坐标法解空间几何题通用模型

如何用坐标法解空间几何题专题（中保高中2017届1，2班） 徐学松 2017.5模型思考空间几何中涉及的定义、定理和性质比较多，在解决综合问题时，运用多个定义、定理和性质形成的综合题时，遇到多种多样的题型，每一种题型的解法又有多种.学习和记忆名目繁多的题型和解法直接影响了学习立体几何的兴趣和效率.有没有一种比较统一的方法，能够使得解题过程比较一致，变化不多的模型呢？使得学生解题流程固定，方法比较简单，从而使学生解题思路流畅，正确率提高呢.坐标法作为一种工具，在解决立体几何问题中有着无比的优越性．运用坐标法解题，可使几何问题代数化，大大简化思维程序，使解题思路直观明了，模式固定，流程明了. 模型例析例1.（线线平行）已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，2)，求满足DB ∥AC ，DC ∥AB 的点D 的坐标．解模与识模:这道题是一道线与线平行的问题.可设点D 坐标为(x ，y ，z)， 则−→−DB = (－x ，1－y ，－z)，−→−AC = (－1，0，2)，−→−DC = (－x ，－y ，2－z)，−→−AB = (－1，1，0)．∵DB ∥AC ，DC ∥AB ，∴−→−DB ∥−→−AC ，−→−DC ∥−→−AB ．即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--=--=--=--.02,11,01,21z y x y z x⇒⎪⎩⎪⎨⎧==-=.2,1,1z y x ，即此时点D 的坐标为(－1，1，2)．从这道题的推理过程可以看到在建立了坐标系的情况下,得到各点的坐标后,就能得到有关向量的坐标,根据向量的平行,利用公式建立方程组.这里的公式是若()111,,z y x a =→,()222,,z y x b =→,且222,,z y x 均不为零,→→b a //⇔212121z z y y x x ==.进而达到求解的目的. 例2（线线垂直）在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 是棱DD 1的中点，O 为正方形ABCD 的中心，求证：1OA ⊥AM ．解模与识模: 直线与直线的垂直可以转化为直线的方向向量互相垂直.设直线a ,b 的方向向量分别是()111,,z y x a =→,()222,,z y x b =→,a ⊥b ⇔→a ⊥→b ⇔0212121=++z z y y x x .要想利用坐标法解决这一问题首先要建立空间坐标系.常见几何体的建系方法：1.找两条互相垂直且相交的直线确定“水平面”（即x O y 平面），一条为x 轴，一条为y 轴；2.找与“水平面”垂直的直线确定为z 轴.通常做法：（1）直接找到与“水平面”垂直的直线为z 轴；（2）找与“水平面”垂直的平面，垂面内与“水平面”交线的垂线即为z 轴； （3）过两垂线的交点直接作出“水平面”的垂线；（4）过两垂线的交点构造“水平面”的两个两个垂面，两垂面的交线为z 轴.在建系的过程中，一般的借助正方体、侧棱和底面垂直的棱锥、直棱柱等等. 如图建立右手直角坐标系.设正方体的棱长为1个单位，则A(1，0，0)，A 1(1，0，1)，M(0，0，21)，O(21，21，0)．∴−→−1OA =−→−1DA －−→−DO = (21，－21，1)， −→−AM =−→−DM －−→−DA = (－1，0，21)，xy zO（1）（2）xyzO（3）（4）∵−→−1OA ·−→−AM =21×(－1)＋(－21)×0＋1×21= 0，∴−→−1OA ⊥−→−AM ，∴1OA ⊥AM ．例3(线面垂直)如图，已知四棱锥S —ABCD 的底面ABCD 是矩形，M 、N 分别是CD 、SC 的中点，SA ⊥底面ABCD ，SA =AD =1，AB =2．求证：MN ⊥平面ABN ． 解模与识模:第（I ）问是证明直线与平面垂直问题,又直线与平面垂直的判定定理可知,只需要证明这条直线与平面内两条相交直线垂直就可以了,转化为证明这条直线的方向向量垂直于平面内两条直线的方向向量.以A 点为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AD 为z 轴的空间直角坐标系，如图所示. 则依题意可知相关各点的坐标分别是：A （0，0，0），B （2，0，0），C （2，1，0），D （0，1，0），S （0，0，1）).21,21,22(),0,1,22(N M ∴ ).21,21,22(),0,0,2(),21,21,0(==-=∴AN AB MN .,.0,0AN MN AB MN AN MN AB MN ⊥⊥∴==⋅==⋅∴ΛΛ∴MN ⊥平面ABN .例4（线面平行、面面垂直、二面角）如图，在四棱锥S -中，底面是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，AC 与BD 的交点为O ，E 为侧棱SC 上一点. （Ⅰ）当E 为侧棱SC 的中点时，求证：SA ∥平面BDE ； （Ⅱ）求证：平面BDE ⊥平面SAC ； （Ⅲ）当二面角E BD C --的大小为45︒时，试判断点E 在SC 上的位置，并说明理由.解模与识模:本题第（Ⅰ）问是解决线面平行问题. 设四棱锥S ABCD -的底面边长为2，建立如图直角坐标系.则(0, 0, 0)O ，(0, 0, 2)S ，()2, 0, 0A，()0, 2, 0B ，()2, 0, 0C -，()0, 2, 0D -.所以()22, 0, 0AC =-u u u r ，()0, 22, 0BD =-u u u r.因为1=CE ，由已知可求得45ECO ∠=︒. 所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-22,0,222E ，=BE ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-22,2,222. OS ABCDE设平面BDE 法向量为(, , )x y z =n ，则0,0BD BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r n n 即⎪⎩⎪⎨⎧+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=222222,0z y x y 令1z =，得n =()1,0,1. ()2,0,2-=.n ·0202=++-=.所以n ⊥.所以SA ∥平面BDE .这一问完整地体会了坐标法的整个过程. 第一步,建立恰当的空间直角坐标系; 第二步求出相关点的坐标: 第三步,写出向量的坐标; 第四步,选择适当的公式进行论证、计算; 第五步,转化为几何结论.第四步中着重计算了面BDE 法向量,n ·=0推出SA ∥平面BDE .求法向量的步骤：第一步,找平面内的任意两个不共线向量,设a ，b 为平面α内的任意两个向量;第二步,设n=（x, y, 1）为α的法向量，则由方程组⎩⎨⎧=⋅=⋅0n b n a ,求得法向量n ．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）中坐标易知SO ABCD ⊥面，AC BD ⊥.设CE a =（02a <<），由已知可求得45ECO ∠=︒.所以(, 0, )E ，(, )BE =u u u r . 设平面BDE 法向量为(, , )x y z =n ，则0,0BD BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r n n 即0, ()0.22y a x az =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 令1z =，得(, 0, 1)2aa=-n . 易知()0, 0BD =-u u u r是平面SAC 的法向量.因为(, 0, 1)(0, 0)02aBD a ⋅=⋅-=-u u u r n ， 所以BD ⊥u u u rn ，所以平面BDE ⊥平面SAC .本题的解决可以总结出利用向量法证明面与面垂直的过程中的第四部核心是证明一个平面的法向量垂直于另一个平面内的一条直线,同时也可以证明两个平面的法向量的数量积为零去证明两个平面互相垂直.（Ⅲ）设二面角βα--l 中,平面α、β的法向量是),,(111z y x a =,),,(222z y x b =， 则222222212121212121||||cos z y x zy x z z y y x x b a ++++++=>=<,，设二面角βα--l 的大小为θ，则=θcos ><b a ,cos 或=θcos -><b a ,cos . 设CE a =（02a <<），由（Ⅱ）可知，平面BDE 法向量为(, 0, 1)2aa=-n . 因为SO ABCD ⊥底面，所以(0, 0,2)OS =u u u r是平面ABCD 的一个法向量. 由已知二面角E BD C --的大小为45︒.所以2cos , cos 45OS 〈〉=︒=u u u rn 2222()122a a=+⋅-，解得1a =. 所以点E 是SC 的中点.例5（线线成角）如图，在三棱锥ABC D -中,ACB ADC ∆∆,均为等腰直角三角形CD AD =2=，,90ο=∠=∠ACB ADC M 为线段AB 的中点，侧面⊥ADC 底面ABC . 求异面直线BD 与CM 所成 角的余弦值；解模与识模: 如果两异面直线AB 与CD 的方向向量分别是、，直线AB 与CD 的夹角为θ，就有||||cos CD AB •=θ取AC 的中点为O ，连结OM DO ,. 建立空间直角坐标系xyz O -如图所示.则)0,0,1(A ，)0,0,1(-C ，)1,0,0(D ，)0,2,1(-B ，).0,1,0(M)0,1,1(),1,2,1(=-=CM BD ，6326021||||,cos -=⋅+-=⋅>=<CM BD CM BD CM BD 所以异面直线BD 与CM 所成角的余弦值为.63 例6（线面成角）如图，正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为a ，侧棱长为a 2. （1）建立适当的坐标系，并写出A 、B 、A 1、C 1的坐标； （2）求AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角.解模与识模:建立如图的坐标系，来确定所求点的坐标.取A 1B 1中点M ，因为三棱柱111C B A ABC -是直三棱柱,则CM 是平面ABB 1A 1的一个法向量, 求AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角转化为求1AC 与CM 的夹角的余角.于是求直线l 与平面α所成的角：|||||||sin |n PM n PM ••=θ，（P 、M ∈l ，n 为α的法向量）．（1）以A 为坐标原点，AB 所在直线为y 轴，所在直线为z 轴，以过原点且垂直于平面的直线为x 轴建立空间直角坐标系，如图3.则A （0，0，0）、B （0，a ，0）、A 1（0，0，a 2）、C 1（a a2,2,23-） （2）取A 1B 1的中点M ，则M （0，2a，a 2） 连AM 、MC 1，得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0,0,231a MC ， a MC 23||1=，因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=a a AC 2,2,231，a 3=;设AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角θ.于是有a a a a a a MC AC 32320202323,cos sin 11⋅⋅+⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=><=θ=21.所以AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角为30°.例7（异面直线距离、线面之间的距离）已知：正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 为AB 中点， Q 为BC 中点，AA 1=a, O 为正方形ABCD 的中心. （1）求PQ 与C 1O 间的距离； （2）求BC 到面A 1D 1P 的距离解模与识模：P 和O 分别是异面直线PQ 与C 1O 上两点,设与异面直线PQ 与C 1O方向向量都垂直的向量1n 叫做异面直线PQ 与C 1O 的法向量,那么在异面直线PQ 与C 1O 的法向量1n 上的投影就是异面直线PQ 与的距离.即就是d =.由此可以推出,A 1D 1P 的直线BC 到平面A 1D 1P 的距离,即就是求在平面A 1D 1P 的法向量2n 上的投影d =.⑴异面直线PQ 与C 1O 的法向量)0,1,1(1=n ，=(2a,0,0)，∴异面直线PQ 与C 1O 的距离42ad ==⑵点B 到平面A 1D 1P 的距离等于BC 到面A 1D 1P 的距离,面A 1D 1P 的一个法向量2n =(0,2,1)，=(0,2a -,0) ∴BC 到面A 1D 1P 的距离55ad ==. 模型归纳:坐标法确实是处理立体几何问题的重要方法．作为坐标法的主要技巧，是将相关向量表示为坐标的形式，把问题转化为代数的运算，这与把空间图形关系转化为平面图形关系的传统解法相比，显然是更高的思维方式，它抓住了空间的主要特征和其内在规律，使“纷繁复杂的现象变得井然有序．”利用坐标法的解题流程是：说明： 步骤（1）：常见几何体的建系方法：借助正方体、侧棱和底面垂直的棱锥、直棱柱等等.1.找两条互相垂直且相交的直线确定“水平面”（即x Oy 平面），一条为x 轴，一条为y 轴；2.找与“水平面”垂直的直线确定为z 轴.通常做法（1）直接找到与“水平面”垂直的直线为z 轴；（2）找与“水平面”垂直的平面，垂面内与“水平面”交线的垂线即为z 轴.（3）过两垂线的交点直接作出“水平面”的垂线，（4）过两垂线的交点构造“水平面”的两个两个垂面，两垂面的交线为z 轴. 步骤（2）：和结论相关的点就是直接的相关点，在求解过程中需要求坐标的点也可以认为是相关点. 步骤（3）：得到相关点以后，由相关点坐标就得到了有关的向量的坐标.步骤（4）空间的线线、线面、面面垂直关系，都可以转化为空间两个向量的平行与垂直问题来. 解决．（1）设a ，b 分别为直线a ，b 的一个方向向量，那么a ⊥b ⇔a ⊥b ⇔ a ·b =0；（2）若()111,,z y x a =→,()222,,z y x b =→,且222,,z y x 均不为零,→→b a //⇔212121z z y y x x == （3）设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为b ，那么l ⊥α⇔a ∥b ； （4）设a ，b 分别为平面α，β的一个法向量，那么α⊥β⇔a ⊥b ⇔ a ·b =0．（5）设a ，b 为平面α内的任意两个向量，n =（x , y , 1）为α的法向量，则由方程组⎩⎨⎧=⋅=⋅0n b n a 可求得法向量n ． 空间线线成角、线面成角和二面角可以转化为向量成角的问题来解决.（1）如果两异面直线AB 与CD 的方向向量分别是、，直线AB 与CD 的夹角为θ，就有||||cos CD AB •=θ（2）直线l 与平面α所成的角为θ：|||||sin |n PM •=θ，（P 、M ∈l ，n 为α的法向量）.（3）二面角βα--l 中,平面α、β的法向量是),,(111z y x =,),,(222z y x =，则222222212121212121||||cos z y x zy x z z y y x x b a ++++++=>=<,，设二面角βα--l 的大小为θ，则=θcos ><,cos 或=θcos -><,cos .空间中点到面的距离、异面直线间的距离以及线到面的距离可以转换成某一向量在法向量上的射影.（1）P 是平面α外一点，O 在平面α内，向量n 是平面α的一个法向量,P 到平面α的距离d =.（2）异面直线a ,b 上各有一点O 、P , 向量是异面直线a ,b 的一个法向量, 异面直线a ,b的距离d =.（3）直线AB//平面α,点O 在平面α内, 向量是平面α的一个法向量,直线AB 到平面α的距离d =.。