第4章_弹性力学广义变分原理

第4章 弹性力学广义变分原理

4.1 两类变量的广义势能原理

根据前面的介绍,对于最小势能原理,我们可以有以下两种理解: (1) 自变函数为位移u 。要求u 事先满足位移边界条件

u =u ，

1B 上 (4.1.1)

同时要求u 具有足够的连续（可微）性，从而可以由下式求得应变

()T =εE u ∇，

Ω内 (4.1.2)

这样可得到用位移表示的应变能密度函数

()(())T U U U ==E u ∇ε

用位移表示的应力

()

()T

T U ∂=

=∂u εσ

σε

在此条件下，弹性力学的精确解应该使下面的总势能取到最小值

2

()(())d d d T T T B U B Ω

Ω

∏=Ω-Ω-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰u E u f u p u ∇

这样，由最小势能原理可以得到应力表示的平衡方程和应力边界条件

()0+=E f ∇σ Ω内

()=E n p σ

2B 上

(2) 自变函数为位移u 和应变ε，但把式(4.1.1) 、(4.1.2) 看成约束条件。这样，把原问题视为在约束条件(4.1.1) 、(4.1.2) 下，使得下列总势能

2

()()d d d T T B U B Ω

Ω

∏=Ω-Ω-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰u f u p u ε,ε

最小的问题。注意这里总势能表达式(,)∏u ε与最小势能原理中势能()∏u 的差异。

为了解除最小势能原理中这两个约束条件，引进两个Lagrange 乘子函数(向量) 6()∈x R λ， Ω内

3()∈x R μ，

1B 上

来构造一个新泛函

2

1

*(,,,)()d d d [()]d ()d T T B T T T

B U B

B

Ω

Ω

Ω

∏=Ω-Ω---Ω--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰u f u p u E u u u ∇ελμελεμ

在新泛函中, ,,,u ελμ都是独立的自变函数，也就是说位移u 不需要事先满足边界约束条件（4.1.1）, 位移u 和应变ε之间也不需要满足变形协调条件（4.1.2）。

新泛函所对应的变分为

2

1

1

()*[()][()]d d ()d d T T T T T T

T

T

B B B U B B B

δδδδδδδδδΩ∂⎧⎫

∏=-----Ω

⎨

⎬∂⎩⎭

----⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰f u E u E u p u u u u ∇∇εελελεεμμ

在恒等式(3.2.1)中取=σλ，δ=u u 得到

()d [()]d [()]d T T T T B

B δδδΩ

Ω

Ω=+-Ω⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰E u E n u E u ∇∇λλλ 因此有

[]2

1

1

2

()*[()]d d ()d d [()]d [()]d ()()[()]d [()]d (T T T T T B T T T T B B B

T T T T T T B U B

B B B U B δδδδδδδδδδδδδδδΩΩ

Ω∂⎧⎫

∏=----Ω-⎨

⎬∂⎩⎭---+-Ω⎧∂⎫⎡⎤=--+--Ω

⎨⎬⎢⎥∂⎣

⎦⎩⎭+--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰f u E u p u u u u E n u E u E f u E u E n p u u ∇∇∇∇εελελεεμμλλελελλεελμ1

)[()]d T

B B δ⎡⎤+-⎣⎦⎰⎰-u E n u μλ

由0*=∏δ可以得到

()

0T U ∂-=∂ελε

， Ω内

()0+=E f ∇λ，

Ω内 ()0T -=εE u ∇，

Ω内

()0-=E n μλ， 1B 上

0=u -u ，

1B 上 ()0-=E n p λ，

2B 上

由此得到Lagrange 乘子λ满足

()

T

U ∂=

∂ελε

，

Ω内

Lagrange 乘子μ为

()()()T

U ∂⎡⎤

==⎢⎥∂⎣⎦

E n E n εμλε

1B 上

得到Lagrange 乘子函数后, 把它们再代入新泛函的表达式中,得到两类变量(位移和应变)的广义势能为

2

1

2()

()()d d [()]d ()d ()()d T T T T

B B U U U B B Ω

Ω

Ω

∂∏=Ω-Ω--Ω∂∂--∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰

⎰⎰⎰⎰

u f u E u p u E n u -u ∇εε,εεε

εε

(4.1.3)

对于线弹性体有1()T

U =A

εεε,()

T U ∂=∂A εεε

,从而

[]2

1

*1

22d d ()d d ()()d T T T T T

T B B B B

ΩΩΩ

∏=-Ω-Ω+Ω

--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰A f u AE u p u E n A u -u ∇εεεε (4.1.4)

这是关于位移和应变（两类变量）的广义势能（泛函）。 在该泛函中位移和应变是独立的自变函数, 不需要满足位移的边界条件和变形协调条件，从而使得与变分原理相对应的数值计算在处理某些特殊问题的时候变得更加简单，更加有效。

两类变量的广义势能原理(位移和应变) 弹性力学的精确解应该使得广义势能*2∏（2∏）的泛函取驻值。

下面我们分析一下从该变分原理中能得到什么？计算

[][]2

1

1

*

2

()d ()d d ()d ()()d T

T

T T T T

T

T

B B B B B B

δδδδδδΩΩ

⎡⎤⎡⎤∏=-Ω+-Ω⎣⎦⎣⎦---⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰E u A AE f u p u E n A u u -u E n A ∇∇εεεεε

在恒等式(3.2.1)中取=A σε，δ=u u 得到

()d [()]d [()]d T

T T T B

A B δδδΩ

Ω

Ω=+-Ω⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰AE u E n u E A u ∇∇ε

εε

因此有

[][][][][]2

1

1

1

2

*2()d ()d d ()d ()()d [()]d ()d ()d ()()d [()]d T

T

T T

T B B B T B

T

T

T

T B B A B B B

B

B B

δδδδδδδδδδδΩ

Ω

Ω

Ω

⎡⎤∏=-Ω++Ω

⎣⎦---+⎡⎤=-Ω++Ω⎣⎦-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰E u A E f u p u E n A u u -u E n A E n A u E u A E A f u u -u E n A E n A p u ∇∇∇∇εεεεεεεεεεε

令*20δ∏=,根据变分引理得到(用应变表示的应力

()

()T

T U ∂=

=∂A εσεε

) ()T

=E u ∇ε

Ω内

()()0+=+=E A f E f ∇∇εσ Ω内

u =u

1B 上

()()==E n A E n p εσ

2B 上

也就是说得到的是变形协调条件、平衡方程和所有边界条件。再加上本构关系，就是弹性力学的所有方程。

如果用应力()T

U ∂⎡⎤

==⎢⎥∂⎣⎦

A εσεε来替换泛函(5.1.4)中的自变函数ε(=a εσ)，得到