mathematica 积分变换与微分方程

==y[x], 或 Plot[Evaluate[y[x]/.NDSolve[{y'[x]== == y[0]== ==1},y,{x,0,1}]],{x,0,1}] == 初始条件y(1)=1 初始条件 In[4]:=NDSolve[{y’[x]==y[x],y[1]==1},y,{x,0,1}] Out[4]={{y→InterpolatingFunction[{{0.,1.}},<>]}} 利用图形观察 In[5]:= Plot[Evaluate[y[x]/.NDSolve[{y'[x]== ==y[x], == y[1]== ==1},y,{x,0,1}]],{x,0,1}] == Out[5]=
• 求方程y’’ +y’+x3y=0在区间[0,8]上满足条件 y(0)=0, y’(0)=1的特解 Mathematica命令为： In[10]:=s1=NDSolve[{y’’[x]+y’[x]+x^3*y[x]==0,y [0]==0,y’[0]==1},y,{x,0,8}]; Plot[Evaluate[y[x]/.s1],{x,0,8}]
例1 给出t3sint的拉普拉斯变换
Mathematica命令为： In[1]:=LaplaceTransform[t^3Sin[t],t,s] Out[1]=
24 s ( −1 + s 2 )
(1 + s )
2 4
上式的逆变换是： In[2]:=InverseLaplaceTransform[%,s,t] Out[2]= t3sint
上式的傅立叶逆变换为：
In[5]:=InverseFourierTransform[%,w,t] Out[5]= Cos[t2]
• 为了避免复杂的指数运算, 傅立叶变换中引进 了傅立叶正弦变换和傅立叶余弦变换。它们用 Sin[wt]和Cos[wt]代替傅立叶变换定义中的函 数Exp(iwt), 而且用积分区间(0, )代替(- , )。 例3 给出t2exp(-t)的傅立叶正弦和余弦变换 Mathematica命令为：
∫
−∞
f ( t )e
−2iωt
dt
1ห้องสมุดไป่ตู้2π
b
∫
∞
−∞
F (ω )e 2iωt d ω
一般情况
{a，b} ，
b
( 2π )
1− n
∫
∞
−∞
f ( t )eibωt dt
( 2π )
1+ n
∫
∞
−∞
F (ω )e −ibωt dt
例如 默认情况下的傅立叶变换为 In[4]:=FourierTransform[t^2 Exp[-t^2],t,s]
• 求方程x2y՛՛-2xy՛+2y=3x满足条件y[1]=m, y՛[1]=n的特解 Mathematica命令为 In[10]:=DSolve[{x^2*y՛՛[x]-2x*y՛[x]+2y[x]==3x, y[1]==m, y՛[1]==n}, y[x], x] Out[10]={{y[x]→-3 x+2 m x-n x+3 x2-m x2+n x2-3 x Log[x]}}
f ( t )e dt
iωt
1 2π
∫
∞
−∞
F (ω )e − iωt d ω
{1，-1} ，
∫
1 2π
∞
−∞
f ( t )e
∞
− iωt
dt
1 2π
∫
∞
−∞
F (ω )eiωt d ω
{-1，1} ，
∫
∞
−∞
f ( t )e dt
iωt
∫
∞
−∞
F (ω )e −iωt d ω
符号处理 {0，-2Pi} ，
在不同的领域， 在不同的领域，对傅立叶变换和其逆变换的定义是不同 的，可以用FourierParameters来指出是哪一种定义。 可以用 来指出是哪一种定义。 来指出是哪一种定义
领域 默认 现代物理 纯数学 系统工程 经典物理 取值 {0，1} ， 傅立叶变换公式 傅立叶逆变换公式
1 2π
∫
∞
−∞
函数F(w)的逆变换为
1 f (t ) = 2π
∫
∞
−∞
F (ω )e −iωt d ω
例2 给出cos(x2)的傅立叶变换 Mathematica命令为：
In[4]:=FourierTransform[Cos[t^2],t,w]
ω 2 ω 2 1 Out[4]= Cos + Sin 2 4 4
In[6]:={FourierSinTransform[t^2Exp[-t],t,w], FourierCosTransform[t^2Exp[-t],t,w]}
2 2 2 2 ( 2 − 6ω ) 2 ω ( −3 + ω ) , π Out[6]= − π 2 3 2 3 (1 + ω ) (1 + ω )
求微分方程组在满足初始条件的并在x 的数值解 [x0,x1]
NDSolve以InterpolatingFunction 目标生成函 数yi的解，InterpolatingFunction目标提供在独 立变量x的xmin到xmax范围内求解的近似值。 NDSolve用迭代法求解，它以某一个x值开始， 尽可能覆盖从xmin到xmax的全区间。 为使迭代开始，NDSolve指定yi 及其导数为初 始条件。初始条件给定某定点x处的yi [x]及尽 可能的导数y'i [x]，一般情况下，初始条件可 在任意x处，NDSolve将以此为起点自动覆盖 xmin到xmax的全区域。
Out[10]=
• 求方程y’’’ +y’’=y1/2在区间[0,10]上满足条件 y(0)=0, y’(0)=0.5, y’’(0)=1的特解 Mathematica命令为： ==Sqrt[y[x]],y In[11]:=s2=NDSolve[{y’’’[x]+y’’[x]== == [0]== ==0,y’[0]== ==0.5, y’’[0]== ==1},y,{x,0,10}]; == == == Plot[Evaluate[y[x]/.s2],{x,0,10}]
• 对初始条件y(0)=0和y(1)=0分别求出x从0到1的 范围内y’(x)=y(x)的解。 初始条件y(0)=1 初始条件 In[1]:=NDSolve[{y՛[x]==y[x],y[0]==0},y,{x,0,1}] Out[1]={{y→InterpolatingFunction[{{0.,1.}},<>]}} 利用图形观察 In[2]:= s=NDSolve[{y'[x]==y[x],y[0]==1},y,{x,0,1}] Out[2]={{y → InterpolatingFunction[{{0.,1.}},<>]}} In[3]:= Plot[Evaluate[y[x]/.s],{x,0,1}] Out[3]=
Out[11]=
• 求方程x’(t) =y(t),y’(t)=-0.01y(t)-sin(x)在区间 tϵ[0,100]上满足条件x(0)=0, y(0)=2.1的特解 Mathematica命令为： ==y[t],y’[t]== ==-0.01y[t]In[12]:=s3=NDSolve[{x’[t]== == == Sin[x[t]],x[0]== y[0]== ==0, ==2.1},{x,y},{t,0,100}]; == == ParametricPlot[Evaluate[{x[t],y[t]}/.s3],{t,0,100}]
• 求方程x2y՛՛+xy՛+(x2-n2)y=0的通解 Mathematica命令为 In[11]:=DSolve[x^2*y''[x]+x*y'[x]+ (x^2+n^2)y[x]==0,y[x],x] Out[11]={{y[x] → BesselJ[I n,x] C[1]+BesselY[I n,x] C[2]}}
• 已知y՛՛+y՛-2y=0, (1) 求方程的通解 (2)求方程满足初始条件y(0)=4, y՛(0)=1的特解 Mathematica命令为 In[8]:=DSolve[y՛՛[x]+y՛[x]-2y[x]==0,y[x],x] Out[8]={{y[x]→e-2 x C[1]+ex C[2]}} In[9]:=DSolve[{y՛՛[x]+y՛[x]-2y[x]==0,y[0]==4, y՛[0]==1},y[x],x] Out[9]={{y[x] → e-2 x (1+3e3x)}}
常微分方程的数值解
常用格式： 常用格式：
NDSolve[{eqn,y[x0]==y0},y[x],{x,x0,x1}]
求微分方程eqn在满足初始条件y(x0)=y0的并在 x [x0,x1]的数值解
NDSolve[{eqn1,eqn2,…, y1[x0]==y10 ,…}, {y1[x], y2[x],…},{x,x0,x1}]
e
s2 − 4
Out[4]=
−2 + s 2 ) ( 4 2
以下是纯数学的傅立叶变换 In[5]:=FourierTransform[t^2 Exp[-t^2],t,s, FourierParameters {-1,1}]
1 Out[5]= − e 4
s2 − 4
π ( −2 + s
2
)
• 微分方程
意义
对expr的傅立叶变换 对expr的傅立叶逆变换 对expr的傅立叶正弦变换 对expr的傅立叶正弦逆变换 对expr的傅立叶余弦变换 对expr的傅立叶余弦逆变换