高考数学(平面向量)第一轮复习

高考数学（平面向量）第一轮复习资料

知识点小结

1、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量．

有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量．

单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量． 2、向量加法运算：

⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点．

⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+．

⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+；②结合律：()()

a b c a b c ++=++；③

00a a a +=+=．

⑸坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y +=++． 3、向量减法运算：

⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．

⑵坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y -=--． 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y A B=

--．

4、向量数乘运算：

⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①

a a λλ=；

②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当

0λ=时，0a λ=．

⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③()

a b a b λλλ+=+． ⑶坐标运算：设(),a x y =，则()(),,a x y x y λλλλ==．

20、向量共线定理：向量()

0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=．

b

a

C B

A

a b C C -=A -AB =B

设()11,a x y =，()22,b x y =，

其中0b ≠，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、()

0b b ≠共线．

5、平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+．（不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基底）

6、分点坐标公式：设点P 是线段12P P 上的一点，1P 、2P 的坐标分别是()11,x y ，()22,x y ，当12λP P =PP 时，点P 的坐标是1212,11x x y y λλλλ++⎛⎫

⎪++⎝⎭

．

7、平面向量的数量积：

⑴()

cos 0,0,0180a b a b a b θθ⋅=≠≠≤≤．零向量与任一向量的数量积为0．

⑵性质：设a 和b 都是非零向量，则①0a b a b ⊥⇔⋅=．②当a 与b 同向时，

a b a b ⋅=；当a 与b 反向时，a b a b ⋅=-；2

2

a a a a ⋅==或a a a =⋅．③a

b a b ⋅≤．

⑶运算律：①a b b a ⋅=⋅；②()()()

a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅；③()

a b c a c b c +⋅=⋅+⋅． ⑷坐标运算：设两个非零向量()11,a x y =，()22,b x y =，则1212a b x x y y ⋅=+．

若(),a x y =，则2

22

a x y =+，或2a x y =

+

设()11,a x y =，()22,b x y =，则12120a b x x y y ⊥⇔+=．

设a 、b 都是非零向量，()11,a x y =，()22,b x y =，θ是a 与b 的夹角，则

12

c o s a b a b

x θ⋅=

=

+

试题选讲

一、选择题 1.（2002上海春，13）若a 、b 、c 为任意向量，m ∈R ，则下列等式不一定．．．成立的是（ ） A.（a +b ）+c =a +（b +c ） B.（a +b ）·c =a ·c +b ·c C.m （a +b ）=m a +m b D.（a ·b ）c =a （b ·c ） .答案：D

解析：因为（a ·b ）c =|a |·|b |·cos θ·c 而a （b ·c ）=|b |·|c |·cos α·a 而c 方向与a 方向不一定同向.

评述：向量的积运算不满足结合律.

2.（2002天津文12，理10）平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A （3，1），

B （－1，3），若点

C 满足OB OA OC βα+=，其中α、β∈R ，且α+β=1，则点C 的轨迹方程为（ ）

A.3x +2y －11=0

B.（x －1）2+（y －2）2=5

C.2x －y =0

D.x +2y －5=0

.答案：D

解析：设=（x ，y ），=（3，1），=（－1，3），α=（3α，α）

， β

OB =（－β，3β）

又α

OA +βOB =（3α－β，α+3β）

∴（x ，y ）=（3α－β，α+3β），∴⎩

⎨⎧+=-=βαβα33y x

又α+β=1 因此可得x +2y =5

评述：本题主要考查向量法和坐标法的相互关系及转换方法.

3.（2001江西、山西、天津文）若向量a =（3，2），b =（0，－1），则向量2b －a 的坐标是（ ）

A.（3，－4）

B.（－3，4）

C.（3，4）

D.（－3，－4） 答案：D

解析：设（x ，y ）=2b －a =2（0，－1）－（3，2）=（－3，－4）. 评述：考查向量的坐标表示法.

4.（2001江西、山西、天津）设坐标原点为O ，抛物线y 2=2x 与过焦点的直线交于A 、B 两点，则OB OA ⋅等于（ ）

A.

4

3

B.－

4

3 C.3 D.－3

答案：B

解法一：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），AB 所在直线方程为y =k （x －

2

1

），则OB OA ⋅=x 1x 2+y 1y 2.又⎪⎩

⎪⎨⎧

=-=x y x k y 2)21(2，得k 2x 2－（k 2+2）x +42k =0，∴x 1·x 2=41，而y 1y 2=k （x 1－21）k （x 2－21）

=k 2（x 1－

21）（x 2－21）=－1.∴x 1x 2+y 1y 2=41

－1=－4

3. 解法二：因为直线AB 是过焦点的弦，所以y 1·y 2=－p 2=－1.x 1·x 2同上.