第3章 二自由度系统的振动
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
飞行器结构动力学
第3章 二自由度系 统的振动 西北工业大学
第3章 二自由度系 统的振动
• 3.1 二自由度系统的自由振动
• 3.2 二自由度系统的强迫振动 • 3.3 无阻尼动力吸振器 • 3.4 离心Biblioteka Baidu式吸振器
第3章 二自由度系 统的振动
•3.1 二自由度系统的自由 振动
3.1 二自由度系统的自由振动
3.1 二自由度系统的自由振动
下面我们试图寻 求(3-10)式的一种特殊类型的解的存在
性，这种解为 x1(t) 与 x2(t) 随时间有相同的规律性。如果这 一类型的解存在，那么 x2 (t) x1(t) 必然为一不随时间变化
的常数。设 x1(t) 与 x2(t) 随时间的变化规律为 f (t)，所要寻求
多自由度系统的基本概念都可以通过二自由度系 统的问题说明，本章专门讨论二自由度系统的自由振动 与强迫振动。
如图3-1a所示的具有粘性阻尼的二自由度系统。
图3-1 二自由度系统模型
3.1 二自由度系统的自由振动
对质量m1、m2绘分离体图（如图3-1b），用牛顿第二定律列分 离体在水平方向方程得
F1(t) c1x1(t) k1x1(t) c2[x2 (t) x1(t)] k2[x2 (t) x1(t)] m1x1(t) F2 (t) c2[x2 (t) x1(t)] k2[x2 (t) x1(t)] c3x2 (t) k3x2 (t) m2 x2 (t)
3.1 二自由度系统的自由振动
表明质量、阻尼、刚度矩阵是对称阵，可描述为
m mT , c cT , k kT
(3-7)
此处T表示矩阵转置，只有当[m] ，[c] ，[k] 均为对角 阵时，方程(3-5)才描述一组相互独立的方程。
本章首先讨论当 Fi (t) (为i 零1,时2)自由振动情况，然 后讨论 为简谐Fi (激t)振力的情况。
x1 x2
(t ) (t)
x(t
)
,
F1 F2
(t) (t)
F
(t
)
x(和t) 分F(别t)称为二维位移向量和力向量。
所以，方程(3-2)可以写成矩阵形式
mx(t) cx(t) kx(t) F(t)
(3-4) （3-5）
由(3-3)可见质量，阻尼，刚度矩阵的非对角线 元素满足
m12 m21 0, c12 c21 c2 , k12 k21 k2 (3-6)
3.1 二自由度系统的自由振动
当系统没有阻尼和外部激振力时，也即 c1 c2 c3 0 和
F1(t) F2 (t) 0 时，方程(3-2)变为
m1x1(t) (k1 k2 )x1(t) k2x2 (t) 0
(3-8)
m2x2 (t) k2x1(t) (k2 k3)x2 (t) 0
因此，λ应取正值，设 λ= ω2 ，ω为实数。方(3-18)变为
s1 i
s2
(3-19)式的解相应地变为
(3-20)
f (t) A1eit A2eit
(k11 m1)u1 k12u2 0 k12u1 (k22 m2 )u2 0
(3-14) (3-15)
3.1 二自由度系统的自由振动
设方程(3-14)有指数形式的解 f (t) Aest
代入(3-14)，得s必须满足下面的方程
s2 0
s有两个解
s1
s2
这样解(3-16)变为
(3-16) (3-17) (3-18)
f (t) A1es1t A2es2t A1 exp t A2 exp t (3-19)
3.1 二自由度系统的自由振动
不难证明λ 是正实数值。如果 λ 取负值，那么当 t →∞ ，(3-19)式中的 f(t) 第一项以指数规律趋于无穷，第二项趋于 零，这与所讨论的系统为保守系统的概念相矛盾。
3.1 二自由度系统的自由振动
m1x1(t) (c1 c2 )x1(t) c2 x2 (t) (k1 k2 )x1(t) k2 x2 (t) F1(t) m2 x2 (t) c2 x1(t) (c2 c3 )x2 (t) k2 x1(t) (k2 k3 )x2 (t) F2 (t)
的解可表示为
x1(t) u1 f (t), x2 (t) u2 f (t)
(3-11)
这里u1，u2 为幅值常数，将(3-11)代入方程(3-10)可得
m1u1 f (t) (k11u1 k12u2 ) f (t) 0 m2u2 f (t) (k12u1 k22u2 ) f (t) 0
(3-12)
3.1 二自由度系统的自由振动
要使(3-12)有解，则必须
f (t) k11u1 k12u2 k12u1 k22u2
f (t)
m1u1
m2u2
(3-13)
由于 m1, m2, k11, k为12,实u1常和数u2，所以这里λ也是实常数。 因此只要
并且 有解。
f (t) f (t) 0
整理得
(3-1)
m1x1(t) (c1 c2 )x1(t) c2 x2 (t) (k1 k2 )x1(t) k2 x2 (t) F1(t) (3-2) m2 x2 (t) c2 x1(t) (c2 c3 )x2 (t) k2 x1(t) (k2 k3 )x2 (t) F2 (t)
上式为一组二阶常微分方程。由(3-3)可见
k1 k2 k11, k2 k3 k22 , k2 k12 k21
(3-9)
(3-8)式可重写为
m1x1(t) k11x1(t) k12x2 (t) 0 m2x2 (t) k12x1(t) k22x2 (t) 0
(3-10)
若 x1(t和) x为2 (方t) 程的一组解，那么 和 x1(t)也是 x系2 (统t) 的一组解， 这里α为任意常数。
(3-2)
由两个联立二阶常微分方程所描述的系统称为二自由度系 统。方程(3-2)可以方便地表示成矩阵形式，引入
m1
0
0 m2
m,
c1 c2
c2
c2 c2 c3
c,
k1 k2
k2
k2 k2 k3
k
(3-3)
常数矩阵[m] ，[c] 和 [k]分别称为质量、阻尼、刚度矩阵。
3.1 二自由度系统的自由振动
第3章 二自由度系 统的振动 西北工业大学
第3章 二自由度系 统的振动
• 3.1 二自由度系统的自由振动
• 3.2 二自由度系统的强迫振动 • 3.3 无阻尼动力吸振器 • 3.4 离心Biblioteka Baidu式吸振器
第3章 二自由度系 统的振动
•3.1 二自由度系统的自由 振动
3.1 二自由度系统的自由振动
3.1 二自由度系统的自由振动
下面我们试图寻 求(3-10)式的一种特殊类型的解的存在
性，这种解为 x1(t) 与 x2(t) 随时间有相同的规律性。如果这 一类型的解存在，那么 x2 (t) x1(t) 必然为一不随时间变化
的常数。设 x1(t) 与 x2(t) 随时间的变化规律为 f (t)，所要寻求
多自由度系统的基本概念都可以通过二自由度系 统的问题说明，本章专门讨论二自由度系统的自由振动 与强迫振动。
如图3-1a所示的具有粘性阻尼的二自由度系统。
图3-1 二自由度系统模型
3.1 二自由度系统的自由振动
对质量m1、m2绘分离体图（如图3-1b），用牛顿第二定律列分 离体在水平方向方程得
F1(t) c1x1(t) k1x1(t) c2[x2 (t) x1(t)] k2[x2 (t) x1(t)] m1x1(t) F2 (t) c2[x2 (t) x1(t)] k2[x2 (t) x1(t)] c3x2 (t) k3x2 (t) m2 x2 (t)
3.1 二自由度系统的自由振动
表明质量、阻尼、刚度矩阵是对称阵，可描述为
m mT , c cT , k kT
(3-7)
此处T表示矩阵转置，只有当[m] ，[c] ，[k] 均为对角 阵时，方程(3-5)才描述一组相互独立的方程。
本章首先讨论当 Fi (t) (为i 零1,时2)自由振动情况，然 后讨论 为简谐Fi (激t)振力的情况。
x1 x2
(t ) (t)
x(t
)
,
F1 F2
(t) (t)
F
(t
)
x(和t) 分F(别t)称为二维位移向量和力向量。
所以，方程(3-2)可以写成矩阵形式
mx(t) cx(t) kx(t) F(t)
(3-4) （3-5）
由(3-3)可见质量，阻尼，刚度矩阵的非对角线 元素满足
m12 m21 0, c12 c21 c2 , k12 k21 k2 (3-6)
3.1 二自由度系统的自由振动
当系统没有阻尼和外部激振力时，也即 c1 c2 c3 0 和
F1(t) F2 (t) 0 时，方程(3-2)变为
m1x1(t) (k1 k2 )x1(t) k2x2 (t) 0
(3-8)
m2x2 (t) k2x1(t) (k2 k3)x2 (t) 0
因此，λ应取正值，设 λ= ω2 ，ω为实数。方(3-18)变为
s1 i
s2
(3-19)式的解相应地变为
(3-20)
f (t) A1eit A2eit
(k11 m1)u1 k12u2 0 k12u1 (k22 m2 )u2 0
(3-14) (3-15)
3.1 二自由度系统的自由振动
设方程(3-14)有指数形式的解 f (t) Aest
代入(3-14)，得s必须满足下面的方程
s2 0
s有两个解
s1
s2
这样解(3-16)变为
(3-16) (3-17) (3-18)
f (t) A1es1t A2es2t A1 exp t A2 exp t (3-19)
3.1 二自由度系统的自由振动
不难证明λ 是正实数值。如果 λ 取负值，那么当 t →∞ ，(3-19)式中的 f(t) 第一项以指数规律趋于无穷，第二项趋于 零，这与所讨论的系统为保守系统的概念相矛盾。
3.1 二自由度系统的自由振动
m1x1(t) (c1 c2 )x1(t) c2 x2 (t) (k1 k2 )x1(t) k2 x2 (t) F1(t) m2 x2 (t) c2 x1(t) (c2 c3 )x2 (t) k2 x1(t) (k2 k3 )x2 (t) F2 (t)
的解可表示为
x1(t) u1 f (t), x2 (t) u2 f (t)
(3-11)
这里u1，u2 为幅值常数，将(3-11)代入方程(3-10)可得
m1u1 f (t) (k11u1 k12u2 ) f (t) 0 m2u2 f (t) (k12u1 k22u2 ) f (t) 0
(3-12)
3.1 二自由度系统的自由振动
要使(3-12)有解，则必须
f (t) k11u1 k12u2 k12u1 k22u2
f (t)
m1u1
m2u2
(3-13)
由于 m1, m2, k11, k为12,实u1常和数u2，所以这里λ也是实常数。 因此只要
并且 有解。
f (t) f (t) 0
整理得
(3-1)
m1x1(t) (c1 c2 )x1(t) c2 x2 (t) (k1 k2 )x1(t) k2 x2 (t) F1(t) (3-2) m2 x2 (t) c2 x1(t) (c2 c3 )x2 (t) k2 x1(t) (k2 k3 )x2 (t) F2 (t)
上式为一组二阶常微分方程。由(3-3)可见
k1 k2 k11, k2 k3 k22 , k2 k12 k21
(3-9)
(3-8)式可重写为
m1x1(t) k11x1(t) k12x2 (t) 0 m2x2 (t) k12x1(t) k22x2 (t) 0
(3-10)
若 x1(t和) x为2 (方t) 程的一组解，那么 和 x1(t)也是 x系2 (统t) 的一组解， 这里α为任意常数。
(3-2)
由两个联立二阶常微分方程所描述的系统称为二自由度系 统。方程(3-2)可以方便地表示成矩阵形式，引入
m1
0
0 m2
m,
c1 c2
c2
c2 c2 c3
c,
k1 k2
k2
k2 k2 k3
k
(3-3)
常数矩阵[m] ，[c] 和 [k]分别称为质量、阻尼、刚度矩阵。
3.1 二自由度系统的自由振动