第1部分 专题7 第3讲

(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
(2)若抽出的 7 人中有 4 人睡眠不足，3 人睡眠充足，现从这 7 人中随机抽取 3 人做进一
步的身体检查．
①用 X 表示抽取的 3 人中睡眠不足的员工人数，求随机变量 X 的分布列与数学期望；
②设 A 为事件“抽取的 3 人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件
5．随机变量ξ的取值为 0,1,2.若 P(ξ＝0)＝1，E(ξ)＝1，则 D(ξ)＝__2__.
5
5
[解析] 设 P(ξ＝1)＝p，则 P(ξ＝2)＝4－p，从而由 E(ξ)＝0×1＋1×p＋2×(4－p)＝1，
5
5
5
得 p＝3.故 D(ξ)＝(0－1)2×1＋(1－1)2×3＋(2－1)2×1＝2.
(2)由题意，随机变量 X 可能的取值为 0,1,2,3,4,6.
由事件的独立性与互斥性，得
P(X＝0)＝1×1×1×1＝ 1 ， 4 3 4 3 144
P(X＝1)＝2×(3×1×1×1＋1×2×1×1)＝ 10 ＝ 5 ， 4 3 4 3 4 3 4 3 144 72
P(X＝2)＝3×1×3×1＋3×1×1×2＋1×2×3×1＋1×2×1×2＝ 25 ， 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 144
户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品，检验时，先从这箱产品中任
取 20 件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品
的概率都为 p(0<p<1)，且各件产品是否为不合格品相互独立．
(1)记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 f(p)，求 f (p)的最大值点 p0.
4．(2017·浙江卷，8)已知随机变量ξi 满足 P(ξi＝1)＝pi，P(ξi＝0)＝1－pi，(i＝1,2)．若
0<p1<p2<1，则( A ) 2
A．E(ξ1)<E(ξ2)，D(ξ1)<D(ξ2)
B．E(ξ1)<E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)
C．E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)<D(ξ2)
(A)
A．0.8
B．0.75
C．0.6
D．0.45
[解析] 本题考查条件概率的求法．
设 A＝“某一天的空气质量为优良”，B＝“随后一天的空气质量为优良”，则
P(B|A)＝PA∩B＝ 0.6 ＝0.8，故选 A. PA 0.75
3．投篮测试中，每人投 3 次，至少投中 2 次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的
概率为 0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( A )
A．0.648
B．0.432
C．0.36
D．0.312
[解析] 3 次投篮投中 2 次的概率为 P(k＝2)＝C23×0.62×(1－0.6)，投中 3 次的概率为 P(k
＝3)＝0.63，所以通过测试的概率为 P(k＝2)＋P(k＝3)＝C23×0.62×(1－0.6)＋0.63＝0.648.
C37 所以随机变量 X 的分布列为
X
0
1
2
3
P
1 35
12 35
18 35
4 35
随机变量 X 的数学期望 E(X)＝0× 1 ＋1×12＋2×18＋3× 4 ＝12. 35 35 35 35 7
②设事件 B 为“抽取的 3 人中，睡眠充足的员工有 1 人，睡眠不足的员工有 2 人”；事
件 C 为“抽取的 3 人中，睡眠充足的员工有 2 人，睡眠不足的员工有 1 人”，则 A＝B∪C，
内的分别有 6 个和 3 个．则 X 的可能取值为 0,1,2,3.
P(X＝0)＝CC3639＝2804，P(X＝1)＝CC26C39 13＝4854， P(X＝2)＝CC16C39 23＝1884，P(X＝3)＝CC3339＝814.
所以 X 的分布列为
X
0
1
2
3
P
20 84
45 84
18 84
解法二(间接法)：由已知得，ξ的可能取值为 7,8,9,10，故 P(ξ≥8)与 P(ξ＝7)是对立事件， 所以 P(ξ≥8)＝1－P(ξ＝7)＝1－CC22C35 12＝45.
7．(2018·天津卷，16)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为 24,16,16. 现采
用分层抽样的方法从中抽取 7 人，进行睡眠时间的调查．
5
5
5
55
6．(2019·河南信阳二模)如图所示，A，B 两点由 5 条连线并联，它们在单位时间内能通
过的最大信息量依次为 2,3,4,3,2.现记从中任取三条线且在单位时间内都通过的最大信息总量
为ξ，则 P(ξ≥8)＝__4__. 5
[解析] 解法一(直接法)：由已知得，ξ的可能取值为 7,8,9,10，
1 84
∴E(X)＝0×20＋1×45＋2×18＋3× 1 ＝1． 84 84 84 84
(2) 方 案 A ： (125×0.002 ＋ 175×0.002 ＋ 225×0.003 ＋ 275×0.008 ＋ 325×0.004 ＋
375×0.001)×50×10 000×10×0.001＝25 750(元)
M5，I1，I2，I3，I4，I5，N1，N2，N3，N4，N5 共 15 种情况，而正确的情况只有其中一种，
所以输入一次密码能够成功开机的概率是 1 . 15
2．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是 0.75，连续两天为优
良的概率是 0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是
D．E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)
[解析] 由题意可知ξi(i＝1,2)服从两点分布，
∴E(ξ1)＝p1，E(ξ2)＝p2，D(ξ1)＝p1(1－p1)，
D(ξ2)＝p2(1－p2)．
又∵0<p1<p2<1，∴E(ξ1)<E(ξ2)． 2
把方差看作函数 y＝x(1－x)，
根据 0<ξ1<ξ2<12知，D (ξ1)<D(ξ2)．故选 A.
＝P(A)P(B)P(C)P(D)＋P(－A )P(B)P(C)P(D)＋P(A)P(－B )P(C)P(D)＋P(A)P(B)P(－C )P(D)＋
P(A)P(B)P(C)P(－D )
＝3×2×3×2＋2×(1×2×3×2＋3×1×3×2)＝2.
4343
43434343 3
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所以“星队”至少猜对 2 个成语的概率为2. 3
记事件 C：“甲第二轮猜对”，记事件 D：“乙第二轮猜对”，
记事件 E：“‘星队’至少猜对 3 个成语”．
由题意，E＝ABCD＋－A BCD＋A－B CD＋AB－C D＋ABC－D .
由事件的独立性与互斥性，得
P(E)＝P(ABCD)＋P(－A BCD)＋P(A－B CD)＋P(AB－C D)＋P(ABC－D )
∵P(ξ＝7)＝CC22C35 12＝15，
P(ξ＝8)＝C22C11＋C22C12＝ 3 ，
C35
10
P(ξ＝9)＝C12CC1235C11＝25，
P(ξ＝10)＝C22C·C35 11＝110，
∴ξ的概率分布列为：
ξ
7
8
9
10
P
1 5
3 10
2 5
1 10
∴P(ξ≥8)＝P(ξ＝8)＋P(ξ＝9)＋P(ξ＝10)＝ 3 ＋2＋ 1 ＝4. 10 5 10 5
验？ [解析] (1)20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 f(p)＝C220p2(1－p)18. 因此 f′(p)＝C220[2p(1－p)18－18p2(1－p)17]＝2C220p(1－p)17(1－10p)(0<p<1)． 令 f′(p)＝0，得 p＝0.1．当 p∈(0,0.1)时，f′(p)＞0； 当 p∈(0.1,1)时，f′(p)＜0. 所以 f(p)的最大值点为 p0＝0.1． (2)由(1)知，p＝0.1． ①令 Y 表示余下的 180 件产品中的不合格品件数，依题意知 Y～B(180,0.1)，X＝20×2＋
25Y，即 X＝40＋25Y. 所以 E(X)＝E(40＋25Y)＝40＋25E(Y)＝490. ②如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为 400 元．由于 E(X)＞400，
故应该对余下的产品作检验． 2．(2019·长春质检)某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下 100 个芒果，
A 发生的概率．
[解析] (1)由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为 3∶2∶2，由于采用分层抽
样的方法从中抽取 7 人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取 3 人，2 人，2 人．
(2)①随机变量 X 的所有可能取值为 0,1,2,3. P(X＝k)＝Ck4·C33－k(k＝0,1,2,3)．
如果两人都没猜对，则“星队”得 0 分．已知甲每轮猜对的概率是3，乙每轮猜对的概率是2；
4
3
每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，
求：
(1)“星队”至少猜对 3 个成语的概率；
(2)“星队”两轮得分之和 X 的分布列和数学期望 EX.
[解析] (1)记事件 A：“甲第一轮猜对”，记事件 B：“乙第一轮猜对”，
可得随机变量 X 的分布列为
X
0
1
2
3
4
6
P
1 144
5 72
25 144
1 12
5
1
12
4
所以数学期望 EX＝0× 1 ＋1× 5 ＋2× 25 ＋3× 1 ＋4× 5 ＋6×1＝23. 144 72 144 12 12 4 6
B组
1．(2018·全国卷Ⅰ，20)某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200 件，每一箱产品在交付用
且 B 与 C 互斥，由(i)知，P(B)＝P(X＝2)＝18，P(C)＝P(X＝1)＝12，
35
35
故 P(A)＝P(B∪C)＝P(X＝2)＋P(X＝1)＝6. 7
所以，事件 A 发生的概率为6. 7
8．甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮
活动中，如果两人都猜对，则“星队”得 3 分；如果只有一个人猜对，则“星队”得 1 分；
(2)现对一箱产品检验了 20 件，结果恰有 2 件不合格品，以(1)中确定的 p0 作为 p 的值．已
知每件产品的检验费用为 2 元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付
25 元的赔偿费用． ①若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 X，求
E(X)； ②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检
(2)以各组数据的中间数代表这组数据的平均值，将频率视为概率，某经销商来收购芒果， 该种植园中还未摘下的芒果大约还有 10 000 个，经销商提出如下两种收购方案：
A：所有芒果以 10 元/千克收购； B：对质量低于 250 克的芒果以 2 元/个收购，高于或等于 250 克的以 3 元/个收购． 通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多？ [解析] (1)由频率分布直方图可得，随机抽取的 9 个芒果中，质量在[250,300)和[300,350)
P(X＝3)＝3×2×1×1＋1×1×3×2＝ 12 ＝ 1 ， 4 3 4 3 4 3 4 3 144 12
P(X＝4)＝2×(3×2×3×1＋3×2×1×2)＝ 60 ＝ 5 ， 4 3 4 3 4 3 4 3 144 12
P(X＝6)＝3×2×3×2＝ 36 ＝1. 4 3 4 3 144 4
其质量分别在[100,150)，[150,200)，[200,250)，[250,300)，[300,350)，[350,400](单位：克)中， 经统计得频率分布直方图如图所示．
(1)现按分层抽样的方法，从质量为[250,300)，[300,350)的芒果中随机抽取 9 个，再从这 9 个中随机抽取 3 个，记随机变量 X 表示质量在[300,350)内的芒果个数，求 X 的分布列及数 学期望 E(X)；
方案 B：低于 250 克：(0.002＋0.002＋0.003)×50×10 000×2＝7 000(元)
高于或等于 250 克：(0.008＋0.004＋0.001)×50×10 000×3＝19 500(元)
第一部分 专题七 第三讲
A组
1．小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是 M，I，N 中的一个
字母，第二位是 1,2,3,4,5 中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( C )
A. 8 15
B．1 8
C． 1 15
D． 1 30
[解析] 根据题意可以知道，所输入密码所有可能发生的情况如下：M1，M2，M3，M4，