关于函数()y g x =的说法错误的是（）A ．函数()y g x =的最小正周期是πB ．函数()y g x =的一条对称轴是π8x = C ．函数()y g x =的一个零点是3π8D ．函数()y g x =在区间5π,128π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减11．焦点为F 的抛物线2:8C y x =的准线与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，则当MA MF取得最大值时，直线MA 的方程为（） A ．2y x =+或2y x =-- B ．2y x =+ C ．22y x =+或22y x =-+D ．22y x =-+12．定义在R 上的函数()f x 满足()()22f x f x +=，且当[]2,4x ∈时，()224,232,34x x x f x x x x⎧-+≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩，()1g x ax =+，对[]12,0x ∀∈-，[]22,1x ∃∈-使得()()21g x f x =，则实数a 的取值范围为（）A ．11,,88⎛⎫⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭ B ．11,00,48⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦C ．(]0,8D ．11,,48⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎪⎝⎦⎡⎫⎢⎣⎭二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知1sin )1lg()(2++-+=x x x x f 若21)(=αf 则=-)(αf 14．在()31nx x ⎛++ ⎝的展开式中，各项系数之和为256，则x 项的系数是__________． 15.知变量x ，y 满足条件236y xx y y x ≤+≥≥-⎧⎪⎨⎪⎩，则目标函数z =的最大值为16．如图，在ABC △中，sin2ABC ∠，点D 在线段AC 上，且2AD DC =，BD =，则ABC △的面积的最大值为__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知公差不为零的等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足：113a b ==，24b a =，且1a ，4a ，13a 成等比数列．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）令nn na cb =，求数列{}n c 的前n 项和n S ． 18．（本小题满分12分）某市举行“中学生诗词大赛”，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于90分的具有复赛资格，某校有800名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间(]30,150内，其频率分布直方图如图．（1）求获得复赛资格的人数；（2）从初赛得分在区间(]110,150的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人参加学校座谈交流，那么从得分在区间(]110,130与(]130,150各抽取多少人？（3）从（2）抽取的7人中，选出3人参加全市座谈交流，设X 表示得分在区间(]130,150中参加全市座谈交流的人数，求X 的分布列及数学期望()E X ．19．（本小题满分12分）如图，底面ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，//AF DE ，3DE AF =，BE 与平面ABCD 所成角为60︒．（1）求证：AC ⊥平面BDE ；（2）求二面角F BE D --的余弦值．20．（本小题满分12分）过抛物线22(0)x py p =>的焦点F 的直线与抛物线在第一象限的交点为A ，与抛物线准线的交点为B ，点A 在抛物线准线上的射影为C ，若AF FB =，ABC △的面积为（1）求抛物线的标准方程；（2）过焦点F 的直线与抛物线交于M ，N 两点，抛物线在M ，N 点处的切线分别为1l ，2l ，且1l 与2l 相交于P 点，1l 与x 轴交于Q 点，求证：2FQ l ∥．21．（本小题满分12分）设函数()(ln f x x x =-+．（1）探究函数()f x 的单调性；（2）若0x ≥时，恒有()3f x ax ≤，试求a 的取值范围；请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22.(本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，圆C 的普通方程为2246120x y x y +--+=．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为πsin 4ρθ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭（1）写出圆C 的参数方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设直线l 与x 轴和y 轴的交点分别为A ，B ，P 为圆C 上的任意一点，求PA PB ⋅的取值范围．23．（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】设函数()21f x x =-．（1）设()()15f x f x ++<的解集为A ，求集合A ；（2）已知m 为（1）中集合A 中的最大整数，且a b c m ++=（其中a ，b ，c 为正实数），求证：1118a b ca b c---⋅⋅≥．最新2019全国卷Ⅰ高考压轴卷数学理科答案解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】B【解析】集合{}{}40241,0,1,2,3,42x A x x x x ⎧-⎫=∈≥=∈-<≤=-⎨⎬+⎩⎭ZZ ，{}14224B x x x x ⎧⎫=≤≤=-≤≤⎨⎬⎩⎭，则{}1,0,1,2AB =-，故选B ．2．【答案】D 【解析】i 1ia +-是纯虚数，i 1+(+1)i=1i 2a a a +--，则要求实部为0，即1a =．故选D ． 3．【答案】C ．【解析】当0a =时，()|(1)|||f x ax x x =-=在区间(0,)+∞上单调递增；当0a <时，结合函数2()|(1)|||f x ax x ax x =-=-的图像知函数在(0,)+∞上单调递增，如图1-7(a)所示；当0a >时，结合函数2()|(1)|||f x ax x ax x =-=-的图像知函数在(0,)+∞上先增后减再增，不符合条件，如图1-7(b)所示.所以要使函数()|(1)|f x ax x =-在(0,)+∞上单调递增，只需0a ≥，即“0a ≥”是“函数()|(1)|f x ax x =-在区间(0,)+∞内单调递增”的充要条件.故选C.4．【答案】C【解析】由题意可设双曲线C 的右焦点(),0F c ，渐进线的方程为by x a=±，可得2d b a ===，可得c =，可得离心率ce a=C ．5．【答案】D【解析】因为221m n >>，所以由指数函数的单调性可得0m n >>，因为0m n >>，所以可排除选项A ，B ；32m =，1n =时，可排除选项C ，由指数函数的性质可判断1m n -π>正确，故选D ． 6．【答案】B【解析】由题意可得：2=a ，且：()20⋅-=a a b ，即220-⋅=a a b ，420-⋅=a b ，2⋅=a b ，由平面向量模的计算公式可得：3-=a b ．故选B ．7．【答案】B【解析】第一次循环，2,2ln ==i S 第二次循环，3,3ln ln 2ln 12ln 3232==+=+=⎰i x dx xS 第三次循环，4,4ln ln 2ln 13ln 4343==+=+=⎰i x dx xS 第四次循环，5,5ln ln 4ln 14ln 5454==+=+=⎰i x dx xS ……推理可得m=2018，故选B ．8．【答案】A【解析】设事件A 为48h 发病，事件B 为72h 发病，由题意可知：()0055P A =．，()019P B =．，则()0945P A =．，()081P B =．，由条件概率公式可得：()()()()()0816|09457P AB P B P B A P A P A ====．．．故选A ． 9．【答案】C【解析】观察三视图可知，几何体是一个圆锥的14与三棱锥的组合体，其中圆锥的底面半径为1，高为1．三棱锥的底面是两直角边分别为1，2的直角三角形，高为1．则几何体的体积21111π1π111213432123V =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+．故本题答案选C ．10．【答案】D【解析】由题意可知：()12sin 4π21f x x x x ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭，图像向左平移π4个单位，再向下平移1个单位的函数解析式为： ()ππ2sin 2112sin 244π4g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．则函数()g x 的最小正周期为2ππ2T ==，A 选项说法正确；当π8x =时，22ππ4x +=，函数()y g x =的一条对称轴是π8x =，B 选项说法正确；当3π8x =时，2π4πx +=，函数()y g x =的一个零点是3π8，C 选项说法正确；若5π,128πx ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则5π3π2,4122πx ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，函数()y g x =在区间5π,128π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不单调，D 选项说法错误；故选D ． 11．【答案】A 【解析】过M 作MP 与准线垂直，垂足为P ，则11cos cos MA MA MFMPAMP MAF ===∠∠，则当MA MF取得最大值时，MAF ∠必须取得最大值，此时直线AM 与抛物线相切，可设切线方程为()2y k x =+与28y x =联立，消去y 得28160ky y k -+=，所以264640k ∆=-=，得1k =±．则直线方程为2y x =+或2y x =--．故本题答案选A ．12．【答案】D【解析】因为()f x 在[]2,3上单调递减，在(]3,4上单调递增，所以()f x 在[]2,3上的值域是[]3,4，在(]3,4上的值域是119,32⎛⎤ ⎥⎝⎦，所以函数()f x 在[]2,4上的值域是93,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，因为()()22f x f x +=，所以()()()112424f x f x f x =+=+，所以()f x 在[]2,0-上的值域是39,48⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当0a >时，()g x 为增函数，()g x 在[]2,1-上的值域为[]21,1a a -++，所以3214918a a ≥-+≤+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得18a ≥；当0a <时，()g x 为减函数，()g x 在[]2,1-上的值域为[]1,21a a +-+，所以3149218a a ≥+⎧⎪≤+⎨-⎪⎪⎪⎩，解得14a ≤-，当0a =时，()g x 为常函数，值域为{}1，不符合题意，综上，a 的范围是11,,48⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，故选D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】23【解析】解析：因为1sin )1lg()(2++-+=x x x x f 的定义域为R,关于原点对称，21sin )1lg(1sin )1lg()()(22=+-++++++-+=-+）（x x x x x x f f αα故221)(=+-αf 则=-)(αf 2314．【答案】7【解析】令1x =可得各项系数和：()3111256n⎛+⨯= ⎝，据此可得：7n =，73x ⎛+ ⎝展开式的通项公式为：()721732177C C r r rr r r T xx --+==，令72102r -=可得：6r =，令72112r -=可得：407r =，不是整数解，据此可得：x 项的系数是67C 7=． 15.【解析】作出236y x x y y x ≤+≥≥-⎧⎪⎨⎪⎩，表示的可行域，如图变形目标函数，()1,2cos x y zθ-⋅===，其中θ为向量)1=-a 与(),x y =b 的夹角，由图可知，()2,0=b 时θ有最小值6π， (),x y =b 在直线y x =上时，θ有最大值56412π+=ππ，即5612θπ≤≤π，5612θπ≤≤π，目标函数z=C ．16．【答案】【解析】由sin2ABC ∠=可得：cos 2ABC ∠=，则sin 2sin cos 22ABC ABC ABC ∠∠∠==．由sin2ABC ∠<452ABC ∠<︒，则90ABC ∠<︒，由同角三角函数基本关系可知：1cos 3ABC ∠=．设AB x =，BC y =，()30,0,0AC z x y z =>>>，在ABD △中由余弦定理可得：()22162cos z x BDA +-∠=，在CBD △中由余弦定理可得：2216cos z y BDC +-∠=由于180BDA BDC ∠+∠=︒，故cos cos BDA BDC ∠=-∠，()222216162z x z y +-+-=22216620z x y +--=．①在ABC △中，由余弦定理可知：()2221233x y xy z +-⨯=，则：2222246339z x y xy =+-，代入①式整理计算可得：2214416339x y xy ++=，由均值不等式的结论可得：4161699xy xy ≥=，故9xy ≤，当且仅当x =y =时等号成立，据此可知ABC △面积的最大值为：()max max 11sin 922S AB BC ABC =⨯⨯⨯∠=⨯= 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）【答案】（1）()32121n a n n =+-=+，3n n b =；（2）223n nn S +=-．【解析】（1）设{}n a 的公差为d ，则由已知得21134a a a =，即()()2331233d d +=+，解之得：2d =或0d =（舍），所以()32121n a n n =+-=+；因为249b a ==，所以{}n b 的公比3q =，所以3n n b =．（2）由（1）可知213n nn c +=，所以23357213333n n n S +=++++．．．，21572133333n n n S -+=++++．．．，所以12111211112121243323234133333313n n n n n n n n n S --⎛⎫⋅- ⎪+++⎛⎫⎝⎭=++++-=+-=- ⎪⎝⎭-．．．，所以223n nn S +=-． 18.（本小题满分12分）【答案】（1）520人；（2）5人，2人；（3）()67E X =．【解析】（1）由题意知[)90,110之间的频率为：()1200.00250.0050.007520.01250.3-⨯++⨯+=，()0.30.01250.0050200.65++⨯=，获得参赛资格的人数为8000.65520⨯=人．（2）在区间(]110,130与(]130,150，0.0125:0.00505:2=，在区间(]110,150的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人，分在区间(]110,130与(]130,150各抽取5人，2人．结果是5人，2人．（3）X 的可能取值为0，1，2，则：()305237C C 20C 7P X ===；()215237C C 41C 7P X ===；()125237C C 12C 7P X ===；故X 的分布列为：()20127777E X =⨯+⨯+⨯=． 19．（本小题满分12分）【答案】（1）见解析（2）13（1）证明：∵DE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴DE AC ⊥，又∵底面ABCD 是正方形，∴AC BD ⊥．∵BD DE D =，∴AC ⊥平面BDE ．（2）解：∵DA ，DC ，DE 两两垂直，∴建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，∵BE 与平面ABCD 所成角为60︒，即60DBE ∠=︒，∴ED DB=，由3AD =，可知BD =DE =AF =则(3,0,0)A，F，E ，(3,3,0)B ，(0,3,0)C ，∴(0,BF =-，(3,0,EF =-．设平面BEF 的一个法向量为(,,)n x y z =，则0,0,n BF n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即30,30,y x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩令z =(4,n =．∵AC ⊥平面BDE ，∴CA 为平面BDE 的一个法向量，∴(3,3,0)CA =-，∴||cos ,||||32n CA n CA n CA ⋅<>===⋅ ∵二面角F BE D --为锐角，∴二面角F BE D --的余弦值为13． 20.（本小题满分12分）【答案】（1）24x y =；（2）证明见解析．【解析】（1）因为AF FB =，所以F 到准线的距离即为三角形ABC △的中位线的长，所以2AC p =，根据抛物线的定义AC AF=，所以24AB AC p ==，BC =，122ABC S p =⋅⋅=△ 解得2p =，所以抛物线的标准方程为24x y =．（2）易知直线MN 的斜率存在，设直线:1MN y kx =+，设()11,M x y ，()22,N x y联立24 1x y y kx =+⎧⎪⎨⎪⎩=消去y 得2440x kx --=，得124x x =-， 24x y =，'2x y =，设()11,M x y ，()22,N x y ，111:22l y y xx +=，222:22l y y xx +=，()22212212112121121212442,22,12444p p p x x y y x x x x x x x x y x y x x x x ⎛⎫- ⎪-++⎝⎭===+⋅===---，得P 点坐标21,12x x P +⎛⎫- ⎪⎝⎭，由111:22l y y xx +=，得1,02x Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 12QF k x =-，221141222l x k x x -==⋅=-，所以2QF l k k =，即2PQ l ∥． 21.（本小题满分12分）【答案】（1）增函数；（2）1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（3）见解析．【解析】（1）函数()f x 的定义域为R ．由()'10f x =≥，知()f x 是实数集R 上的增函数．（2）令()()(33ln g x f x ax x x ax =-=-+-，则()2131'ax g x --，令())2131h x ax =--，则()23169'x a ax h x ⎡⎤--==．（i ）当16a ≥时，()'0h x ≤，从而()h x 是[)0,+∞上的减函数，注意到()00h =，则0x ≥时，()0h x ≤，所以()'0g x ≤，进而()g x 是[)0,+∞上的减函数，注意到()00g =，则0x ≥时，()0g x ≤时，即()3f x ax ≤．（ii ）当106a <<时，在⎡⎢⎣上，总有()'0h x >，从而知，当x ⎡∈⎢⎣⎭时，()3f x ax >；（iii ）当0a ≤时，()'0h x >，同理可知()3f x ax >，综上，所求a 的取值范围是1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22.（本小题满分10分）【答案】（1）2cos 3sin x y θθ+=+⎧⎨⎩=，20x y +-=；（2）44PA PB -⋅≤+ 【解析】（1）圆C 的参数方程为2cos 3sin x y θθ+=+⎧⎨⎩=（θ为参数）．直线l 的直角坐标方程为20x y +-=．（2）由直线l 的方程20x y +-=可得点()2,0A ，点()0,2B ．设点(),P x y ，则()()222,,2222412PA PB x y x y x y x y x y ⋅=--⋅--=+--=+-．由（1）知2cos 3sin x y θθ+=+⎧⎨⎩=，则()4sin 2cos 44PA PB θθθϕ⋅=++=++．因为θ∈R ，所以44PA PB -≤⋅≤+23．（本小题满分10分）【答案】（1）55|44A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭；（2）见解析．【解析】（1）()()15f x f x ++<即21215x x -++<，当12x <-时，不等式化为12215x x ---<，∴5142x -<<-；当1122x -≤≤时，不等式化为12215x x -++<，不等式恒成立；当12x >时，不等式化为21215x x -++<，∴1524x <<．综上，集合55|44A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭．（2）由（1）知1m =，则1a b c ++=．则1a b c a a -+=1b b -≥1c c -≥则1118a b c a b c ---⋅⋅≥=，即8M ≥．。

高考2019版二轮复习数学难点自选专题一 “选填”压轴小题命题的4大区域

Earlybird难点自选专题一 “选填”压轴小题命题的 4 大区域[全国卷 3 年考情分析]题号第 11 题第 12 题第 15 题第 16 题命题分析考卷卷Ⅰ三角函数定义及三角恒等变换、直线的斜率分段函数与不等式、指数函数的性质直线与圆的位置关系及弦长问题正、余弦定理的应用及三角形面积公式高考在选择、 2018卷Ⅱ椭圆的定义及几何性质抽象函数的奇偶性和周期性、对称性三角恒等变换填空压轴题圆锥的性质中，主要考查及体积计算、三角恒等变直线与平面换与解三角所成的角余弦定理、三卷Ⅲ角形面积公式空间几何体与球切接问题及几何体体积的最值简单的线性规划问题函数的奇偶性与对数式运算形、函数的图象与性质、函数与不等式的求解、空间卷Ⅰ三角恒等变换、正弦定理解三角形椭圆的标准方程和几何性质同角三角函数的基本关系、两角差的余弦公式几何体表面三棱锥的体积与体积的积与外接球计算及与球的表面积、面的切接问题、面垂直的性圆锥曲线的质2017卷Ⅱ古典概型的概率计算抛物线的定义及性质、直线与抛物线的位置关系球与多面体的切接、球的表面积解三角形、三角恒等变换定义、标准方程及几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系.椭圆的离心函数的图象利用正弦定分段函数、卷Ⅲ率、点到直线与性质、函数理解三角形解不等式的距离的零点问题平面与平面点到直线的平行的性质、利用导数研距离公式、圆线性规划的卷Ⅰ异面直线所究函数的单的弦长、圆的实际应用成的角及等调性求参数半径之间的角定理关系二倍角公式、二次函数、抽同角三角函2016 三角函数诱卷Ⅱ象函数的对数的基本关推理与证明导公式及函称性系、解三角形数的最值函数的奇偶椭圆的离心直线的斜率、直三棱柱及性、导数的几卷Ⅲ率、直线斜率直线与圆的球的体积何意义、直线的应用位置关系方程命题区域(一)函数与导数本类压轴题常以分段函数、抽象函数等为载体，考查函数性质、函数零点的个数、参数的范围和通过函数性质求解不等式问题等．要注意函数y＝f(x)与方程f(x)＝0 以及不等式f(x)>0 的关系，进行彼此之间的转化是解决该类题目的关键．解决该类问题的途径往往是构造函数，进而研究函数的性质，利用函数性质去求解问题是常用方法．其间要注意导数的应用：利用导数研究可导函数的单调性，求可导函数的极值和最值，以及利用导数解决实际应用题是导数在中学数学中的主要应用．分段函数问题[例1]已知函数f(x)＝Error!若f(x)无最大值，则实数a 的取值范围是________．[技法演示]法一：分段处理，分类讨论记g(x)＝x3－3x，h(x)＝－2x，同时作出函数g(x)与h(x)的图象，如图所示，则h(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，下面分析g(x)的单调性．因为g′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，当x 变化时，g′(x)和g(x)变化如下：x (－∞，－1) －1 (－1,1) 1 (1，＋∞)g′(x) ＋0 －0 ＋g(x) 极大值极小值下面分析f(x)的单调性，注意到f(x)＝Error!结合前面g(x)与h(x)的单调性，我们可以按下述三种情况讨论：a<－1 －1≤a＜1 a≥1①若a<－1，则f(x)在(－∞，a]上的最大值为f(a)，由g(x)在(－∞，－1)上单调递增，f(a)＝g(a)<g(－1)＝2，而f(x)在(a，＋∞)上无最大值，取值范围是(－∞，－2a)，由于－2a>2，此时函数f(x)无最大值，符合题意．②若－1≤a<1，则f(x)在(－∞，a]上的最大值为f(－1)＝2，且当x>a 时，f(x)＝h(x)<h(a) ≤h(－1)＝2，则当x＝－1 时，f(x)取得最大值，不符合题意．③若a≥1，由g(x)的单调性可得，f(x)在(－∞，a]上的最大值为f(－1)或f(a)，令M＝max{f(－1)，f(a)}，则有M≥f(－1)＝2，而当x>a 时，f(x)＝h(x)<h(a)≤h(1)＝－2，则f(x) 有最大值M，不符合题意．综上，若f(x)无最大值，则实数a 的取值范围是(－∞，－1)．法二：整体考虑，正难则反记g(x)＝x3－3x，h(x)＝－2x，由解法一知h(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且当x 变化时，g′(x)和g(x)变化如下：x (－∞，－1) －1 (－1,1) 1 (1，＋∞)g′(x) ＋0 －0 ＋g(x) 极大值极小值由于h(x)在(a，＋∞)上单调递减，无最大值，若f(x)有最大值，也只可能在x＝－1 或x＝a 处取得，同时作出函数g(x)与h(x)的图象，如图所示，容易求得它们的交点分别是(－1,2)，(0,0)和(1，－2)．注意到g(－1)＝h(－1)＝2，由图象可见，若f(x)在x＝－1 处取得最大值，实数a 的取值范围是[－1,2]，若f(x)在x＝a 处取得最大值，实数a的取值范围是[2，＋∞)．综上，若f(x)有最大值，则实数a 的取值范围是[－1，＋∞)，从而，若f(x)无最大值，则实数a 的取值范围是(－∞，－1)．法三：平移直线x＝a，直接秒杀根据题意，将函数f(x)＝Error!采用分离的方式，记g(x)＝x3－3x，h(x)＝－2x，同时在同一平面直角坐标系中作出函数g(x)与h(x)的图象，将直线x＝a 在图象中沿着x 轴左右平移，观察直线x＝a 与函数g(x)，h(x)的图象的交点(曲线点实，直线点虚)变化，如图所示，当直线x＝a 在直线x＝－1 左边时满足条件“f(x)无最大值”，所以实数a 的取值范围是(－∞，－1)．[答案](－∞，－1)[系统归纳]“三招”破解分段函数最值问题研究分段函数f(x)的单调性，大多借助分类讨论f(x)在各个分段上的最值．如分类讨论解法一是根据g(x)的单调性，对a 进行分类讨论从函数的整体性质(单调性、奇偶性和周期性)出发，研究函数的最值问题．当整体思想一个问题从正面不好入手时，也可从反面思考．如解法二就采取正难则反的方法解题“以形助数”，作出函数或变形后的函数图象，结合条件求解问题，解法三是数形结合利用数形结合的思想直观得到结果[应用体验]1．若函数f(x)＝|x＋1|＋|2x＋a|的最小值为3，则实数a 的值为()A．5 或8B．－1 或5C．－1 或－4 D．－4 或8解析：选D当a≥2 时，f(x)＝Error!a a＝f(＝－1＝3，可得a＝8；如图1 可知，f(x)min－2 )2当a<2 时，f(x)＝Error!如图2 可知，a af(x)min＝f(－＝－＋1＝3，可得a＝－4.2 )2函数的含参零点问题[例2]已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围为()A．(2，＋∞)B．(－∞，－2)C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)[技法演示]法一：分类讨论，各个击破分类讨论就是将数学问题进行分类，然后对划分的每一类分别进行研究，最后整合获解，其基本思路是化整为零，各个击破．由已知得a≠0，f′(x)＝3ax2－6x，2令f′(x)＝0，得x＝0 或x＝.a当a>0 时，x∈(－∞，0)，f′(x)>0；2x∈(0，a)，f′(x)<0；x∈(，＋∞)，f′(x)>0.所以函数f(x)在(－∞，0)和(，＋∞)上单调递增，2在(0，a)上单调递减，且f(0)＝1>0，故f(x)有小于零的零点，不符合题意．2当a<0 时，x∈(－∞，a)，f′(x)<0；2x∈(，0 )，f′(x)>0；ax∈(0，＋∞)，f′(x)<0.2 2所以函数f(x)在(－∞，a)和(0，＋∞)上单调递减，在(，0 )上单调递增，a所以要使f(x)有唯一的零点x0，且x0>0，只需f( )>0，即a2>4，解得a<－2.法二：数形结合，曲曲与共函数f(x)的零点，亦即函数f(x)的图象与x轴的交点的横坐标，是数形结合思想应用的联结点，因此用图象来揭开函数零点的神秘面纱成为我们解决函数零点问题常用而最有效的策略．令f(x)＝0，得ax3＝3x2－1.问题转化为g(x)＝ax3 的图象与h(x)＝3x2－1 的图象存在唯一的交点，且交点横坐标大于零．当a＝0 时，函数g(x)的图象与h(x)的图象存在两个的交点；当a>0 时，如图(1)所示，不合题意；当a<0 时，由图(2)知，可先求出函数g(x)＝ax3 与h(x)＝3x2－1 的图象有公切线时a 的值．由g′(x)＝h′(x)，g(x)＝h(x)，得a＝－2.由图象可知当a<－2 时，满足题意．法三：参变分离，演绎高效参变分离法，亦即将原函数中的参变量进行分离，转化成求函数值域问题加以解决．巧用参数分离求解零点问题，既可以回避对参数取值的分类讨论，又形象直观，一目了然．3 1 3 1 3 3 －3x2－1易知x≠0，令f(x)＝0，则a＝－，记g(x)＝－，g′(x)＝－＋＝，x x3 x x3 x2 x4 x4可知g(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递减，在(－1,0)和(0,1)上单调递增，且g(－1)＝－2，画出函数大致图象如图所示，平移直线y＝a，结合图象，可知a<－2.[答案] B[系统归纳]“三招”破解含参零点问题若无法通过等价转化的思想将原问题化归为相对容易的问题，此时应根据题设要求合理地对参数的取值进行分类，并逐一求解．利用带参讨论该策略求解时一般要求我们明确讨论的标准，必须做到不重不2漏．如解法一中就要考虑到a 的正负对根“0”与“”大小的影响a由两个基本初等函数组合而得的函数f(x)＝g(x)－h(x)的零点个数，数形结合等价于方程g(x)－h(x)＝0的解的个数，亦即g(x)＝h(x)的解的个数，进而转化为基本初等函数y＝g(x)与y＝h(x)的图象的交点个数参变分离通过将原函数中的参变量进行分离后变形成g(x)＝l(a)，则原函数的零点问题化归为与x轴平行的直线y＝l(a)和函数g(x)的图象的交点问题[应用体验]2．已知函数f(x)＝|x2＋3x|(x∈R)．若方程f(x)－a|x－1|＝0 恰有4 个互异的实数根，则实数a的取值范围为________．解析：法一：画出函数f(x)＝|x2＋3x|的大致图象，如图，令g(x)＝a|x－1|，则函数f(x)的图象与函数g(x)的图象有且仅有4 个不同的交点，显然a>0.联立Error!消去y，得x2＋(3－a)x＋a＝0，由Δ>0，解得a<1 或a>9；联立Error!消去y，得x2＋(3＋a)x－a＝0，由Δ>0，解得a>－1 或a<－9.综上，实数a的取值范围为(0,1)∪(9，＋∞)．法二：易知a>0，且x＝1 不是方程的根．x2＋3x故有a＝|x－1 |4＝x－1＋＋5.x－14设h(x)＝|，x－1＋＋5|x－1则问题等价于曲线y＝h(x)与直线y＝a有4 个不同交点．作出图象如图所示．显然y＝9，y＝1 是y＝h(x)的两条切线，此时都只有3 个交点．于是，结合图形知，当0<a<1 或a>9 时，直线y＝a与曲线y＝h(x)均有4 个交点．所以a的取值范围为(0,1)∪(9，＋∞)．答案：(0,1)∪(9，＋∞)抽象函数问题[例3]设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0 时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0 成立的x的取值范围是()A．(－∞，－1)∪(0,1)B．(－1,0)∪(1，＋∞)C．(－∞，－1)∪(－1,0) D．(0,1)∪(1，＋∞)[技法演示]法一：构造抽象函数法f x观察xf′(x)－f(x)<0 这个式子的特征，不难想到商的求导公式，设F(x)＝.因为f(x)xEarlybirdxf′x－f x是奇函数，故F(x)是偶函数，F′(x)＝，易知当x>0 时，F′(x)<0，所以函数F(x)x2在(0，＋∞)上单调递减．又f(－1)＝0，则f(1)＝0，于是F(－1)＝F(1)＝0，f(x)＝xF(x)，解不等式f(x)>0，即找到x与F(x)的符号相同的区间，易知当x∈(－∞，－1)∪(0,1)时，f(x)>0，故选A.法二：构造具体函数法题目中没有给出具体的函数，但可以根据已知条件构造一个具体函数，越简单越好，因此考虑简单的多项式函数．设f(x)是多项式函数，因为f(x)是奇函数，所以它只含x的奇次项．又f(1)＝－f(－1)＝0，所以f(x)能被x2－1 整除．因此可取f(x)＝x－x3，检验知f(x) 满足题设条件．解不等式f(x)>0，得x∈(－∞，－1)∪(0,1)，故选A.[答案] A[系统归纳]1．利用和差函数求导法则构造函数(1)对于不等式f′(x)＋g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝f(x)＋g(x)；(2)对于不等式f′(x)－g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝f(x)－g(x)；特别地，对于不等式f′(x)>k(或<k)(k≠0)，构造函数F(x)＝f(x)－kx.2．利用积商函数求导法则构造函数(1)对于不等式f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝f(x)g(x)；f x(2)对于不等式f′(x)g(x)－f(x)g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝(g(x)≠0)；g x(3)对于不等式xf′(x)＋f(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝xf(x)；f x(4)对于不等式xf′(x)－f(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝(x≠0)；xf x(5)对于不等式xf′(x)－nf(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝(x≠0)；x n(6)对于不等式f′(x)＋f(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝e x f(x)；f x(7)对于不等式f′(x)－f(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝.e x[应用体验]3．定义在R 上的函数f(x)的导函数为f′(x)，若对任意实数x，有f(x)>f′(x)，且f(x)＋2 019 为奇函数，则不等式f(x)＋2 019e x<0 的解集是()A．(－∞，0) B．(0，＋∞)1 1C.(－∞，D.e)(，＋∞)eEarlybirdf x f′x－f x解析：选B设g(x)＝，则g′(x)＝<0，所以g(x)是R 上的减函数，由e x e xf x于f(x)＋2 019 为奇函数，所以f(0)＝－2 019，g(0)＝－2 019，因为f(x)＋2 019e x<0⇔<－e x2 019，即g(x)<g(0)，结合函数的单调性可知不等式f(x)＋2 019e x<0 的解集是(0，＋∞)，故选B.命题区域(二)三角函数、平面向量本类压轴题主要考查三角恒等变换与三角函数、解三角形相结合的综合问题．其中三角函数的图象与性质、三角形的面积问题是重点考查内容；平面向量主要考查与解析几何、函数、不等式等相结合的有关数量积问题．解决此类问题的关键是转化与化归思想的灵活运用．三角函数的图象与性质πππ[例1]已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)ω>0，|φ|≤，x＝－为f(x)的零点，x＝为y＝f(x)2 4 4π5π图象的对称轴，且f(x)在(上单调，则ω的最大值为()，36)18A．11B．9C．7 D．5[技法演示]法一：综合法πππ由f(＝0，得－ω＋φ＝kπ(k∈Z)，φ＝kπ＋ω，4 )－4 4π则f(x)＝sin(ω)ωx＋kπ＋4＝Error!(n∈Z)．ππππ由f(＝±1，即sin ＝sin ω＝±1，ω＋ω)4 )(4 4 2可知ω为正奇数(ω>0)．由Error!得Error!又由于ω>0，所以k只能取0，－1，－2，－3. 当k＝0 时，ω∈(－2,2)；当k＝－1 时，ω∈(2,6)；Earlybird当k＝－2 时，ω∈(6,10)；当k＝－3 时，ω∈(10,14)．因为ω是正奇数(不超过12)，所以ω∈{1,3,5,7,9,11}．π5ππ11π121π154π7π当ω＝11 时，x∈(，ωx＋ω＝11x＋∈，里面含有，则f(x)，，36) 4 (36 )18 4 36 2π5π在(上不可能单调，不符合题意．，36)18π5ππ9π99π126π2n＋1 当ω＝9 时，x∈(，ωx＋ω＝9x＋∈，里面不含π(n∈Z)中，，36) 4 (36 )18 4 36 2π5π的任何一个，即f(x)在(上单调，符合题意．，36)18综上，ω的最大值为9.故选B.法二：分类讨论5ππTπ由题意－≤⇒T≥，36 18 2 62ππ即≥⇒0<ω≤12.①ω 6又由题意可得Error!(n，k∈Z)，πk＋n所以φ＝＋π(n，k∈Z)．4 2π 3 1又|φ|≤，所以－≤k＋n≤.2 2 2π(1)当k＋n＝0 时，φ＝，ω＝1－4k.②4由①②可得，当k＝－2 时，ω＝9，ππ5π此时函数f(x)＝sin (在上单调递减，符合题意；9x＋，4)(36)18ππ5π当k＝－1 时，ω＝5，此时函数f(x)＝sin (在上单调递减，符合题意；5x＋，4)(36)18ππ5π当k＝0 时，ω＝1，此时f(x)＝sin (在上单调递增，符合题意；x＋，4 )(36)18π(2)当k＋n＝－1 时，φ＝－，ω＝－1－4k.③4由①③可得，当k＝－1 时，ω＝3，ππ5π此时函数f(x)＝sin (3x－在上单调递增，符合题意；4)(36)，18ππ5π当k＝－2 时，ω＝7，此时函数f(x)＝sin (在，上不单调，舍去；7x－4)(36)18ππ5π当k＝－3 时，ω＝11，此时f(x)＝sin (11x－在，上不单调，舍去．4)(36)18Earlybird综上，ω＝1,3,5,9，此法求出了ω的所有可能值．[答案] B[系统归纳]三角函数图象与性质问题的解题策略(1)函数y＝A sin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)的图象的单调性、对称性、周期、零点等问题中涉及的结论：T kT①若函数y＝A sin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)有两条对称轴x＝a，x＝b，则有|a－b|＝＋(k2 2∈Z)；T②若函数y＝A sin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)有两个对称中心M(a,0)，N(b,0)，则有|a－b|＝＋2kT(k∈Z)；2③若函数y＝A sin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)有一条对称轴x＝a，一个对称中心M(b,0)，则有T kT|a－b|＝＋(k∈Z)．4 2(2)研究函数在某一特定区间的单调性，若函数仅含有一个参数的时候，利用导数的正负比较容易控制，但对于函数y＝A sin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)含多个参数，并且具有周期性，很难解决，所以必须有合理的等价转化方式才能解决．解法一尝试正面求解ω的可能值，但因单调区间的条件不好使用，仍然采取代入验证的方法解决．[应用体验]ππ1．若函数f(x)＝cos 2x＋a sin x在区间(，上是减函数，则a的取值范围是2 )6________．解析：法一：导数法ππ对f(x)＝cos 2x＋a sin x求导，得f′(x)＝－2sin 2x＋a cos x．因为f(x)在区间(上，2 )6ππ是减函数，所以f′(x)≤0 在(上恒成立，即a cos x≤2sin 2x＝4sin x cos x，而cos x>0，，2 )6ππ 1所以a≤4sin x．在区间(上，<sin x<1，于是a≤2.，2 )6 2法二：图象法a a2f(x)＝cos 2x＋a sin x＝1－2sin2x＋a sin x＝－2(sin x－2＋＋1，设t＝sin x，由x∈4)8ππ 1 a a2 1 a 1，，知t∈.要使g(t)＝－2 2＋＋1 在上是减函数，只要≤即可，，1 )(t－，1 )( 2 )( 4 )8 (6 2 2 4 2所以a∈(－∞，2]．答案：(－∞，2]Earlybird三角形面积最值问题[例2]已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，则△ABC的面积的最大值为________．[技法演示]法一：综合运用正、余弦定理由正弦定理知(2＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C可化为(2＋b)(a－b)＝c(c－b)，将a＝2 代入整理，得b2＋c2－a2＝bc，b2＋c2－a2 1 π所以cos A＝＝，故A＝，2bc 2 31 3则△ABC的面积S＝bc sin A＝bc.2 4而b2＋c2－a2＝bc≥2bc－a2⇒bc≤4，3所以S＝bc≤3，当且仅当b＝c＝2 时取到等号，4故△ABC的面积的最大值为 3.法二：正、余弦定理与数形结合ππ由法一得A＝，可知△ABC的边a＝2 为定长，A＝为定值，作3 3出示意图如图所示，满足条件的点A在圆周上的运动轨迹为优弧BC(不包括两个端点B，C)，易知当点A位于优弧中点时，此时△ABC的面π积最大，由于A＝，则此时的△ABC是等边三角形，面积为 3.3法三：正、余弦函数的有界性π由法一知A＝，则由正弦定理得，3a 4 3 4 3b＝·sin B＝sin B，c＝sin C，sin A 3 31 3则S△ABC＝bc sin A＝bc2 44 3 4 3 1＝sin B·sin C＝·[cos(B－C)－cos(B＋C)]3 3 22 3 1 2 3 1＝cos(B－C)＋≤· 1＋＝3，3 ( 2 )3 2当且仅当cos(B－C)＝1，即B＝C时，△ABC的面积取得最大值 3.Earlybird法四：函数思想4 3 4 3 2π由法三得S△ABC＝sin B·sin C＝sin B·sin－B，3 3 32π 3 1 1 π 1令g(B)＝sin B·sin(＝sin B cos B＋sin B＝sin ＋.－B)2B－2 (6)3 2 2 42π 3 π由0<B< ，易得g(B)max＝，当且仅当B＝时取等号，3 4 3所以△ABC的面积的最大值为 3.[答案] 3[系统归纳]三角形面积最值问题的解题策略(1)借助正、余弦定理，把三角形面积这个目标函数转化为边或角的形式，然后借助基本不等式或函数性质来解决；(2)结合问题特征，构造几何图形来求得最值，直观迅速；(3)利用结论：已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，若a＝m(m>0)，m2且∠A＝θ，θ∈(0，π)，则△ABC的面积的最大值是，当且仅当另外两个角相等时取θ4tan2等号．[应用体验]2．(2018·潍坊统一考试)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，外接圆的tan A2c－b半径为1，且＝，则△ABC面积的最大值为________．tan B btan A2c－b解析：因为＝，tan B bb sin A sin B所以＝(2c－b) ，cos A cos B由正弦定理得sin B sin A cos B＝(2sin C－sin B)sin B cos A，又sin B≠0，所以sin A cos B＝(2sin C－sin B)cos A，所以sin A cos B＋sin B cos A＝2sin C cos A，sin(A＋B)＝2sin C cos A，即sin C＝2sin C cos A，1 3 又sin C≠0，所以cos A＝，sin A＝，2 2 设外接圆的半径为r，则r＝1，Earlybirdb2＋c2－a2由余弦定理得bc＝＝b2＋c2－a2＝b2＋c2－(2r sin A)2＝b2＋c2－3≥2bc－3(当2cos A且仅当b＝c时，等号成立)，所以bc≤3，1 3 3 3所以S△ABC＝bc sin A＝bc≤.2 4 43 3答案：4平面向量数量积问题[例3]在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，动点E和F分别在线段BC和DC上，且B―E→＝λB―C→，D―→F＝1 ，则·的最小值为D―→C A―E→A―F→9λ________．[技法演示]法一：基底法选取{A―B→，B―C→}为一组基底，由题意易求DC＝1，|A―B→|＝2，|B―C→|＝1，A―B→·B―C→＝2×1×cos 120°＝－1，A―E→＝A―B→＋B―E→＝A―B→＋λB―C→，A―F→＝A―B→＋B―C→＋C―F→＝A―B→＋B―C→－1 A―B→＝111－2( 9λ)2 11＋＋.A―B→B―C→)(于是A―E→·A―F→＝(A―B→＋λB―C→)·1A―B→＋B―C→＝1 ×4－1－＋λ＝＋1 1 λ 1 17 λ1＋1＋1＋2( 9λ) 2( 9λ) 2( 9λ)18 22 17 λ 2 29 λ 2 2A―E→A―F→＋≥＋2 ·＝(λ>0)，当且仅当＝，即λ＝时等号成立，故·的最小值为9λ18 2 9λ18 2 9λ 329.18法二：坐标法以A为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，因为AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，1 3 3 3所以DC＝1，即B(2,0)，D( ，C.，，2 ) ( 2 )2 2因为B―E→＝λB―C→，D―→F＝1 ，D―→C9λλ 3 1 1 3所以E( ，F，2－λ) (＋，，2 )2 2 2 9λλ 3 1 1 3A―E→A―F→＝2－，＝.，，λ) ＋( ( 2 )2 2 2 9λλ 1 1 3 17 λ 2 17 1 29 所以A―E→·A―F→＝＋λ＝＋＋≥＋2 ＝.2－＋( 2 )(9λ)2 4 18 2 9λ18 9 18λ 2 2当且仅当＝，即λ＝时等号成立，2 9λ3故A―E→·A―F→的最小值为29.1829[答案]18[系统归纳]向量数量积问题的解题策略根据平面向量基本定理，结合图形的结构特征选择一组基底，将有关的向量用基基底法底表示，进行求解分析图形的结构特征，建立平面直角坐标系，将所涉及的向量坐标化，利用坐标坐标法运算进行解答[应用体验]3．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则D―→E·C―B→＝________；D―→E D―→C·的最大值为________．解析：法一：如图，以射线AB，AD 为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，则E(t,0)，t∈[0,1]，D―→E＝(t，－1)，C―B→＝(0，－1)，所以D―→E·C―B→＝(t，－1)·(0，－1)＝1.因为D―→C＝(1,0)，所以D―→E·D―→C＝(t，－1)·(1,0)＝t≤1，故D―→E·D―→C 的最大值为1.法二：由图知，无论E 点在哪个位置，D―→E在C―B→方向上的投影都是|C―B→D―→E C―B→C―B→D―→E D―→C |＝1，所以·＝| |·1＝1，当点E 运动到B 点时，在方向上的投影最大即为|D―→C|＝1，所以(D―→E·D―→C)max＝|D―→C|·1＝1.答案：1 1命题区域(三)立体几何此类压轴题主要考查以立体几何为背景的新颖问题．以立体几何为背景的新颖问题常见的有折叠问题、与函数图象相结合问题、最值问题、探索性问题等．(1)对探索、开放、存在型问题的考查：探索性试题使问题具有不确定性、探究性和开放性，对学生的能力要求较高，有利于考查学生的探究能力以及思维的创造性，是新课程高考命题改革的重要方向之一；开放性问题，一般将平面几何问题类比推广到立体几何中．(2)对折叠、展开问题的考查：图形的折叠与展开问题(三视图问题可看作是特殊的图形变换)蕴涵了“二维——三维——二维”的维数升降变化，求解时须对变化前后的图形作“同中求异、异中求同”的思辨，考查空间想象能力和分析辨别能力，是立体几何中的重要题型．空间中线面位置关系与计算[例 1] 平面 α 过正方体 ABCD A 1B 1C 1D 1 的顶点 A ，平面 α∥平面 CB 1D 1，平面 α∩平面 ABCD ＝m ，平面 α∩平面 ABB 1A 1＝n ，则直线 m ，n 所成角的正弦值为( )3A. B. 23 1 C. D.3 32 2[技法演示]法一：割补法我们先尝试把 m ，n 这两条直线都作出来，易知这个平面 α 一定在正方体外，所以要往上补形，如图所示，过点 A 在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1 的上方补作一个与正方体 ABCD A 1B 1C 1D 1 相同棱长的正方体 ABCD A 2B 2C 2D 2，可证平面 AB 2D 2 就是平面 α，n 就是AB 2.因为平面 ABCD ∥平面 A 2B 2C 2D 2，所以 B 2D 2∥m ，说明 m 应该是经过点 A 且在平面 ABCD 内与 B 2D 2 平行的直线，则直线 m ，n 所成的角就是 ∠ AB 2D 2 ，因为 △ AB 2D 2 为等边三角形，所以 π 3sin ∠AB 2D 2＝sin ＝，故选 A.3 2法二：平移法 1事实上对法一可进行适当简化，无须补形也可以．设平面 CB 1D 1∩平面 ABCD ＝m ′，因为平面 α∩平面 ABCD ＝m ，平面 α∥平面 CB 1D 1，所以 m ∥m ′.又平面 ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，平面 CB 1D 1∩平面 A 1B 1C 1D 1＝B 1D 1，所以 B 1D 1∥m ′，所以 B 1D 1∥m .同理可得 CD 1 ∥ n ，故直线 m ， n 所成角即为直线 B 1D 1 ， CD 1 所成的角 ∠ CD 1B 1. 在正方体π 3ABCD A 1B 1C 1D 1 中，B 1C ＝B 1D 1＝CD 1，所以∠CD 1B 1＝，所以 sin ∠CD 1B 1＝，故选 A.3 2法三：平移法 2与法二类似，我们尝试在正方体内部构造一个平面与平面 α 平行，也即与平面 CB 1D 1 平行．如图所示，让点A 在平面ABCD 内运动，不妨让点A 在对角线AC 上运动，易知平面BA 1D 与平面 CB 1D 1 平行，则直线 m ，n 所成的 3角就是∠DBA 1，其正弦值为，故选 A.2[答案] A[系统归纳]异面直线所成角问题的解题策略平移化归是关键：求异面直线所成角，关键是将两条异面的直线平移到相交状态，作出等价的平面角，再解三角形即可，常规步骤是“一作二证三计算”，而第一步最为关键，平移谁，怎么平移都要视题目条件而定.[应用体验]1．已知四面体ABCD的每个顶点都在球O的表面上，AB＝AC＝5，BC＝8，AD⊥底1面ABC，G为△ABC的重心，且直线DG与底面ABC所成角的正切值为，则球O的表面2积为________．解析：在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，取BC的中点E，连接AE，重心G为AE的三等分点，AE＝AB2－BE2＝3，AG＝12，由于AD⊥底面ABC，直线DG与底面ABC所成角的正切值为，所2DA 1以tan∠DGA＝＝，DA＝1，在等腰△ABC中，cos∠ACB＝AG 252＋82－52 4 3 AB 5 25 25 ＝，sin∠ACB＝，所以△ABC的外接圆直径2r＝＝＝，r＝，设2 ×5 ×8 5 5 sin C 3 3 65△ABC的外接圆圆心为O1，四面体ABCD的球心为O，在Rt△AOO1 中，R2＝OA2＝AO21＋AD25 1 634 6342＝2＋2＝，球的表面积为S＝4πR2＝π.(2 )(6 )(2 )36 9634答案：π9空间最值问题[例2]如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD＝DA，PB＝BA，则四面体PBCD的体积的最大值是________．[技法演示]法一：平面几何法由题意可知四面体PBCD的体积最大时，应有平面PBD⊥平面BCD.如图，过点P作PF⊥BD，垂足为F，则PF⊥平面BCD，则V PBCD＝1 1S△BCD·PF.由翻折过程可知AF＝PF，则V PBCD＝S△BCD·AF，这样3 3就将空间问题转化为△ABC内的问题．等腰△ABC的底边AC边上的高h＝AB·sin 30°＝1，Earlybird1 1 1V PBCD＝××DC×h×AF＝DC·AF.3 2 6DC与AF不在同一个三角形中，用哪个变量能表示两者呢？注意到当点D在AC上运动时，∠ADB也是在变化的，因此可以取∠ADB为自变量，产生下面的解法．1 1 AD1 如图，因为S△ABD＝BD·AF＝AD·h，则AF＝，得V PBCD＝2 2BD 6AD ADDC·. 设∠ADB＝α，由正弦定理得＝2sin(150°－α) ，DC＝BD DB2sinα－30° 2 sin150°－αsinα－30°cos 2α＋cos 120° 2 1 ，则V PBCD＝×＝－＝sin α－，3(4sin α) sin α 3 sin α3sin α1 2 1 1易知函数f(x)＝x－在区间(0,1]上单调递增，于是V PBCD≤1－＝.3( 4 )4x 2法二：构造法换个角度看问题，我们把△ABC“立起来”，如图，设BO⊥平面ACP，考虑以B为顶点，△ACP的外接圆⊙O为底面的圆锥，易得AC＝2 3，则1OB＝BA2－OA2≤4－(＝1.设∠PDA＝θ，θ∈(0，π)，AD＝AC)221 1 123 3x(0<x<2 3)，则S△PCD＝x·(23－x)sin θ≤x·(23－x)≤2＝，所以四面体PBCD2(2 )2 2 21 1 1 π的体积V PBCD＝·S△PCD·OB≤，当且仅当OA＝AC＝3，且θ＝时取等号(此时D点与3 2 2 2圆心O重合，PD垂直平分AC，进而可得BD⊥PD)．法三：解析法由于△ABC是顶角为120°的等腰三角形，故建系非常方便．如图，取AC的中点O为原点，以AC所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(－3，0)，B(0，－1)，C( 3，0)，设D(t,0)，t∈(－3，3)，易知直线BD的方程为x－ty－t＝0，则点A到直线BD的3＋t 1 1 3－t2 1 3－t2 1 距离AF＝，又DC＝3－t，于是V PBCD＝DC·AF＝·，令f(t)＝·＝1＋t2 6 6 1＋t26 1＋t2 64 1－1＋t2，t2∈[0,3)，易知该函数在[0,3)上单调递减，故V PBCD≤f(0)＝，此时D在原1＋t2 2点．1[答案]2Earlybird[系统归纳]空间最值问题的解题关键(1)要善于将空间问题转化为平面问题：这一步要求我们具备较强的空间想象能力，对几何体的结构特征要牢牢抓住，如本题一定要分析出“当四面体PBCD的体积取最大值时，必有平面PBD⊥平面BCD”，要判断出△PBD与△ABD是翻折关系(全等)，这样才能进一步将空间问题转化为平面内的问题；(2)转化后的运算：因为已经是平面内的问题，那么方法就比较多了，如三角函数法、均值不等式，甚至导数都是可以考虑使用的工具．[应用体验]2．表面积为60π的球面上有四点S，A，B，C且△ABC是等边三角形，球心O到平面ABC的距离为3，若平面SAB⊥平面ABC，则棱锥SABC体积的最大值为________．解析：因为球的表面积为60π，所以球的半径为15，设△ABC的中心为D，则OD＝33，所以DA＝2 3，则AB＝6，棱锥SABC的底面积S＝×62＝9 3为定值，欲使其体4积最大，应有S到平面ABC的距离取最大值，又平面SAB⊥平面ABC，所以S在平面ABC 上的射影落在直线AB上，而SO＝15，点D到直线AB的距离为3，则S到平面ABC的1距离的最大值为3 3，所以V＝×9 3×3 3＝27.3答案：27命题区域(四)解析几何本类压轴题主要考查圆锥曲线的几何性质、特定字母的取值范围以及圆锥曲线中的最值问题．圆锥曲线的几何性质是高考考查圆锥曲线的重点内容之一．在选择、填空题中主要考查椭圆和双曲线的离心率、参数的值(范围)、双曲线的渐近线方程以及抛物线的焦点弦．圆锥曲线中的弦长是直线与圆锥曲线相交时产生的，面积也以弦长的计算为基础，高考重点考查直线与圆锥曲线的位置关系，它是命制压轴题时的一个重要命题方向．圆锥曲线的几何性质Earlybirdx2 y2[例1]已知F1，F2 分别是双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，点M在双a2 b21曲线E上，MF1 与x轴垂直，sin∠MF2F1＝，则双曲线E的离心率为()33A. 2B.2C. 3 D．2[技法演示]法一：定义法1因为△MF1F2 是直角三角形，且sin∠MF2F1＝，31所以|MF1|＝|MF2|sin∠MF2F1＝|MF2|，3即|MF2|＝3|MF1|.①由双曲线的定义可知|MF2|－|MF1|＝2a.②由①和②可求得|MF1|＝a，|MF2|＝3a.在Rt△MF1F2 中，由勾股定理得|MF2|2－|MF1|2＝|F1F2|2，即(3a)2－a2＝(2c)2，化简得2a2 c，即(2＝2，从而可知e＝.故选A.＝c22a) 法二：利用正弦定理2 2在Rt△MF1F2 中，sin ∠F1MF2＝sin(90°－∠MF2F1)＝cos∠MF2F1＝，sin∠MF1F232 2|F1F2| sin ∠F1MF2 3＝1.由正弦定理得e＝＝＝＝ 2.故选A.|MF2|－|MF1| sin∠MF1F2－sin∠MF2F1 11－3法三：利用直角三角形的三角函数－c 2 y20设点M(－c，y0)，则－＝1，a2 b2c2－a2 c2－a22由此解得y20＝|MF1|2＝b2(＝.a2 )a21∵△MF1F2 是直角三角形，且sin∠MF2F1＝，32 2 2∴cos∠MF2F1＝，tan∠MF2F1＝，3 4|MF1| 2 |MF1|2 1 |F1F2|2 4c2 4c2从而可得＝⇒＝⇒＝＝8，即＝8，|F1F2| 4 |F1F2|2 8 |MF1|2 y20c2－a22a2Earlybird化简整理得2c4－5a2c2＋2a4＝0，c c，得2( 4－5 2＋2＝0，两边同除以a4a) (a)c c即[2( 2－1][( 2－2]＝0，a) a)c c∵>1，∴2＝2，即e＝ 2.a(a)[答案] A[系统归纳]圆锥曲线离心率问题的求解策略(1)双曲线(椭圆)的定义可直接建立“焦点三角形”的两边关系．用好这一隐含条件，可为三角形的求解省下不少功夫．法二便充分利用了双曲线的定义将离心率e写成|F1F2|，转化为“焦点三角形”的三边关系，从而利用正弦定理再转化到已知的角上|MF2|－|MF1|去．(2)在求解圆锥曲线(主要指的是椭圆和双曲线)的离心率问题时，要把握一个基本思想，就是充分利用已知条件和挖掘隐含条件建立起a与c的关系式．[注意]在求离心率的值时需建立等量关系式，在求离心率的范围时需建立不等量关系式．[应用体验]x2 y21．已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，抛物线C：y2＝8ax的焦点为a2 b2F，若在E的渐近线上存在点P，使得PA⊥FP，则E的离心率的取值范围是()3 2A．(1,2) B.(1，4 ]3 2C．(2，＋∞) D.[ ，＋∞)4x2 y2解析：选B双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的右顶点为A(a,0)，抛物线C：y2＝8axa2 b2b bm，A―→P的焦点为F(2a,0) ，双曲线的渐近线方程为y＝±x，可设P m)，则有＝a(ab b 2F―→PA―→P F―→P b m－a，m) m)，＝m－2a，，由PA⊥FP，得·＝0，即(m－a)(m－2a)＋m2＝( (a a a2b2 b20，整理得(1＋m2－3ma＋2a2＝0，由题意可得Δ＝9a2－41＋·2a2≥0，即a2≥8b2＝8(c2 a2)a2Earlybirdc 3 2 3 2－a2)，即8c2≤9a2，则e＝≤.又e>1，所以1<e≤.a 4 4参数的值(范围)问题x2 y2[例2]设A，B是椭圆C：＋＝1 长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB3 m＝120°，则m的取值范围是()A．(0,1]∪[9，＋∞) B．(0，3]∪[9，＋∞)C．(0,1]∪[4，＋∞) D．(0，3]∪[4，＋∞)[技法演示]法一：几何性质法x2 y2如图，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)．a2 b2过点M作MN⊥AB，垂足为N，设M(x，y)．根据椭圆的对称性，不妨令y>0，设∠AMN＝α，∠BMN＝β，x＋a a－x则tan α＝，tan β＝.y ya2y2又点M在椭圆上，所以x2＝a2－.b2x＋a a－x＋tan α＋tan βy y则tan(α＋β)＝＝1－tan αtan βa2－x21－y22ay2ay＝＝x2＋y2－a2 x2＋y2－a2y22ay2ab2＝＝.a2 －c2ya2－y2＋y2－a2b2又y∈[－b，b]，所以当y＝b时，α＋β取最大值，即M为椭圆短轴顶点P时，∠APB 最大．由此，我们可以得到本题的如下解法．。

江苏省2019年高考数学压轴卷含解析201905140158

【解析】解：P（3，4）为 C 上的一点，所以 9 - 16＝1 ，解得 m＝1，
m2 所以 A（﹣1，0）B（1，0），
设△PAB 的外接圆的圆心（0，b），
则 1+b2＝32+（b﹣4）2，解得 b＝3，
则△PAB 的外接圆的标准方程为 x2+（y﹣3）2＝10．
故答案为：x2+（y﹣3）2＝10．
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2019 江苏省高考压轴卷数学 1．【答案】{1，2，4，5}
【解析】解：A∩B＝{3}，
则∁U（A∩B）＝{1，2，4，5}，故答案为：{1，2，4，5}，
2．【答案】1．
【解析】解：∵（1﹣i）（a+i）＝（a+1）+（1﹣a）i＝2，
a 1 2 ∴ 1 a 0 ，即 a＝1．
| PA PB | 的最小值是．
2
12．在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，∠ABC＝，∠ABC 的平分线交 AC 3
于点 D，BD＝1，则 a+c 的最小值为．
13．如图，点 D 为△ABC 的边 BC 上一点， BD 2DC ，En（n∈N）为 AC 上一列点，且满
的外接圆的标准方程为． 9．已知 f（x）是 R 上的偶函数，且当 x≥0 时，f（x）＝|x2﹣3x|，则不等式 f（x﹣2）≤ 2 的解集为．
10．若函数 f（x）＝a1nx，（a∈R）与函数 g（x）＝ x ，在公共点处有共同的切线，则实数 a 的值为．
11．设 A，B 在圆 x2+y2＝4 上运动，且 AB ＝2 3 ，点 P 在直线 3x+4y﹣15＝0 上运动．则
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2019年高考复习数学选择填空压轴1

选择填空压轴1、设函数61,00.,()x x f x x x ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪=⎝≥⎭⎨⎪⎩ , 则当x>0时, [()]f f x 表达式的展开式中常数项为(A) －20 (B) 20 (C) －15 (D) 152. 设[x ]表示不大于x 的最大整数, 则对任意实数,x y ，有 (A) [－x ] ＝－[x ] (B) [2x ] ＝ 2[x ](C) [x ＋y ]≤[x ]＋[y ] (D) [x －y ]≤[x ]－[y ]3、从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2mn4、已知函数()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为 1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则1()m i i i x y =+=∑（）（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m5、已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线分别为12,l l ，经过右焦点F 垂直于1l 的直线分别交l 1 ，l 2 于 A ，B 两点．若|OA |，|AB |，|OB |成等差数列，且AF 与FB 反向，则该双曲线的离心率为( )526、在锐角三角形ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ．若2sin a b C =，则tan A+ tan B+tan C 的最小值是( )A. 4B.7.一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”：乙说：“我没有作案，是丙偷的”：丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”：丁说：“乙说的是事实”.经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是（）A ．甲B ．乙 C.丙 D ．丁8、已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线分别为1l ，2l ，经过右焦点F 垂直于1l 的直线分别交1l ，2l 于,A B 两点，若OA，AB，OB 成等差数列，且AF 与FB 反向，则该双曲线的离心率为（）ABD ．529、在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ，若2sin ab C =，则tan tan tan A B C ++的最小值是（）A ．4B ． C. 8D ．10、已知函数()3,0,0x f x ax b x ≥=+<⎪⎩满足条件，对于1x R ∀∈且10x ≠，存在2x R ∈唯一的且12x x ≠，使得()()12f x f x =，当()()23f a f b =成立时，实数a b+=3D.312.已知()f x 是定义域为(0,)+∞的单调函数，若对任意\\\的(0,)x ∈+∞，都有13()log 4f f x x ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，且方程32|()3|694f x x x x a -=-+-+在区间[]0,3上有两解，则实数a 的取值范围是（）A ．05a <≤B ．5a <C ．05a <<D ．5a≥13、如图是函数()b ax x x f ++=2的部分图象，则函数()()x f x x g '+=ln 的零点所在的区间是（）A.)21,41(B.)1,21( C.（1,2） D.（2,3）14、已知定义在()+∞,0上的函数()x f ，满足（1）()0>x f ；（2）()()()x f x f x f 2<'<（其中()x f '是()x f 的导函数，e 是自然对数的底数），则()()21f f 的范围为（）A.（e e 1,212）B.（ee 1,12） C.()e e 2, D.()3,e e15、若直线0ax y -=（0a ≠）与函数22cos 1()2ln2x f x x x +=+-图象交于不同的两点A ，B ，且点(6,0)C ，若点(,)D m n 满足DA DBCD +=，则m n +=（）A ．1B ．2C ．3D ．a16、已知函数()y f x =与()y F x =的图象关于y 轴对称，当函数()y f x =和()y F x =在区间[],a b 同时递增或同时递减时，把区间[],a b 叫做函数()y f x =的“不动区间”，若区间[]1,2为函数2x y t =-的“不动区间”，则实数t 的取值范围是（）A ．(]0.2B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[)1,24,2⎡⎤⋃+∞⎢⎥⎣⎦17、设函数()()31xf x ex ax a =--+，其中1a <，若有且只有一个整数0x 使得()00f x ≤，则a 的取值范围是（）A.23 4e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，B.23 4e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，C.2 1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，D.2 1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，18、已知函数2)2ln()(x x a x f -+=在)1,0(内任取两个实数q p ,，且q p >，若不等式2)1()1(>-+-+qp q f p f 恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．]24,(-∞B ．]12,(-∞ C.),12[+∞ D ．),24[+∞19、设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线l 交两渐近线于A ，B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若OP OA OB λμ=+（λ，R μ∈），116λμ=，则该双曲线的离心率为（）A．2B．5C ．3D ．220、对于函数1()1x f x x -=+，设[]2()()f x f f x =，[]32()()f x f f x =，…，[]1()()n n f x f f x +=（*n N ∈，且2n ≥），令集合{}2036|(),Mx f x x x R ==∈，则集合M 为（）A ．空集B ．实数集C ．单元素集D ．二元素集21、有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是．22、设数列{}n a 满足122,6a a ==，且2122n n n a a a ++-+=，若[]x 表示不超过x 的最大整数，则122017201720172017a a a ⎡⎤+++=⎢⎥⎣⎦.23、已知0a>，6)x 展开式的常数项为15，则sin 2)aax dx -+=⎰．24、已知函数()4sin(2)6f x x π=+（9106x π≤≤），若函数()()3F x f x =-的所有零点依次记为1x ，2x ，3x ，…，n x ，且123n x x x x <<<<…，则1231222n n x x x x x -+++++=… ．25、已知dx x a2111-⎰=-，则61)22(⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+x x a π展开式中的常数项为 . 26、函数()f x ，()g x 的定义域都是D ，直线0x x =（0x D ∈），与()y f x =，()y g x =的图象分别交于A ，B 两点，若||AB 的值是不等于0的常数，则称曲线()y f x =，()y g x =为“平行曲线”，设()ln xf x e a x c =-+（0a >，0c ≠），且()y f x =，()y g x =为区间(0,)+∞的“平行曲线”，(1)g e =，()g x 在区间(2,3)上的零点唯一，则a 的取值范围是．27、若一直线与圆22240x y x y a +--+=和函数24x y =的图象相切于同一点，则a 的值为．28、设()'f x 是函数()f x 的导数，()''f x 是函数()'f x 的导数，若方程()''0f x =有实数解0x ，则称点()()00 x f x ，为函数()f x 的拐点，某同学经过探究发现：任何一个三次函数()()320f x ax bx cx d a =+++≠都有拐点，任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心，设函数()32342g x x x x =-++，利用上述探究结果计算：1231910101010g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭… .29、在ABC ∆中，角C B A ,,对应的边分别为c b a ,,，已知3231)cos(,5,4=-==A B b a ，则=B cos ．30、已知函数2()(,)f x x ax b a b R =++∈在区间(0,1)内有两个零点，是3a b +的取值范围是________.。

北京市2019年高考压轴卷数学(文)试题(含解析)

2019 北京高考压轴试题数学文科一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 已知(1i)i 1i(b b +=-+∈R)，则b 的值为（） A.1 B.1- C. iD.i-2．下列函数中，值域为R 的偶函数是（）A ．y=x 2+1B ．y=e x ﹣e ﹣xC ．y=lg|x|D ．2x y =3．若变量y x ,满足约束条件2,1,0x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩,则y x z +=2的最大值为（）A ．0B ．2C ．3D ．44. 某程序框图如图所示，执行该程序，若输入的a 值为1，则输出的a值为（）A.1B.2C.3D.55.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是（）A ．27B ．30C ．32D ．366. “4ab =”是直线210x ay +-=与直线220bx y +-=平行的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.已知点0)Q 及抛物线24x y =上一动点(,)P x y ，则||y PQ +的最小值是（）A ．12B ．1C ．2D ． 38.设函数()f x 的定义域D ，如果存在正实数m ，使得对任意x D ∈，都有()()f x m f x +>，则称()f x 为D 上的“m 型增函数”，已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()f x x a a =--（a R ∈）．若()f x 为R 上的“20型增函数”，则实数a 的取值范围是（）A ．0a >B ．5a <C ．10a <D ．20a <二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，满分30分.把答案填在题中的横线上．）9.函数2sin(216y x π=++的最小正周期是，最小值是．10．已知，，则______．3cos 5α=2π0,α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭cos π3α⎛⎫+= ⎪⎝⎭11.如果平面直角坐标系中的两点(1,1)A a a -+，(,)B a a 关于直线l 对称，那么直线l 的方程为_.12.在平面向量a,b 中，已知(1,3)=a ，(2,y)=b ，.如果5⋅=a b ，那么y =_____；如果-=a +b a b ，那么y =______13.若，，，，则，，有小到大排列为．01a b <<<b x a =a y b =log b z a =x y z 14.数列{}n a 满足：*112(1,)n n n a a a n n N -++>>∈，给出下述命题：①若数列{}n a 满足：21a a >，则*1(1,)n n a a n n N ->>∈成立；②存在常数c ，使得*()n a c n N >∈成立；③若*(,,,)p q m n p q m n N +>+∈其中，则p q m n a a a a +>+；④存在常数d ，使得*1(1)()n a a n d n N >+-∈都成立．上述命题正确的是____．(写出所有正确结论的序号)三、解答题共6小题，共80分。

2019年全国卷Ⅲ高考压轴卷数学理科试题(含解析)

2019全国卷Ⅲ高考压轴卷数学理科一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．12i 2i+=-+（）A ．41i 5-+B ．4i 5-+C ．i -D ．i2.221a b +=是sin cos 1a b θθ+≤恒成立的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件3．若01a b <<<，则b a ， a b ， log b a ， 1log ab 的大小关系为（）A. 1log log b a b aa b a b >>> B. 1log log a b b ab a b a >>>C. 1log log b a b aa ab b >>> D. 1log log a b b aa b a b>>>4.圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a=（）（A ）43-（B ）34- （C ）3 （D ）2 5．已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的一条渐近线与直线053=+-y x 垂直，则双曲线C 的离心率等于（）A ．2B ．310C ．10D ． 22 6．《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（）A ．310π B ． 320π C ． 3110π- D ． 3120π- 7．长方体1111ABCD A B C D -，1AB =，2AD =，13AA =，则异面直线11A B 与1AC 所成角的余弦值为（）A ．1414B ．8314C ．1313 D ．138．下图中的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入的值分别为8，10，0，则输出和i 的值分别为（）A ． 2，4B ． 2，5C ． 0，4D ． 0，59.如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是283π,则它的表面积是（）（A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π10．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin 2sin cos 0B A C +=，则当cos B 取最小值时，ac=（）A ．2B ．3C ．33D ．2211．已知为抛物线x y C 4:2=的焦点，C B A ,,为抛物线C 上三点，当0=++FC FB FA 时，称ABC ∆为“和谐三角形”，则“和谐三角形”有（）A ． 0个B ． 1个C ． 3个D ．无数个12．已知定义在R 上的偶函数()y f x =的导函数为()f x '，函数()f x 满足：当0x >时，()x f x '⋅()1f x +>，且()12018f =．则不等式()20171f x x<+的解集是（）A ．()1,1-B ．(),1-∞C ．()()1,00,1-D ．()(),11,-∞-+∞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．若()201512x -=2015012015a a x a x ++⋯+（x R ∈），则20151222015222a a a ++⋯+的值为．14．如果点P 在平面区域22021020x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩上，点Q 在曲线22(2)1x y ++=上，那么PQ 的最小值为．15．要从甲、乙等8人中选4人在座谈会上发言，若甲、乙都被选中，且他们发言中间恰好间隔一人，那么不同的发言顺序共有__________种（用数字作答）.16．直三棱柱111ABC A B C -的底面是直角三角形，侧棱长等于底面三角形的斜边长，若其外接球的体积为32π3，则该三棱柱体积的最大值为__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本题满分12分）已知函数()()21cos 3sin cos 06662f x x x x ωωωωπππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+---> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，满足()1f α=-，()0f β=，且αβ-的最小值为4π．（1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 在02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,上的单调区间和最大值、最小值．18．（本题满分12分）由于当前学生课业负担较重，造成青少年视力普遍下降，现从湖口中学随机抽取16名学生，经校医用视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)如下：（1）指出这组数据的众数和中位数；（2）若视力测试结果不低于5.0则称为“好视力”，求校医从这16人中选取3人，至多有1人是“好视力”的概率；（3）以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校(人数很多)任选3人，记ξ表示抽到“好视力”学生的人数，求ξ的分布列及数学期望．19．（本题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，90ABC PAD ∠=∠=，2PA AB BC ===，90ABC ∠=，1AD =，M 是棱PB 中点且2AM =（1）求证：//AM 平面PCD ；（2）设点N 是线段CD 上一动点，且DN DC λ=，当直线MN 与平面PAB 所成的角最大时，求λ的值.20．（本题满分12分）已知双曲线2215x y -=的焦点是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数.（1）求椭圆C 的方程；（2）设动点M ，N 在椭圆C 上，且43MN =记直线MN 在y 轴上的截距为m ，求m 的最大值.21．（本题满分12分）已知函数()ln xf x ax b x=-+在点()(),e f e 处的切线方程为2y ax e =-+. （1）求实数b 的值；（2）若存在20,x e e ⎡⎤∈⎣⎦，满足()014f x e ≤+，求实数a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（本题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xoy 中，已知曲线1C 、2C 的参数方程分别为1C ：()2cos 3x y θθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数， 2C ：()1cos sin x t t y t θθ=+⎧⎨=⎩为参数．（1）求曲线1C 、2C 的普通方程；（2）已知点()1,0P ，若曲线1C 与曲线2C 交于A 、B 两点，求PB PA +的取值范围． 23．（本题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数()2f x x a x =-++．（1）当1a =时，求不等式()3f x ≤的解集；（2）0x ∃∈R ，()03f x ≤，求a 的取值范围．2019全国卷Ⅲ高考压轴卷数学理科答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】C 【解析】()()()()12i 2i 12i 5ii 2i 2i 2i 5+--+-===--+-+--，故选C ． 2.【答案】A 【解析】设(){sin cos sin cos cos sin sin +1a cos a b b sin αθθθαθαθαα=⇒+=+=≤= 成立；反之， 22sin cos 101a b a b a b θθ+≤⇒==⇒+≠ ，故选A.3．【答案】D【解析】因为01a b <<<，所以10a a b b a a >>>>.log log 1b b a b >>.01a <<,所以11a >,1log 0ab <. 综上： 1log log a b b aa b a b >>>. 4.【答案】A【解析】圆的方程可化为22(x 1)(y 4)4-+-=，所以圆心坐标为(1,4)，由点到直线的距离公式得：24111a d a +-==+，解得43a =-，故选A ．5．【答案】B【解析】∵双曲线)0,0(1:2222>>=-b a b y a x C 的渐近线方程为x aby -=，又直线053=+-y x 斜率为3，∴31=a b 故91222=-a a c ，双曲线的离心率310==a c e ，故选B. 6．【答案】．D【解析】由题意可知：直角三角向斜边长为17，由等面积，可得内切圆的半径为：815381517r ⨯==⇒++落在内切圆内的概率为2331208152r ππ⨯==⨯⨯，故落在圆外的概率为3120π- 7．【答案】A【解析】∵1111C D A B ∥，∴异面直线11A B 与1AC 所成的角即为11C D 与1AC 所成的角11AC D ∠．在11Rt AC D △中，111C D =，2212313AD =+=，222112314AC =++=， ∴11111114cos 1414C D AC D AC ∠===．故选A ． 8．【答案】B【解析】模拟执行程序框图，可得，，不满足，不满足；满足；满足；满足；不满足，满足，输出的值为2，i 的值为，故选B. 9.【答案】A[QQ 群 545423319:QQ 群 545423319ZXXK] 【解析】该几何体直观图如图所示：是一个球被切掉左上角的18,设球的半径为R ,则37428V R 833ππ=⨯=,解得R 2=,所以它的表面积是78的球面面积和三个扇形面积之和2271=42+32=1784S πππ⨯⨯⨯⨯故选A ．10．【答案】C【解析】由正弦定理得222202a b c b a ab +-+⋅= ，∴22220a b c +-=，2222c a b -=，∴22222333cos 2444a c b a c a c B ac ac c a +-+===⋅+≥当344a c c a =，即3a c =时cos B 取最小值．故选C ． 11．【答案】D【解析】抛物线方程为x y C 4:2=,C B A ,,为曲线上三点，当0=++FC FB FA 时，F 为ABC ∆的重心，用如下办法构造ABC ∆，连接AF 并延长至D ，使AF FD 21=，当D 在抛物线内部时，设),(00y x D 若存在以D 为中点的弦BC ，设),(),,(2211n m C n m B ，则0210212,2y n n x m m =+=+，2121m m n n k BC --=则⎪⎩⎪⎨⎧==22212144m n m n ，两式相减化为，021212124y n n m m n n k BC =+=--=，所以总存在以D 为中点的弦BC ，所以这样的三角形有无数个，故选D. 12．【答案】C【解析】当0x >时，()()1x f x f x '⋅+>，∴()()10x f x f x '⋅+->，令()()()()1F x x f x x x f x =⋅-=-，则()()()10F x x f x f x ''=⋅+->，即当0x >时，()F x 单调递增．又()f x 为R 上的偶函数，∴()F x 为R 上的奇函数且()00F =，则当0x <时，()F x 单调递增．不等式()20171f x x <+，当0x >时，()2017x f x x ⋅<+，即()2017x f x x ⋅-<，()()1112017F f =-=，即()()1F x F <，∴01x <<；当0x <时，()2017x f x x -⋅<-+，()2017x f x x ⋅->-，()()112017F F -=-=-，即()()1F x F >-，∴10x -<<．综上，不等式()20171f x x<+的解集为()()1,00,1-．故选C ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】-1【解析】在二项式展开式中，令12x =，得201501201511022a a a ⎛⎫=++⋯+ ⎪⎝⎭，令0x =得01a =，所以2015120220151222a a aa ++⋯+=-=-，故选C.14.51【解析】析画出可行域如图7-14所示阴影部分（含边界），设圆心为'O 到直线210x y -+=的距离为d ，则55d ==，所以min 151PQ d =-=，故选A.15．【答案】120【解析】先选一个插入甲乙之间（甲乙需排列），再选一个排列即可. 详解：先从除了甲乙以外的6人中选一人，安排在甲乙中间，有种，最后再选出一人和刚才的三人排列得：.故答案为：120.16．【答案】2【解析】设三棱柱底面直角三角形的直角边为a ，b ，则棱柱的高22h a b +，设外接球的半径为r ，则3432ππ33r =，解得2r =，∵上下底面三角形斜边的中点连线的中点是该三棱柱的外接球的球心，224h r ==．∴22h =22282a b h ab +==≥，∴4ab ≤．当且仅当2a b ==时“=”成立．∴三棱柱的体积12422V Sh abh ab ===≤三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本题满分12分）【答案】（1）()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）1，12-．【解析】（1）()1cos 2133cos 26262x f x x x ωωωπ⎛⎫+- ⎪πππ⎛⎫⎛⎫⎝⎭=-+--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1cos 2133sin 2662x x x ωωωπ⎛⎫+- ⎪ππ⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 312cos 2323x x ωωππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ =sin 2sin 2366x x ωωπππ⎛⎫⎛⎫-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又()1f α=-，()0f β=，且αβ-的最小值为4π，则44T π=， ∴周期22T ωπ==π，则1ω=，∴()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭； O ' CyAB 220x y -+=O图 7-14210x y -+=20x y +-=x()2245BD αϕ++=4245BD +≥，即49BD ≥，23BD ≥，则3BD ≥3sin 5α=，203c =．（2）∵02x π≤≤，∴52666x πππ-≤-≤，令2662x πππ-≤-≤得03x π≤≤，令52266x πππ≤-≤得32x ππ≤≤，∴()f x 的增区间为03π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,，减区间为32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,．∵()f x 在区间03π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,上单调递增，在区间上32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,上单调递减，又∵()102f =-，122f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴()()min 102f x f ==-，()max 13f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭．18．（本题满分12分）【答案】（1）众数：4.6和4.7；中位数：4.75；（2）121140；（3）34．【解析】（1）众数：4.6和4.7；中位数：4.75．（2）设i A 表示所取3人中有i 个人是“好视力”，至多有1人是“好视力”记为事件A ，则()()()3121241201331616C C C 121140C C P A P A P A =+=+=．（3）一个人是“好视力”的概率为14，ξ的可能取值为0，1，2，3． ()33402746P ξ⎛⎫== ⎪⎝⎭=，()2131327C 44641P ξ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭=， ()223139C 44426P ξ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭=，()3114634P ξ⎛⎫== ⎪⎝⎭=，ξ的分布列为()27279130123646464644E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．19．（本题满分12分）明（2）23λ=【答案】（1）见证中点K ，连接【解析】（1）取PCMK ，KD ，因为M 为PB 的中点，所以//MK DC 且12MK BC AD ==，所以四边形AMKD 为平行四边形，所以//AM DK ，又因为DK ⊂平面PDC ，AM ⊄平面PDC ，所以//AM 平面PCD .（2）因为M 为PB 的中点，设PM MB x ==，在PAB ∆中，∵PMA AMB π∠+∠=，设PMA θ∠=，ζ 0 1 23P64276427 649 641则AMB πθ∠=-，所以cos cos 0PMA AMB ∠+∠=，由余弦定理得222222022PM AM PA BM AM AB PM AM BM AM+-+-+=⋅⋅，即222424044x x x x+-+-+=，所以x =则PB =所以222PA AB PB +=，所以PA AB ⊥，∵PA AD ⊥，AP AB ⊥且ABAD A =，所以PA ⊥平面ABCD ，且90BAD ABC ∠=∠=，以点A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()1,0,0D ，()0,2,0B ，()2,2,0C ，()0,0,2P ，()0,1,1M ，因为点N 是线段CD 上一点，可设()1,2,0DN DC λλ==，()()()()()()1,0,01,2,01,2,01,2,00,1,11,21,1AN AD DN MN AN AM λλλλλλλ⎧=+=+=+⎪⎨=-=+-=+--⎪⎩，又面PAB 的法向量为()1,0,0，设MN与平面PAB所成角为θ，则sin θ=====，所以当1315λ=+时，即533λ=+，23λ=时，sin θ取得最大值. 所以MN 与平面PAB 所称的角最大时23λ=. 20．（本题满分12分）【答案】（1）2216x y +=（2【解析】（1）双曲线2215x y -=的焦点坐标为().因为双曲线2215x y -=的焦点是椭圆C ：22221(0)xy a b a b +=>>的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数，所以a =6a =，解得1b =.故椭圆C 的方程为2216x y +=.（2）因为23MN =>，所以直线MN 的斜率存在. 因为直线MN 在y 轴上的截距为m ，所以可设直线MN 的方程为y kx m =+. 代入椭圆方程2216x y +=得()()2221612610k x kmx m +++-=. 因为()()()2221224161km k m ∆=-+-()2224160k m =+->，所以2216m k <+.设()11,M x y ，()22,N x y ，根据根与系数的关系得1221216km x x k -+=+，()21226116m x x k -=+则12MN x =-==因为3MN =3=.整理得 ()42221839791k k m k -++=+. 令211k t +=≥，则21k t =-. 所以221875509t t m t -+-=15075189t t ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦75230593-⨯≤=. 等号成立的条件是53t =，此时223k =，253m =满足2216m k <+，符合题意.故m 的. 21．（本题满分12分）【答案】（1）e （2）211,24e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【解析】（1）函数()f x 的定义域为()()0,11,+∞，因为()ln x f x ax b x=-+，所以()2ln 1'ln x f x a x-=-.所以函数()f x 在点()(),e f e 处的切线方程为y e ae b ax e --+=--，即y ax e b =-++.已知函数()f x 在点()(),e f e 处的切线方程为2y ax e =-+，比较求得b e =.所以实数b 的值为e .（2）由()014f x e ≤+，即0001ln 4x ax e e x -+≤+.所以问题转化为11ln 4a x x≥-在2,e e ⎡⎤⎣⎦上有解. 令()11ln 4h x x x=-，2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦，则 ()2222211ln 4'4ln 4ln x x h x x x x x x -=-=(22ln ln 4ln x x x x+-=. 令()ln p x x =-2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦时，有()11'0p x x x ==<. 所以函数()p x 在区间2,e e ⎡⎤⎣⎦上单调递减，所以()()ln 0p x p e e <=-<.所以()'0h x <，即()h x 在区间2,e e ⎡⎤⎣⎦上单调递减.所以()()22221111ln 424h x h e e e e ≥=-=-. 所以实数a 的取值范围为211,24e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（本题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】【答案】（1）1C ：13422=+y x ，2C ：1=x ；（2）[]3,4．【解析】（1）曲线1C 的普通方程为：13422=+y x ，当2k θπ≠+π，k ∈Z 时，曲线2C 的普通方程为：θθtan tan -=x y ，当2k θπ=+π，k ∈Z 时，曲线2C 的普通方程为：1=x ；（或曲线2C ：0sin cos sin =--θθθy x ）（2）将2C ：()1cos sin x t t y t θθ=+⎧⎨=⎩为参数代入1C ：13422=+y x 化简整理得： ()22sin 36cos 90t t θθ++-=，设A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ，1226cos sin 3t t θθ-+=+，1229sin 3t t θ-=+ 则()2236cos 36sin 31440∆θθ=++=>恒成立，∴1212212sin 3PA PB t t t t θ+=+=-=+，∵[]2sin 0,1θ∈，∴[]3,4PA PB +∈．23．（本题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】【答案】（1）{}21x x -≤≤；（2）[]5,1-．【解析】（1）当1a =时，()12f x x x =-++，①当2x ≤-时，()21f x x =--，令()3f x ≤，即213x --≤，解得2x =-， ②当21x -<<时，()3f x =，显然()3f x ≤成立，∴21x -<<， ③当1x ≥时，()21f x x =+，令()3f x ≤，即213x +≤，解得1x ≤，综上所述，不等式的解集为{}21x x -≤≤．（2）∵()()()222f x x a x x a x a =-++≥--+=+，∵0x ∃∈R ，有()3f x ≤成立，∴只需23a +≤，解得51a -≤≤，∴a 的取值范围为[]5,1-．。

全国卷Ⅲ2019年高考数学压轴卷理含解析201905140112

满
足
f 1，
f
0 ，且
的最小值为．
4
（1）求函数 f x 的解析式；
（2）求函数
f
x
在
0,
2
上的单调区间和最大值、最小值．
18．（本题满分 12 分）
由于当前学生课业负担较重，造成青少年视力普遍下降，现从湖口中学随机抽取 16 名学生，经校医用视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)如下：
何？ ”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为 8 步和15 步，问其内切圆的直径为多
少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（）
3
A．
10
3
B．
20
C． 1 3 10
D． 1 3 20
7．长方体 ABCD A1B1C1D1 ， AB 1 ， AD 2 ， AA1 3 ，则异面直线 A1B1 与 AC1 所成角的余弦值为（）
A． 2
B． 3
C． 3 3
D． 2 2
11．已知 ��为抛物线 C : y2 4x 的焦点， A, B, C 为抛物线 C 上三点，当
FA FB FC 0 时，称 ABC 为“和谐三角形”，则“和谐三角形”有（）
A． 0 个 B． 1 个 C． 3 个 D．无数个
最大时，求的值.
20．（本题满分 12 分）
已知双曲线
x2 5

y2

1
的焦点是椭圆
C
：
x2 a2

y2 b2

天津市高考数学压轴卷理含解析2019051401109.doc

天津市2019年高考数学压轴卷理（含解析）一、选择题（共8题，每题5分，共40分）1.()Z M 表示集合M 中整数元素的个数，设集合{}18A x x=-<<，{}5217B x x =<<，则()Z A B =I （） A ．3B ．4C ．5D ．62．i 为虚数单位，若复数()()1i 1i m ++是纯虚数，则实数m =（） A ．1-B ．0C ．1D ．0或13.阅读如图的框图，运行相应的程序，若输入n 的值为6，则输出S 的值为A.73 B. 94 C. 76 D. 98 4.不等式组03434x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域的面积等于（）A ．32 B.23 C. 43 D.345.下列函数中，既是奇函数，又是R 上的单调函数的是（） A ．()()ln 1f x x =+B ．()()()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-+<⎪⎩C．()()()() 20 0,012,,xxxf x xx⎧⎪<⎪⎪==⎨⎪⎛⎫⎪->⎪⎪⎝⎭⎩D．()1f x x-=6.()834132x xx⎛⎫+-⎪⎝⎭展开式中2x的系数为（）A．1280-B．4864 C．4864-D．12807.已知棱长为1的正方体被两个平行平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则剩余部分的表面积为（）A．23B．33C93+D．38．函数()2ln0f x x x ax=-+≤恰有两个整数解，则实数a的取值范围为（）A．ln2212a-<≤-B．21a-<≤-C．31a-<≤-D．ln3ln23232a-<≤-二、填空题：本大题共有6小题，每小题5分，共30分.9.已知两点)2,2(),2,0(-NM以线段MN为直径的圆的方程为________________.10.学校艺术节对A、B、C、D四件参赛作品只评一件一等奖，在评奖揭晓前，甲，乙，丙，丁四位同学对这四件参赛作品预测如下：甲说：“是C或D作品获得一等奖”；乙说：“B作品获得一等奖”；丙说：“A、D两件作品未获得一等奖”；丁说：“是C作品获得一等奖”．评奖揭晓后，发现这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是_________．11.已知长方体的长、宽、高分别为2，1，2，则该长方体外接球的表面积为__________．12.在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为32545x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为sin a ρθ=．直线l 截圆C 的弦长等于圆C 的半径长的3倍，求a 的值．13.如图，在ABC △中，23AN NC =u u u r u u u r ，P 是BN 上一点，若13AP t AB AC =+u u u r u u u r u u u r，则实数t 的值为14.设函数()ln ,11,1x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩，若()1f m >，则实数m 的取值范围是______．三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (15) (本小题满分13分)设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别是,,a b c ，且B A c b 2,1,3=== (Ⅰ)求a 的值； (Ⅱ)求)62cos(π+A 的值.16． (本小题满分13分)田忌赛马是《史记》中记载的一个故事，说的是齐国将军田忌经常与齐国众公子赛马，孙膑发现他们的马脚力都差不多，都分为上、中、下三等于是孙膑给田忌将军制定了一个必胜策略：比赛即将开始时，他让田忌用下等马对战公子们的上等马，用上等马对战公子们的中等马，用中等马对战公子们的下等马，从而使田忌赢得公子们许多赌注假设田忌的各等级马与某公子的各等级马进行一场比赛获胜的概率如表所示：田忌的马获胜概率公子的马上等马中等马下等马上等马 0.5 0.8 1 中等马 0.2 0.5 0.9 下等马0.050.4比赛规则规定：一次比由三场赛马组成，每场由公子和田忌各出一匹马出骞，结果只有胜和负两种，并且毎一方三场赛马的马的等级各不相同，三场比赛中至少获胜两场的一方为最终胜利者．（1）如果按孙膑的策略比赛一次，求田忌获胜的概率；（2）如果比赛约定，只能同等级马对战，每次比赛赌注1000金，即胜利者赢得对方1000金，每月比赛一次，求田忌一年赛马获利的数学期望． 17．（本小题13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，AB PC ⊥，AD BC ∥，AD CD ⊥，且2222PC BC AD CD ====，2PA =．（1）证明：PA ⊥平面ABCD ；（2）在线段PD 上，是否存在一点M ，使得二面角M AC D --的大小为60︒？如果存在，求PMPD的值；如果不存在，请说明理由． 18.（本小题13分）在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆13222=+y a x ()3>a 的右焦点为F ，右顶点为A ，已知1=-OF OA ，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率.（Ⅰ）求椭圆的标准方程及离心率e ；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与椭圆交于点()轴上不在x B B ，垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若HF BF ⊥，且MAO MOA ∠≤∠，求直线l 的斜率的取值范围.19.(本小题满分14分)数列{}n a 是等比数列，公比大于0，前n 项和nS ()n N *∈，{}nb 是等差数列，已知112a =，32114a a =+，3461a b b =+，45712a b b =+.（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式n a ，n b ；（Ⅱ）设{}n S 的前n 项和为n T ()n N *∈，（i ）求n T ；（ii ）证明：()21121311<⋅-∑=+++++ni i i i i i b b b b T .20. (本小题满分14分)设函数)0()(≠=k xe x f kx .(Ⅰ) 求曲线)(x f y =在点))0(,0(f 处的切线方程； (Ⅱ) 讨论函数)(x f 的单调性；(Ⅲ) 设42)(2+-=bx x x g ,当1=k 时,若对任意的R x ∈1，存在[]2,12∈x ，使得)(1x f ≥)(2x g ，求实数b 的取值范围.参考答案：1【答案】C【解析】∵()1,8A =-，517,22B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴5,82A B ⎛⎫= ⎪⎝⎭I ，∴()5Z A B =I ．故选C ．2【答案】C【解析】∵()()()()1i 1i 11i m m m ++=-++是纯虚数，∴1010m m -=⎧⎨+≠⎩，即1m =，故选C ．3.【答案】A【解析】由题意，模拟执行程序，可得：，，满足条件，，满足条件，，满足条件，，不满足条件，退出循环，输出S 的值为．故选：A ． 4.【答案】【解析】由340340x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，得(1,1)C ，如图7-8所示，故12ABC C S AB x ∆=14(4)1=⨯-⨯43=5【答案】B【解析】对于A ，()()ln 1f x x =+，有()()()()ln 1ln 1f x x x f x -=-+=+=，则函数()f x 为偶函数，不符合题意；对于B ，()()()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-+<⎪⎩，有()()f x f x -=-，函数()f x 为奇函数，且在R 上的单调递增，符合题意；对于C ，()()()()200,0102,,xxx f x x x ⎧⎪<⎪⎪==⎨⎪⎛⎫⎪-> ⎪⎪⎝⎭⎩，有()()f x f x -=-，函数()f x 为奇函数，但在R 上不是单调函数，不符合题意；对于D ，()11f x x x-==，()f x 的定义域为{}0x x ≠，在R 上不是单调函数，不符合题意；故选B ． 6.【答案】A【解析】根据二项式的展开式，可以得到第一个括号里出33x 项，第二个括号里出1x项，或者第一个括号里出4x ，第二个括号里出21x，具体为()231742688C C 11322x x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+⋅-⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎣⎦，化简得到21280x -，故答案为A ． 7.【答案】B【解析】由三视图可得，该几何体为如图所示的正方体1111ABCD A B C D -截去三棱锥1D ACD -和三棱锥111B A B C -后的剩余部分．其表面为六个腰长为1的等腰直角三角形和两个边长为2的等边三角形，所以其表面积为()22136122332⨯⨯+⨯⨯=+，故选B ．8.【答案】D【解析】函数()2ln 0f x x x ax =-+≤恰有两个整数解，即ln xa x x≤-恰有两个整数解，令()ln xg x x x =-，得()221ln x x g x x--'=，令()21ln h x x x =--，易知()h x 为减函数．当()0,1x ∈，()0h x >，()0g x '>，()g x 单调递增；当()1,x ∈+∞，()0h x <，()0g x '<，()g x 单调递减．()11g =-，()ln 2222g =-，()ln3333g =-．由题意可得：()()32g a g <≤，∴ln3ln 23232a -<≤-．故选D ． 9【答案】【解析】由题得圆心的坐标为（1,0），|MN|=所以圆的半径为所以圆的方程为.故答案为：10【答案】B【解析】若A 为一等奖，则甲、乙、丙、丁的说法均错误，不满足题意；若B 为一等奖，则乙、丙的说法正确，甲、丁的说法错误，满足题意；若C 为一等奖，则甲、丙、丁的说法均正确，不满足题意；若D 为一等奖，则乙、丙、丁的说法均错误，不满足题意；综上所述，故B获得一等奖．11【答案】【解析】由题意，长方体的长宽高分别为，所以其对角线长为，求得球的半径为，利用球的表面积公式，即可求解.【详解】由题意，长方体的长宽高分别为，所以其对角线长为，设长方体的外接球的半径为，则，即，所以球的表面积为.12【答案】32a=或32 11．【解析】圆C的极坐标方程转化成直角坐标方程为：22 224a a xy⎛⎫+-=⎪⎝⎭，直线l截圆C的弦长等于圆C的半径长的3倍，∴3812522aad-==⋅，整理得23165a a-=，利用平方法解得32a=或321113.【答案】16【解析】由题意及图，()()1AP AB BP AB mBN AB m AN AB mAN m AB=+=+=+-=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，又23AN NC=u u u r u u u r，∴25AN AC=u u u r u u u r，∴()215AP mAC m AB=+-u u u r u u u r u u u r，又13AP t AB AC=+u u u r u u u r u u u r，∴12153m tm-=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得56m=，16t=.14【答案】()(),0e,-∞+∞U【解析】如图所示：可得()ln ,11,1x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩的图像与1y =的交点分别为()0,1，()e,1，∴()1f m >，则实数m 的取值范围是()(),0e,-∞+∞U ，可得答案()(),0e,-∞+∞U ． 15【答案】：(Ⅰ) 解:由B A 2=，知B B B A cos sin 22sin sin ==，由正、余弦定理得acb c a b a 22222-+⋅=.因为1,3==c b ，所以122=a ,则32=a .(Ⅱ) 解:由余弦定理得31612192cos 222-=-+=-+=bc a c b A . x§]由于π<<A 0，所以322911cos 1sin 2=-=-=A A故7sin 2cos299A A =-=- 1837246sin2sin 6cos2cos )62cos(-=-=+πππA A A16.【答案】（1）0.72；（2）见解析．【解析】（1）记事件A ：按孙膑的策略比赛一次，田忌获胜，对于事件A ，三场比赛中，由于第三场必输，则前两次比赛中田忌都胜，因此，()0.80.90.72P A =⨯=；（2）设田忌在每次比赛所得奖金为随机变量ξ，则随机变量ξ的可能取值为1000-和1000，若比赛一次，田忌获胜，则三场比赛中，田忌输赢的分布为：胜胜胜、负胜胜、胜负胜、胜胜负，设比赛一次，田忌获胜的概率为P ，则1121139322522520P =⨯⨯⨯+⨯⨯=．随机变量ξ的分布列如下表所示：∴119100010001002020E ξ=-⨯+⨯=-．因此，田忌一年赛马获利的数学期望为100121200-⨯=-金． 17.【答案】（1）见证明；（2）见解析．【解析】（1）∵在底面ABCD 中，AD BC ∥，AD CD ⊥，且22BC AD CD ===∴2AB AC ==，22BC =，∴AB AC ⊥，又∵AB PC ⊥，AC PC C =I ，AC ⊂平面PAC ，PC ⊂平面PAC ，∴AB ⊥平面PAC ，又∵PA ⊂平面PAC ，∴AB PA ⊥， ∵2PA AC ==，22PC =，∴PA AC ⊥，又∵PA AB ⊥，AB AC A =I ，AB ⊂平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥平面ABCD ．（2）方法一：在线段AD 上取点N ，使2AN ND =，则MN PA ∥，又由（1）得PA ⊥平面ABCD ，∴MN ⊥平面ABCD ，又∵AC ⊂平面ABCD ，∴MN AC ⊥，作NO AC ⊥于O ，又∵MN NO N =I ，MN ⊂平面MNO ，NO ⊂平面MNO ，∴AC ⊥平面MNO ，又∵MO ⊂平面MNO ，∴AC MO ⊥，又∵AC NO ⊥，∴MON ∠是二面角M AC D --的一个平面角，设PMx PD=，则()122MN x AP x =-=-，2222ON AN xAD x ===，这样，二面角M AC D --的大小为60︒，即22tan tan603MN x MON ON x -∠===︒=423PMx PD==- ∴满足要求的点M 存在，且423PMPD=- 方法二：取BC 的中点E ，则AE 、AD 、AP 三条直线两两垂直 ∴可以分别以直线AE 、AD 、AP 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，且由（1）知()0,0,2AP =u u u r是平面ACD 的一个法向量，设()0,1PMx PD =∈，则()122MN x AP x =-=-，2AN xAD x =， ∴()2,22AM x x =-u u u u r ，()2,2,0AC =u u u r，设(),,AQ a b c =u u u r是平面ACM 的一个法向量，则()2220220AQ AM xb x c AQ AC a b ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅==⎪⎩u u u r u u u r u u u r u u u u r ，∴2a b x c =-⎧⎪⎨=⎪⎩，令22b x =-，则()22,22AQ x x x =-+-u u u r，它背向二面角，又∵平面ACD 的法向量()0,0,2AP =u u u r，它指向二面角，这样，二面角M AC D --的大小为60︒，即()()()222221cos cos602222222,AP AQ xAP AQ AP AQ x x x===︒=⋅-++-⋅+⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r ，即423x =-∴满足要求的点M 存在，且423PMPD=- 18. 【答案】（Ⅰ）13422=+y x （Ⅱ）⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-,4646,Y 【解析】（Ⅰ）由已知得1=-c a ，即132=--a a ，解得2=a ，所以1=c ，得21==a c e ，椭圆方程为13422=+y x . （Ⅱ）解：设直线l 的斜率为()0≠k k ，则直线l 的方程为()2-=x k y ，设()B B y x B ,由方程组()⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134222y x x k y ，消去y ，整理得()0121616342222=-+-+k x k x k解得2=x 或346822+-=k k x ，所以B 点坐标为⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+-3412,3468222k k k k .由（Ⅰ）知，()0,1F ，设()H y H ,0，有()H y ,1-=，⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-=3412,3449222k k k k ，由HF BF ⊥,则0=⋅，所以034123494222=+++-k ky k k H ，解得kk y H 12492-=，因此直线MH 的方程为kk x k y 124912-+-=，设()M M y x M ,，由方程组()⎪⎩⎪⎨⎧-+-=-=1249122k x k y x k y 消去y ，解得()11292022++=k k x M ，在MAO ∆中，MO MA MAO MOA ≤⇔∠≤∠，即()22222MMMM y x y x +≤+-，化简得1≥M x ，即()111292022≥++k k ，解得46-≤k ，或46≥k . 所以，直线l 的斜率的取值范围为⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-,4646,Y 19【答案】（Ⅰ）12n n a =，1n b n =-（Ⅱ）（i ）112n n T n =-+【解析】（Ⅰ）解：设数列{}n a 的公比为q （0q >）121112114a a qa q ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，21120q q --=，=-1q （舍）或=2q ，12n na = 设数列{}nb 的公差为d111182(4)1116316b d b d⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩ 114431616b d b d +=⎧⎨+=⎩ 101b d =⎧⎨=⎩ ，1n b n =-.（Ⅱ）解：112212(1)1112n n n S -==-- 211111(111)()(1)122222n n n n T n n =+++-+++=--=-+L L111132112()(2)()(2)(1)(1)2i i i i i i i i i i T b b i b b i i i i ++++++++-⋅+-⋅+==⋅⋅+⋅+⋅1112(1)2i i i i +=-⋅+⋅ 1132231112()111111()()()122222322(1)2ni i i n n i i i T b b b b n n ++++=++-⋅=-+-++-⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅∑L 11112(1)22n n +=-<+⋅20【答案】 (Ⅰ) x y =(Ⅱ) ①当0>k 时，)(x f 在)1,(k --∞上单调递减，在),1(+∞-k上单调递增 ②当0<k 时，此时)(x f 在)1,(k --∞上单调递增，在),1(+∞-k上单调递减(Ⅲ)⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞+,412e 【解析】(Ⅰ) 解:kx e kx x f )1()('+=, 因为0)0(=f 且1)0('=f ,所以曲线)(x f y =在点))0(,0(f 处的切线方程为 x y =(Ⅱ) 解:函数)(x f 的定义域为R ,令0)1()('>+=kx e kx x f ，由0>kx e ，知01>+kx 讨论:①当0>k 时，k x 1->，此时)(x f 在)1,(k --∞上单调递减，在),1(+∞-k上单调递增. ②当0<k 时，kx 1-<，此时)(x f 在)1,(k --∞上单调递增，在),1(+∞-k 上单调递减(Ⅲ) 解:由(Ⅱ)知，当1=k 时，)(x f 在)1,(--∞上单调递减，在),1(+∞-上单调递增.则对任意的R x ∈1，有)(1x f ≥ef 1)1(-=-，即e x f 1)(min 1-=.又已知存在[]2,12∈x ,使得)(1x f ≥)(2x g ,所以e 1-≥[]2,1),(22∈x x g ，即存在[]2,1∈x ，使得42)(2+-=bx x x g ≤e1-，即b 2≥x e x 14-++.因为[]2,1∈x 时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡++∈++-e e x e x 15,21441，所以b 2≥e 214+，即b ≥e412+. 所以实数b 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞+,412e .。

2019江苏高考压轴卷数学

2
1,sin C cos C ，
且 m n.
（ 1）求 sin C 的值；（ 2）若 a2 b2 4 a b 8 ，求边 c 的长度 .
每天练一练
爱拼才会赢
16.如图 4，在四棱锥 P ABCD 中，平面 PAD 平面 ABCD ，AB∥ DC，△ PAD
P 是等边三角形，
已知 BD 2AD 8 ， AB 2DC 4 5 ．
n , n || ,
m, 则 n || m ；②若 m , n ， m∥ ,n∥；④若 m ,
, m∥ n ，则 n∥ .其中正确的命题
序号为
7.若圆 ( x 3)2 ( y 5) 2 r 2上有且只有两个点到直线 l : 4 x 3 y 2 的距离等于 1，则半径 r 的取值范
b1
x
x
x 的不等式 cx 2
bx
a
1 0 的解集为 ( ,1) .
2
1 c 0 的解集为 ( ,1) ，即关于
2
参考上述解法：若关于
x 的不等式 b xa
b
x b 0 的解集为
.
xa xc
xb xc
0 的解集为
( 1,
1 )
3
( 1 ,1) ，则关于 x 的不等式 2
13.2014 年第二届夏季青年奥林匹克运动会将在中国南京举行，为了迎接这一盛会，某公司计划推出系列
F 公路图5
F1M F2N 0 ．
y
EH
M
F1
O
F2
x
19.已知函数 f ( x) a x x 2 x ln a(a 0, a 1).
N
（图 6）
（ 1）求曲线 y f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程；

2019届北京市高考压轴卷数学(理)Word版含解析

2019届北京市高考压轴卷数学（理）第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知全集U=R ，A={x|x 2﹣4x+3≤0}，B={x|log 3x ≥1}，则A ∩B=（）A ．{3}B ．{x|＜x ≤1}C ．{x|x ＜1}D ．{x|0＜x ＜1}2. 已知数列{a n }为等差数列，且满足a 1+a 5=90．若（1﹣x ）m 展开式中x 2项的系数等于数列{a n }的第三项，则m 的值为（）A ．6B ．8C ．9D ．103已知单位向量，，满足，则与夹角的余弦值为（）A ．B ．C ．D ．4.设x R ∈，则“x>21”是“0122>-+x x ”的A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A ．B ．C ．D ．46.已知函数，曲线上存在两个不同点，使得曲线在这两点处的切线都与轴垂直，则实数的取值范围是A. B. C. D.7. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosC=，a=1，c=2，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．8. 已知函数，若m＜n，且f（m）=f（n），则n﹣m的取值范围是（）A．[3﹣2ln2，2）B．[3﹣2ln2，2] C．[e﹣1，2] D．[e﹣1，2）第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题（共6个小题，每题5分，共30分）9. 若目标函数z=kx+2y在约束条件下仅在点（1，1）处取得最小值，则实数k的取值范围是． 10若按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数M的值是．11采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落入区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷B的人数为．12. 直线（t为参数）与圆C：（x+6）2+y2=25交于A，B两点，且，则直线l的斜率为．13. 已知直线l：y=k（x﹣2）与抛物线C：y2=8x交于A，B两点，F为抛物线C的焦点，若|AF|=3|BF|，则直线l的倾斜角为．14.若函数,,则不等式的解集是______.三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）15.（本小题满分13分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c＝asin C－ccos A.(1)求A； (2)若a＝2，△ABC的面积为，求b，c.16. （本小题满分13分）某学校为了解高三年级学生寒假期间的学习情况，抽取甲、乙两班，调查这两个班的学生在寒假期间每天平均学习的时间（单位：小时），统计结果绘成频率分别直方图（如图）．已知甲、乙两班学生人数相同，甲班学生每天平均学习时间在区间[2，4]的有8人．（Ⅰ）求直方图中a 的值及甲班学生每天平均学习时间在区间[10，12]的人数；（Ⅱ）从甲、乙两个班每天平均学习时间大于10个小时的学生中任取4人参加测试，设4人中甲班学生的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．17.（本小题满分13分）如图，四棱锥中P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，AB//CD ，60,2,DAB AB AD CD ∠===侧面PAD ⊥ABCD 底面，且PAD 为等腰直角三角形，90APD ∠=.（Ⅰ）求证：;AD PB ⊥（Ⅱ）求平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值.18.（本小题满分13分）已知函数()()2=-33x f x x x e +的定义域为[]-2t ，，设()-2=f m ，()f t n =. （Ⅰ）试确定t 的取值范围，使得函数()f x 在[]-2t ，上为单调函数；（Ⅱ）求证：m n <；（Ⅲ）若不等式()()()72ln 1x f x x k x x k e+->-为正整数对任意正实数恒成立，求的最大值，并证明14ln .9x <（解答过程可参考使用以下数据ln7 1.95ln8 2.08≈≈，）19.(本题满分14分)已知椭圆E：的离心率为，其右焦点为F（1，0）．（1）求椭圆E的方程；（2）若P、Q、M、N四点都在椭圆E上，已知与共线，与共线，且=0，求四边形PMQN 的面积的最小值和最大值．20.（本小题满分 14 分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣2（n∈N*）．（1）求{a n}的通项公式；（2）设，b1=8，T n是数列{b n}的前n项和，求正整数k，使得对任意n∈N*均有T k≥T n恒成立；（3）设，R n是数列{c n}的前n项和，若对任意n∈N*均有R n＜λ恒成立，求λ的最小值．2019届北京市高考压轴卷数学（理）答案1A【分析】求出A，B中不等式的解集，找出A与B的交集即可．【解答】解：A={x|x2﹣4x+3≤0}={x|1≤x≤3}，B={x|log3x≥1}={x|x≥3}，则A∩B={3}，故选：A2D【分析】利用等差数列的性质，求出a3=45，利用（1﹣x）m展开式中x2项的系数等于数列{a n}的第三项，可得=45，即可求出m．【解答】解：数列{a n}为等差数列，且满足a1+a5=2a3=90，∴a3=45，∵（1﹣x）m展开式中x2项的系数等于数列{a n}的第三项，∴=45，∴m=10，故选D．3D【分析】设单位向量，的夹角为θ，根据，得•（+2）=0，代入数据求出cosθ的值．【解答】解：设单位向量，的夹角为θ，∵，∴•（+2）=+2=0，即12+2×1×1×cosθ=0，解得cosθ=﹣，∴与夹角的余弦值为﹣．故选：D．4.A 5B【解答】解：如图所示，由三视图可知该几何体为：四棱锥P﹣ABCD．连接BD．其体积V=V B﹣PAD+V B﹣PCD==．故选：B．6D【解析】本题主要考查导数与导数的几何意义，考查了存在问题与逻辑思维能力.,因为曲线上存在两个不同点，使得曲线在这两点处的切线都与轴垂直，所以有两个不同的解，令,,由得x>2，由得x<2,所以当x=2时，函数取得极小值，所以a>7A【解答】解：由题意cosC=，a=1，c=2，那么：sinC=，cosC==，解得b=2．由，可得sinB=，那么△ABC的面积=故选A8A【解答】解：作出函数f（x）的图象如图：若m＜n，且f（m）=f（n），则当ln（x+1）=1时，得x+1=e，即x=e﹣1，则满足0＜n≤e﹣1，﹣2＜m≤0，则ln（n+1）=m+1，即m=2ln（n+1）﹣2，则n﹣m=n+2﹣2ln（n+1），设h（n）=n+2﹣2ln（n+1），0＜n≤e﹣1则h′（n）=1﹣==，当h′（x）＞0得1＜n≤e﹣1，当h′（x）＜0得0＜n＜1，即当n=1时，函数h（n）取得最小值h（1）=1+2﹣2ln2=3﹣2ln2，当n=0时，h（0）=2﹣2ln1=2，当n=e﹣1时，h（e﹣1）=e﹣1+2﹣2ln（e﹣1+1）=1+e﹣2=e﹣1＜2，则3﹣2ln2≤h（n）＜2，即n﹣m的取值范围是[3﹣2ln2，2），故选：A9. 【Ks5u答案】（﹣4，2）【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，确定目标取最优解的条件，即可求出k的取值范围．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，由z=kx+2y得y=﹣x+，要使目标函数z=kx+2y仅在点B（1，1）处取得最小值，则阴影部分区域在直线z=kx+2y的右上方，∴目标函数的斜率﹣大于x+y=2的斜率且小于直线2x﹣y=1的斜率即﹣1＜﹣＜2，解得﹣4＜k＜2，即实数k的取值范围为（﹣4，2），故答案为：（﹣4，2）．10.6【解答】解：由图知运算规则是对S=2S+1，执行程序框图，可得A=1，S=1满足条件A＜M，第1次进入循环体S=2×1+1=3，满足条件A＜M，第2次进入循环体S=2×3+1=7，满足条件A＜M，第3次进入循环体S=2×7+1=15，满足条件A＜M，第4次进入循环体S=2×15+1=31，满足条件A＜M，第5次进入循环体S=2×31+1=63，由于A的初值为1，每进入1次循环体其值增大1，第5次进入循环体后A=5；所以判断框中的整数M的值应为6，这样可保证循环体只能运行5次．故答案为：6．11.10【分析】由题意可得抽到的号码构成以9为首项、以30为公差的等差数列，求得此等差数列的通项公式为a n=9+（n﹣1）30=30n﹣21，由451≤30n﹣21≤750 求得正整数n的个数，即为所求．【解答】解：由960÷32=30，故由题意可得抽到的号码构成以9为首项、以30为公差的等差数列，且此等差数列的通项公式为a n=9+（n﹣1）30=30n﹣21．由 451≤30n﹣21≤750 解得 15.7≤n≤25.7．再由n为正整数可得 16≤n≤25，且 n∈z，故做问卷B的人数为10，故答案为：10．12.±【分析】直线（t为参数）与圆C：（x+6）2+y2=25联立，可得t2+12tcosα+11=0，|AB|=|t1﹣t2|=⇒（t1+t2）2﹣4t1t2=10，即可得出结论．【解答】解：直线（t为参数）与圆C：（x+6）2+y2=25联立，可得t2+12tcosα+11=0．t1+t2=﹣12cosα，t1t2=11．∴|AB|=|t1﹣t2|=⇒（t1+t2）2﹣4t1t2=10，⇒cos2α=，tanα=±，∴直线AB的斜率为±．故答案为±．13.或【分析】设A，B两点的抛物线的准线上的射影分别为E，F，过B作AE的垂线BC，在三角形ABC中，∠BAC 等于直线AB的倾斜角，其正切值即为K值，在直角三角形ABC中，得出直线AB的斜率．【解答】解：如图，设A，B两点的抛物线的准线上的射影分别为E，F′，过B作AE的垂线BC，在三角形ABC中，∠BAC等于直线AB的倾斜角，其正切值即为K值，设|BF|=n，∵|AF|=3|BF|，∴|AF|=3n，根据抛物线的定义得：|AE|=3n，|BF′|=n，∴|AC|=2n，在直角三角形ABC中，tan∠BAC==，∴k AB=k AF=．∴直线l的倾斜角为．根据对称性，直线l的倾斜角为，满足题意．故答案为或．14. 【Ks5u答案】(1,2)15. 【Ks5u答案】(1)由c＝3a sin C－c cos A及正弦定理，得3sin A sin C －cos A ·sin C －sin C ＝0，由于sin C ≠0，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝12，又0<A <π，所以－π6<A －π6<5π6，故A ＝π3. (2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4. 而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8，解得b ＝c ＝2. 由于sin C ≠0，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝12，又0<A <π，所以－π6<A －π6<5π6，故A ＝π3. (2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4. 而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8，解得b ＝c ＝2.16.解：（1）由直方图知，（0.150+0.125+0.100+0.0875+a ）×2=1，解得a=0.0375，因为甲班学习时间在区间[2，4]的有8人，所以甲班的学生人数为．所以甲、乙两班人数均为40人，所以甲班学习时间在区间[10，12]的人数为40×0.0375×2=3（人）．（2）乙班学习时间在区间[10，12]的人数为40×0.05×2=4（人）．由（1）知甲班学习时间在区间[10，12]的人数为3人．在两班中学习时间大于10小时的同学共7人，ξ的所有可能取值为0，1，2，3.，，，．所以随机变量ξ的分布列为：．17. 解：（Ⅰ）取AD 的中点G ，连结PG GB BD 、、．PA PD =，PG AD ∴⊥……………………………2分AB AD =，且60DAB ∠=︒，ABD ∴∆是正三角形，AD BG ⊥,又PG BG G =,AD ∴⊥平面PGB ．AD PB ∴⊥． ……………………………5分（Ⅱ） ∵侧面PAD ⊥底面ABCD ，又PG AD ⊥，PG ∴⊥底面ABCD ．PG BG ∴⊥．∴直线GA GB GP 、、两两互相垂直，故以G 为原点,直线GA GB GP 、、所在直线为x 轴、y 轴和z 轴建立如图所示的空间直角坐标系G xyz -．设PG a =，则可求得(0,0,),(,0,0),P a Aa ,0)B ，(,0,0)D a -，)0,23,23(a a C -．…………………………………………………7分3(,,0)2BC a ∴=-．,)PB a ∴=- 设000(,,)n x y z =是平面PBC 的法向量，则0n BC ⋅=且0n PB ⋅=．000030,20.ax az ⎧--=⎪∴⎨-=0000,.x y z ⎧=⎪⇒⎨⎪=⎩取0y =(1,3,3)n =-． …………………………………………9分又平面PAD 的法向量1,0)n GB ==，设平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角为θ,则11cos 131n nn n θ⋅===+⋅, 所以平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值为13．……………………13分 18. 解：（Ⅰ）因为x x x e x x e x e x x x f ⋅-=⋅-+⋅+-=')1()32()33()(2 ………………1分令()0f x '>，得：1x >或0x <；令()0f x '<，得：01x <<所以()f x 在(,0),(1,)-∞+∞上递增，在(0,1)上递减………………………………3分要使()f x 在[2,]t -为单调函数，则20t -<≤所以t 的取值范围为(2,0]- …………………………………………………4分（Ⅱ）证：因为()f x 在(,0),(1,)-∞+∞上递增，在(0,1)上递减，所以()f x 在1x =处取得极小值e 又213(2)f e e-=<，所以()f x 在[2,)-+∞的最小值为(2)f -………………………6分从而当2t >-时，)()2(t f f <-，即m n < ………………………………………8分（Ⅲ）()72(ln 1)x f x x k x x e+->-等价于241(ln 1)x x k x x ++>- 即14ln 0k x k x x+++->………………………………………9分记1()4ln k g x x k x x+=++-，则221(1)(1)()1k k x x k g x x x x ++--'=--=，由()0g x '=，得1x k =+，所以()g x 在(0,1)k +上单调递减，在(1,)k ++∞上单调递增，所以()(1)6ln(1)g x g k k k ≥+=+-+()0g x >对任意正实数x 恒成立，等价于6ln(1)0k k +-+>，即61ln(1)0k k+-+>………………………………11分记6()1ln(1)h k k k=+-+，则261()01h x x x =--<+，所以()h x 在(0,)+∞上单调递减，又(6)2ln 70h =->，13(7)ln807h =-<，所以k 的最大值为6………………………………………12分当6k =时，由2416(ln 1)x x x x ++>-令3x =，则14ln 39<………………………………………13分19解：（1）由椭圆的离心率公式可知：e==，由c=1，则a=，b 2=a 2﹣c 2=1，故椭圆方程为；…（4分）（2）如图，由条件知MN 和PQ 是椭圆的两条弦，相交于焦点F （1，0），且PQ ⊥MN ，设直线PQ 的斜率为k （k ≠0），则PQ 的方程为y=k （x ﹣1），P （x 1，y 1），Q （x 1，y 1），则，整理得：（1+2k 2）x 2﹣4k 2x+2k 2﹣2=0，x 1+x 1=，x 1x 2=，则丨PQ 丨=•，于是，…（7分）同理：．则S=丨PQ 丨丨MN 丨=，令t=k 2+，T ≥2，S=丨PQ 丨丨MN 丨==2（1﹣），当k=±1时，t=2，S=，且S 是以t 为自变量的增函数，当k=±1时，四边形PMQN 的面积取最小值．当直线PQ 的斜率为0或不存在时，四边形PMQN 的面积为2．综上：四边形PMQN 的面积的最小值和最大值分别为和2．20.解：（1）由S n=2a n﹣2，得S n+1=2a n+1﹣2两式相减，得a n+1=2a n+1﹣2a n ∴a n+1=2a n数列{a n}为等比数列，公比q=2又S1=2a1﹣2，得a1=2a1﹣2，a1=2∴（2），方法一当n≤5时，≥0因此，T1＜T2＜T3＜T4=T5＞T6＞…∴对任意n∈N*均有T4=T5≥T n，故k=4或5．方法二（两式相减，得，=（6﹣n）•2n+1﹣12，，当1≤n＜4，T n+1＞T n，当n=4，T4=T5，当n＞4时，T n+1＜T n，综上，当且仅当k=4或5时，均有T k≥T n（3）∵∴=∵对任意n∈N*均有成立，∴，所以λ的最小值为．。

2019年高三数学选填题压轴精选

高三选填题压轴训练（一）1.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则它的体积为（） A ．48 B ．16 C ．32 D ．165【答案】B 【解析】试题分析：直观图如下图所示，由图可知这是一个四棱锥，底面积为20485⋅=，高为AH ，设()2,4A ,BC 所在直线方程为12,2402y x x y =-++-=，带到直线的距离为65AH =，所以体积为16851635⋅⋅=.2.如图，已知平面l =⊥βαβα ,，B A 、是直线l 上的两点，D C 、是平面β内的两点，且6,6,3,,===⊥⊥CB AB AD l CB l DA .P 是平面α上的一动点，且直线PC PD ,与平面α所成角相等，则二面角D BC P --的余弦值的最小值是（） A ．51B ．21C ．23D ．1 【答案】C 【解析】试题分析：因为βα⊥⊥,AB AD ,所以而建立空间坐标系，以B 为原点，BC 为y 轴正向，BA 为x 轴负方向，过点B 且垂直于l 在平面β内向上的轴为z 轴正方向，则)036()060(),000(),006(，，，，，，，，--D C B A ,设点),0,(z x P ，),6,(),,3,6(z x PC z x PD --=---=直线PC PD ,与平面α所成角相等，则CABH16)8(6)(3)6(222222=++⇒+-=+--z x z x z x 即点P 的轨迹为圆。

由题可知二面角D BC P --即PBA ∠,由点P 坐标可知PBA ∠为锐角，令)sin 40,8cos 4(θθ，-P ，则32tan 232tan 212cos 2sin 22cos 23sin cos 2sin 4cos 48cot 2≥+=-=-=-=∠θθθθθθθθθPBA ，即6π≤∠PBA ，所以23cos ≥∠PBA ，故本题的正确选项为C. 3. 三棱锥P ABC -中，15,6,AB BC AC PC ===⊥平面ABC ，2PC =，则该三棱锥的处接球表面积为（） A ．253π B ．252π C ．833π D ．832π 【答案】D.【解析】试题分析：由题刻可知，ABC ∆中AC 边上的高为21536-=，球心O 在底面ABC 的投影即为ABC ∆的外心，设DA DB DC x ===，∴22253(6)64x x x =+-⇒=， ∴外接球的半径227583()1288PC R x =+=+=，∴外接球的表面积28342S R ππ==，故选D ． 4. 已知函数ln(2)()x f x x=，关于x 的不等式2()()0f x af x +>只有两个整数解，则实数a 的取值范围是（） A ．1,ln 23⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．1ln 2,ln 63⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C ．1ln 2,ln 63⎛⎤-- ⎥⎝⎦ D ．1ln 6,ln 23⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】C.【解析】试题分析：2212ln(2)1ln(2)2'()x x x x f x x x ⋅⋅--==，∴()f x 在(0,)2e上单调递增，(,)2e +∞上单调递减，∴2()()2nax e f x f e==，又∵1()02f =，122e<<，不等式2()()0f x af x +>只有两个整数解，∴(1)1(2)ln 2ln 63(3)a f a f a a f -<⎧⎪-<⇒-<≤-⎨⎪-≥⎩，即实数a 的取值范围是1(ln 2,ln 6]3--故选C ．5. 函数2()(3)xf x x e =-，当m 在R 上变化时，设关于x 的方程2212()()0f x mf x e--=的不同实数解的个数为n ，则n 的所有可能的值为（） A ．3 B ．1或3 C ．3或5 D ．1或3或5 【答案】A 【解析】试题分析：因为22480m e ∆=+>,所以由方程2212()()0f x mf x e --=可得1()f x t =或2()f x t =，且122120t t e =-<,不妨设10t <则221120t e t =->，又因为22()2(3)(23)(1)(3)x x x x f x xe x e x x e x x e '=+-=+-=-+，由()0f x '=得3x =-或1x =，当3x <-时，()0f x '>，函数()f x 在区间(,3)-∞-上单调递增，且()0f x >，当31x -<<时，()0f x '<，所以函数()f x 在区间(3,1)-上单调递减，当1x >时，()0f x '>，所以函数()f x 在区间(1,)+∞上单调递增，且32612()(3),()(1)2,()(),f x f f x f e f x f x e e =-===-⋅=-极大值极小值极大值极小值当12t e <-时，2360t e <<，此时，由图象可知1()f x t =无解，2()f x t =有三个解;当12t e =-时，236t e=，此时，由图象可知1()f x t =有一个解，2()f x t =有两个解，即方程共有三个解；当120e t -<<时，236t e >，此时，由图象可知1()f x t =有两个解，2()f x t =有一个解，方程有三个不同的解，综上所述，关于x 的方程2212()()0f x mf x e--=共有三个不同的解. 6.如图, 在ABC ∆中,3sin,223ABC AB ∠==, 点D 在线段AC 上, 且432,3AD DC BD ==,则cos C = ．【答案】79【解析】试题分析：22212144||||cos ABC 33999BD BA BC BD BA BC BA BC =+⇒=++⋅∠,因为21cos 12sin ,23ABC ABC ∠∠=-=所以216448||||339927BC BC BC =++⇒=，负舍；因而2221||232239||33AC AC =+-⨯⨯⨯=⇒=，故22223+327cos .239C -==⨯7. 在中，角所对的边分别为.若，且，则的最大值是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】[来源:]试题分析：由得，又，由，得，所以，，所以当时，取得最大值，且为.8.已知关于x的函数222sin()4()2costx x xf xx xπ++=+的最大值为a，最小值为b，若2a b+=，则实数t的值为_________.【答案】1【解析】试题分析：函数222sin()4()2costx x xf xx xπ+++=+xxxxxttxcos2cos22sin222222++⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=()()xxxxttxxxxtxxtcos2sincos2sincos2222+++=++++=令()xxxxtxgcos2sin2++=，则()xxxxtxgcos2sin2++-=-，设()x g的最大值为M，最小值为N，则0=+NM，即有aMt=+，bNt=+，222==++=+tNMtba，解得1=t．故答案为：1．9.已知O为坐标原点，双曲线222:1(0)xC y aa-=>上有一点P，过点P作双曲线C的两条渐近线的平行线，与两渐近线的交点分别为,A B，若平行四边形OAPB的面积为1，则双曲线C的离心率为（）A B C．2 D．2【答案】D.【解析】试题分析：渐近线方程是：0x ay±=，设(,)P m n是双曲线上任一ABC∆CBA,,cba,,AbAa sincos=2π>BCA sinsin+289187AbAa sincos=BA sincos=)2sin(cosπ+=AA2π>B BA=+2π89)41(sin2sin21sin)22sin(sin)sin(sinsinsin22+--=-+=++=++=+AAAAABAACAπ)1,0(sin∈A41sin=A CA sinsin+89点，设过P 平行于0x ay +=的直线为l ，则l 的方程为：0x ay m an +--=，l 与渐近线0x ay -=交点为A ，则A （2m an +，2m an a+），||OA =| 2m an+| ，P 点到OA 的距离是：d =||1OA d ⋅=，∴|2m an+|•1=，∵2221m n a -=，∴2a =，∴c =2e =，故选D. 10. ,αβ是两平面，,AB CD 是两条线段，已知EF αβ=，AB α⊥于B ，CD α⊥于D ，若增加一个条件，就能得出BD EF ⊥，现有下列条件：①AC β⊥；②AC 与,αβ所成的角相等；③AC 与CD 在β内的射影在同一条直线上；④//AC EF .其中能成为增加条件的序号是 .【答案】①③.【解析】试题分析：由题意得，//AB CD ，∴A ，B ，C ，D 四点共面，①：∵AC β⊥，EF β⊂，∴AC EF ⊥，又∵AB α⊥，EF α⊂，∴AB EF ⊥，∵ABAC A =，∴EF ⊥面ABCD ，又∵BD ⊂面ABCD ，∴BD EF ⊥，故①正确；②：由①可知，若BD EF ⊥成立，则有EF ⊥面ABCD ，则有EF AC ⊥成立，而AC 与α，β所成角相等是无法得到EF AC ⊥的，故②错误；③：由AC 与CD 在β内的射影在同一条直线上可知面EF AC ⊥，由①可知③正确；④：仿照②的分析过程可知④错误，故填：①③．高三选填题压轴训练（二）1. 过点的直线交椭圆于两点，为椭圆的左焦点，当周长最大时，直线的方程为．【答案】【解析】试题分析：设右焦点为，则，，所以，显然，当且仅当共线时等号成立．所以当直线过点时，的周长取最大值8，此时直线方程为，即．2. 曲线与有两条公切线，则的取值范围为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】试题分析：设是的切点，是的切点，，，则直线切线为，，即，，由题意这两条直线重合，因此，消法得，由题意此方程有两个不等实根，记，则，时，，，因此，所以，解得0,1M l 22143x yC ：,A B 1F 1ABF l 10xy 2(1,0)F124AF AF =-124BF BF =-11AF BF AB ++=228()AB AF BF =+-+22AF BF AB +≥2,,A B F l 2F 1ABF ∆1y x =-+10x y +-=20f x ax a ln g x x a 10,e 10,2e 1,+e 1,+2e11(,)P x y ()f x 22(,)Q x y ()g x '()2f x ax =1'()g x x=1112()y y ax x x -=-2221()y y x x x -=-2112y ax x ax =-2211ln y x x x =-+12212121ln ax xax x⎧=⎪⎨⎪=-⎩1x 2221ln 104x ax +-=21()ln 14h x x ax =+-2331121'()22ax h x ax x ax -=-+=0x <<'()0h x <x >'()0h x >x =min 1()2h x h ==-+min 1()ln 2h x h ==-+0<．故选D ． 3.在中, 内角所对的边分别是,有如下列命题： ①若,则； ②若,则为等边三角形； ③若,则为等腰三角形；④若,则为钝角三角形； ⑤存在使得成立. 其中正确的命题为．(写出所有正确命题的序号).【答案】①②④【解析】试题分析：若,则；若,则，同理可得，所以为等边三角形；若,则，因此为等腰或直角三角形；若,则，因此,为钝角三角形；斜在中, 恒成立，因此正确的命题为①②④4.动点P 为椭圆()222210x y a b a b +=>>上异于椭圆顶点()()A ,0,0a B a -、的一点，12,F F 为椭圆的两个焦点，动圆M 与线段112F P F F 、的延长线及线段2PF 相切，则圆心M的轨迹为除去坐标轴上的点的（）A ．抛物线B ．椭圆C ．双曲线的右支D ．一条直线【答案】D 【解析】试题分析：如图,设切点分别为G DE ,,,由切线长相等可得PE PD FG FD G F E F ===,,//,故由椭圆定义可得a DF E F 2/=+,即a GF E F 2/=+,也即a GF G F 2/=+,故点G 与点A 重合,所以点M 的横坐标是a x =,即点M 的轨迹是一条直线,应选D.12a e>ABC ∆,,A B C ,,a b c A B C >>sin sin sin A B C >>cos cos cos A B Ca b c==ABC ∆sin 2sin 2A B =ABC ∆()()1tan 1tan 2A B ++=ABC ∆,,A B C tan tan tan tan tan tan A B C A B C <++A B C >>sin sin sin a b c A B C >>⇒>>cos cos cos A B Ca b c==cos cos sin()0sin sin A BA B A B a b A B=⇒-=⇒=⇒=a c =ABC ∆sin 2sin 2A B =222+2A B A B π==或ABC ∆()()1tan 1tan 2A B ++=tan tan 1tan tan A B A B +=-3tan()14A B C π+=⇒=ABC ∆ABC ∆tan tan tan tan tan tan A B C A B C =++5.设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且2*112,,1nn nS a a n N S +=-=-∈+，则n S =__________．【答案】223n -【解析】试题分析：因nn n n n S S S S a +-=-=++1211,故2121n n n n n n S S S S S S -=+--⋅++,即011=+-⋅++n n n n S S S S ,也即1111=-+nn S S ,所以数列}1{n S 是首项为21-,公差为1的等差数列,故1211-+-=n S n ,所以322-=n S n ,应填223n -. 6.已知两条直线：和与函数的图像从左到右相交于点,与函数的图像从左到右相交于点记线段在______.【答案】是函数图象上两点的横坐标,则,设是函数图象上两点的横坐标,则,则，，1l y m =218:(0),21l y m l m =>+2log y x =,A B 2L 2log y x =,,C D AC BD 和bx a轴的投影长度分别为a,b.当m 变化时，的最小值为B A x x ,B A ,mB m A x x 2,21==D C x x ,D C ,1281282,21++==m D m C x x 8218821112222mm m m m a AC ++-==-=⋅82122m m b BD +==-所以,因,故,所以.7.若一个四棱锥底面为正方形, 顶点在底面的射影为正方形的中心, 且该四棱锥的体积为9,当其外接球的体积最小时, 它的高为（）A ．3B ．22C ．23D ．33 【答案】A 【解析】试题分析：设四棱锥底面正方形边长为a ，四棱锥高为h ，外接球半径为R ，则222219,(h R)32a ha R ==-+，所以2227272,224h hR h R h h =+=+，因为3127=0322R h h '=-⇒=，所以3h =时R 取唯一一个极小值，也是最小值，即外接球的体积最小，因此选A.8.若函数（）在区间内有两个零点，则的取值范围是___________．【答案】【解析】试题分析：设二次函数的零点为和，且，则：，，，，故答案为. 9.如图，平面四边形中，，则的面积为_____________．【答案】【解析】试题分析：在中，由正弦定理得：，在中，由余弦定理得：128128222+++=⋅=m m m m ab 0>m 27212221128)12(21128=-⨯≥-+++=++m m m m 2822213=⋅≥a b 2()f x x bx c =++b c R ∈、(0,1)2(1)b c c ++10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭()2f x x bx c =++1x 2x 1201x x <<<()1200f c x x ==>()11f b c=++()()121110x x b c =--=++>()()201f f c bc c =++()()121211x x x x =--2211221112216x x x x +-+-⎛⎫⎛⎫<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()210116c c b ∴<++<10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭ABCD 005,22,3,30,120AB AD CD CBD BCD ===∠=∠=ADC ∆S 33+BCD ∆33sin 3sin 2CD BD BCD CBD =∠=⨯=∠ABD ∆，所以．因为，所以．因为．所以．故答案为. 10.已知函数，若方程有且只有三个不同的实数根，且三个根成等差数列，则满足条件的实数有（）个.A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】C 【解析】试题分析：方程,即有三个不同的实数根,即两函数图象有三个交点.如图,的项点在上,而与的交点为；所以当时,有两根,为和,因为三个根成等差数列,所以第三根为,解方程组与,得；当时,有根,设另两根为，则点,,连线斜率为,解得,则可得方程为,与联立解得；当时,方程只有一根,不符合题意.则满足条件的有个,故本题答案选C.)()22222222352cos 222223AD BD ABADB AD BD +-+-∠===⨯⨯045ADB ∠=0030,120CBD BCD ∠=∠=030CDB ∠=()0062sin sin 4530ADC +∠=+=116233sin 2232242S AD CD ADC ++=∠=⨯⨯⨯=332+2()||,f x x a a a R x=--+∈()1f x =a ()1f x =2||1x a a x--+=()()2g 1,h ||x x x a a x=+=-+()h ||x x a a =-+y x =y x =()21g x x=+()()2,2,1,1--1a ≤-()1f x =1-24-2||1x a a x --+=4x =-74a =-12a -<<()1f x =22,22d d --22,12A d d ⎛⎫-+ ⎪-⎝⎭222,122B d d ⎛⎫-+ ⎪-⎝⎭AB 1-35d -=AB 155y x ⎛⎫+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭y x =351a +=2a >2高三选填题压轴训练（三）1.在四边形ABCD 中，0180,2,3,1A C AB CD BC AD ∠+∠=====，则四边形ABCD 的面积为_________．【答案】23【解析】试题分析：连结BD ，在ABD 中，222254BD AB AD AB ADcosA cosA =+⋅=--，在BCD 中22221312BD BC CD BC CDcosC cosC =+⋅=--．，541312cosA cosC ∴-=-，11802A C cosA cosC cosA +=︒∴=-∴=-，．．3sinA sinC ∴==．∴四边形ABCD 面积112 3.22ABD BCDS SSAB AD sinA BC CD sinC =+=⨯⨯+⨯⨯=故答案为23． 2.已知定义在上的可导函数的导函数，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】试题分析：设，则∴函数是上的减函数，∵函数是偶函数，∴函数 ∴函数关于对称，∴ 原不等式等价为 ∴不等式等价即∵是上的减函数， ∴．∴不等式式的解集为．选D3.已知1F 、2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且123F PF π∠=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( ) A ．433B ．233C ．3D ．2R ()f x ()'f x ()()'f x f x <()2f x +()41f =()xf x e <()2,-+∞()4,+∞()1,+∞()0,+∞()xf xg x e =（）()()()()2()x x x xe f x e f x f x f x g x e e'-'-'==（）＝，()()'0g f x x f x （）＜．∴'<g x （）R ()2f x +()()22f x f x -+=+2x =01f f （）（4），==1g x （）＜，()xf x e <1g x （）＜，0g x g （）＜（），g x （）R 0x ＞()xf x e <()0,+∞【答案】A 【解析】试题分析：设椭圆的长半轴为a ，双曲线的实半轴为()11,a a a ＞，半焦距为c ，由椭圆和双曲线的定义可知，设112212|2|PF r PF r F F c ===，，，，椭圆和双曲线的离心率分别为12e e ，12,3F PF π∠=∴由余弦定理可得2221212432c r r r r cosπ=+-（）（），① 在椭圆中，①化简为即2212443c a r r =-，即122213114r r c e -＝，② 在双曲线中，①化简为即221244c a r r +=，即12222114r r c e +＝-，③ 联立②③得，2212114e e +=，由柯西不等式得2221212111131133e e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++≥⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即（2124311e e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤⨯4，即1211164333e e +≤=，当且仅当1233e e ＝，＝时取等号，故选A 4.已知函数()()2x f x x ax b e =++，当1b <时，函数()f x 在()(),2,1,-∞-+∞上均为增函数，则2a ba +-的取值范围是( ) A ．22,3⎛⎤- ⎥⎝⎦B ．1,23⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．2,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．1,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】试题分析：由()22x f x x a x a b e '=++++（）（），函数()f x 在()(),2,1,-∞-+∞上均为增函数，220x a x a b ∴++++>（）恒成立，()()4220023012,0a ab a b a b a a b ⎧-+++≥-+≥++≥+⎧⎪∴⎨⎨⎩⎪⎩+++≥ 设2a bz a +=-，则12b z a z =--（），又设12y z x z =--（），，则,x y 满足线性约束条件02301x y x y y -+≥++≥<⎧⎪⎨⎪⎩，画出可行域如图所示，由图象可知在点11B --（，）取最大值为23z =，在点11A （，）取最小值2z =-.则2a b a +-的取值范围是22,3⎛⎤- ⎥⎝⎦，5.若三角形三边长都是整数且至少有一个内角为3π，则称该三角形为“完美三角形”．有关“完美三角形”有以下命题：（1）存在直角三角形是“完美三角形” （2）不存在面积是整数的“完美三角形”（3）周长为12的“完美三角形”中面积最大为43；（4）若两个“完美三角形”有两边对应相等，且它们面积相等，则这两个“完美三角形”全等．以上真命题有______．（写出所有真命题的序号）．【答案】（3）（4）．【解析】试题分析：：（1）若Rt ABC 中，9060C A =︒=︒，则三边之比为：132：：，因此不存在直角三角形是“完美三角形，因此（1）是假命题；（2）由13234S absin ab π==，若面积是整数，则存在正整数x ，使得4ab x =，由于,a b 都为整数，此式不成立，因此不存在面积都是整数的“完美三角形”，（2）是假命题；（3）设3C π=，则2221223a b c c a b abcosπ++==+-，，可得22212a b a b ab --=+-（），化为216)480(ab ab -+≥，解得04ab ≤＜，即016ab ≤＜，当且仅当4a b ==时取等号，可得周长为12的“完美三角”中面积最大为13164322⨯⨯=，是真命题；（4）设13C C π== ，①若夹角3π的两条边分别相等，满足条件，则此两个三角形全等；②若夹角3π其中一条边相等，由于面积相等，夹角3π另一条边必然相等，可得：此两个三角形全等．因此是真命题．以上真命题有（3）（4）．故答案为：（3）（4）．6.如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱BC 的中点，F 是侧面11BCC B 上的动点，且1//A F 平面1AD E ，则1A F 与平面11BCC B 所成角的正切值t 构成的集合是（） A ．223{|5}5t t ≤≤ B ．{|223}t t ≤≤ C ．2{|523}5t t ≤≤ D ．{|222}t t ≤≤ 【答案】D 【解析】试题分析：建立如图所示的空间直角坐标系,则),1,(),0,1,21(),1,0,0(),0,0,1(1n m F E D A ,所以)1,1,1(),0,1,21(),1,0,1(11--=-=-=n m F A AE AD ,设平面E AD 1的法向量为),,(z y x n =,则由题设⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅001AE n n AD ,即⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-0210y x z x ,令2=x ,则)2,1,2(=n ,所以由//1F A 平面E AD 1,则01=⋅F A n ,即0)1(21)1(2=-++-n m ,也即23=+n m ,所以1)1()1(||221+-+-=n m F A .因平面11BCC B 的法向量为)0,1,0(=n ,故1A F 与平面11BCC B 所成角θ的正弦值1)1()1(1||||sin 2211+-+-=⋅⋅=n m F A n F A n θ,正切值)210(45321)1()1(1tan 222<≤+--+-==m m m n m t θ,令45322+-=m m u ,则21,81max min ==u u ,所以22tan 2≤≤θ,即222≤≤t ,所以应选D7.在长方体中，、分别是棱、上的动点，如图, 当的长度取得最小值时，二面角的余弦值的取值范围为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B ，则，，则平面的法向量为，设平面的法向量为，当时，二面角的为直二面角，此时二面角的余弦值为，当时，由，则，即ABCD -1111A B C D 12,AB BC AA P ==Q CD 1CC 1BQ QD +11B PQ D --10,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦100,10⎡⎤⎢⎥⎣⎦110,510⎡⎤⎢⎥⎣⎦10,110⎡⎤⎢⎥⎣⎦20≤≤t ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,2,01QB ()1,2,21--=t P B 1PDQ ()0,0,1=m PQ B 1()z y x n ,,=2=t 11D PQ B --11D PQ B --020≤≤t 1100n B Q n B P ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩()⎪⎩⎪⎨⎧=+-+-=+-0220212z y t x x FED 1B 1C 1A 1BCD AOzyx，令，则，即，设面角的余弦值，则，因为，所以为减函数，则当时，函数取得最大值，故二面角的余弦值的取值范围为 8.定义一：对于一个函数()()f x x D ∈，若存在两条距离为d 的直线1y kx m =+和2y kx m =+，使得x D ∈时，12()kx m f x kx m +≤≤+恒成立，则称函数()f x 在D 内有一个宽度为d 的通道.定义二：若一个函数()f x 对于任意给定的正数ε，都存在一个实数0x ，使得函数()f x 在0[,)x +∞内有一个宽度为ε的通道，则称()f x 在正无穷处有永恒通道. 下列函数①()ln f x x =；②sin ()x f x x=；③()f x =2()f x x =；⑤()x f x e -=. 其中在正无穷处有永恒通道的函数序号是 .【答案】②③⑤【解析】试题分析：①()ln f x x =，随着x 的增大，函数值也在增大，无渐近线，故不存在一个实数0x ，使得函数()x f 在[)+∞,0x 内有一个宽度为ε的通道，故()x f 在正无穷处无永恒通道；②sin ()xf x x=，随着x 的增大，函数值趋近于0，对于任意给定的正数ε，都存在一个实数0x ，使得函数()x f 在[)+∞,0x 内有一个宽度为ε的通道，故()x f 在正无穷处有永恒通道；③()f x x 的增大，函数值也在增大，有两条渐近线x y ±=，对于任意给定的正数ε，都存在一个实数0x ，使得函数()x f 在[)+∞,0x 内有一个宽度为ε的通道，故()x f 在正无穷处有永恒通道；④2()f x x =，随着x 的增大，函数值也在增大，无渐近线，故不存在一个实数0x ，使得函数()x f 在⎪⎩⎪⎨⎧-==x t y x z 22222=x 4,22=-=z t y ⎪⎭⎫⎝⎛-=4,22,2t 11D PQ B --θcos ()()2224182241622cos t t -+=-++==θ20≤≤t ()224182cos t-+=θ0=t 10102182cos =+=θ11D PQ B --⎥⎦⎤⎢⎣⎡10100，[)+∞,0x 内有一个宽度为ɛ的通道，故()x f 在正无穷处无永恒通道；⑤()x f x e -=，随着x 的增大，函数值趋近于0，趋近于x 轴，对于任意给定的正数ε，都存在一个实数0x ，使得函数()x f 在[)+∞,0x 内有一个宽度为ε的通道，故()x f 在正无穷处有永恒通道．故答案为：②③⑤. 9.设抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，弦中点在准线上的射影为，则的最大值为__________.【答案】【解析】试题分析：过分别作，分别为垂足，则,由抛物线定义知,又在中，,令则，，，当且仅当时取等号. 10.在AOB ∆中，已知2,1,45OB AB AOB ==∠=︒,若OP OA OB λμ=+,且22λμ+=, 则OA 在OP 上的投影的取值范围是．【答案】,12⎛⎤- ⎥ ⎝⎦【解析】试题分析：由余弦定理得212OAcos451OA OA =+-⇒=, 1222OP OA OB OP OA OB OA OB λλλμμμ=+==⋅+=⋅+，即P 在直线1A B 上,1A B OB ⊥,当OA 与OP 同向时，OA 在OP 上的投影最大，为1；当1A B 与OP 反向时，OA 在OP 上的投影最小（取不到）；从而投影的取值范围是22(0)ypx p =>F,A B 0120AFB ∠=AB M l 1M 1MM AB33B A ,l BB l AA ⊥⊥11,11,B A ()11121BB AA MM +=()BF AF MM +=211ABF ∆22202cos120AB AF BF AF BF =+-22AF BF AF BF =++⋅.,n BF m AF ==()11m n MM AB +===mn n m 222≥+ 3122≤++∴mn n m mn 3312122≤+++∴mnn m mn n m =高三选填题压轴训练（四）1. 已知正实数,x y满足22x y+=，则22x x y++的最小值为（）A．85B．45C．2 D．2223+【答案】A【解析】试题分析：∵正实数,x y满足22x y+=，∴(,)P x y表示线段AB上的点，如图，设原点O关于直线22x y+=的对称点为'(,)O m n，则(2)11002222nmm b-⎧⋅-=-⎪⎪-⎨++⎪⋅+=⎪⎩，解得84'(,)55O，2.已知函数是定义域为的偶函数，当时，，若关于的方程（，），有且仅有6个不同实数根，则实数的取值范围是（）A．B． C.D．【答案】C.【解析】试题分析：如下图所示，将的图象画在平面直角坐标系中，令，分析题意可知关于的方程的两根，或，，若()y f x=R0x≥5sin, 0244()1()1,22xx xf xxπ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩x2[()]()0f x af x b++=a b R∈5(,1)2--59(,)24--599(,)(,1)244----9(,1)4--()f x()f x t=t20t at b++=1514t<<201t<≤1514t<<254t=，：由韦达定理可知；若，：由韦达定理可知，综上实数的取值范围是，故选C ．2.己知，，，且，则的最小值为 . 【答案】.【解析】试题分析：由题意得，，当且仅当时等号成立，∴ ，当且仅当时，等号成立，综上，即所求最小值为．3.已知函数24()(0)1xf x x x x x =--<-，2()2(0)g x x bx x =+->，b R ∈，若()f x 图象上存在A ，B 两个不同的点与()g x 图象上'A ，'B 两点关于轴对称，则b 的取值范围为（）A ．(425,)--+∞B ．(425,)-+∞C ．(425,1)--D ．(425,1)- 【答案】D.【解析】试题分析：设()g x 函数图象上任一点2(,2)x x bx +-，其关于y 轴的对称点为2(,2)x x bx -+-，∴由题意可知方程22242(1)(1)201xx bx x x b x b x x -+-=+-⇒-++-=--在(0,)+∞上1514t <<201t <≤129()(,1)4a t t =-+∈--1514t <<254t =1259()(,)24a t t =-+∈--a 0a >0b >1c >1a b +=212(2)1a c abc +-⋅+-422+222221()2222222222a a a b a ab b a b a bab ab ab b a b a+++++===++≥⋅+=+221221a b a b a b a b ⎧⎧=-=⎪⎪⇒⎨⎨=-⎪⎪⎩+=⎩2122(2)2211a c c abc c +-⋅+≥+=--2222(1)22222(1)2242211c c c c -++≥-⋅+=+--2222(1)112c c c -=⇒=+-422+y有两个不等实根，∴2(1)8(1)010425112(1)b bb bbb⎧⎪∆=++->⎪⎪-<⇒-<<⎨⎪+⎪->-⎪⎩，即实数b的取值范围是(425,1)-，故选D．4.如图，正四面体ABCD的棱CD在平面α上，E为棱BC的中点.当正四面体ABCD绕CD旋转时，直线AE与平面α所成最大角的正弦值为 .【答案】336. 【解析】试题分析：不妨设正四面体棱长为2，取CD中点F，连AF，EF，从而AEF∠即为直线AE与α所成角的最大值，在AEF∆中，3cos6231AEF∠==⋅⋅，∴2333sin1()6AEF∠=-=，故填：336.5．函数xxxf2)(-=，[]2,1∈x，axaxg252cos)(-+=π，)0(≠a，对任意的[]2,11∈x，总存在[]1,02∈x，使得)()(12xfxg=成立，则a的取值范围为．【答案】[]3,4【解析】试题分析：对任意的[]2,11∈x，总存在[]1,02∈x，使得)()(12xfxg=成立等价于()f x的值域是()g x的值域的子集.函数()2f x xx=-在[]1,2上单调递增, ()()()12f f x f∴≤≤,即()11f x-≤≤.cos2xyπ=在[]0,1上单调递减,当0a>时()g x在[]0,1上单调递减,()()()10g g x g∴≤≤即()525a g x a-≤≤-.所以只需5213451aaa-≤-⎧⇒≤≤⎨-≥⎩.当0a <时()g x 在[]0,1上单调递增, ()()()01g g x g ∴≤≤,即()552a g x a -≤≤-, 所以只需52151a a -≥⎧⎨-≤-⎩解得a ∈∅.综上可得34a ≤≤.[来源:]6. 如图, 四棱锥O ABCD -中，AC 垂直平分BD .2,1OB OD ==，则()()OA OCOB OD +-的值是．【答案】3【解析】试题分析:设AC M BD AC ,= 的中点为N ,因OD OB OM +=2,OC OA ON +=2,所以)(22NM ON OM +=,即NM OC OA OD OB 2)(++=+,所以NM OD OB OC OA 2)(-+=+,又因为0=⋅NM DB ,即0)(=⋅-NM OD OB ,所以()()OA OCOB OD +-=314)](2)[(22=-=-=--+OD OB OD OB NM OD OB ,故应填答案3.7.已知斜率为12的直线l 与抛物线22(0)y px p =>交于位于x 轴上方的不同两点A ，B ，记直线OA ，OB 的斜率分别为1k ，2k ，则12k k +的取值范围是．【答案】(2,)+∞. 【解析】试题分析：设直线l ：2x y t =+，联立抛物线方程222(2)420y p y t y py pt =+⇒--=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，216802p pt t p ∆=+>⇒>-，∴124y y p +=，12200y y pt t =->⇒<，即20p t -<<，22212121212(2)(2)42()4(2)24x x y t y t y y t y y t pt t p t t =++=+++=⋅-+⋅+=，1221121212122121212(2)(2)()4484y y y t y y t y t y y y y pt pt p k k x x x x x x t t+++++-+=+====-，∵20p t -<<，∴42pt->，即12k k +的取值范围是(2,)+∞，故填：(2,)+∞. 8.如图，在矩形ABCD 中，2AB =，4AD =，点E 在线段AD 上且3AE =，现分别沿BE ，CE 将ABE ∆，DCE ∆翻折，使得点D 落在线段AE 上，则此时二面角D EC B --的余弦值为（） A ．45 B ．56 C ．67 D ．78【答案】D.【解析】试题分析：如下图所示，在Rt DEC ∆中，过D 作DH CE ⊥于H ，易得5EH =，5DH =，在BEH ∆中， 222222222cos 22BE CE BC BH BE EH BE EH BEH BE EH BE EH BE CE+-=+-⋅⋅∠=+-⋅⋅⋅1641321355521355BH =+-⋅⋅⋅=⇒=⋅⋅，∴2226411355BH EH BE +=+==，∴BE EH ⊥，∴DHB ∠即为二面角D CE B --的平面角，在DHB ∆中，6448755cos 828255DHB +-∠==⋅⋅，故选D. 9.已知ABC ∆中，2,1AB AC ==，当2(0)x y t t +=>时，2||2x AB y AC t +≥恒成立，则ABC ∆的面积为，在前述条件下，对于ABC ∆内一点P ，()PA PB PC ⋅+的最小值是 . 【答案】51,8-.【解析】试题分析：因为222222||244cos xAB y AC x AB y AC xy AB AC x y xy A +=++⋅=++，当cos 0A =时，222||4(2)2xAB y AC x y x y +=+≥+满足题意，所以此时112ABC S AB AC ∆=⨯⨯=；在直角三角形ABC 中，取BC 的中点D ，连接PD ，则2PB PC PD →→→+=，即()2PA PB PC PA PD →→→→→⋅+=⋅，当,,A P D 三点共线时，0PA PD →→⋅<，又此时1522AD BC ==，即有2522228PA PD PA PD PA PD →→→→→→⎛⎫+ ⎪⎪⋅=-≥-⨯=- ⎪⎪⎝⎭，即有最小值为58-，故应填51,8-. 10.若直线4ax by +=与不等式组2580240240x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪++≥⎩表示的平面区域无公共点，则a b +的取值范围是 .【答案】(3,3)-.【解析】试题分析：由已知不等式组可画出其所表示的平面区域图下图所示，并分别联立直线方程组2580240x y x y -+≥⎧⎨+-≤⎩，2580240x y x y -+≥⎧⎨++≥⎩，240240x y x y +-≤⎧⎨++≥⎩并计算得到点,,A B C 的坐标为(1,2),(4,0),(4,4)--要使直线直线4ax by +=与不等式组2580240240x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪++≥⎩表示的平面区域无公共点，则24044010a b a a b +->⎧⎪-->⎨⎪-->⎩或24044010a b a a b +-<⎧⎪--<⎨⎪--<⎩，点(,)a b 所在平面区域如图所示：同理可解得点M(1,2),N(2,1)--.令直线t a b =+，即b a t =-+，当直线b a t =-+过点M 时，t 有最小值为-3；当直线t a b =+过点N 时，t 有最小值为3，所以t a b =+的取值范围是(3,3)-.故应填(3,3)-.高三选填题压轴训练（五）1.已知方程组222x y z yz xμμ-=-⎧⎨=⎩，对此方程组的每一组正实数解{,,,}x y z u ，其中z y ≥，都存在正实数M ，且满足zM y≤，则M 的最大值是 . 【答案】642+【解析】试题分析:因为yz x x z y 42222=≥+=+μμ,所以yz y z 42≥+,令1>=t y z,则242≥-t t ,所以2)2(2≥-t ,即22+≥t ,所以246+≥yz,则246+≤M ,应填642+. 2.如图，在平面四边形ABCD 中，已知,,,E F G H 分别是棱,,,AB BC CD DA 的中点，若22||||1EG HF -=，设||,||,||,||1AD x BC y AB z CD ====，则228x yz ++的最大值是 . 【答案】12【解析】试题分析:由题设可得))((1)()(cos ))((2)()(1cos 22222222222y n x m mn y n x m z n m y n x m y n x m mn n m z ++=-+++-+⇒⎪⎩⎪⎨⎧++-+++=-+=θθ,运用基本不等式可得式))((12222222y n x m mn mx ny xy mn z n m ++≥-+++-+,从而求得82≤z ;同理可得42≥+y x ,所以228x y z ++的最大值是2184=,故应填12.[来源:]3.如图，在等腰梯形ABCD 中，2AB =，4CD =，5BC =，点E ，F 分别为AD ，BC 的中点．如果对于常数λ，在ABCD 的四条边上，有且只有8个不同的点P 使得λ=⋅PF PE 成立，那么实数λ的取值范围为 ▲ ．【答案】（920-，14-）【解析】试题分析：由题意得，四条边上各存在两点.先建立直角坐标系：以CD 中点为坐标原点，CD 所在直线为x 轴，则EFA BDP第14题图33(1,2),(1,2),(2,0),(2,0),E(,1),F(,1),BC:y 2x 422A B C D ---=-+，根据对称性只需研究点P在,,AB BC CD 情况：当点P 在AB 上，(,2),(11)P x x -<<，233551(,1)(,1)x (,)22444x x λ=---⋅--=-∈--满足存在两点;当点P 在CD 上，(,0),(22)P x x -<<，2335511(,1)(,1)x (,)22444x x λ=--⋅-=-∈-满足存在两点;当点P 在BC上，(,42),(12)P x x x -<<，2332791(,23)(,2x 3)5x 12(,)224204x x x x λ=---⋅--=-+∈--满足存在两点;三种情况的交集为实数λ的取值范围为91(,)204-- 4.在平面直角坐标系xOy 中，圆()221:12C x y -+=，()()2221:C x m y m m -++=，若圆2C 上存在点P 满足：过点P 向圆1C 作两条切线,,PA PB 切点为,A B ，ABP ∆的面积为1，则正数m 的取值范围是 .【答案】1,3⎡+⎣【解析】试题分析：设()P x y ，，设PA ，PB 的夹角为2θ． △ABP 的面积S=22111sin 212PA PA PA PC θ==32212PC PA ==+，解得PA =12PC =，所以点P 在圆22(1)4x y -+=上．所以22m m -+，解得13m +≤≤ 5.已知经过点3(1,)2P 的两个圆12,C C 都与直线11:2l y x =，2:2l y x =相切，则这两圆的圆心距12C C 等于 .【答案】954【解析】试题分析：设12(,),(,)C a b C c d，则22a b =⇒=，因为过点3(1,)2P ，所以0a b =>，同理0c d =>26592504a a =-+=，同理26592504c c -+=，即,a c 为方程26592504x x -+=两个根，12|9C C a c =-==6.在平面直角坐标系xOy 中，设点(1 0)A ，，(0 1)B ，，( )C a b ，，( )D c d ，，若不等式2(2)()()CD m OC OD m OC OB OD OA -⋅+⋅⋅⋅≥对任意实数a b c d ，，，都成立，则实数m 的最大值是 ▲ ．【答案】51-【解析】试题分析：由题意得22()()(2)()a c b d m ac bd mbc -+--++≥，2222++()a c b d m ac bd bc +++≥2222()+(+)a mc a c b d mbd mbc -+--≥0对任意实数a 都成立，因此2222()4(+)mc c b d mbd mbc ∆=-+--≤0，即2222444()()d mbd c b mbc mc -++--≥0对任意实数d 都成立，即222221(4)44(444)mb c b mbc m c ∆=-⨯+--≥0，22222(4)44m b mbc c m c -+-+≤0对任意实数b 都成立，即222222240,(4)(4)(4)m mc m c m c -<∆=---+≤0，4212160,m m -+≥2625m ≤-，即1551m -≤≤-，实数m 的最大值是51-7.若存在，使得，则实数的取值范围是 ▲ ．【答案】【解析】试题分析：令，当时，．当时，由得，故，即存在，使得成立，利用导数知识可得为上的单调增函数，所以，为上的单调减函数，所以，从而8.已知函数2+1, 1,()(), 1,a x x f x x a x ⎧-⎪=⎨->⎪⎩≤ 函数()2()g x f x =- ，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则实数a 的取值范围是 ▲ ．【答案】23a <≤【解析】试题分析：由题意当()()y f x g x =-[]2()10f x =-=时，即方程()1f x =有4个解. 又由函数1y a x =-+与函数2()y x a =-的大致形状可知，直线1y =与函数2+1, 1,()(), 1,a x x f x x a x ⎧-⎪=⎨->⎪⎩≤的左右两支曲线都有两个交点，,R αβ∈3cos cos 25cos t t αββααβ⎧=+⎪⎨⎪≤≤-⎩t 213⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，[]cos 11s β=∈-，0s =0t =[)10s ∈-，32t s s α=+322t s s α-=3322225t s t s t s s s---≤≤[)10s ∈-，33222252s t s s st s ⎧⎪-⎨+⎪-⎩≥，≤32()2s p s s=-[)10-，()3min2223s s=--3225()2s s q s s +=-[)10-，()32max2512s s s+=-213t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，如下图示. 那么，有2(1)1,(1)1,(1)1,a f f ->->⎧⎪⎨⎪⎩≤即20,1,21,a a a a ><>-⎧⎪⎨⎪⎩或≤解得23a <≤.9.对任意的实数,m n ，当10n m a <<<，恒有aa n m>成立，则实数a 的最小值为▲ ．【答案】1【解析】试题分析：1110n m a a n m<<<⇒>>，ln lnm11a a n n m a a n m>⇒>--，即函数ln ()x f x x a-=-在(,)a +∞上为增函数，2ln 1()0()a x x f x x a +-'=≥-，也即max [(1lnx)]a x ≥-，令(1ln )y x x =-，则ln 01y x x '=-=⇒=，即max 1y =，从而1a ≥，因此实数a 的最小值为1.10.定义在R 上的函数()f x 满足()()1121f f x '=<，且，当[]0,2x π∈时，不等式()212cos 2cos 22x f x <-的解集为_____________. 【答案】50,,233πππ⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦【解析】试题分析：设()()()()11,''022g x f x x g x f x =-=-<，()()111122g f =-=不等式()212cos 2cos22x f x <-可化为()()()12cos cos ,2cos 12f x xg x g -<<即所以()g x 单调递减，2cos 1x >，即1cos 2x >，50,,233x πππ⎡⎫⎛⎤∴∈⎪⎢⎥⎣⎭⎝⎦.高三选填题压轴训练（六）1.设1F 、2F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，P 是双曲线右支上一点，满足()220OP OF PF +⋅=（O 为坐标原点），且1234PF PF =，则双曲线的离心率为．【答案】5【解析】试题分析：由于点P 在双曲线的右支上，则由双曲线的定义可得12||2PF PF a -=，12124863PF PF PF a PF a =∴==，，，222222200OP OF PF OP OF OF OP OP OF +⋅=∴+⋅-=∴=（），（）（），，则12PF F ∆中，21||OP OF OF ==，则1290FPF ∠=︒，由勾股定理得2221212||||||PF PF F F +=，即有22264364a a c +=，55c a e ∴=∴=，．2. 已知()f x 为偶函数，当0x ≥时，()(24),(0)f x m x x m =-+->，若函数[]()4y f f x m =-恰有4个零点，则实数m 的取值范围是（）A ．155(0,)(,)462 B ．155(0,)(,)642 C ．155(0,)(,)442 D ．155(0,)(,)662【答案】D 【解析】试题分析：设(),(0)f x t t =>，则[()]40y f f x m =-=，即()4f t m =，则(24)4m t t m -+-=，则244t t -+-=，得5t =或1t =，若1t =，则()(24)1f x m x x =-+-=，即124x x m-+-=，若5t =，则()(24)5f x m x x =-+-=，即524x x m-+-=，设()24(0)g x x x x =-+-≥，因为函数()f x 是偶函数，所以要使得[]()4y f f x m=-恰有4个零点，则等价为当0x ≥时，函数[]()4y f f x m =-恰有2个零点，作出()g x 在[0,)+∞上的图象如图，①112552556222m m m m ⎧⎧<>⎪⎪⎪⎪⇒⇒<<⎨⎨⎪<<<⎪⎩，②。

2019年全国卷Ⅰ高考压轴卷数学理科Word版含解析

2019全国卷Ⅰ高考压轴卷数学理科一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合402x A x x ⎧-⎫=∈≥⎨⎬+⎩⎭Z，1244x B x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，则A B =I （） A ．{}12 x x -≤≤B ．{}1,0,1,2- C ．{}2,1,0,1,2-- D ．{}0,1,22．已知a 是实数，i1ia +-是纯虚数，则a 等于（） A．B ．1- CD ．13．“0a ≤”是“函数()|(1)|f x ax x =-在区间(0,)+∞内单调递增”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点到渐近线的距离等于实轴长，则此双曲线的离心率为（）ABCD5．若221m n >>，则（） A ．11m n> B ．1122log log m n >C ．()ln 0m n ->D ．1m n -π>6．已知平面向量a ，b，满足(=a ，3=b ，()2⊥-a a b ，则-=a b （） A ．2B ．3C ．4D ．67．执行右边的程序框图，输出的2018ln =S ,则m 的值为（） A ．2017 B ．2018 C ．2019D ．20208．据统计，连续熬夜48小时诱发心脏病的概率为0055．，连续熬夜72小时诱发心脏病的概率为019．，现有一人已连续熬夜48小时未诱发心脏病，则他还能继续连续熬夜24小时不诱发心脏病的概率为（）A ．67B ．335C ．1135D ．019．9．已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．163π+ B ．112π+ C ．1123π+ D ．143π+ 10．将()2sin22cos21f x x x =+的图像向左平移π4个单位，再向下平移1个单位，得到函数()y g x =的图像，则下列关于函数()y g x =的说法错误的是（）A ．函数()y g x =的最小正周期是πB ．函数()y g x =的一条对称轴是π8x = C ．函数()y g x =的一个零点是3π8D ．函数()y g x =在区间5π,128π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减11．焦点为F 的抛物线2:8C y x =的准线与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，则当MA MF取得最大值时，直线M A 的方程为（）A ．2y x =+或2y x =--B ．2y x =+C ．22y x =+或22y x =-+D ．22y x =-+12．定义在R 上的函数()f x 满足()()22f x f x +=，且当[]2,4x ∈时，()224,232,34x x x f x x x x⎧-+≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩，()1g x ax =+，对[]12,0x ∀∈-，[]22,1x ∃∈-使得()()21g x f x =，则实数a 的取值范围为（）A ．11,,88⎛⎫⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭UB ．11,00,48⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦UC ．(]0,8D ．11,,48⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎪⎝⎦⎡⎫⎢⎣⎭U二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知1sin )1lg()(2++-+=x x x x f 若21)(=αf 则=-)(αf 14．在()311nx x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，各项系数之和为256，则x 项的系数是__________．15.知变量x ，y 满足条件236y xx y y x ≤+≥≥-⎧⎪⎨⎪⎩，则目标函数223x y z x y-=+的最大值为16．如图，在ABC △中，3sin23ABC ∠=，点D 在线段AC 上，且2AD DC =，433BD =，则ABC △的面积的最大值为__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知公差不为零的等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足：113a b ==，24b a =，且1a ，4a ，13a 成等比数列．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）令nn na cb =，求数列{}n c 的前n 项和n S ． 18．（本小题满分12分）某市举行“中学生诗词大赛”，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于90分的具有复赛资格，某校有800名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间(]30,150内，其频率分布直方图如图．（1）求获得复赛资格的人数；（2）从初赛得分在区间(]110,150的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人参加学校座谈交流，那么从得分在区间(]110,130与(]130,150各抽取多少人？（3）从（2）抽取的7人中，选出3人参加全市座谈交流，设X 表示得分在区间(]130,150中参加全市座谈交流的人数，求X 的分布列及数学期望()E X ．19．（本小题满分12分）如图，底面ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，//AF DE ，3DE AF =，BE 与平面ABCD 所成角为60︒．（1）求证：AC ⊥平面BDE ；（2）求二面角F BE D --的余弦值．20．（本小题满分12分）过抛物线22(0)x py p =>的焦点F 的直线与抛物线在第一象限的交点为A ，与抛物线准线的交点为B ，点A 在抛物线准线上的射影为C ，若AF FB =u u u r u u u r，ABC △的面积为83（1）求抛物线的标准方程；（2）过焦点F 的直线与抛物线交于M ，N 两点，抛物线在M ，N 点处的切线分别为1l ，2l ，且1l 与2l 相交于P 点，1l 与x 轴交于Q 点，求证：2FQ l ∥．21．（本小题满分12分）设函数()(2ln 1f x x x x =-++．（1）探究函数()f x 的单调性；（2）若0x ≥时，恒有()3f x ax ≤，试求a 的取值范围；请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22.(本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，圆C 的普通方程为2246120x y x y +--+=．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为πsin 4ρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（1）写出圆C 的参数方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设直线l 与x 轴和y 轴的交点分别为A ，B ，P 为圆C 上的任意一点，求PA PB ⋅u u u r u u u r的取值范围．23．（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】设函数()21f x x =-．（1）设()()15f x f x ++<的解集为A ，求集合A ；（2）已知m 为（1）中集合A 中的最大整数，且a b c m ++=（其中a ，b ，c 为正实数），求证：1118a b ca b c---⋅⋅≥．2019全国卷Ⅰ高考压轴卷数学理科答案解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】B【解析】集合{}{}40241,0,1,2,3,42x A x x x x ⎧-⎫=∈≥=∈-<≤=-⎨⎬+⎩⎭ZZ ，{}14224B x x x x ⎧⎫=≤≤=-≤≤⎨⎬⎩⎭，则{}1,0,1,2A B =-I ，故选B ．2．【答案】D 【解析】i 1ia +-是纯虚数，i 1+(+1)i=1i 2a a a +--，则要求实部为0，即1a =．故选D ． 3．【答案】C ．【解析】当0a =时，()|(1)|||f x ax x x =-=在区间(0,)+∞上单调递增；当0a <时，结合函数2()|(1)|||f x ax x ax x =-=-的图像知函数在(0,)+∞上单调递增，如图1-7(a)所示；当0a >时，结合函数2()|(1)|||f x ax x ax x =-=-的图像知函数在(0,)+∞上先增后减再增，不符合条件，如图1-7(b)所示.所以要使函数()|(1)|f x ax x =-在(0,)+∞上单调递增，只需0a ≥，即“0a ≥”是“函数()|(1)|f x ax x =-在区间(0,)+∞内单调递增”的充要条件.故选C.4．【答案】C【解析】由题意可设双曲线C 的右焦点(),0F c ，渐进线的方程为by x a=±，可得2d b a ===，可得c =，可得离心率ce a==C ． 5．【答案】D【解析】因为221m n >>，所以由指数函数的单调性可得0m n >>，因为0m n >>，所以可排除选项A ，B ； 32m =，1n =时，可排除选项C ，由指数函数的性质可判断1m n -π>正确，故选D ． 6．【答案】B【解析】由题意可得：2==a ，且：()20⋅-=a a b ，即220-⋅=a a b ，420-⋅=a b ，2⋅=a b ，由平面向量模的计算公式可得：3-==a b ．故选B ．7．【答案】B【解析】第一次循环，2,2ln ==i S 第二次循环，3,3ln ln 2ln 12ln 3232==+=+=⎰i x dx xS 第三次循环，4,4ln ln 2ln 13ln 4343==+=+=⎰i x dx xS 第四次循环，5,5ln ln 4ln 14ln 5454==+=+=⎰i x dx xS ……推理可得m=2018，故选B ．8．【答案】A【解析】设事件A 为48h 发病，事件B 为72h 发病，由题意可知：()0055P A =．，()019P B =．，则()0945P A =．，()081P B =．，由条件概率公式可得：()()()()()0816|09457P AB P B P B A P A P A ====．．．故选A ． 9．【答案】C【解析】观察三视图可知，几何体是一个圆锥的14与三棱锥的组合体，其中圆锥的底面半径为1，高为1．三棱锥的底面是两直角边分别为1，2的直角三角形，高为1．则几何体的体积21111π1π111213432123V =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+．故本题答案选C ．10．【答案】D【解析】由题意可知：()2sin22cos212sin 4π21f x x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，图像向左平移π4个单位，再向下平移1个单位的函数解析式为： ()ππ2sin 2112sin 244π4g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．则函数()g x 的最小正周期为2ππ2T ==，A 选项说法正确；当π8x =时，22ππ4x +=，函数()y g x =的一条对称轴是π8x =，B 选项说法正确；当3π8x =时，2π4πx +=，函数()y g x =的一个零点是3π8，C 选项说法正确；若5π,128πx ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则5π3π2,4122πx ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，函数()y g x =在区间5π,128π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不单调，D 选项说法错误；故选D ． 11．【答案】A 【解析】过M 作M P 与准线垂直，垂足为P ，则11cos cos MA MA MFMPAMP MAF ===∠∠，则当MA MF取得最大值时，M AF ∠必须取得最大值，此时直线AM 与抛物线相切，可设切线方程为()2y k x =+与28y x =联立，消去y 得28160ky y k -+=，所以264640k ∆=-=，得1k =±．则直线方程为2y x =+或2y x =--．故本题答案选A ．12．【答案】D【解析】因为()f x 在[]2,3上单调递减，在(]3,4上单调递增，所以()f x 在[]2,3上的值域是[]3,4，在(]3,4上的值域是119,32⎛⎤ ⎥⎝⎦，所以函数()f x 在[]2,4上的值域是93,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，因为()()22f x f x +=，所以()()()112424f x f x f x =+=+，所以()f x 在[]2,0-上的值域是39,48⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当0a >时，()g x 为增函数，()g x 在[]2,1-上的值域为[]21,1a a -++，所以3214918a a ≥-+≤+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得18a ≥；当0a <时，()g x 为减函数，()g x 在[]2,1-上的值域为[]1,21a a +-+，所以3149218a a ≥+⎧⎪≤+⎨-⎪⎪⎪⎩，解得14a ≤-，当0a =时，()g x 为常函数，值域为{}1，不符合题意，综上，a 的范围是11,,48⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U ，故选D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】23【解析】解析：因为1sin )1lg()(2++-+=x x x x f 的定义域为R,关于原点对称，21sin )1lg(1sin )1lg()()(22=+-++++++-+=-+）（x x x x x x f f αα故221)(=+-αf 则=-)(αf 2314．【答案】7【解析】令1x =可得各项系数和：()31112561n⎛+⨯+= ⎝，据此可得：7n =，73x x ⎛+ ⎝展开式的通项公式为：()721732177C C r r rr r r T xx x --+==，令72102r -=可得：6r =，令72112r -=可得：407r =，不是整数解，据此可得：x 项的系数是67C 7=． 15.3【解析】作出236y x x y y x ≤+≥≥-⎧⎪⎨⎪⎩，表示的可行域，如图变形目标函数，()()()2222223,1,32cos 31x y x y z x yx y θ-⋅-===++-⋅+，其中θ为向量()3,1=-a 与(),x y =b 的夹角，由图可知，()2,0=b 时θ有最小值6π， (),x y =b 在直线y x =上时，θ有最大值56412π+=ππ，即5612θπ≤≤π，5612θπ≤≤π，目标函数223x y z x y-=+3C ．16．【答案】32【解析】由3sin2ABC ∠6cos 2ABC ∠=，则22sin 2sin cos 223ABC ABC ABC ∠∠∠==．由32sin22ABC ∠=<可知：452ABC ∠<︒，则90ABC ∠<︒，由同角三角函数基本关系可知：1cos 3ABC ∠=．设AB x =，BC y =，()30,0,0AC z x y z =>>>，在ABD △中由余弦定理可得：()22162cos z x BDA +-∠=，在CBD △中由余弦定理可得：2216cos z y BDC +-∠=由于180BDA BDC ∠+∠=︒，故cos cos BDA BDC ∠=-∠，()222216162z x z y +-+-=22216620z x y +--=．①在ABC △中，由余弦定理可知：()2221233x y xy z +-⨯=，则：2222246339z x y xy =+-，代入①式整理计算可得：2214416339x y xy ++=，由均值不等式的结论可得：4161699xy xy ≥=，故9xy ≤，当且仅当x =y =时等号成立，据此可知ABC △面积的最大值为：()max max 11sin 922S AB BC ABC =⨯⨯⨯∠=⨯=三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）【答案】（1）()32121n a n n =+-=+，3n n b =；（2）223n nn S +=-．【解析】（1）设{}n a 的公差为d ，则由已知得21134a a a =，即()()2331233d d +=+，解之得：2d =或0d =（舍），所以()32121n a n n =+-=+；因为249b a ==，所以{}n b 的公比3q =，所以3n n b =．（2）由（1）可知213n nn c +=，所以23357213333n n n S +=++++．．．，21572133333n n n S -+=++++．．．，所以12111211112121243323234133333313n n n n n n n n n S --⎛⎫⋅- ⎪+++⎛⎫⎝⎭=++++-=+-=- ⎪⎝⎭-．．．，所以223n nn S +=-． 18.（本小题满分12分）【答案】（1）520人；（2）5人，2人；（3）()67E X =．【解析】（1）由题意知[)90,110之间的频率为：()1200.00250.0050.007520.01250.3-⨯++⨯+=，()0.30.01250.0050200.65++⨯=，获得参赛资格的人数为8000.65520⨯=人．（2）在区间(]110,130与(]130,150，0.0125:0.00505:2=，在区间(]110,150的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人，分在区间(]110,130与(]130,150各抽取5人，2人．结果是5人，2人．（3）X 的可能取值为0，1，2，则：()305237C C 20C 7P X ===；()215237C C 41C 7P X ===；()125237C C 12C 7P X ===；故X 的分布列为：()20127777E X =⨯+⨯+⨯=． 19．（本小题满分12分）【答案】（1）见解析（2 （1）证明：∵DE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴DE AC ⊥，又∵底面ABCD 是正方形，∴AC BD ⊥．∵BD DE D =I ，∴AC ⊥平面BDE ．（2）解：∵DA ，DC ，DE 两两垂直，∴建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，∵BE 与平面ABCD 所成角为60︒，即60DBE ∠=︒，∴3ED DB=，由3AD =，可知32BD =36DE =6AF = 则(3,0,0)A ，6)F ，(0,0,36)E ，(3,3,0)B ，(0,3,0)C ， ∴(0,6)BF =-u u u r ，(3,0,26)EF =-u u u r ．设平面BEF 的一个法向量为(,,)n x y z =r ，则0,0,n BF n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r 即360,360,y z x z ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩ 令6z =(4,6)n =r ．∵AC ⊥平面BDE ，∴CA u u u r 为平面BDE 的一个法向量，∴(3,3,0)CA =-u u u r ， ∴||13cos ,13||||3226n CA n CA n CA ⋅<>===⋅⨯r u u u r r u u u r r u u u r ． ∵二面角F BE D --为锐角，∴二面角F BE D --的余弦值为1313． 20.（本小题满分12分）【答案】（1）24x y =；（2）证明见解析．【解析】（1）因为AF FB =u u u r u u u r ，所以F 到准线的距离即为三角形ABC △的中位线的长，所以2AC p =，根据抛物线的定义AC AF =，所以24AB AC p ==， ()()224223BC p p -=，1223832ABC S p =⋅⋅=△ 解得2p =，所以抛物线的标准方程为24x y =．（2）易知直线MN 的斜率存在，设直线:1MN y kx =+，设()11,M x y ，()22,N x y联立24 1x y y kx =+⎧⎪⎨⎪⎩=消去y 得2440x kx --=，得124x x =-， 24x y =，'2x y =，设()11,M x y ，()22,N x y ，111:22l y y xx +=，222:22l y y xx +=，()22212212112121121212442,22,12444p p p x x y y x x x x x x x x y x y x x x x ⎛⎫- ⎪-++⎝⎭===+⋅===---，得P 点坐标21,12x x P +⎛⎫- ⎪⎝⎭，由111:22l y y xx +=，得1,02x Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 12QF k x =-，221141222l x k x x -==⋅=-，所以2QF l k k =，即2PQ l ∥． 21.（本小题满分12分）【答案】（1）增函数；（2）1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（3）见解析．【解析】（1）函数()f x 的定义域为R ．由()'10f x =≥，知()f x 是实数集R 上的增函数．（2）令()()(33ln g x f x ax x x ax =-=-+-，则()2131'ax g x --=，令())2131h x ax --，则()()23169169'x a ax a x ax h x ⎡⎤----（i ）当16a ≥时，()'0h x ≤，从而()h x 是[)0,+∞上的减函数，注意到()00h =，则0x ≥时，()0h x ≤，所以()'0g x ≤，进而()g x 是[)0,+∞上的减函数，注意到()00g =，则0x ≥时，()0g x ≤时，即()3f x ax ≤．（ii ）当106a<<时，在⎡⎢⎣上，总有()'0h x>，从而知，当x ⎡∈⎢⎣⎭时，()3f x ax >；（iii ）当0a ≤时，()'0h x >，同理可知()3f x ax >，综上，所求a 的取值范围是1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22.（本小题满分10分）【答案】（1）2cos 3sin x y θθ+=+⎧⎨⎩=，20x y +-=；（2）44PA PB -⋅≤+u u u r u u u r【解析】（1）圆C 的参数方程为2cos 3sin x y θθ+=+⎧⎨⎩=（θ为参数）．直线l 的直角坐标方程为20x y +-=．（2）由直线l 的方程20x y +-=可得点()2,0A ，点()0,2B ．设点(),P x y ，则()()222,,2222412PA PB x y x y x y x y x y ⋅=--⋅--=+--=+-u u u r u u u r ．由（1）知2cos 3sin x y θθ+=+⎧⎨⎩=，则()4sin 2cos 44PA PB θθθϕ⋅=++=++u u u r u u u r ．因为θ∈R ，所以44PA PB -≤⋅≤+u u u r u u u r23．（本小题满分10分）【答案】（1）55|44A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭；（2）见解析．【解析】（1）()()15f x f x ++<即21215x x -++<，当12x <-时，不等式化为12215x x ---<，∴5142x -<<-；当1122x -≤≤时，不等式化为12215x x -++<，不等式恒成立；当12x >时，不等式化为21215x x -++<，∴1524x <<．综上，集合55|44A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭．（2）由（1）知1m =，则1a b c ++=．则1a b c a a -+=≥1b b -≥1c c -≥则1118a b c a b c ---⋅⋅≥=，即8M ≥．。

(全国卷Ⅰ)2019年高考数学压轴卷文(含解析)

a
A. ab ba logba log 1b
a
B. ba ab log 1b logba
a
C. logba ab ba log 1b
a
D. logba ba ab log 1b
a
x… 1
7．
若实数
x
，
y
满足条件
y… 2x
0
y„
，则 z 6
23.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲
已知 a＞b＞c＞d＞0，ad＝bc．
（Ⅰ）证明：a＋d＞b＋c；
（Ⅱ）比较 aabbcddc 与 abbaccdd 的大小．
2019 全国卷Ⅰ高考压轴卷数学文科（一）答案一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
已知函数 f (x)＝ln (mx)－x＋1，g (x)＝(x－1)ex－mx，m＞0．
（Ⅰ）若 f (x)的最大值为 0，求 m 的值；
1
（Ⅱ）求证：g
(x)仅有一个极值点
x0，且
ln 2
(m＋1)＜x0＜m．
请考生在第（22），（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作
答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．
所求的回归方程，预测 x 为何值时，小王销售一辆该型号汽车所获得的利润 z 最大？
（19）（本小题满分 12 分）在四棱锥 P-ABCD 中，△PAD 为等边三角形，底面 ABCD 等腰梯 P 1
形，满足 AB∥CD，AD＝DC＝ AB＝2，且平面 PAD⊥平面 ABCD． 2
（Ⅰ）证明：BD⊥平面 PAD；（Ⅱ）求点 C 到平面 PBD 的距离．（20）（本小题满分 12 分）

2019年上海市高考压轴卷数学试题(解析版)

2019上海高考压轴卷数学一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1.已知A ，B 是椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点，M 是E 上不同于A ，B 的任意一点，若直线AM ，BM 的斜率之积为49-，则E 的离心率为()A. 3B. 3C. 23D. 3【答案】D【解析】【分析】由题意方程可知，(,0),(,0)A a B a -，设00(,)M x y ，利用斜率公式以及直线,AM BM 的斜率之积为49-列式并化简得:2022049y x a =-- ，①,再根据M 在椭圆上可得2202220y b x a a =-- ，②,联立①②可解得. 【详解】由题意方程可知，(,0),(,0)A a B a -，设00(,)M x y ,0000,,AM BM y y k k x a x a∴==+- 则000049y y x a x a ⋅=-+- ,，整理得：2022049y x a =--，① 又2200221x y a b+=，得2222002()b y a x a =-，即2202220y b x a a =--，② 联立①②，得2249b a -=-，即22249a c a -=，解得e =．故选D ．【点睛】本题考查了斜率公式,椭圆的几何性质,属中档题.2.已知R a ∈，则“1a >”是“11a<”（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】A【解析】【分析】 “a＞1”⇒“11a ＜”，“11a ＜”⇒“a＞1或a ＜0”，由此能求出结果．【详解】a∈R ，则“a ＞1”⇒“11a ＜”， “11a ＜”⇒“a＞1或a ＜0”， ∴“a＞1”是“11a＜”的充分非必要条件．故选：A ．【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．3.已知三棱锥S ABC -，ABC △是直角三角形，其斜边8AB =，SC ⊥平面ABC ,6SC =,则三棱锥的外接球的表面积为( )A. 100πB. 68πC. 72πD. 64π 【答案】A【解析】如图所示，直角三角形ABC 的外接圆的圆心为AB 的中点D ，过D 作面ABC 的垂线，球心O 在该垂线上，过O 作球的弦SC 的垂线，垂足为E ，则E 为SC 的中点，球半径R OS =114,3,522CD AB SE SC R ====∴=，棱锥的外接球的表面积为24100R ππ=，故选A. 【方法点睛】本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题.要求外接球的表面积和体积，关键是求出求的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用22224R a b c =++（,,a b c 为三棱的长）；②若SA ⊥面ABC （SA a =），则22244R r a =+（r 为ABC ∆外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径.4.定义：若整数m 满足：1122m x m -<≤+，称m 为离实数x 最近的整数，记作{}x m =．给出函数(){}f x x x =-的四个命题：①函数()f x 的定义域为R ，值域为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭； ②函数()f x 是周期函数，最小正周期为1；③函数()f x 在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数； ④函数()f x 的图象关于直线()2k x k Z =∈对称. 其中所有的正确命题的序号为（）A. ①③B. ②③C. ①②④D. ①②③【答案】B【解析】【分析】①中,根据题意易得11(){}(,]22f x x x =-∈-,故①错误; ②中,由(1)()f x f x +=可知小正周期为1，故②正确, ③中，()f x 在11(,]22-和13(,)22上是增函数, 故命题③正确, ④中,()()f k x f x -≠, 故命题④错误. 【详解】∵①中，显然(){}f x x x =- 的定义域为R,由题意知，11{}{}22x x x -<≤+，则得到(){}f x x x =-11(,]22∈-，故①错误； ②中，由题意知:(1)(1){1}1{}1f x x x x x +=+-+=+--={}()x x f x -=,所以(){}f x x x =-的最小正周期为1，，故②正确；③中，由于11{}{}22x x x -<≤+,则得(){}f x x x =-为分段函数，且在1113,,,2222⎛⎤⎛⎫- ⎪⎥⎝⎦⎝⎭上是增函数，，故命题③正确；④中，由题意得，()(){}(){}()f k x k x k x x x f x -=---=---=-()f x ≠所以函数y =f （x ）的图象关于直线x =2k （k ∈Z ）不对称，故命题④错误；由此可选择②③，故选B .【点睛】本题考查了函数的值域,周期性,对称轴,属难题.二、填空题（本大题共12小题，共60.0分）5.若42021xx =，则x =___ 【答案】1【解析】4221xx =422022,1x x x x -⋅=∴==6.已知双曲线22121x y m m -=++m = ______. 【答案】2或5-【解析】双曲线22121x y m m -=++，当焦点在x 轴时，a 2=m+2，b 2=m+1，可得c 2=a 2+b 2=3+2m ，双曲线22121x y m m -=++的离心率为2，所以327224m m m +=∴=+ 当焦点在y 轴时，a 2=-m-1，b 2=-m-2，可得c 2=a 2+b 2=-3-2m ，所以327514m m m --=∴=--- 故答案为2或-5．点睛：本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力，因为没有指出焦点在哪个轴上，所以讨论两种情况，要抓住双曲线方程的特征得出22,a b ，2c 即可得解7.62(x -的展开式中常数项为______ ．【答案】60【解析】【分析】先求出展开式的通项公式,再令x 的指数为0,解出r ,进而可求出常数项.【详解】62(x 的展开式中的通项公式：366621662()((1)2r r r r r r r r T C C x x ---+==-. 令32r -6=0，解得r =4．∴62(x的展开式中常数项为:4246(1)2C -⨯=60．故答案为60．【点睛】本题考查了二项式定理,属基础题.8.函数2()42x x f x +=- (12)x -≤≤的最小值为______ ．【答案】-4【解析】分析】换元,令2x t =,则1[,4]2t ∈,24y t t =-,再利用二次函数的单调性可求最小值. 【详解】2()(2)42x x f x =-⋅ ,令2x t =, 因为12x -≤≤ ,所以1[,4]2t ∈,则224(2)4y t t t =-=--, y 在1[,2]2t ∈上递减，在[2,4]t ∈上递增，所以当t =2时函数取得最小值-4．故答案为-4．【点睛】本题考查了二次函数在闭区间上的最值,属中档题.9.已知复数z=（1+i ）（1+2i ）,其中i 是虚数单位，则z 的模是__________ 【解析】【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【详解】解：复数z ＝（1+i ）（1+2i ）＝1﹣2+3i ＝﹣1+3i ，∴|z|==．【点睛】对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()a bi c di ++=()()(,,,)ac bd ad bc i a b c d R -++∈．其次要熟悉复数相关概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b(,)a b 、共轭复数为a bi -．【10.若数列{a n }满足a 11=152，11n a +-1na =5（n ∈N *），则a 1=______ ．【答案】12【解析】【分析】根据111n na a +-5=,可得1{}n a 是以5为公差的等差数列,由等差数列的通项公式可得. 【详解】因为111n na a +-5=,所以1{}n a 是以5为公差的等差数列, 所以1115(1)n n a a =+-, 所以111115(111)a a =+-, 所以111115052502a a =-=-=, 所以112a =. 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式,属基础题.11.已知()()()()2211a a x a x f x log x x ⎧+-⎪=⎨≥⎪⎩，＜，是R 上的增函数，则a 的取值范围是______ ．【答案】[2，+∞）【解析】【分析】因为分段函数为R 上的增函数,所以分段函数在两段上也是增函数,且1x < 时的函数值恒小于等于1x ≥ 时的函数值.【详解】首先，y =log a x 在区间[1，+∞）上是增函数且函数(2)2y a x a =+-在区间（-∞，1）上也是增函数∴a ＞1 ①其次在x =1处函数对应的第一个表达式的值要小于或等于第二个表达式的值，即（a +2）-2a ≤log a 1⇒a ≥2 ②联解（1）、（2）得a ≥2．故答案为[2，+∞）．【点睛】本题考查了分段函数的单调性,属中档题.12.已知圆的方程为（x -1）2+（y -1）2=9，P （2，2）是该圆内一点，过点P 的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积是______ ．【答案】【解析】【分析】因为经过P 点的直径是圆的最长弦，且最短的弦是与该直径垂直的弦,根据垂径定理可求得最短弦长,由此可求得四边形的面积.【详解】∵圆的方程为（x -1）2+（y -1）2=9，∴圆心坐标为M （1，1），半径r =3．∵P （2，2）是该圆内一点，∴经过P 点的直径是圆的最长弦，且最短的弦是与该直径垂直的弦．结合题意，得AC 是经过P 点的直径，BD 是与AC 垂直的弦．∵|PM =∴由垂径定理，得|BD ．因此，四边形ABCD 的面积是S =12|AC |•|BD |=12．故答案【点睛】本题考查了圆中的垂径定理,属中档题.13.口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中一次随机摸出2个球，则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为________．【答案】23【解析】从袋中一次随机摸出2个球,共有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4) 6种基本事件，其中摸出的2个球的编号之和大于4的事件为 (1,4),(2,3),(2,4),(3,4)，四种基本事件数，因此概率为4263=14.已知各项为正数的等比数列{}n a 中，2316a a =，则数列{}2log n a 的前四项和等于_____．【答案】8.【解析】各项为正的等比数列{a n }中，a 2a 3=16，可得a 1a 4=a 2a 3=16，即有log 2a 1+log 2a 2+log 2a 3+log 2a 4=log 2（a 1a 2a 3a 4）=log 2256=8．故答案为：8．点睛：这个题目考查是等比数列的性质和应用；解决等差等比数列的小题时，常见的思路是可以化基本量，解方程；利用等差等比数列的性质解决题目；还有就是如果题目中涉及到的项较多时，可以观察项和项之间的脚码间的关系，也可以通过这个发现规律。

2019年北京市高考数学压轴试卷( 理科)及参考答案

2019年北京市高考数学压轴试卷（理科）副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知（1+bi）i=-1+i，则b的值为（）A. 1B.C. iD.2.下列函数中，值域为R的偶函数是（）A. B. C. D.3.若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A. 0B. 2C. 3D. 44.某程序框图如图所示，执行该程序，若输入的a值为1，则输出的a值为（）A. 1B. 2C. 3D. 55.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是（）A. 27B. 30C. 32D. 366.“ab=4”是直线2x+ay-1=0与直线bx+2y-2=0平行的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7.已知点Q（2，0）及抛物线x2=4y上一动点P（x，y），则y+|PQ|的最小值是（）A. B. 1 C. 2 D. 38.设函数f（x）的定义域D，如果存在正实数m，使得对任意x∈D，都有f（x+m）＞f（x），则称f（x）为D上的“m型增函数”．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=|x-a|-a（a∈R）．若f（x）为R上的“20型增函数”，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.函数y=2sin（2x+）+1的最小正周期是______，最小值是______．10.已知x＞0，y＞0，且=1，若x+y≥m2+m+3恒成立，则实数m的取值范围是______．11.如果平面直角坐标系中的两点A（a-1，a+1），B（a，a）关于直线L对称，那么直线L的方程为______．12.的二项展开式中x项的系数为______．（用数字作答）13.若0＜a＜b＜1，x=a b，y=b a，z=log b a，则x，y，z有小到大排列为______．14.数列{a n}满足：a n-1+a n+1＞2a n（n＞1，n∈N*），给出下述命题：①若数列{a n}满足：a2＞a1，则a n＞a n-1（n＞1，n∈N*）成立；②存在常数c，使得a n＞c（n∈N*）成立；③若p+q＞m+n（其中p，q，m，n∈N*），则a p+a q＞a m+a n；④存在常数d，使得a n＞a1+（n-1）d（n∈N*）都成立．上述命题正确的______．（写出所有正确结论的序号）三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.在△ABC中，已知A=，BC=13．（Ⅰ）求AB的长；（Ⅱ）求BC边上的中线AD的长．16.自由购是通过自助结算方式购物的一种形式．某大型超市为调查顾客使用自由购的情况，随机抽取了100人，统计结果整理如下：20以下70以上使用人数312176420未使用人003143630数（1）现随机抽取1名顾客，试估计该顾客年龄在[30，50）且未使用自由购的概率；（2）从被抽取的年龄在[50，70]使用自由购的顾客中，随机抽取3人进一步了解情况，用X表示这3人中年龄在[50，60）的人数，求随机变量X的分布列及数学期望；（3）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购的顾客赠送1个环保购物袋．若某日该超市预计有5000人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋．17.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BCD=135°，侧面PAB⊥底面ABCD，∠BAP=90°，AB=AC=PA=2，E，F分别为BC，AD的中点，点M在线段PD上．（Ⅰ）求证：EF⊥平面PAC；（Ⅱ）若M为PD的中点，求证：ME∥平面PAB；（Ⅲ）如果直线ME与平面PBC所成的角和直线ME与平面ABCD所成的角相等，求的值．18.已知函数f（x）=xe x-（m≥0）．（Ⅰ）当m=0时，求函数f（x）的极小值；（Ⅱ）当m＞0时，讨论f（x）的单调性；（Ⅲ）若函数f（x）在区间（-∞，1）上有且只有一个零点，求m的取值范围．19.已知圆O：x2+y2=1的切线l与椭圆C：x2+3y2=4相交于A，B两点．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）求证：OA⊥OB；（Ⅲ）求△OAB面积的最大值．20.已知曲线C n的方程为：|x|n+|y|n=1（n∈N*）．（Ⅰ）分别求出n=1，n=2时，曲线C n所围成的图形的面积；（Ⅱ）若S n（n∈N*）表示曲线C n所围成的图形的面积，求证：S n（n∈N*）关于n 是递增的；（Ⅲ）若方程x n+y n=z n（n＞2，n∈N），xyz≠0，没有正整数解，求证：曲线C n （n＞2，n∈N*）上任一点对应的坐标（x，y），x，y不能全是有理数．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵（1+bi）i=-1+i，∴i-b=-1+i，∴b=1，故选：A．利用复数代数形式的乘法运算展开等式右边，由复数相等的条件求出b的值即可．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，是基础题．2.【答案】C【解析】解：y=x2+1是偶函数，值域为：[1，+∞）．y=e x-e-x是奇函数．y=lg|x|是偶函数，值域为：R．的值域：[0，+∞）．故选：C．判断函数的奇偶性然后求解值域，推出结果即可．本题考查函数的奇偶性的判断以及函数的值域，是基础题．3.【答案】D【解析】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z=2x+y为y=-2x+z，由图可知，当直线y=-2x+z过A（2，0）时，直线在y轴上的截距最大，z 有最大值为4．故选：D．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．4.【答案】C【解析】解：模拟执行程序框图，可得a=1i=1a=2×1-1=1，i=2，不满足条件i＞3，a=2×2-1=3，i=3不满足条件i＞3，a=2×3-3=3，i=4满足条件i＞3，退出循环，输出a的值为3．故选：C．由已知中的程序框图及已知中输入a=3，可得：进入循环的条件为i≤3，模拟程序的运行结果，即可得到输出的a值．本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的变法，但程序的循环体中变量比较多时，要用表格法对数据进行管理，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：由三视图可知几何体为四棱锥，作出直观图如图所示，其中底面ABCD是边长为3的正方形，DA⊥平面PAB，AP⊥平面ABCD，AP=4，∴CD⊥平面PAD，PB=PD=5，∴S△ADP ==6，S△ABP==6，S△CDP ==，S△CBP==．∴四棱锥的侧面积S=6+6++=27．故选：A．几何体为侧放的四棱锥，作出直观图，代入数据计算四个侧面的面积．本题考查了棱锥的三视图和结构特征，棱锥的面积计算，属于中档题．6.【答案】B【解析】解：∵两直线平行∴斜率相等．即可得ab=4，又因为不能重合，当a=1，b=4时，满足ab=4，但是重合，故选：B．本题考查线线平行关系公式的利用，注意2条线是否重合本题的易错点就是直线是否重合，考生容易忘记7.【答案】C【解析】解：抛物线x2=4y的准线是y=-1，焦点F（0，1）．设P到准线的距离为d，则y+|PQ|=d-1+|PQ|=|PF|+|PQ|-1≥|FQ|-1=3-1=2（当且仅当F、Q、P共线时取等号）故y+|PQ|的最小值是2．故选：C．抛物线的准线是y=-1，焦点F（0，1）．设P到准线的距离为d，利用抛物线的定义得出：y+|PQ|=d-1+|PQ|=|PF|+|PQ|-1≥|FQ|-1，利用当且仅当F、Q、P共线时取最小值，从而得出故y+|PQ|的最小值．本小题主要考查抛物线的定义、不等式的性质等基础知识，考考查数形结合思想、化归与转化思想，解答关键是合理利用定义，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=|x-a|-a （a∈R），∴f（x）=，∵f（x）为R上的“20型增函数”，∴f（x+20）＞f（x），当x≥0时，|20+x-a|-a＞|x-a|-a，解得a＜10．当x=-10时，由f（-10+20）＞f（-10），即f（10）＞f（-10），得：|10-a|-a＞-|10-a|+a，∴|10-a|＞a，∴10-a＞a或10-a＜-a，解得a＜5，∴实数a的取值范围是a＜5．故选：B．由已知得f（x）=，f（x+20）＞f（x），由此能求出实数a的取值范围．本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意新定义的正确理解．9.【答案】π -1【解析】解：函数y=2sin（2x+）+1的最小正周期是=π，最小值为-2+1=-1，故答案为：π，-1．由条件利用正弦函数的周期性和最小值，得出结论．本题主要考查正弦函数的周期性和最小值，属于基础题．10.【答案】[-3，2]【解析】解：∵x＞0，y＞0，且=1，∴x+y=（x+y）（）=5+≥5+4=9，当且仅当且=1，即x=6，y=3时取得最小值9∵x+y≥m2+m+3恒成立，∴9≥m2+m+3，解不等式可得，-3≤m≤2故答案为：[-3，2]由已知可得，x+y=（x+y）（）=5+，结合基本不等式可求x+y 的最小值，然后由x+y≥m2+m+3恒成立，转化为（x+y）≥m2+m+3，解不等min式可求本题主要考查了基本不等式的在最值求解中的应用及恒成立与最值求解的相互转化思想的应用．11.【答案】x-y+1=0【解析】解：∵kAB==-1，线段AB的中点为，两点A（a-1，a+1），B（a，a）关于直线L对称，∴kL=1，其准线方程为：y-=x-，化为：x-y+1=0．故答案为：x-y+1=0．利用垂直平分线的性质即可得出．本题考查了垂直平分线的性质、中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.【答案】-5【解析】解：的二项展开式的通项公式为Tr+1=•（-1）r•，令=1，求得r=1，可得展开式中x项的系数为-=-5，故答案为：-5．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于1，求出r的值，即可求得展开式中x项的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．13.【答案】x＜y＜z【解析】解：取特殊值，令a=，b=，则x=a b=，y=b a∈（，1），z=logba=log=2，则x＜y＜z，故答案为：x＜y＜z．由分数指数幂的运算及对数的运算得：a=，b=，则a=a b=，y=b a∈（，1），z=logba=log=2，则可得解．本题考查了分数指数幂的运算及对数的运算，属简单题．14.【答案】①④【解析】解：由an-1+an+1＞2an（n＞1，n∈N*），得a n+1-an＞an-an-1（n＞1，n∈N*）或an-1-an＞an-an+1（n＞1，n∈N*）．即数列函数{an}为增函数，且连接相邻两点连线的斜率逐渐增大，或数列函数{an}为减函数，且连接相邻两点连线的斜率逐渐增大．对于①，若a2＞a1，则数列函数{an}为增函数，∴an＞an-1（n＞1，n∈N*）成立，正确；对于②，若数列函数{an}为减函数，则命题错误；对于③，若数列函数{an}为减函数，则命题错误；对于④，∵an =（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1＞（n-1）（a2-a1）+a1；取d=a2-a1，即可说明命题正确．故答案为：①④．由an-1+an+1＞2an（n＞1，n∈N*），得an+1-an＞an-an-1（n＞1，n∈N*）或an-1-an＞an -an+1（n＞1，n∈N*）．然后结合函数的单调性逐一核对四个命题得答案．本题考查数列递推式，考查了数列的函数特性，关键是对题意的理解，是中档题．15.【答案】解：（Ⅰ）由，，所以，由正弦定理得，，即；（Ⅱ）在△ABD中，，由余弦定理得，AD2=AB2+BD2-2AB•BD cosB，所以AD2=，所以．【解析】（Ⅰ）由同角公式和正弦定理，解方程可得AB；（Ⅱ）在△ABD中，运用两角和的余弦公式和余弦定理，计算可得所求值．本题考查三角形的正弦定理、余弦定理的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．16.【答案】解：（1）在随机抽取的100名顾客中，年龄在[30，50）且未使用自由购的共有3+14=17人，所以随机抽取1名顾客，估计该顾客年龄在[30，50）且未使用自由购的概率为．（2）X所有的可能取值为1，2，3，；；．所以X的分布列为X123P所以X的数学期望为．（3）在随机抽取的100名顾客中，使用自由购的共有3+12+17+6+4+2=44人，所以该超市当天至少应准备环保购物袋的个数估计为．【解析】（1）利用古典概型概率个数求解即可．（2）求出X的可能值，求出概率得到分布列，然后求解期望即可．（3）在随机抽取的100名顾客中，使用自由购的共有3+12+17+6+4+2=44人，然后求解即可．本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查转化思想以及计算能力．17.【答案】（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：在平行四边形ABCD中，因为AB=AC，∠BCD=135°，∠ABC=45°．所以AB⊥AC．由E，F分别为BC，AD的中点，得EF∥AB，所以EF⊥AC．…（1分）因为侧面PAB⊥底面ABCD，且∠BAP=90°，所以PA⊥底面ABCD．…（2分）又因为EF⊂底面ABCD，所以PA⊥EF．…（3分）又因为PA∩AC=A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，所以EF⊥平面PAC．…（4分）（Ⅱ）证明：因为M为PD的中点，F分别为AD的中点，所以MF∥PA，又因为MF⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，所以MF∥平面PAB．…（5分）同理，得EF∥平面PAB．又因为MF∩EF=F，MF⊂平面MEF，EF⊂平面MEF，所以平面MEF∥平面PAB．…（7分）又因为ME⊂平面MEF，所以ME∥平面PAB．…（9分）（Ⅲ）解：因为PA⊥底面ABCD，AB⊥AC，所以AP，AB，AC两两垂直，故以AB，AC，AP分别为x轴、y轴和z轴，如上图建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，2），D（-2，2，0），E （1，1，0），所以，，，…（10分）设，则，所以M（-2λ，2λ，2-2λ），，易得平面ABCD的法向量=（0，0，1）．…（11分）设平面PBC的法向量为=（x，y，z），由，，得令x=1，得=（1，1，1）．…（12分）因为直线ME与平面PBC所成的角和此直线与平面ABCD所成的角相等，所以，即，…（13分）所以，解得，或（舍）．…（14分）【解析】（Ⅰ）证明AB⊥AC．EF⊥AC．推出PA⊥底面ABCD，即可说明PA⊥EF，然后证明EF⊥平面PAC．（Ⅱ）证明MF∥PA，然后证明MF∥平面PAB，EF∥平面PAB．即可阿门平面MEF∥平面PAB，从而证明ME∥平面PAB．（Ⅲ）以AB，AC，AP分别为x轴、y轴和z轴，如上图建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，平面ABCD的法向量，平面PBC的法向量，利用直线ME 与平面PBC所成的角和此直线与平面ABCD所成的角相等，列出方程求解即可本题考查直线与平面所成角的求法，直线与平面平行的判定定理以及性质定理的应用，平面与平面平行的判定定理的应用，考查转化思想以及空间想象能力逻辑推理能力的应用．18.【答案】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）当m=0时：f'（x）=（x+1）e x，令f'（x）=0解得x=-1，又因为当x∈（-∞，-1），f'（x）＜0，函数f（x）为减函数；当x∈（-1，+∞），f'（x）＞0，函数f（x）为增函数．所以，f（x）的极小值为．．（Ⅱ）f'（x）=（x+1）（e x-m）．当m＞0时，由f'（x）=0，得x=-1或x=ln m．（ⅰ）若，则．故f（x）在（-∞，+∞）上单调递增；（ⅱ）若，则ln m＞-1．故当f'（x）＞0时，x＜-1或x＞ln m；当f'（x）＜0时，-1＜x＜ln m．所以f（x）在（-∞，-1），（ln m，+∞）单调递增，在（-1，ln m）单调递减．（ⅲ）若，则ln m＜-1．故当f'（x）＞0时，x＜ln m或x＞-1；当f'（x）＜0时，ln m＜x＜-1．所以f（x）在（-∞，ln m），（-1，+∞）单调递增，在（ln m，-1）单调递减．．（Ⅲ）（1）当m=0时，f（x）=xe x，令f（x）=0，得x=0．因为当x＜0时，f（x）＜0，当x＞0时，f（x）＞0，所以此时f（x）在区间（-∞，1）上有且只有一个零点．（2）当m＞0时：（ⅰ）当时，由（Ⅱ）可知f（x）在（-∞，+∞）上单调递增，且，，此时f（x）在区间（-∞，1）上有且只有一个零点．（ⅱ）当时，由（Ⅱ）的单调性结合f（-1）＜0，又f（ln m）＜f（-1）＜0，只需讨论f（1）=e-2m的符号：当时，f（1）＞0，f（x）在区间（-∞，1）上有且只有一个零点；当时，f（1）≤0，函数f（x）在区间（-∞，1）上无零点．（ⅲ）当时，由（Ⅱ）的单调性结合f（-1）＜0，f（1）=e-2m＞0，，此时f（x）在区间（-∞，1）上有且只有一个零点．综上所述，..【解析】（Ⅰ）当m=0时：求出导函数，利用导函数的符号判断函数的单调性，然后求解函数的极值．（Ⅱ）f'（x）=（x+1）（e x-m）．当m＞0时，由f'（x）=0，得x=-1或x=lnm．（ⅰ）若，（ⅱ）若，（ⅲ）若，分别判断导函数的符号，判断函数的单调性即可．（Ⅲ）（1）当m=0时，f（x）=xe x，判断f（x）在区间（-∞，1）上有且只有一个零点．（2）当m＞0时：（ⅰ）当时，（ⅱ）当时，（ⅲ）当时，结合函数的单调性以及函数的极值，判断函数的零点的个数即可．本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的最值的求法，函数的零点与函数的极值的关系，考查分类讨论思想以及转化思想的应用．19.【答案】解：（Ⅰ）由题意可知a2=4，，即有．则．故椭圆C的离心率为；（Ⅱ）证明：若切线l的斜率不存在，则l：x=±1．在中，令x=1得y=±1．不妨设A（1，1），B（1，-1），则．可得OA⊥OB；同理，当l：x=-1时，也有OA⊥OB．若切线l的斜率存在，设l：y=kx+m，依题意，即k2+1=m2．由，得（3k2+1）x2+6kmx+3m2-4=0．显然△＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，．所以．所以=====．所以OA⊥OB．综上所述，总有OA⊥OB成立．（Ⅲ）因为直线AB与圆O相切，则圆O半径即为△OAB的高．当l的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知|AB|=2．则S△OAB=1．当l的斜率存在时，由（Ⅱ）可知，====．所以=，（当且仅当时，等号成立）．所以．此时，．综上所述，当且仅当时，△OAB面积的最大值为．【解析】（Ⅰ）由题意可得椭圆的a，b，c，由离心率公式可得所求值；（Ⅱ）讨论切线的斜率不存在和存在，设出直线方程，联立椭圆方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，化简整理，即可得证；（Ⅲ）因为直线AB与圆O相切，则圆O半径即为△OAB的高．讨论当l的斜=1．当l的斜率存在时，运用弦率不存在时，由（Ⅱ）可知|AB|=2．则S△OAB长公式和点到直线的距离公式，运用基本不等式可得面积的最大值．本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率的求法，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，以及点到直线的距离公式，以及向量垂直的条件：数量积为0，考查化简整理的运算能力，属于难题．20.【答案】（Ⅰ）解：当n=1，2时，曲线C1、C2的方程分别为|x|+|y|=1和x2+y2=1，其图象分别如图：由图可知，S 2=π；（Ⅱ）证明：要证是关于n递增的，只需证明：．由于曲线C n具有对称性，只需证明曲线C n在第一象限的部分与坐标轴所围成的面积递增．现在考虑曲线C n与C n+1，∵|x|n+|y|n=1（n∈N*）…①，∵|x|n+1+|y|n+1=1（n∈N*）…②，在①和②中令x=x0，x0∈（0，1），当x 0∈（0，1），存在y1，y2∈（0，1）使得，成立，此时必有y2＞y1．∵当x 0∈（0，1）时，∴．两边同时开n次方有，．（指数函数单调性）这就得到了y2＞y1，从而是关于n递增的；（Ⅲ）证明：由于x n+y n=z n（n＞2，n∈N）可等价转化为，反证：若曲线上存在一点对应的坐标（x，y），x，y全是有理数，不妨设，p，q，s，t∈N*，且p，q互质，s，t互质．则由|x|n+|y|n=1可得，．即|qs|n+|pt|n=|ps|n．这时qs，pt，ps就是x n+y n=z n（n＞2，n∈N*）的一组解，这与方程x n+y n=z n（n＞2，n∈N*），xyz≠0，没有正整数解矛盾，∴曲线上任一点对应的坐标（x，y），x，y不能全是有理数．【解析】（Ⅰ）取n=1，n=2，得到C1、C2的方程，画出图象，结合图象求得面积；（Ⅱ）要证是关于n递增的，只需证明：．转化为证明曲线Cn在第一象限的部分与坐标轴所围成的面积递增．然后借助于函数单调性求证；（Ⅲ）由于x n+y n=z n（n＞2，n∈N）可等价转化为，利用反证法证明曲线（n＞2，n∈N*）上任一点对应的坐标（x，y），x，y不能全是有理数．本题考查曲线的方程和方程的曲线，考查逻辑思维能力和推理论证能力，考查数学转化思想方法，考查了反证法，是难题．。

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1、设函数 f ( x ) = ⎨⎝ ⎪ x - ⎪ , x < 0, ⎩ - x , x ≥ 0.“((b 2= 1(a > 0, b > 0)的两条渐近线分（A ） 4nm（B ） 2nm（C ）n n2于数 y = x + 12 B ． 3, ymb 2= 1(a > 0, b > 0 ) 的两条渐近线分10、已知函数 f(x ) = ⎧⎪⎨，使得2 22+ 3D. - 6 +3- 6C. 选择填空压轴6、在锐角三角形 ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ， c ．若 a = 2b sin C ，则 tan A+ tan B+tan C 的最小值是 ( )⎪⎧⎛ 1 ⎫6x ⎭, 则当 x>0 时,A. 4B. 3 3C. 8D. 6 3f [ f ( x )] 表达式的展开式中常数项为(A) －20 (B) 20 (C) －15 (D) 152. 设[ x ]表示不大于 x 的最大整数, 则对任意实数 x, y ，有 (A) [ － x ] ＝－[ x ] (B) [2 x ] ＝ 2[ x ](C) [ x ＋ y ]≤[ x ]＋[ y ](D) [ x － y ]≤[ x ]－[ y ] 7.一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”：乙说：“我没有作案，是丙偷的”：丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”：丁说：乙说的是事实”.经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是（）3、从区间[0,1]随机抽取 2n 个数 x , x1 2，…，xn，y1，A ．甲B ．乙 C.丙 D ．丁y2，…，y ，构成 n 个数对(x , y )， x , y )，…， x , y )，n 1 1 2 2 n n其中两数的平方和小于 1 的数对共有 m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率 π 的近似值为8、已知双曲线x 2 y 2a 2 -4m2m （D ）别为 l ，l1 2，经过右焦点 F 垂直于 l 的直线分别交 l ，l 1 14、已知函数 f ( x )( x ∈ R ) 满足 f (- x ) = 2 - f ( x ) ，若函A, B 两点，若 OA ， AB ， OB 成等差数列，且 AF 与FB 反向，则该双曲线的离心率为（）x 与 y = f ( x) 图像的交点为A ． 5 C. 5 D ． 52( x 11 ),( x2 , y 2 ), ⋅⋅⋅ ,( x m , y m ), 则 ∑ ( x + y ) = （i i）i =1（A ）0（B ） m（C ） 2m （D ） 4m9、在锐角 ∆ABC 中，角 A, B, C 的对边分别为 a ，b ，c ，若 a = 2b s in C ，则 tan A + tan B + tan C 的最小值是（）5、已知双曲线x 2a 2 -y 2 A ．4 B ．3 3 C. 8 D ．6 3别为 l 1 , l 2，经过右焦点 F 垂直于 l 1 的直线分别交 l 1 ，l 2 于 A ，x + 3, x ≥ 0 ⎪⎩ax + b , x < 0满足条件，对于B 两点．若|OA |，|AB |，|OB |成等差数列，且 AF 与 FB 反向，则该双曲线的离心率为( )∀x ∈ R 且 x ≠ 0 ，存在 x ∈ R 唯一的且 x ≠ x 1 1 2 1A.52 B. 3C. 5D.52f (x ) = f (x1 2a +b = )，当 f (2a ) = f (3b ) 成立时，实数A.6 B. 6 2B ． ⎢ , +∞ ⎪3 ⎦⎦D ． ⎢ ,2 ⎥ ⋃ [ 4,+∞)C ． ⎢ ,2 ⎥0 ) ≤ 0，则 a的取值范围是（⎝ e ， ⎪4 ⎭ B. ⎢⎣ e ， ⎪4 ⎭ ⎝ e ，1⎪ ⎭ D. ⎢⎣ e ，1⎪p - q > 2 恒( ) ( ) ( ) ( ) ( )数， e 是自然对数的底数），则 f (1),）B.（ 11 , ） C. e ,2e ) D. e , eOP = λOA + μOB （ λ ， μ ∈ R ）， λμ =12B ．3 5A ． 3 2x + 1 ，设 f ( x) = f [ f ( x)] ，20 、对于函数 f ( x ) = x - 112.已知 f ( x ) 是定义域为 (0, +∞) 的单调函数，若对任意\\\A ． ( 0.2]⎡ 1 ⎫ ⎣ 2 ⎭⎡ ⎤的 x ∈ (0, +∞) ，都有 f ⎢ f ( x) + log x ⎥ = 4 ，且方程⎣1| f ( x ) - 3 |= x 3 - 6 x 2 + 9 x - 4 + a 在区间 [0,3 ]上有两⎡ 1 ⎤ ⎡ 1 ⎤ ⎣ 2 ⎣ 2 ⎦17、设函数 f (x ) = e x (3x - 1) - ax + a ，其中 a < 1 ，若有且解，则实数 a 的取值范围是（）A ． 0 < a ≤ 5B ． a < 5C ． 0 < a < 5D ． a ≥ 5只有一个整数 x 使得 f (x 0⎛ 2 3 ⎫ ⎡ 2 3 ⎫ A. ）13 、如图是函数f (x )= x 2 + ax + b 的部分图象，则函数⎛ 2 ⎫ ⎡ 2 ⎫ C.⎭g (x )= ln x + f '(x )的零点所在的区间是（）18、已知函数 f ( x ) = a ln( x + 2) - x 2 在 (0,1) 内任取两个1 11 A. ( , )B. ( ,1)C.（1,2）D.（2,3）4 22实数 p , q ，且 p > q ，若不等式 f ( p + 1) - f (q + 1)14、已知定义在 (0,+∞)上的函数 f (x )，满足（1） f (x )> 0 ；成立，则实数 a 的取值范围是（）（2） f x < f ' x < 2 f x （其中 f ' x 是 f x 的导函A ． (-∞,24]B ． (-∞,12]f (2)的范围为（）C. [12,+∞) D ． [24,+∞)A.（2e2e e2e1 1 ( ( 3 )19、设双曲线x 2 y 2 - a 2 b 2= 1(a > 0, b > 0) 的右焦点为 F ，过15、若直线 ax - y = 0 （ a ≠ 0 ）与函数 f ( x ) = 2cos 2 x + 1ln 2 + x 2 - x图象交于不同的两点 A ， B ，且点 C (6,0) ，若点 D(m , n )点 F 作与 x 轴垂直的直线 l 交两渐近线于 A ， B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为 P ，设 O 为坐标原点，若16，则该双曲线的离心率为（）满足 DA + DB = CD ，则 m + n = （）A ．1B ．2C ．3D ． a5C ．3D ．216、已知函数 y = f (x ) 与 y = F (x )的图象关于 y 轴对称，当函数y=f(x)和y=F(x)在区间[a,b]同时递增或同时递2f(x)=f[f(x)]，…，f(x)=f[f(x)（n∈N*，32n+1n减时，把区间[a,b]叫做函数y=f(x)的“不动区间”，若区且n≥2），令集合M={x|f2036(x)=x,x∈R}，则集合间[1,2]为函数y=2x-t的“不动区间”，则实数t的取值范围是（）M为（）A．空集B．实数集C．单元素集D．二元素集]“{a }满足 a + 2017 ⎤ ⎣ a +a+a ⎥=⎝ 10 ⎭ + … + gg ⎝ 10 ⎭ + g ⎝ 10 ⎭ + g⎪ ⎪ ⎪ ⎪ = .6 ），若 32 ，则cos B =n，则25、已知 a = ⎰11 - x 2dx ，则 ⎢(a + 2 - ) x - ⎥ 展开21、有三张卡片，分别写有 1 和 2，1 和 3，2 和 3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：我与乙的卡片上相同的数字不是 2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是 1”，丙说：“我c ≠ 0 ），且 y = f ( x ) ， y = g ( x ) 为区间 (0, +∞ ) 的“平行曲线”，g (1) = e ，g ( x ) 在区间 (2,3) 上的零点唯一，则 a 的取值范围是．的卡片上的数字之和不是 5”，则甲的卡片上的数字是．27、若一直线与圆 x 2 + y 2 - 2x - 4 y + a = 0 和函数 y =图象相切于同一点，则 a 的值为．x 2 4 的22、设数列n 1= 2, a = 6 ，且 228、设 f ' (x )是函数 f (x ) 的导数， f ''(x ) 是函数 f ' (x )的导an +2- 2an +1+ a = 2 ，若 [x ]表示不超过 x 的最大整数，n⎡ 2017 2017 则 ⎢ 1 2 2017 ⎦.函数 f (x ) 的拐点，某同学经过探究发现：任何一个三次函数f (x ) = ax 3 + b x 2 + cx + d (a ≠ 0) 都有拐点，任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心，设函数23、已知 a > 0 ， (a- x)6 展开式的常数项为 15，则xg (x ) = x 3 - 3x 2 + 4 x + 2 ，利用上述探究结果计算：⎰ a -a( 1 - x 2 + sin 2 x )dx = ．⎛ 1 ⎫ ⎛ 2 ⎫ ⎛ 3 ⎫ ⎛ 19 ⎫ ⎝ 10 ⎭π91π24、已知函数 f ( x ) = 4sin(2 x + ) （ 0 ≤ x ≤6函数 F ( x ) = f ( x ) - 3 的所有零点依次记为 x ，x ，x ，…，12329、在 ∆ABC 中，角 A, B, C 对应的边分别为 a, b , c ，已知a = 4,b = 5, cos( B - A) = 31．x n，且 x 1< x < x < … < x 2 330、已知函数 f ( x ) = x 2 + ax + b (a, b ∈ R) 在区间 (0,1)x + 2 x + 2 x + … + 2 x123n -1+ x = ．n内有两个零点，是 3a + b 的取值范围是________.⎡ π 1 ⎤ 6 -1⎣2 x ⎦式中的常数项为.26 、函数 f ( x ) ， g ( x ) 的定义域都是 D ，直线 x = x（ x∈ D ），与 y = f ( x ) ， y = g ( x ) 的图象分别交于 A ，B 两点，若 | AB | 的值是不等于 0 的常数，则称曲线 y = f ( x ) ，y = g ( x ) 为“平行曲线”，设 f ( x ) = e x - a ln x + c （ a > 0 ，。

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