坐标法解空间几何题通用模型

如何用坐标法解空间几何题专题

（中保高中2017届1，2班） 徐学松 2017.5

模型思考

空间几何中涉及的定义、定理和性质比较多，在解决综合问题时，运用多个定义、定理和性质形成的综合题时，遇到多种多样的题型，每一种题型的解法又有多种.学习和记忆名目繁多的题型和解法直接影响了学习立体几何的兴趣和效率.有没有一种比较统一的方法，能够使得解题过程比较一致，变化不多的模型呢？使得学生解题流程固定，方法比较简单，从而使学生解题思路流畅，正确率提高呢.坐标法作为一种工具，在解决立体几何问题中有着无比的优越性．运用坐标法解题，可使几何问题代数化，大大简化思维程序，使解题思路直观明了，模式固定，流程明了. 模型例析

例1.（线线平行）已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，2)，求满足DB ∥AC ，DC ∥AB 的点D 的坐标．

解模与识模:这道题是一道线与线平行的问题.可设点D 坐标为(x ，y ，z)， 则−→

−DB = (－x ，1－y ，－z)，−→

−AC = (－1，0，2)，−→

−DC = (－x ，－y ，2－z)，

−→

−AB = (－1，1，0)．

∵DB ∥AC ，DC ∥AB ，∴−→

−DB ∥−→

−AC ，−→

−DC ∥−→

−AB ．

即⎪⎪⎪⎩

⎪⎪

⎪⎨⎧=--=--=--=--.02,

1

1,01,2

1z y x y z x

⇒⎪⎩⎪⎨⎧==-=.2,1,1z y x ，即此时点D 的坐标为(－1，1，2)．

从这道题的推理过程可以看到在建立了坐标系的情况下,得到各点的坐标后,就能得到有关向量的坐标,根据向量的平行,利用公式建立方程组.这里的公式是若()111,,z y x a =→

,

()222,,z y x b =→

,且222,,z y x 均不为零,→

→b a //⇔

2

1

2121z z y y x x ==.进而达到求解的目的. 例2（线线垂直）在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 是棱DD 1的中点，O 为正方形ABCD 的中心，求证：1OA ⊥AM ．

解模与识模: 直线与直线的垂直可以转化为直线的方向向量互相垂直.设直线a ,b 的

方向向量分别是

()111,,z y x a =→

,()222,,z y x b =→,a ⊥b ⇔

→

a ⊥

→

b ⇔0212121=++z z y y x x .要想利用坐标法解决这一问题首先要建立空间坐标系.常见

几何体的建系方法：

1.找两条互相垂直且相交的直线确定“水平面”（即x O y 平面），一条为x 轴，一条为y 轴；

2.找与“水平面”垂直的直线确定为z 轴.

通常做法：（1）直接找到与“水平面”垂直的直线为z 轴；

（2）找与“水平面”垂直的平面，垂面内与“水平面”交线的垂线即为z 轴； （3）过两垂线的交点直接作出“水平面”的垂线；

（4）过两垂线的交点构造“水平面”的两个两个垂面，两垂面的交线为z 轴.

在建系的过程中，一般的借助正方体、侧棱和底面垂直的棱锥、直棱柱等等. 如图建立右手直角坐标系.设正方体的棱长为1个单位，则A(1，0，0)，A 1(1，0，1)，

M(0，0，21)，O(21，2

1

，0)．

∴−→

−1OA =−→

−1DA －−→

−DO = (

21，－2

1

，1)， −→

−AM =−→

−DM －−→

−DA = (－1，0，2

1

)，

x

y z

O

（1）

（2）

x

y

z

O

（3）

（4）

∵−→

−1OA ·−→

−AM =21×(－1)＋(－21)×0＋1×21

= 0，∴−→−1OA ⊥−→−AM ，

∴1OA ⊥AM ．

例3(线面垂直)如图，已知四棱锥S —ABCD 的底面ABCD 是矩形，M 、N 分别是CD 、SC 的中点，SA ⊥底面ABCD ，SA =AD =1，AB =2．求证：MN ⊥平面ABN ． 解模与识模:第（I ）问是证明直线与平面垂直问题,又直线与平面垂直

的判定定理可知,只需要证明这条直线与平面内两条相交直线垂直就可以了,转化为证明这条直线的方向向量垂直于平面内两条直线的方向向量.以A 点为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AD 为z 轴的空间直角坐标系，如图所示. 则依题意可知相关各点的坐标分别是：A （0，0，0），B （2，0，0），C （2，1，0），D （0，1，0），S （0，0，1）

).2

1

,21,22(),0,1,22(

N M ∴ ).2

1

,21,22(),0,0,2(),21,21,0(==-

=∴AN AB MN .,.0,0AN MN AB MN AN MN AB MN ⊥⊥∴==⋅==⋅∴ΛΛ

∴MN ⊥平面ABN .

例4（线面平行、面面垂直、二面角）如图，在四棱锥S -中，底面是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，AC 与BD 的交点为O ，E 为侧棱SC 上一点. （Ⅰ）当E 为侧棱SC 的中点时，求证：SA ∥平面BDE ； （Ⅱ）求证：平面BDE ⊥平面SAC ； （Ⅲ）当二面角E BD C --的大小为45︒时，

试判断点E 在SC 上的位置，并说明理由.

解模与识模:

本题第（Ⅰ）问是解决线面平行问题. 设四棱锥S ABCD -的底面边长为2，建立如图直角坐标系.则(0, 0, 0)O ，(0, 0, 2)S ，(

)

2, 0, 0A

，()

0, 2, 0B ，

()2, 0, 0C -，()0, 2, 0D -.所以()

22, 0, 0AC =-u u u r ，()

0, 22, 0BD =-u u u r

.

因为1=CE ，由已知可求得45ECO ∠=︒. 所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+

-22,0,222E ，=BE ⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-+-22,2,222. O

S A

B

C

D

E