2017年全国高中数学联赛山东赛区预赛

综 上 ，共 有 ３×（４Ｏ＋６＋４＋２）＋９＝１６５
种 情 况 ．
５－ １６
。
‘
不 妨 设 Ｃ≥ｂ≥ａ．则
３ｃ≥。＋６＋ｃ＝８ ｃ≥詈．
由 ０≤（ａ—ｂ） ＝（ａ＋ｂ） 一４ａｂ ＝ （８一Ｃ） 一４（１６一Ｃ（ａ＋ｂ）） ＝ （８一Ｃ） 一４（１６一Ｃ（８一Ｃ）） ＝Ｃ（１６—３ｃ）
则 Ｉｚ ＋ ｌ的最小值 为
．
—
—
２．已知集合 Ｍ ：｛１，９９，一１，０，２５，一３６，
一 ９１，１９，一２，１１｝，记 的所 有 非空 子 集 为
（ｉ＝１，２，… ，１ ０２３）．若 每个 中的所 有
元素之积为ｍ ，则∑ ｍ ＝— — ．
３．在棱长 为 １的正方 体 内 ，作 一 内切 大 球 ０ ，再在此 正方体 内作 一小 球 ０：，使 它与 大球 外切 ，同时与正方体 的三个面均相 切．则 球 ０，的表面积为— — ．
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况 的方法种数 一样多 ，以 ａ＝ｂ≠Ｃ为例 ： （１）当 ａ＝ｂｉ＞５时 ，ａ、６有 ５种情况 ，Ｃ有
８种情况 ，共有 ４Ｏ种情况 ；
（２）当 ａ＝ｂ＝４时 ，Ｃ可 从集 合 ｛１，２，３，
５，６，７｝中任取一个 ，共 有 ６种 情况 ；
（３）当 ａ：ｂ＝３时 ，Ｃ有 ４种情 况 ； （４）当 ａ＝ｂ＝２时 ，Ｃ有 ２种情 况．
ｒ２ ：
．
４ ｃ３
＝
一
参 考 答 案
— — １．３ ５２０． 、
注 意 到 ，
Ｉｚ ＋ ；Ｉ＝Ｉ １＋ ２ Ｉ Ｉ 一三１ ２＋ ｌ
＝ ２０ Ｉ （ ＋ ）一 （ ＋ ） Ｊ
２
１
一
＋ｚ２ １ ２ ｌ
＝ ３ ５２０．
当 ２ｌ＋ ＝１６， ｌ＋ ２＝２０，即
彳１＝１０＋２￣／２３ ｉ，Ｚ２＝１０—２√２３ ｉ 时 ，上式等号成立．
个角上 均安 有 喷 水 装 置 ，喷 水装 置 可 以 ９Ｏ。 旋转 喷水 ，每个 喷水 装置 均 可从 其所 在 角 的
一 边旋转 喷水 至该 角 的另一 边 ，其有 效 射程
均 为 口．则 草 坪 上 能 同 时 被 四个 喷 水 装 置 喷
水覆 盖的 区域 占整个草坪 的 比例为一
故 Ｉ ＋ｚ；ｌ的最小值为 ３ ５２０．
２． 一 １
设 集合 Ｍ ＝｛ａ Ｉ ｉ＝１，２，… ，ｎ｝．则
２ 一１
∑ ｍ ＝１－１７（口 ＋１）一１．
ｉ＝ ｌ
＝ １
１ ０２３
由一ｌ∈Ｍ，知∑ ＝一１．
３．（７—４４３）兀
如 图 １， 设
正 方 体 为 ＡＢＣＤ
一
Ｂ Ｃ Ｄ ，联 结
二 、解答题 （共 ７０分 ）
１１．（１５分 ）已知 实数 、Ｙ∈ （１，＋∞ ），且
边 的长 可构成等 腰 （含等边 ）三 角形．则 这样 的三位 数 ｎ有— — 个．
５．设 、ｂ、Ｃ为非负实数 ，满 足
ｎ ＋ｂ＋ｃ＝８．ａｂ＋６ｃ＋ｃｎ＝ １６．
ｘｙ一２ｘ—Ｙ＋１＝０．求— ＋ｙ２的最小值．
３２
［ｆＪ等 数 学
２０ １ ７年全 国高 中数学联赛 山东赛 区预赛
中 图分 类 号 ：Ｇ４２４．７９
文 献 标 识 码 ：Ａ 文 章 编 号 ：１００５—６４１６（２０１８）０６—００３２—０４
一 、 填 空题 （每小题 ８分 ，共 ８Ｏ分 ） １．已知复数 。、 满足
Ｉ １＋ Ｉ＝２０ ，Ｉ 十 ２ Ｉ＝ １６ ．
１２．（１５分 ）已 知 正 实 数 数 列 ０ ，０ ，… ， 倪 ，…满 足 ：
记 ｍ＝ｍｉｎ｛０６，ｂｅ，ｃｎ｝．则 ｍ 的最 大可能
（１）０ ＋ ＝ｎ２ ｎ …。 一３（ｎ∈ ｚ＋）；
值 为一 ６．已知 Ｐ（ ）＝似 ＋ ＋ＣＸ＋ｄ为 三 次
（２）÷（口．＋￣／ｎ：一１）∈ｚ＋．
４．设三位数 ｎ＝ａｂｃ，其 中 ，以 Ｃｔ、ｂ、Ｃ为三
３ ＋４ ＋５ ：０．
则 Ｃ的 大 小 为 一
９．已知 、Ｙ、 ∈ Ｒ＋，且
２＋Ｙ２＋ ｘｙ ＝ １ Ｙ２＋ ２＋ｙｚ＝ ２
。
，
＋ ＋ ＝３．
贝０ ＋Ｙ＋三＝————．
１０．在一个 边 长为 口的正方 形 草 坪 的 四
０≤ ｃ≤ ．
由 ｂｃ ｃａ≥ｎ６，故 ＝ｍｉｎ｛ｎ６，ｂｃ，ｃａ｝＝ａｂ．
而 ａｂ＝１６一Ｃ（ａ＋６）＝（Ｃ一４） ，
结合 ≤ｃ≤芋，知口６≤ ．
当（ｎ，６，ｃ）＝ ４一，了４
，
）时，ｍ取到最大值．
６．１ ９９６．
由式①得
２０１８年 第 ６期
３５
如 图 ４，即求 曲 四边 形 ＥＦＧＨ 的面 积 占 正方形 ＡＢＣＤ的面积 的比例．
多项 式 ，满 足
ｐ㈦＋ｐ 丢）＝１ ｏｏｏｐ（ｏ）． ①
设 、 ：、 ，为 Ｐ（ ）＝０ 的 三 个 根 ．则
证明：÷（ａＩｎ２…ｎ ＋Ｊａｎ＋１—１）∈ｚ＋．
１３．（２ｏ分 ）设椭 圆 ＋ ＝１（Ⅱ＞ｂ＞０）
＋ ＋ 的值 为一 ．
ｌＸ２ Ｘ ２ＰＣ３ Ｘ １ ３
经过点Ｐ（ ， ），离心率为 ，动点Ｍ（２， ）
３３
的垂线与 以 ＯＭ 为直径 的 圆交 于点 Ⅳ．证 明 ： 线段 ＯＮ的长 为定值 ，并求 出这个定值．
１４．（２０分 ）求 最 大 的正 整数 ｎ，将 正整 数 １到 ４００任意填人 ２０×２０的方格 表 中，则 总有一行或一 列 ，其 中两数之差不 小于 ｎ．
则Ｔ２ ： ０２Ｂ ， ２
ＢＤ ，与 球 ０ 交 于
点 Ｅ、 ，球 ０１、０２
的半 径 分 别 为 ｒ，、
ｒ２．易知 ，
ｒ１
１
，
Ｃ 图 １
０１Ｂ ０２Ｂ ０ｌＦ 一０２Ｅ ‘
故球 ０ 的表 面积为 （７—４ ）兀
４．１６５．
当 ａ＝ｂ＝Ｃ时 ，共 ９种情 况．
当 ａ＝６≠ｃ，ａ＝ｃ≠ｂ，ｂ＝ｃ≠ａ时 ，３种 情
７．函数
（０ ＜２
（ｔ＞０）． （１）求椭 圆的标准方程． （２）求 以 ＯＭ 为直径且被 直线 ３ 一 一５
的值域 为— — ． ８．设 ，为 △ ＡＢＣ的 内心 ，且
＝ ０截 得 的 弦 长 为 ２的 圆 的方 程 ． （３）设 Ｆ为椭 圆的右焦点 ，过点 Ｆ作 ＯＭ
２０１８年 第 ６期