点法式方程
9.1.3直线的点法式方程
A
B
1
v =（v1,v2）
1 x
O
直线的法向量
（1）与一条直线垂直的非 零向量叫做这条直线的法向量。 表示。 通常用 n
n a
O
x y
（2）直线的方向向量与法向量有怎样的关系？
（3）由一个点和直线的一个法向量能否确定 一条直线？
在平面直角坐标系中，求过点P0（x0,y0）
且一个法向量为 n =(A，B)的直线l的方程。
设P（x,y）是直线上任意一点，则点P在l上的 充要条件是
n p0 p 0
用坐标表示为 A（x-x0）+B（y-y0）=0 ① 方程① 是由直线上一点和一个法向量确定的，叫 做直线的点法式方程
例9
求经过点P(1，2) ，且一个法向量为
n (3, 4)
的直线方程．
解：根据直线的点法式方程，得
1．直线的法向量：
如果非零向量 n 所在的直线与直线 l 垂直， 则称 n 为直线 l 的一个法向量．
2、直线的点法式方程
A（x-x0）+B（y-y0）=0
必做题：P 86 第 4 题．
选做题：P 86 第 6 题．
x 1 y 2 ( 3 ) 经过点A（1，-2），一个方向向量为v(-1,3) 1 3
（4）经过点 A（8，– 2），斜率是 －1； y+2=-(x-8)
（5）截距是 2 ，斜率为 1 ； y＝x＋2
方向向量定义: 与一条直线平行的非零向量叫做这条直线 的方向向量。通常用 v =（v1,v2）表示。
圆
直线
直线 圆
9.1.3直线的点法式方程
问：我们已经学过直线方程的哪三种形式？
直线的法向量和点法式方程课件
记
公
式 o P0(x0 , y0)
n A, B
直线经过点P0(x0,y0 )， 一个法向量n=(A,B)， 则直线的点法式方程
x A(x-x0)+B(y-y0)=0
第14页，共21页。
直线的点法式方程
公公
y
式式 推推 导导
o P0(x0 , y0)
(1)向量 P0 P 的坐标为：
(x-x0 , y-y0 ) ,
d (u, v)
o
x
*当 u v 0 时, 直线l 的点向式方程为:
（u,V都不为零）
x x0 y y0 , (1)
u
v
*当 u 0, v 0 时,直线 l 的方程是: x x0
*当 u 0, v 0 时,直线 l 的方程是: y y0
（u,v中只有一个为零）
第4页，共21页。
思 2、掌握一个方程—— 直线的点法式方程
小小
A( x - x0 ) +B( y - y0 )=0 3、利用直线的点法式方程可以解决
结结 （1）已知直线上一点和直线的法向量 （2）求线段的垂直平分线方程
（3）求三角形一边的高线所在直线方程
第20页，共21页。
布
置
作 补充（附加） 三角形ABC,A(1,-3),B(-2,4),C(0，-2)
题 直线 的一个法向量n=(A,B),
探 则直线 的一个方向向量v如何表示？
究
v (B, A)
或v (B, A)
第8页，共21页。
口
答
n
v
练
(2, 3)
习习
(4, 5)
第9页，共21页。
画出符合要求的直线
1、经过点P0
空间中平面的方程
空间中平面的方程空间中平面的方程是描述空间中平面的数学表达式。
平面是指在三维空间中无限延伸的二维平面，它由无数个点组成，其中任意三点不共线。
在数学中，我们可以通过方程来描述一个平面，方程中的变量表示平面上的点的坐标。
平面的方程通常有不同的表示方式，下面将介绍几种常见的平面方程。
首先是点法式方程，它是通过一个点和法向量来表示平面的方程。
设平面上一点为P(x,y,z)，法向量为n(a,b,c)，则点法式方程可以表示为n·(P-P0)=0，其中P0是平面上的一个已知点。
其次是一般式方程，一般式方程可以用Ax+By+Cz+D=0来表示平面，其中A、B、C是平面的法向量的分量，D是一个常数。
这种表示方法更加简洁，方便计算平面与直线的交点和平面之间的关系。
另一种常见的平面方程是截距式方程，它是通过平面在坐标轴上的截距来表示。
设平面在x轴、y轴和z轴上的截距分别为a、b和c，则截距式方程可以表示为x/a + y/b + z/c = 1。
这种表示方法常用于描述平面在坐标轴上的投影。
除了上述三种常见的平面方程表示方式，还有其他一些特殊情况下的平面方程，如平面与坐标轴平行或垂直的情况。
例如，如果平面与x轴平行，那么它的方程可以表示为y=f(y,z)，其中f是关于y和z的函数。
同理，如果平面与y轴或z轴平行，那么它的方程可以分别表示为x=f(x,z)和y=f(x,y)。
平面方程的表示方法多种多样，根据具体的问题和需要，我们可以选择适合的方程形式。
使用不同的方程形式可以简化计算或推导的过程，使问题的解决更加方便和高效。
在实际应用中，平面方程常用于几何学、物理学和工程学等领域。
例如，在几何学中，我们可以通过平面方程来计算平面的法向量、平面与直线的交点以及平面与平面之间的夹角。
在物理学中，平面方程可以用于描述电场、磁场或光线在空间中的传播情况。
在工程学中，平面方程可以用于计算建筑物或桥梁等结构的稳定性和强度。
平面方程是描述空间中平面的重要工具，它可以通过不同的表示方式来描述平面的特征和性质。
一、平面的点法式方程
平面∏2的法向量为 n2 ( A2 , B2 ,C2 )
则两平面夹角 的余弦为
2
cos n1 n2
n1 n2
即
cos
A1A2 B1B2 C1C2
A12 B12 C12 A22 B22 C22
n1
n2
1
平面的位置关系：
(1) 1 2
n1 n2
A1 A2 B1 B2 C1 C2 0
求此平面方程.
解 设平面为 Ax By Cz D 0,
aA D 0, 将三点坐标代入得 bB D 0,
cC D 0,
A D, B D, C D.
a
b
c
三、两平面的夹角
两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角.
设平面∏1的法向量为 n1 ( A1 , B1 ,C1 )
o x
n
M0
y
A( x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0 ① 平面的点法式方程, 称 n 为平面 的法向量.
例1 求过三点
的平面 的方程.
解: 取该平面 的法向量为
n
n M1M 2 M1M3
M1
i jk
3 4 6
2 3 1
(14, 9, 1)
又 M1 , 利用点法式得平面 的方程
以上两式相减 , 得平面的点法式方程
显然方程②与此点法式方程等价,因此方程②的图形是
法向量为 n ( A, B,C)的平面, 此方程称为平面的一般
方程.
Ax By Cz D 0 ( A2 B2 C 2 0)
特殊情形 • 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示 通过原点的平面; • 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量
平面方程的三种形式
平面方程的三种形式嘿，朋友们！今天咱们来聊聊平面方程那点事儿。
首先是点法式方程，就像是给平面找了个超级明星代言人。
它的形式是A(x - x₀)+B(y - y₀)+C(z - z₀)=0。
你看啊，(x₀,y₀,z₀)就像是这个平面在空间中的一个根据地，A、B、C呢，就像是这个根据地派出的三个超能力战士，只要知道了这个根据地的坐标和这三个超能力战士的能力值（也就是方向数），那这个平面就被这一方程稳稳地掌控住了，就像孙悟空画个圈，妖怪就进不来这个平面似的。
然后就是一般式方程Ax+By+Cz+D = 0。
这就好比是平面的一个大杂烩式的描述。
A、B、C就像是三个大厨，D就像是一些特殊调料。
这几个元素组合在一起，就能烹饪出一个独一无二的平面。
不管这个平面是平平无奇还是奇奇怪怪，这个方程都能把它搞定。
就像一个万能的魔法咒语，一念出来，平面就乖乖现身。
再说说截距式方程，x/a + y/b + z/c = 1。
这个方程可有趣啦，a、b、c就像是平面和坐标轴的三个约会地点。
你可以想象这个平面是个超级大忙人，它在x轴、y轴、z轴上分别有个约会，在x轴是a点，y轴是b点，z 轴是c点。
这个方程就像是记录这些约会地点的小本本，只要知道这三个约会地点，就能确定这个平面啦，就像通过三个朋友聚会的地点就能确定他们聚会的那个场子一样。
还有一种特殊情况，如果A = 0，那Ax+By+Cz+D = 0就变成了By+Cz+D = 0，这就像是平面在x轴方向上躺平了，对x轴说：“我就不管你啦，我在y和z轴这边玩。
”要是B = 0呢，Ax+By+Cz+D = 0就成了Ax+Cz+D = 0，这个平面就像是对y轴摆摆手：“y轴啊，我今天不和你玩，我和x、z轴有事儿。
”当C = 0时，Ax+By+Cz+D = 0变为Ax+By+D = 0，这个平面就像是在z轴上空盘旋，对z轴说：“你在下面待着吧，我在x和y轴组成的世界里逍遥。
”如果D = 0，Ax+By+Cz+D = 0就成了Ax+By+Cz = 0，这个平面就像是个无家可归的流浪者，不过它还是有自己独特的身份，就像虽然没有固定的房子，但还是有自己的性格特点一样，这个方程就确定了这个特殊的平面。
11直线的点法式方程
例3. 已知点A(-1, 2)B(2, 1)C(0, 4)求△ABC三条高所 在的直线方程.
解 AB (2 1, 1 2) (3,1), AC (0 1, 4 2) (1, 2).
BC (0 2, 4 1) (2, 3).
如图所示: △ABC三条高分别为 由点法式方程得CD方程为： CD、AE、BF，
x 1 y 2 （1 ） 1 2 2x 1 (2) 3 y 5
答案：（ 1 ） d （ 1， 2）， n （2， 1 ）
（2） n （2， 15） ,d （ 15， 2）
例2.
例5.
A
解：l1 l 2 n 1 n 2 (2 a, a) (1,a) 2 a a 2 0 a 2或a 1
a( x x0 ) b( y y0 ) 0
③
l
n ( a , b)
d (u, v)
（2）：若直线的一个方向向量是d (u, v) 则它的一个法向量是n (v,u ) 反之，若直线的一个法向量是n (a, b) 则它的一个方向向量是d (b,a)
练习：观察下列方程，并写出各直线 的一个方向向量和一个法向量。
y C(0,4) F D A(-1,2) B (2,1) 0 x E
3(x-0)+(-1)(y-4) = 0 即 3x - y+4 = 0
由点法式方程得AE方程为：
(-2)(x+1) + 3(y - 2) = 0 即 2x-3y+8 = 0
由点法式方程得BF方程为：
1(x - 2) თ.1.2 直线的点法向式和一般式方程
平面方程推导
平面方程推导平面方程是描述平面上一点和法向量之间关系的数学公式。
在三维空间中，平面可以由一个点和一条法向量唯一确定。
常用的平面方程有点法式、一般式和截距式。
1. 点法式：点法式平面方程是将平面上的一个点和它的法向量结合起来表示平面的方程。
设平面上一点为P(x, y, z)，法向量为n(a, b, c)。
则平面方程可以表示为：ax + by + cz = d其中，a、b、c是法向量n的坐标，d是平面方程的常数项。
这个方程表达的是平面上的所有点与法向量的乘积都相等。
点法式在计算和推导其他平面方程时非常有用。
2. 一般式：一般式平面方程是用平面上的三个参数来表示平面的方程。
设平面上一点为P(x, y, z)，三个参数为A、B、C。
则平面方程可以表示为：Ax + By + Cz = D其中，A、B、C是平面上任意一个与法向量平行的向量，D是平面方程的常数项。
一般式平面方程的系数A、B、C通常是整数，方便进行推导和计算。
一般式平面方程也可以通过点法式转换得到。
3. 截距式：截距式平面方程是用平面上与坐标轴相交的三个截距参数来表示平面的方程。
设平面上与坐标轴相交的点分别为A(a,0,0)、B(0,b,0)、C(0,0,c)。
则平面方程可以表示为：x/a + y/b + z/c = 1其中，a、b、c是截距参数。
截距式平面方程直观地表示了平面与坐标轴的交点位置关系，方便进行可视化和图形分析。
平面方程的推导一般依据平面上的已知点和法向量来进行。
通过求解点法式或一般式的线性方程组，可以得到平面方程的各个参数。
在推导过程中，需要注意法向量的方向与平面的朝向一致，同时需要确保方程为最简形式。
应用平面方程可以解决多个几何和物理问题，如求两平面的交线、求点到平面的距离、判断点是否在平面上等。
平面方程是描述平面特征的基本工具，在计算几何、物理建模和计算机图形学等领域中得到广泛应用。
通过深入理解平面方程的推导和应用，可以进一步掌握三维空间几何的相关知识。
1.6平面及其方程
平面的一般方程为Ax+By+Cz+D=0,其法线向量为n=(A, B, C). 讨论： 1.填写下表: 平面方程 By+Cz+D=0 Ax+Cz+D=0 Ax+By+D=0 Cz+D=0 Ax+D=0 By+D=0 法线向量 n=(0, B, C) n=(A, 0, C) n=(A, B, 0) n=(0, 0, C) n=(A, 0, 0) n=(0, B, 0) 法线向量垂直于 平面平行于 x轴 x轴 y轴 y轴 z轴 z轴 x轴和y轴 xOy平面 y轴和z轴 yOz平面 x轴和z轴 zOx平面
平面的点法式方程 过点M0(x0, y0, z0)且法线向量为n=(A, B, C)的平面的方程 为 A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.
例1 求过点(2, -3, 0)且以n=(1, -2, 3)为法线向量的平面的 方程. 解 根据平面的点法式方程, 得所求平面的方程为 (x-2)-2(y+3)+3z=0, 即 x-2y+3z-8=0.
平面的点法式方程 过点M0(x0, y0, z0)且法线向量为n=(A, B, C)的平面的方程 为 A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.
例2 求过三点M1(2,-1, 4)、M2(-1, 3,-2)和M3(0, 2, 3)的平 面的方程.
解 我们可以用 M 1M 2 M 1M 3 作为平面的法线向量 n. 解
2.平面Ax+By+Cz=0有什么特点？ 提示： D=0, 平面过原点.
平面的一般方程为Ax+By+Cz+D=0,其法线向量为n=(A, B, C). 例3 求通过x轴和点(4, -3, -1)的平面的方程. 解 可设此平面的方程为 By+Cz=0. 又因为此平面通过点(4, -3, -1), 所以有 -3B-C=0. 将C=-3B其代入所设方程, 得 By-3Bz=0. 于是所求的平面方程为 y-3z=0. 提示：平面通过 x 轴 , 表明 A=0( 它的法线向量垂直于 x 轴 ) 且 D=0(它通过原点).
理学第节平面方程空间直线及方程
所求直线方程为
内容小结
1.平面基本方程:
一般式
点法式
截距式
三点式
2.平面与平面之间的关系
平面
平面
垂直:
平行:
夹角公式:
1. 空间直线方程
一般式
对称式
参数式
直线
2. 线与线的关系
直线
夹角公式:
平面 :
L⊥
L //
夹角公式：
3. 面与线间的关系
直线 L :
平行于 xoy 面 的平面;
平行于 yoz 面 的平面；
平行于 zox 面 的平面.
三、两平面的夹角
设平面∏1的法向量为
平面∏2的法向量为
则两平面夹角 的余弦为
即
两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角.
特别有下列结论：
四、空间直线方程
因此其一般式方程
1. 一般式方程
直线可视为两平面交线，
①
一、平面的点法式方程
设一平面通过已知点
且垂直于非零向
称①式为平面的点法式方程,
求该平面的方程.
法向量.
量
则有
故
例1.求过三点
即
解: 取该平面 的法向量为
的平面 的方程.
利用点法式得平面 的方程
此平面的三点式方程也可写成
一般情况 :
过三点
的平面方程为
说明:
特别,当平面与三坐标轴的交点分别为
此式称为平面的截距式方程.
时,
平面方程为
分析:利用三点式
按第一行展开得
即
二、平面的一般方程
设有三元一次方程
以上两式相减 , 得平面的点法式方程
高等数学 平面及其方程
M0
O
y
x
2021/7/17
3
一、平面的点法式方程
法线向量：
z
如果一非零向量垂直于一平面，
这向量就电做该平面的法线向量．
唯一确定平面的条件：
过一定点M 0(x 0，y 0，z 0)的平面 有无穷个．
M0
O
y
x
2021/7/17
4
一、平面的点法式方程
法线向量：
z
如果一非零向量垂直于一平面，
这向量就电做该平面的法线向量．
唯一确定平面的条件：
过一定点M 0(x 0，y 0，z 0)的平面 有无穷个．
M0
O
y
x
2021/7/17
5
一、平面的点法式方程
法线向量： 如果一非零向量垂直于一平面，
这向量就电做该平面的法线向量．
z n
唯一确定平面的条件：
过一定点M 0(x 0，y 0，z 0)的平面 有无穷个．
过一定点M 0(x 0，y 0，z 0)并有确定 x 法向量 n{A，B，C}的平面只有一个．
2021/7/17
M0 O
y
6
一、平面的点法式方程
法线向量： 如果一非零向量垂直于一平面，
这向量就电做该平面的法线向量．
z n
唯一确定平面的条件：
过一定点M 0(x 0，y 0，z 0)的平面 有无穷个．
过一定点M 0(x 0，y 0，z 0)并有确定 x 法向量 n{A，B，C}的平面只有一个．
9
例2 求过三点M 1(2，1，4)、M 2(1，3，2)和M 3(0，2，3)
的平面的方程． z
解 先求出这平面的法线向量 n ．
M 1M 2{3， 4， 6}，n
高等数学：第六讲 空间平面点法式方程
目录
01
点法式方程
02
例题讲解
03
内容小结
空间平面的点法式方程
※法向量： 垂直于平面的非零向量称为该平面的法向量。
记作： n A, B,C
n
※平面法向量的基本特征：
1.一个平面有多无少穷个多法个向法量向？量。
2.一个平面法的向法量向的量方的向方有向几有个两？个。
3.平面的法向量与垂平直面于上平的面向上量任位意置向关量系。如何？
即
x - 4 y + 9 z+1 = 0 .
a
b
例题讲解
例3. 求过三点M1(2,-1,4)， M2(-1,3,-2)， M3(0,2,3)的平面 的方程。
解
取该平面 的法向量为
n M1M 2 M1M3
i jk
3 4 6 14, 9, 1
n
M1
2 3 1
又M1 ， 利用点法式方程公式得平面 的方程
a( n )
例题讲解
例2. 求过点M0(2,3,1)且平行于向量 a 1, 2, 1 和 b 3, 3,1 的平面方程。
解
所求平面的法向量可取 n a b
n
ijk
1 2 1 1, 4,9
33 1
又因为平面过M0 ( 2, 3, 1 )，所以由点法式方程公式可得
该平面方程为 (x 2) 4( y 3) 9(z 1) 0,
——平面 的点法式方程
例题讲解
例1. 求过点M0(2,1,1)且垂直于向量a {1,2,3} 的平面方程。
解 所求平面的法向量 n a {1,2,3}
又因为平面过M0 (2,1,1)，所以由点法式方程公式可得
平面的点法式方程
因为此平面过点 M 1，M2 ，所以
A 2C D 0 ,
①
A 2B 2C D 0 . ②
又由于所求平面与向量 a 1 , 1 , 1 平行，因此它
的法向量与 a 垂直， 即 A+B+C=0
③
解联立方程①、②、③，得 A = C，B = 2C，D = C，
所以有
Cx 2Cy Cz C 0,
消去 C ， 即为所求的平面方程为
x 2 y z 1 0.
例 5 设一平面通过 x 轴和点 M(4, 3, 1)， 试求该平面的方程.
解 因为所求平面通过 x 轴，所以可设它的方 程为
By + Cz = 0 .
④
由于点 M 在所求的平面上，因此有
3B C = 0 ，
将 C = 3B 代回方程 ④，并简化，即得所求平面方 程为
y 3z = 0
三、两平面的夹角
两平面法向量的夹角，称为两平面的夹角. 设平面
1、2 的方程分别为
A1 x B1 y C1z D1 0 , A2 x B2 y C2z D2 0 .
它们的夹角为 .
cos
cos (n1 ,n2 )
n1 n2 n1 n2
A1 A2 B1B2 C1C2
A12 B12 C12
A22
B22
C
2 2
④
则平面1、2 垂直的充要条件是 A1A2+ B1B2 + C1C2 = 0；
平行的充要条件是
A1 B1 C1 . A2 B2 C2
将方程 ① 展开， 得
Ax By Cz ( Ax0 By0 Cz0 ) 0,
直线方程的点法式
直线方程的点法式：一条直线，一个点，一个方向，搞定！哎，说起直线方程啊，可能有些同学会头疼，觉得那些公式啊、定理啊太抽象了。
但今天我要给大家介绍的这个方法——点法式，保证让你一听就懂，一用就会！首先啊，咱们得知道啥是点法式。
简单来说呢，就是用一个点和一个方向来表示一条直线。
这就像是你手里拿着一根棍子，棍子的一端固定在一个点上（这个点就是咱们说的“点”），然后你往一个方向用力一推（这个方向就是直线的“方向”），棍子就沿着这个方向飞出去了，形成了一条直线。
那么具体怎么操作呢？别急，听我慢慢道来。
首先，你得找到直线上的一个点，这个点可以是直线上的任意一点，咱们就叫它P点吧。
然后啊，你得知道直线的一个方向，这个方向可以用直线上的一个向量来表示。
咱们假设这个向量的起点也是P点，终点是直线上的另一个点Q （当然Q点也可以是直线上的任意一点除了P点以外的都行）。
有了这两样东西啊咱们就可以写出直线的点法式方程了。
方程长啥样呢？很简单就是“P点加向量等于直线上的任意一点”。
不过啊为了更规范一点咱们通常会用向量的点积来表示方向也就是说咱们会选择一个与直线方向垂直的向量（咱们叫它法向量）然后用这个法向量和直线上的一个向量做点积等于0来表示直线。
听起来是不是有点绕？其实啊一点都不难！咱们只要记住两个关键点：一是直线上的一个点P；二是直线的一个方向（用与方向垂直的法向量来表示）。
把这两样东西往方程里一套就OK了！当然啦这个方法也有它的局限性那就是它只能用来表示那些不经过原点的直线。
如果直线经过原点那咱们就得用别的方法来表示了。
不过啊对于大多数情况来说点法式都是一个非常好用且直观的方法哦！所以啊同学们下次遇到直线方程的问题时不妨试试点法式吧！说不定你会发现原来直线方程也可以这么简单易懂呢！。
高等数学第八章第5节
− 4 x + 2 y − 2z − 1 = 0 − 4 x + 2 y + 2z − 2 = 0
r n2 = {−4, 2,−2}
2 −1 1 , 两平面平行 ⇒ = = −4 2 −2 Q M (1,1,0) ∈ Π 1 M (1,1,0) ∉ Π 2
两平面平行但不重合． 两平面平行但不重合．
பைடு நூலகம்
2 −1 −1 , 两平面平行 ( 3) Q = = 2 −4 2
4 x − y + 2 z = 8 垂直，求此平面方程 垂直，求此平面方程.
解 设平面为 Ax + By + Cz + D = 0, 由平面过原点知 D = 0,
由平面过点( 6,−3, 2) 知 6 A − 3 B + 2C = 0
r Q n⊥{4,−1,2},
∴ 4 A − B + 2C = 0
2 ⇒ A = B = − C, 3 所求平面方程为 2 x + 2 y − 3 z = 0.
特别,当平面与三坐标轴的交点分别为 当平面与三坐标轴的交点分别为 时,平面方程为 x y z + + = 1 (a , b, c ≠ 0) a b c 此式称为平面的截距式方程 截距式方程. 截距式方程 分析:利用三点式
Ax + By + Cz + D = 0 ( A + B + C ≠ 0 )
2 2 2
平面一般式方程的几种特殊情形： • 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示 通过原点 通过原点的平面; • 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量
空间平面及其方程
n P 0
d
(点到平面的距离公式)
例6. 求内切于平面 x + y + z = 1 与三个坐标面所构成 四面体的球面方程. 解: 设球心为 M0 (x0 , y0 , z0 ) , 则它位于第一卦限,且 x0 + y0 + z0 1 径 = x0 = y0 = z0= R(半 ) z 2 2 2 1 +1 +1
n1
n2 θ
Π2
即
n1 n2 cosθ = n1 n2
θ
Π1
cosθ =
A A2 + B B2 + C1C2 1 1
2 2 2 A + B + C1 1 1 2 2 2 A2 + B2 + C2
Π1 : n1 = ( A , B , C1) 1 1 Π2 : n2 = ( A2 , B2 , C2 )
∵x0 + y0 + z0 ≤1, ∴1 3x0 = 3 x0
从而 因此所求球面方程为
x o
M0
y
内容小结
1.平面 平面基本方程: 平面 一般式 点法式 截距式
Ax + By + Cz + D = 0 ( A2 + B2 + C2 ≠ 0)
x y z + + =1 a b c
x x1 x2 x1 x3 x1
n = M1M2 × M1M3
i j k = 3 4 6 2 3 1 = (14, 9, 1)
又M1 ∈Π, 利用点法式得平面 Π 的方程
即
三点式方程也可写成 三点式方程 说明: 说明 此平面的三点式方程
x 2 y +1 z 4
一、平面的点法式方程二、平面的一般方程三、两平面的夹角
(点到平面的距离公式)
例8. 求内切于平面 x + y + z = 1 与三个坐标面所构成 四面体的球面方程.
例8. 求内切于平面 x + y + z = 1 与三个坐标面所构成
四面体的球面方程.
解: 设球心为 M 0 (x0 , y0 , z0 ) , 则它位于第一卦限,且
x0 + y0 + z0 −1 = 12 + 12 + 12
z
P(a,0,0) , Q(0,b,0) , R(0,0, c)
R
时,平面方程为
x + y + z = 1 (a ,b ,c ≠ 0) abc
此式称为平面的截距式方程.
o Qy xP
分析:利用三点式
x−a y z −a b 0 =0
−a 0 c 按第一行展开得 (x − a)bc − y(−a)c + zab = 0
A(x − x0 ) + B( y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0
显然方程②与此点法式方程等价,因此方程②的图形是
法向量为 n = ( A, B,C)的平面, 此方程称为平面的一般
方程.
Ax + By + Cz + D = 0 ( A2 + B 2 + C 2 ≠ 0 )
特殊情形
Ax + By + Cz + D = 0 ( A2 + B 2 + C 2 ≠ 0 )
垂直: n1 ⋅ n2 = 0 平行: n1 × n2 = 0
A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0 A1 = B1 = C1 A2 B2 C2
平面的三种方程范文
平面的三种方程范文平面可以通过不同的方程来描述。
在二维平面上，最常见的平面方程是一般形式方程、点法式方程和截距式方程。
以下将详细介绍这三种方程。
一、一般形式方程：平面的一般形式方程是一个二次方程，通常写作Ax+By+Cz+D=0。
其中A、B、C和D是实数常数，同时A、B和C不全为0。
这个方程中的系数A、B和C定义了平面的法向量（a,b,c）=(A,B,C)。
通过选择平面上的任意点P(x,y,z)，将其代入方程，可以确定数值常数D。
例如，对于平面2x+3y–5z–6=0，其中的法向量是(2,3,-5)。
二、点法式方程：平面的点法式方程是通过平面上的一个点P和平面的法向量来定义的。
它可以表示为(x – x₀)·a + (y – y₀)·b + (z – z₀)·c= 0，其中(x₀, y₀, z₀)是平面上的一个点P，(a, b, c)是平面的法向量。
这个方程可以写作ax + by + cz = d，其中d = x₀·a + y₀·b + z₀·c为一个实数。
例如，对于过点P(1,2,3)且法向量为(2,-1,4)的平面，点法式方程是2x-y+4z=14三、截距式方程：平面的截距式方程是通过平面与三个坐标轴相交的三个点来定义的。
对于一个不垂直于坐标轴的平面，它可以表示为x/a + y/b + z/c = 1，其中a、b和c为非零实数，表示与x、y和z轴相交的截距。
通过对方程的两边同时乘以abc，可以得到标准形式的截距式方程为bx + ay + cz = abc。
例如，对于与x轴、y轴和z轴分别相交于点(2,0,0)、(0,3,0)和(0,0,4)的平面，截距式方程是2x+3y+4z=24这三种方程都可以用来描述平面，每种方程都有其独特的特点和应用。
选择方程形式时，可以根据具体的问题和需求来决定使用哪种形式。
在实际应用中，一般形式方程常用于计算平面与其他几何图形的交点，点法式方程通常用于判断点是否在平面上，而截距式方程则常用于计算平面与坐标轴的交点等。
点法式求平面方程
如何用点法式求平面方程？
求解平面方程的方法有很多种，其中点法式是较为常用的一种。
其基本思路是利用已知平面上的点和法向量来求解平面的方程。
下面
详细介绍如何用点法式求平面方程。
步骤一：确定已知点和法向量
首先需要明确已知平面上的一个点P和法向量N。
点P就是平面上的任意一点，法向量N垂直于平面。
步骤二：求解平面方程
已知点P和法向量N后，可以用点法式求解平面方程。
点法式的
一般形式为Ax+By+Cz+D=0，其中A、B、C是平面的法向量，D是平面
与原点之间的距离。
具体来说，可以按照以下步骤求解平面方程：
1. 利用点P的坐标和法向量N的分量，得到方程的三个系数A、B、C。
例如，若已知点P(3,4,5)和法向量N(1,-2,1)，则可以得到A=1，
B=-2，C=1。
2. 利用点P的坐标和法向量N，求解平面与原点之间的距离D。
具体做法是，用点P的坐标代入平面方程，解出D。
例如，若已知点
P(3,4,5)和法向量N(1,-2,1)，则平面方程为x-2y+z+D=0，代入点P
得到D=-4。
3. 把步骤一和步骤二求得的A、B、C和D代入平面方程即可得到最终的平面方程。
例如，已知点P(3,4,5)和法向量N(1,-2,1)，则平面方程为x-2y+z-4=0。
总之，在确定了平面上的任意一点和法向量后，用点法式求解平面方程就变得比较简单了。
实际应用中，可以利用这个方程求解平面上其他点的坐标，或者判断其他点是否在平面上。
同时，还可以用平面方程来描述平面在三维空间中的位置和特征。
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思考？
一条直线的位置由哪些条件确定呢？
我们知道： 在平面内过一定点，并且与一个
非零向量垂直的直线有且仅有一条。 我们把与一条直线垂直的非零向
量叫做这条直线的法向量。 因此，一个定点和一个法向量确定一条直线。ylM0n
M
o
x
一个点和一个非零向量决定一条直线
根据观察写出直线的点法式方程
（2）点M（0，4），法向量n= （5，0）。 （3）点M（-4，7），法向量n= （0，-3）。
解:(1)-2(x-3)+4(y+2)=0,即x-2y-7=0
(2)5(x-0)+0·(y-4)=0,即x=0 (3)0 ·(x+4)-3(y-7)=0,即3y-21=0
两个点
一个点 一个法向量
点法式
知 二
直直线线L1L//的直方线程L2
求 一
小结
• 记住直线方程的确定程序
• 记住直线方程的模型---点法式
知二求一
已知条件：1、定点M0 （ x0， y0 ）； 2、法向量 n（ A， B）。
点法式方程：
Ax x0 B y y0 0
如果n=(A , B)是直线L的一个法向 量，则向量v=(B, -A)就是直线L的 一个方向向量。
根据条件，写出直线的方程：
（1）点M（3，-2），法向量n=（-2，4）。