模糊逻辑及不精确推理方法

3-3 模糊逻辑及不精确推理方法

3-3-1 模糊逻辑

3-3-1-1 模糊、概率和传统精确逻辑之间的关系

传统逻辑：强调精确性、严格性。 概率事件的结局是：非此即彼。 模糊事件的结局是：亦此亦彼。

另外，处理概率问题和模糊问题的具体方法也不一样。

3-3-1-2 模糊逻辑的历史

100多年前，Peirce 指出了模糊性在思维中的重要作用； 1923年Russel 再次指出这一点；

1937年美国哲学家Black 首先对“模糊符号”进行了研究； 1940年德国数学家Weyl 开始研究模糊谓词；

1951年法国数学家Menger 第一个使用“模糊集”术语（但解释仅在概率意义上）；

1965年Zadeh 发表了著名的“模糊集”论文。 模糊术语或模糊现象：“年轻”、“派头大”“一般”“可接受”“舒服”等。

3-3-1-3 模糊集合论

一. 引入

传统集合论中，一个对象是否属于一个集合是界线分明的。可以用其特征

函数⎩⎨⎧∉∈=A x A

x x C A ,0,1)(表示。)(x C A 定义在某集合B 上，则称A 是B 的一个分明

子集。

在模糊集理论中，)(x C A 仍然定义在B 上，但取值是0到1之间的任何实数（包含0和1）。此时，A 是模糊子集。B 的元素x 可以： 属于A （即)(x C A =1）； 或不属于A （即)(x C A =0）；

或“在一定程度上”属于A （即0<)(x C A <1）。

一般，称模糊子集A 的特征函数)(x C A 为隶属函数，表示其在B 元素x 上的

取值对A 的隶属度，用)(x A μ表示。B 的模糊子集A 可表示为：

}|))(,{(B x x x A A ∈=μ。

注：非空集合B 可以有无穷多个互不相同的模糊子集。而空集只有一个模糊子集。

例子：各年龄阶段的人的集合。则如果用B ：表示各种年龄人的集合（实际上是一个小于人类最大岁数的整数集合）；青年集合A 是B 的一个子集。则一个人属于青年的程度随其年龄而不同。如1)20(=青年μ、0)90(=青年μ、

8.0)30(=青年μ。

注：隶属度和概率是两个不同性质的量。如30岁的人对青年概念的隶属度为0.8表示其有80%的特性和青年人一样，而不是30岁的人占青年人的80%，也不能理解为30岁的人中，有80%是青年人！

定义3-3-1-3-1 令}0)(,|{>∈=x B x x S A μ，则称S 为模糊子集A 的支持集，它包含所有隶属度大于0的元素。令}))(,(|)(m ax {)(A x x x A h A A ∈=μμ，则

)(A h 称为A 的高度，B 的元素称为A 的基元。

Zadeh 模糊子集表示法：为每个基元标上隶属度，然后用+号连接这些基元。如青年概念的模糊集表示为：+

++++++22/121/120/118/9.017/6.016/2.015/0...31/75.030/8.029/8.028/8.027/8.026/8.025/124/123/1+++++++++

简洁表示为：...30~26/8.025~20/118/9.017/6.016/2.015~0/0++++++ 抽象地表示为：i i n

i A u u /)(1

∑=μ或i i i A u u /)(1

∑∞

=μ

注：当隶属函数很有规律时，一般采用抽象表示法。 二. 模糊集合的基本运算

(1)空集判断。设A 为B 的模糊子集，则0)(,=∈∀x B x A μ⇔A 为空集。 (2)真模糊集判断。设A 为B 的模糊子集，则1)(0,<<∈∃x B x A μ⇔A 为B 的真

模糊子集。

(3)设A 为B 的真模糊子集，则⇔=∈∃1)(,x B x A μA 为B 的正规模糊子集。 (4)设21,A A 均为B 的模糊子集，则⇔=∈∀)()(,21x x B x A A μμ1A 和2A 相等。 (5)设21,A A 均为B 的模糊子集，则⇔≤∈∀)()(,21x x B x A A μμ称2A 包含1A ，记为

12A A ⊇或21A A ⊆，或称2A 是1A 的强化，或1A 是2A 的弱化。

推广定义：2A 包含1A 也表示1A 是2A 的模糊子集。则，前面模糊子集的定义是此定义的特例；新定义具有自反性和传递性，因此，可将模糊子集表示成对偶))(,(x x A μ之集。因此，模糊集可用分明集表示。

(6)设A 为模糊集，则A 的分明基A #定义为：}),(,|{#A x x A ∈∃=αα (7)设

B A ,为模糊集，则

A 和

B 的交集定义为：

|)))(),(m in(,{(x x x B A B A μμ= }##B A x ∈

(8)设B A ,为模糊集，则A 和B 的差集定义为：}##|))(,{(B A x x x B A A -∈=-μ

)}()(,##|))()(,{(x x B A x x x x A B B A μμμμ<∈- 。

(9)设B A ,为模糊集，则A 和B 的并集定义为：

}

##|)))(),(m ax (,{(B A x x x x B A B A ∈=μμ

}

##|))(,{(B A x x x A -∈μ}##|))(,{(A B x x x B -∈μ 。

(10) 设A 为模糊集，则A 的余集B 定义为：

}1)(,#|))(1,{(~<∈-==x A x x x A B A A μμ。

......

三. 模糊集的性质

设B A ,为任意模糊集，-

φ为空模糊集，φ为空分明集，则： (1) -

-

=φφA (2) A A =- φ (3) -

-=-φφA

(4) A A =--φ (5) φφ=⇔=-

B A B A ## (6) A B B B A ⊆⇔=

(7) ......

例：设 青年={(15,0.4),(18,0.6),(20,1),(25,1),(30,0.6),(35,0.2)}

中年={(30,0.2),(35,0.6),(40,1),(45,0.6),(50,0.4),(55,0.2)} 老年={(50,0.2),(55,0.6),(60,1)}

选拔中青年科学家，则求并集。如：15-55岁中30岁的人之隶属度为0.6； 如要求既是青年，又是中年，则求交集。如：30岁的科学家之隶属度为0.2； 如单位分房时老中青要分开，则求差集。如：“有资格分房的中年人”之模