高考数学(平面向量)第一轮复习

高考数学（平面向量）第一轮复习资料
知识点小结
1、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量．
有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量．
单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量． 2、向量加法运算：
⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点．
⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+．
⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+；②结合律：()()
a b c a b c ++=++；③
00a a a +=+=．
⑸坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y +=++． 3、向量减法运算：
⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．
⑵坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y -=--． 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y A B=
--．
4、向量数乘运算：
⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①
a a λλ=；
②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当
0λ=时，0a λ=．
⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③()
a b a b λλλ+=+． ⑶坐标运算：设(),a x y =，则()(),,a x y x y λλλλ==．
20、向量共线定理：向量()
0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=．
b
a
C B
A
a b C C -=A -AB =B
设()11,a x y =，()22,b x y =，
其中0b ≠，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、()
0b b ≠共线．
5、平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+．（不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基底）
6、分点坐标公式：设点P 是线段12P P 上的一点，1P 、2P 的坐标分别是()11,x y ，()22,x y ，当12λP P =PP 时，点P 的坐标是1212,11x x y y λλλλ++⎛⎫
⎪++⎝⎭
．
7、平面向量的数量积：
⑴()
cos 0,0,0180a b a b a b θθ⋅=≠≠≤≤．零向量与任一向量的数量积为0．
⑵性质：设a 和b 都是非零向量，则①0a b a b ⊥⇔⋅=．②当a 与b 同向时，
a b a b ⋅=；当a 与b 反向时，a b a b ⋅=-；2
2
a a a a ⋅==或a a a =⋅．③a
b a b ⋅≤．
⑶运算律：①a b b a ⋅=⋅；②()()()
a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅；③()
a b c a c b c +⋅=⋅+⋅． ⑷坐标运算：设两个非零向量()11,a x y =，()22,b x y =，则1212a b x x y y ⋅=+．
若(),a x y =，则2
22
a x y =+，或2a x y =
+
设()11,a x y =，()22,b x y =，则12120a b x x y y ⊥⇔+=．
设a 、b 都是非零向量，()11,a x y =，()22,b x y =，θ是a 与b 的夹角，则
12
c o s a b a b
x θ⋅=
=
+
试题选讲
一、选择题 1.（2002上海春，13）若a 、b 、c 为任意向量，m ∈R ，则下列等式不一定．．．成立的是（ ） A.（a +b ）+c =a +（b +c ） B.（a +b ）·c =a ·c +b ·c C.m （a +b ）=m a +m b D.（a ·b ）c =a （b ·c ） .答案：D
解析：因为（a ·b ）c =|a |·|b |·cos θ·c 而a （b ·c ）=|b |·|c |·cos α·a 而c 方向与a 方向不一定同向.
评述：向量的积运算不满足结合律.
2.（2002天津文12，理10）平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A （3，1），
B （－1，3），若点
C 满足OB OA OC βα+=，其中α、β∈R ，且α+β=1，则点C 的轨迹方程为（ ）
A.3x +2y －11=0
B.（x －1）2+（y －2）2=5
C.2x －y =0
D.x +2y －5=0
.答案：D
解析：设=（x ，y ），=（3，1），=（－1，3），α=（3α，α）
， β
OB =（－β，3β）
又α
OA +βOB =（3α－β，α+3β）
∴（x ，y ）=（3α－β，α+3β），∴⎩
⎨⎧+=-=βαβα33y x
又α+β=1 因此可得x +2y =5
评述：本题主要考查向量法和坐标法的相互关系及转换方法.
3.（2001江西、山西、天津文）若向量a =（3，2），b =（0，－1），则向量2b －a 的坐标是（ ）
A.（3，－4）
B.（－3，4）
C.（3，4）
D.（－3，－4） 答案：D
解析：设（x ，y ）=2b －a =2（0，－1）－（3，2）=（－3，－4）. 评述：考查向量的坐标表示法.
4.（2001江西、山西、天津）设坐标原点为O ，抛物线y 2=2x 与过焦点的直线交于A 、B 两点，则OB OA ⋅等于（ ）
A.
4
3
B.－
4
3 C.3 D.－3
答案：B
解法一：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），AB 所在直线方程为y =k （x －
2
1
），则OB OA ⋅=x 1x 2+y 1y 2.又⎪⎩
⎪⎨⎧
=-=x y x k y 2)21(2，得k 2x 2－（k 2+2）x +42k =0，∴x 1·x 2=41，而y 1y 2=k （x 1－21）k （x 2－21）
=k 2（x 1－
21）（x 2－21）=－1.∴x 1x 2+y 1y 2=41
－1=－4
3. 解法二：因为直线AB 是过焦点的弦，所以y 1·y 2=－p 2=－1.x 1·x 2同上.
评述：本题考查向量的坐标运算，及数形结合的数学思想.
5.（2001上海）如图1，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若
B A 1=a ，11D A =b ，A A 1=c .则下列向量中与M
B 1相等的向量是（ ）
A.－
21a +2
1b +c B.
21a +21b +c C.
21a －2
1
b +
c D.－
21a －2
1b +c 答案：A 解析：)(2
1
111A B B ++=+==c +21（－a +b ）=
－
21a +2
1
b +
c 评述：用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化，本题考查的是基本的向量相等，与向量的加法.考查学生的空间想象能力.
6.（2001江西、山西、天津理，5）若向量a =（1，1），b =（1，－1），c =（－1，2），则c 等于（ ）
A.－
21a +2
3
b B.
21
a －23
b C.
2
3a －21
b
D.－
23a +2
1
b 答案：B
解析：设c =m a +n b ，则（－1，2）=m （1，1）+n （1，－1）=（m +n ，m －n ）.
∴⎩⎨⎧=--=+21n m n m ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==2
3
21n m
评述：本题考查平面向量的表示及运算.
7.(2000江西、山西、天津理，4)设a 、b 、c 是任意的非零平面向量,且相互不共线,则 ①（a ·b ）c －（c ·a ）b =0 ②|a |－|b |<|a －b | ③（b ·c ）a －（c ·a ）b 不与c 垂直
④（3a +2b ）（3a －2b ）=9|a |2－4|b |2中，是真命题的有（ ） A.①② B.②③ C.③④ D.②④
答案：
D
解析：①平面向量的数量积不满足结合律.故①假；
②由向量的减法运算可知|a |、|b |、|a －b |恰为一个三角形的三条边长，由“两边之差小于第三边”，故②真；
③因为［（b ·c ）a －（c ·a ）b ］·c =（b ·c ）a ·c －（c ·a ）b ·c =0，所以垂直.故③假； ④（3a +2b ）（3a －2b ）=9·a ·a －4b ·b =9|a |2－4|b |2成立.故④真. 评述：本题考查平面向量的数量积及运算律.
8.（1997全国，5）如果直线l 沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l 的斜率为（ ）
A.－
3
1 B.－3 C.
3
1 D.3
答案：A
解析：设直线l 的方程为y =kx +b （此题k 必存在），则直线向左平移3个单位，向上平移1个单位后，直线方程应为y =k （x +3）+b +1即y =kx +3k +b +1
因为此直线与原直线重合，所以两方程相同.比较常数项得3k +b +1=b .∴k =－3
1
.
评述：本题考查平移变换与函数解析式的相互关系.
二、填空题
9.（2002上海文，理2）已知向量a 和b 的夹角为120°，且|a |=2，|b |=5，则（2a －b ）·a =_____.
答案：13
解析：∵（2a －b ）·a =2a 2－b ·a =2|a |2－|a |·|b |·cos120°=2·4－2·5（－
2
1
）=13. 评述：本题考查向量的运算关系.
10.（2001上海春，8）若非零向量α、β满足|α+β|=|α－β|，则α与β所成角的大小为_____.
.答案：90°
解析：由|α+β|=|α－β|，可画出几何图形，如图14. |α－β|表示的是线段AB 的长度，|α+β|表示线段OC 的长度，由|AB |=|OC |
∴平行四边形OACB 为矩形，故向量α与β所成的角为90° 评述：本题考查向量的概念，向量的几何意义，向量的运算.这
些知识不只在学习向量时用到，而且在复数、物理学中也是一些最基本的知识.
11.（2000上海，1）已知向量OA =（－1，2），OB =（3，m ），若OA ⊥AB ，则m = . .答案：4
解析：∵OA ={－1，2}，OB ={3，m }，OA OB AB -=={4，m －2}，又OA ⊥AB ，
∴－1×4+2（m －2）=0，∴m =4.
评述：本题考查向量的概念，向量的运算，向量的数量积及两向量垂直的充要条件.
12.（1999上海理，8）若将向量a =（2，1）围绕原点按逆时针方向旋转4
π
得到向量b ，
则向量b 的坐标为_____.
答案：（
22
3,22） 解析：设a =OA =2+i ，b =OB ，由已知OA 、OB 的夹角为
4
π，由复数乘法的几何意
义，得OB =OA （cos
4
π+isin
4
π）=（2+i ）i i 22
322)2222(
+=+. ∴b =（
22
3
,22） 评述：本题考查向量的概念，向量与复数一一对应关系，考查变通、变换等数学方法，以及运用数学知识解决问题的能力.
13.（1997上海，
m =_____. 答案：－2
∵（a +b ）⊥（a
－b ），∴（m +2）×m +（m －4）（－m －2）=0，∴m =－2.
评述：本题考查平面向量的加、减法,平面向量的数量积及运算,两向量垂直的充要条件.
14.（1996上海，15）已知a +b =2i －8j ，a －b =－8i +16j ，那么a ·b =_____.
得
∴a ·b =（－3）×5+4×（－12）=－63.
评述：本题考查平面向量数量积的坐标表示及求法.
15.（1996上海，15）已知O （0，0）和A （6，3）两点，若点P 在直线OA 上，且2
1
=PA OP ，又P 是线段OB 的中点，则点B 的坐标是_____. 答案：（4，2）
解析：设P （x ，y ），由定比分点公式12
113
210,22116210=+⋅+==+⋅+=
y x ， 则P （2，1），又由中点坐标公式，可得B （4，2）.
三、解答题
16.（2003上海春，19）已知三棱柱ABC —A 1B 1C 1，在某个空间直角坐标系中，1},0,0,{},0,2
3
,2{
AA m AC m AB =-=={0，
0，n }.（其中m 、n >0）.如图2.
（1）证明：三棱柱ABC —A 1B 1C 1是正三棱柱；
（2）若m =
2n ，求直线CA 1与平面A 1ABB 1所成角的大小.
（1）证明：∵}0,2
3,2{m
m AB AC BC
=-=，∴| BC |=m ，
又}0,0,{},0,2
3,2{
m AC m m AB =-= ∴|AB |=m ，|AC |=m ，∴△ABC 为正三角形.
又AB ·1AA =0，即AA 1⊥AB ，同理AA 1⊥AC ，∴AA 1⊥平面ABC ，从而三棱柱ABC —A 1B 1C 1是正三棱柱.
（2）解：取AB 中点O ，连结CO 、A 1O .
∵CO ⊥AB ，平面ABC ⊥平面ABB 1A 1，∴CO ⊥平面ABB 1A 1，即∠CA 1O 为直线CA 1与平面A 1ABB 1所成的角.
在Rt △CA 1O 中，CO =
2
3m ，CA 1=2
2n m +， ∴sin CA 1O =
2
2
1=CA CO ，即∠CA 1O =45°.
17.（2002上海春，19）如图3，三棱柱OAB —O 1A 1B 1，平面OBB 1O 1⊥平面OAB ，∠O 1OB =60°，∠AOB =90°，且OB =OO 1=2，OA =
3.求：
（1）二面角O 1—AB —O 的大小；
（2）异面直线A 1B 与AO 1所成角的大小. （上述结果用反三角函数值表示） 解：（1）取OB 的中点D ，连结O 1D ，
则O 1D ⊥O B.
∵平面OBB 1O 1⊥平面OAB ， ∴O 1D ⊥平面OA B.
过D 作AB 的垂线，垂足为E ，连结O 1E . 则O 1E ⊥A B.
∴∠DEO 1为二面角O 1—AB —O 的平面角. 由题设得O 1D =3，
sin OBA =
7
212
2=+OB OA OA ， ∴DE =DB sin OBA =
7
21 ∵在R t △O 1DE 中，tan DEO 1=7，
∴∠DEO 1=arctan
7，即二面角O 1—AB —O 的大小为arctan 7.
（2）以O 点为原点，分别以OA 、OB 所在直线为x 、y 轴，过O 点且与平面AOB 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系如图15.则
O （0，0，0），O 1（0，1，
3）
，A （3，0，0），A 1（3，1，3），B （0，2，0）. 设异面直线A 1B 与AO 1所成的角为α， 则}3,1,3{},31,3{1111-=-=--=-=OO OA A O OA OB B A ，
cos α7
1
||||1111=⋅A O B A A O B A ，
∴异面直线A 1B 与AO 1所成角的大小为arccos 7
1.
18.（2002上海，17）如图5—4，在直三棱柱ABO —A ′B ′O ′中，OO ′=4，OA =4，OB =3，∠AOB =90°，D 是线段A ′B ′的中点，P 是侧棱BB ′上的一点，若OP ⊥BD ，求OP 与底面AOB 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）
图3 图5—4 图5
解法一：如图16，以O 点为原点建立空间直角坐标系
.
由题意，有B （3，0，0），D （
2
3
，2，4），设P （3，0，z ），则 BD ={－2
3
，2，4}，OP ={3，0，z }.
∵BD ⊥OP ，∴·OP =－
29
+4z =0，z =8
9. ∵BB ′⊥平面AOB ，∴∠POB 是OP 与底面AOB 所成的角. tan POB =
83，∴∠POB =arctan 8
3
. 解法二：取O ′B ′中点E ，连结DE 、BE ，如图17，则
DE ⊥平面OBB ′O ′，
∴BE 是BD 在平面OBB ′O ′内的射影. 又∵OP ⊥B D.
由三垂线定理的逆定理，得OP ⊥BE .
在矩形OBB ′O ′中，易得Rt △OBP ∽Rt △BB ′E ， ∴
B B OB
E B BP '='，得BP =8
9. （以下同解法一）
19.（2002天津文9，理18）如图5，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长为a ，侧棱长为
2a .
（1）建立适当的坐标系，并写出点A 、B 、A 1、C 1的坐标； （2）求AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角.
解：（1）如图18，以点A 为坐标原点O ，以AB 所在直线为Oy 轴，
以AA 1所在直线为Oz 轴，以经过原点且与平面ABB 1A 1垂直的直线为Ox 轴，建立空间直角坐标系.
由已知，得
A （0，0，0），
B （0，a ，0），A 1（0，0，
2 a ）
，C 1（a a
a 2,2
,23-）. （2）坐标系如图，取A 1B 1的中点M ，于是有M （0，
2,2
a
a ），连AM ，MC 1有 1MC =（－
2
3
a ，0，0），且AB =（0，a ，0），1AA =（0，0，2 a ） 由于1MC ·AB =0，1MC ·1AA =0，所以MC 1⊥面ABB 1A 1
.
∴AC 1与AM 所成的角就是AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角. ∵1AC =（a a
a 2,2
,23-
）
，AM =（0，2,2a a ）， ∴1AC ·AM =0+4
2
a +2a 2=49a 2.
而|1AC |=a a a a 3244322
2=++.
|AM |=a a a 2
3
2422=+.
∴cos ＜1AC ，AM ＞=232
3492
=⋅a a a
.
所以1AC 与AM 所成的角，即AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角为30°.
20.（2002天津文22，理21）已知两点M （－1，0），N （1，0），且点P 使,MN MP ⋅
,PN PM ⋅⋅成公差小于零的等差数列.
（1）点P 的轨迹是什么曲线？
（2）若点P 坐标为（x 0，y 0），θ为PM 与PN 的夹角，求tan θ.
解：（1）记P （x ，y ），由M （－1，0），N （1，0）得PM =－MP =（－1－x ，－y ）， PN =－NP =（1－x ，－y ）
，MN =－NM =（2，0） ∴MP ·MN =2（1+x ），PM ·PN =x 2+y 2－1，NM ·NP =2（1－x ）. 于是，MP ·MN ，·PN ，NM ·NP 是公差小于零的等差数列等价于
⎪⎩⎪⎨
⎧<+---++=-+,0)1(2)1(2)],
1(2)1(2[2112
2x x x x y x 即⎩⎨⎧>=+0
,322x y x 所以，点P 的轨迹是以原点为圆心，
3为半径的右半圆.
（2）点P 的坐标为（x 0，y 0）.
PM ·PN =x 02+y 02－1=2.
|PM |·|PN |=
2
0202020)1()1(y x y x +-⋅++.
∴cos θ2
2
02043tan .41
||||x x x PB PM --=-=⋅θ
21.（2001江西、山西、天津理）如图6，以正四棱锥V —ABCD 底面中心O 为坐标原点
建立空间直角坐标系O —xyz ，其中Ox ∥BC ，Oy ∥AB ，E 为VC 的中点，正四棱锥底面边长为2a ，高为h .
（1）求cos<DE BE , >；
（2）记面BCV 为α，面DCV 为β，若∠BED 是二面角α—VC —β的平面角，求∠BED
.
图6 图5—7 图5—8
解：（1）由题意知B （a ，a ，0），C （－a ，a ，0），D （－a ，－a ，0），E （2
,2,2h
a a -
）. 由此得，)2
,23,2(),2,2,23(h a a DE h a a BE =--
= ∴4
2322)232()223(2
2h a h h a a a a DE BE +-=⋅+⋅-+⋅-=⋅，
22222102
1
)2()2()23(||||h a h a a DE BE +=+-+-
==. 由向量的数量积公式有
cos<DE BE , >2
22222222
2106102
11021423||||h a h a h a h a h a DE BE ++-=+⋅++
-=⋅ （2）若∠BED 是二面角α—VC —β的平面角，则CV BE ⋅，则有CV BE
⊥＝0.
又由C （－a ，a ，0），V （0，0，h ），有CV ＝（a ，－a ，h ）且)2
,2,23(h
a a BE --
=， ∴02
2232
22=++-=⋅h a a .
即h ＝
2a ，这时有
cos<DE BE ,>＝31
)
2(10)2(61062
2222222-=++-=++-a a a a h a h a ， ∴∠BED ＝<DE BE ,>＝arccos （3
1
-
）＝π－arccos 31
评述：本小题主要考查空间直角坐标的概念、空间点和向量的坐标表示以及两个向量夹
角的计算方法；考查运用向量研究空间图形的数学思想方法.
22.（2001上海春）在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点E 、F 分别在BB 1、DD 1上，且AE ⊥A 1B ，AF ⊥A 1D.
（1）求证：A 1C ⊥平面AEF ；
（2）若规定两个平面所成的角是这两个平面所组成的二面角中的锐角（或直角）.则在空间中有定理：若两条直线分别垂直于两个平面，则这两条直线所成的角与这两个平面所成的角相等.
试根据上述定理，在AB =4，AD =3，AA 1=5时，求平面AEF 与平面D 1B 1BD 所成角的大小.（用反三角函数值表示）
（1）证明：因为CB ⊥平面A 1B ，所以A 1C 在平面A 1B 上的射影为A 1B . 由A 1B ⊥AE ，AE ⊂平面A 1B ，得A 1C ⊥AE . 同理可证A 1C ⊥AF .
因为A 1C ⊥AF ，A 1C ⊥AE ， 所以A 1C ⊥平面AEF .
（2）解：过A 作BD 的垂线交CD 于G ，因为D 1D ⊥AG ，所以AG ⊥平面D 1B 1BD .
设AG 与A 1C 所成的角为α，则α即为平面AEF 与平面D 1B 1BD 所成的角. 由已知，计算得DG =
4
9
. 如图19建立直角坐标系，则得点A （0，0，0），G （4
9
，3，0），A 1（0，0，5）， C （4，3，0）.
AG ={
4
9
，3，0}，A 1C ={4，3，－
5}.
因为AG 与A 1C 所成的角为α， 所以cos α=
25
2
12arccos ,25212||||11==⋅⋅αC A AG C A AG .
由定理知，平面AEF 与平面D 1B 1BD 所成角的大小为arccos
25
2
12. 注：没有学习向量知识的同学可用以下的方法求二面角的平面角.
解法一：设AG 与BD 交于M ，则AM ⊥面BB 1D 1D ，再作AN ⊥EF 交EF 于N ，连接MN ，则∠ANM 即为面AEF 与D 1B 1BD 所成的角α，用平面几何的知识可求出AM 、AN 的长度.
解法二：用面积射影定理cos α=
AEF
ABD
S S ∆∆. 评述：立体几何考查的重点有三个：一是空间线面位置关系的判定；二是角与距离的计算；三是多面体与旋转体中的计算.
23.（2001上海）在棱长为a 的正方体OABC —O ′A ′B ′C ′中，E 、F 分别是棱AB 、BC 上的动点，且AE =BF .如图5—8.
（1）求证：A ′F ⊥C ′E .
（2）当三棱锥B ′—BEF 的体积取得最大值时，求二面角B ′—EF —B 的大小（结果用反三角函数表示）
建立坐标系，如图5—20.
（1）证明：设AE =BF =x ，则A ′（a ，0，a ），F （a －x ，a ，0），C ′（0，a ，a ），E （a ，x ，0）
∴A '={－x ，a ，－a }，E C '={a ，x －a ，－a }. ∵F A '·E C '=－xa +a （x －a ）+a 2=0 ∴A ′F ⊥C ′E
（2）解：设BF =x ，则EB =a －x 三棱锥B ′—BEF 的体积 V =
61x （a －x ）·a ≤6a （2
a ）2=241a 3
当且仅当x =
2
a
时，等号成立. 因此，三棱锥B ′—BEF 的体积取得最大值时BE =BF =
2
a
，过B 作BD ⊥EF 于D ，连 B ′D ，可知B ′D ⊥EF .∴∠B ′DB 是二面角B ′—EF —B 的平面角在直角三角形BEF 中，直角边BE =BF =
2
a ，BD 是斜边上的高.∴BD =42a .
∴tan B ′DB =
22='BD
B
B 故二面角B ′—EF —B 的大小为arctan2
2.
评述：本题考查空间向量的表示、运算及两向量垂直的充要条件.二次函数求最值或均值不等式求最值，二面角等知识.考查学生的空间想象能力和运算能力.用空间向量的观点处理立体几何中的线面关系，把几何问题代数化，降低了立体几何的难度.本题考查的线线垂直等价于F A '·E C '=0，使问题很容易得到解决.而体积的最值除用均值不等式外亦可用二次函数求最值的方法处理.二面角的平面角的找法是典型的三垂线定理找平面角的方法，计算较简单，有一定的思维量.
24.（2000上海春，21）四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是一个平行四边形，AB ={2，－1，－4}，AD ={4，2，0}，AP ={－1，2，－1}.
（1）求证：PA ⊥底面ABCD ； （2）求四棱锥P —ABCD 的体积；
（3）对于向量a ={x 1，y 1，z 1}，b ={x 2，y 2，z 2}，c ={x 3，y 3，z 3}，定义一种运算： （a ×b ）·c =x 1y 2z 3+x 2y 3z 1+x 3y 1z 2－x 1y 3z 2－x 2y 1z 3－x 3y 2z 1，试计算（AB ×AD ）·AP 的绝对值的值；说明其与四棱锥P —ABCD 体积的关系，并由此猜想向量这一运算（AB ×
AD ）
·AP 的绝对值的几何意义. （1）证明：∵⋅=－2－2+4=0，∴AP ⊥AB . 又∵AD AP ⋅=－4+4+0=0，∴AP ⊥AD .
∵AB 、AD 是底面ABCD 上的两条相交直线，∴AP ⊥底面ABCD . （2）解：设与的夹角为θ，则 cos θ1053
416161428|
|||=+⋅++-=⋅AD AB AD AB
V =
31|AB |·|AD |·sin θ·|AP |=16141105
9
110532=++⋅-⋅ （3）解：|（×AD ）·AP |=|－4－32－4－8|=48它是四棱锥P —ABCD 体积的3倍.
猜测：|（AB ×AD ）·AP |在几何上可表示以AB 、AD 、AP 为棱的平行六面体的体
积（或以AB 、AD 、AP 为棱的直四棱柱的体积）.
评述：本题考查了空间向量的坐标表示、空间向量的数量积、空间向量垂直的充要条件、空间向量的夹角公式和直线与平面垂直的判定定理、棱锥的体积公式等.主要考查考生的运算能力，综合运用所学知识解决问题的能力及空间想象能力.
25.（2000上海，18）如图9所示四面体ABCD 中，AB 、BC 、BD 两两互相垂直，且AB =BC =2，E 是AC 中点，异面直线AD 与BE 所成的角的大小为arccos
10
10
，求四面体ABCD 的体积
.
图9 图10 图11
解：如图21建立空间直角坐标系 由题意，有A （0，2，0）、C （2，0，0）、E （1，1，0） 设D 点的坐标为（0，0，z ）（z >0） 则BE ={1，1，0}，={0，－2，z }， 设BE 与AD 所成角为θ. 则AD ·BE =
2·2
24+cos θ=－2，且AD 与BE 所成
的角的大小为arccos
10
10
.∴cos 2θ=101422
=+z ，∴z =4，故|BD |的长度为4. 又V A —BCD =
6
1
|AB |×|BC |×|BD |=38，因此，四面体ABCD 的体积为38.
评述：本题考查空间图形的长度、角度、体积的概念和计算.以向量为工具，利用空间
向量的坐标表示、空间向量的数量积计算线段的长度、异面直线所成角等问题，思路自然，解法灵活简便.
26.（2000天津、江西、山西）如图10所示，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，CA =CB =1，∠BCA =90°，棱AA 1=2，M 、N 分别是A 1B 1、A 1A 的中点.
（1）求BN 的长；
（2）求cos<11,CB BA >的值； （3）求证：A 1B ⊥C 1M
.
解：如图22，建立空间直角坐标系O —xyz . （1）依题意得B （0，1，0）、N （1，0，1） ∴|BN |=
3)01()10()01(222=-+-+-.
（2）依题意得A 1（1，0，2）、B （0，1，0）、C （0，0，0）、B 1（0，1，2）
∴1BA ={－1，－1，2}，1CB ={0，1，2，}，1BA ·1CB =3，|1BA |=
6，|1CB |=5
∴cos<1BA ，1CB 3010
1
||||1111=⋅CB BA CB BA .
（3）证明：依题意，得C 1（0，0，2）、M （
2
1
,21，2），B A 1={－1，1，2}， M C 1={2
1
,21，0}.
∴A 1·M C 1=－
2
1
21++0=0，∴A 1⊥M C 1，∴A 1B ⊥C 1M . 评述：本题主要考查空间向量的概念及运算的基本知识.考查空间两向量垂直的充要条件
27.（2000全国理，18）如图11，已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形且∠C 1CB =∠C 1CD =∠BCD =60°.
（1）证明：C 1C ⊥BD ；
（2）假定CD =2，CC 1=2
3
，记面C 1BD 为α，面CBD 为β，求二面角α—BD —β的平面角的余弦值；
（3）当
1
CC CD
的值为多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ？请给出证明. （1）证明：设CB =a ，CD =b ，1CC =c ，则|a |=|b |，∵CB CD BD -==b －a ， ∴BD ·1CC =（b －a ）·c =b ·c －a ·c =|b |·|c |cos60°－|a |·|c |cos60°=0， ∴C 1C ⊥BD .
（2）解：连AC 、BD ，设AC ∩BD =O ，连OC 1，则∠C 1OC 为二面角α—BD —β的平面角. ∵2
1)(21=+=CD BC CO
（a +b ），2111=-=CC CO O C （a +b ）－c
∴CO ·2
11=O
C （a +b ）
·［21
（a +b ）－c ］ =
4
1（a 2+2a ·b +b 2）－21a ·c －21
b ·c
=
41（4+2·2·2cos60°+4）－21·2·23cos60°－21
·2·23cos60°=2
3.
则|CO |=
3，|O C 1|=23，∴cos C 1OC 33
11= （3）解：设
1
CC CD
=x ，CD =2， 则CC 1=x 2.
∵BD ⊥平面AA 1C 1C ，∴BD ⊥A 1C ∴只须求满足：D C C A 11⋅=0即可. 设A A 1=a ，AD =b ，DC =c ， ∵C A 1=a +b +c ，D C 1=a －c ，
∴D C C A 11⋅=（a +b +c ）（a －c ）=a 2+a ·b －b ·c －c 2=
x x 242+－6，令6－24
2x
x -=0，得x =1或x =－
3
2
（舍去）. 评述：本题蕴涵着转化思想，即用向量这个工具来研究空间垂直关系的判定、二面角的求解以及待定值的探求等问题.
28.（1999上海，20）如图12，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是一直角梯形，∠BAD =90°，AD ∥BC ，AB =BC =a ，AD =2a ，且PA ⊥底面ABCD ，PD 与底面成30°角. （1）若AE ⊥PD ，E 为垂足，求证：BE ⊥PD ； （2）求异面直线AE 与CD 所成角的大小.
（1）证明：∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥AB ，又AB ⊥AD .∴AB ⊥平面PAD .又∵AE ⊥PD ，∴PD ⊥平面ABE ，故BE ⊥PD .
（2）解：以A 为原点，AB 、AD 、AP 所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则点C 、D 的坐标分别为（a ，a ，0），（0，2a ，0）
.
∵PA ⊥平面ABCD ，∠PDA 是PD 与底面ABCD 所成的角，∴∠PDA =30°.
于是，在Rt △AED 中，由AD =2a ，得AE =a .过E 作EF ⊥AD ，垂足为F ，在Rt △AFE 中，由AE =a ，∠EAF =60°，得AF =
2a ，EF =23a ，∴E （0，2
3,21a a ） 于是，CD a a AE
},2
3
,21,0{=={－a ，a ，0}
设AE 与CD 的夹角为θ，则由cos θ|
|||CD AE CD
AE ⋅420
)()2
3()21(00
23
21)(02
22222=++-⋅++⋅+⋅+-⋅a a a a a a a a ∴θ=arccos
42，即AE 与CD 所成角的大小为arccos 4
2
. 评述：第（2）小题中，以向量为工具，利用空间向量坐标及数量积，求两异面直线所
成的角是立体几何中的常见问题和处理手段.
29.（1995上海，21）如图13在空间直角坐标系中BC =2，原点O 是BC 的中 点，点A 的坐标是（2
1
,23，
0），点D 在平面yOz 上，且∠BDC =90°， ∠DCB =30°。

（1）求向量OD 的坐标；
（2）设向量AD 和BC 的夹角为θ，求cos θ的值.
解：（1）过D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，在Rt △BDC 中,由∠BDC =90°,∠DCB =30°，BC =2，得BD =1，CD =
3，∴DE =CD ·sin30°=
23
. OE =OB －BE =OB －BD ·cos60°=1－
2
121=. ∴D 点坐标为（0，－
23,21），即向量OD [TX →]的坐标为{0，－23
,21}. （2）依题意：}0,1,0{},0,1,0{},0,2
1
,23{
=-==，
所以}0,2,0{},2
3
,1,23{=-=--
=-=OB OC BC OA OD AD . 设向量AD 和BC 的夹角为θ，则
cos θ2
22222020)2
3
()1()23(0
23
2)1(023||||++⋅+-+-⨯+⨯-+⨯-
=⋅BC AD BC AD 105
1
-
=. 评述：本题考查空间向量坐标的概念，空间向量数量积的运算及空间向量的夹角公式.解决好本题的关键是对空间向量坐标的概念理解清楚，计算公式准确，同时还要具备很好的运算能力.。